2.课时跟踪检测练 05 第6章 五 向量的数量积(1)(Word版+PPT版)-【满分思维】2025-2026学年高中数学必修第二册（人教A版）

五　向量的数量积(1) (时间:45分钟　分值:100分) √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 2.(5分)已知向量a,b满足|a|=2,|b|=,且a与b的夹角为30°,那么a·b等于 (　　) A.1　 B.　 C.3　 D.3 【解析】选C.a·b=|a||b|cos θ=2××cos 30°=3. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 3.(5分)已知非零向量a,b满足a·b=-3,|a|=1,则b在a方向上的投影向量为 (　　) A.-6a　 B.-3a C.3a　 D.-3b 【解析】选B.b在a方向上的投影向量为·=-3a. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 4.(5分)已知|a|=1,|b|=,且a⊥b,则|a+b|=(　　) A.　 B.　 C.2　 D.2 【解析】选B.由题意得a·b=0, |a+b|====. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 5.(5分)若单位向量a,b满足|3a+2b|=.则a,b的夹角为(　　) A.　 B.　 C.　 D. 【解析】选C.由题意得,|a|=|b|=1,由|3a+2b|=得9a2+12a·b+4b2=7, 即9+12a·b+4=7,所以a·b=-,设a与b的夹角为θ,所以cos θ==-, 又θ∈[0,π],所以θ=. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 6.(5分)(2025·宁波高一检测)已知向量a,b满足|a|=2,|b|=1,|a-b|=2, 则a在b方向上的投影向量是 (　　) A.a B.a C.b D.b 【解析】选D.因为向量a,b满足|a|=2,|b|=1,|a-b|=2, 所以(a-b)2=|a-b|2=a2-2a·b+b2=|a|2-2a·b+|b|2=4, 解得a·b=,所以a在b方向上的投影向量是b=b. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 　π　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 　2　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 9.(5分)设向量a,b的夹角的余弦值为,且|a|=1,a·b=1,则|b|=______.  【解析】向量a,b的夹角的余弦值为,所以cos<a,b>=,因为a·b=1, 所以a·b=|a|·|b|·cos<a,b>=|b|=1,解得|b|=3. 　3　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 10.(10分)已知|a|=2|b|=2,e是与b方向相同的单位向量,且向量a在向量b方 向上的投影向量为-e. (1)求a与b的夹角θ; 【解析】(1)由题意知|a|=2,|b|=1.又a在b方向上的投影向量为|a|cos θ e=-e, 所以cos θ=-,又θ∈[0,π],所以θ=. (2)求a·b. 【解析】(2)由(1)知θ=,所以a·b=|a||b|cos θ=-1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 【综合应用练】 11.(5分)已知|a|=5,|b|=4,与b同向的单位向量为e,若a在b上的投影向量为 -e,则a与b的夹角θ=(　　) A.60°　 B.120°　 C.135°　 D.150° 【解析】选B.因为a在b上的投影向量为·=·e=-e, 所以=-,即=-,解得cos θ=-,由0°≤θ≤180°知,θ=120°. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 12.(5分)(2025·辽阳高一检测)若单位向量a,b,c满足a·b=-,b·c=, 则a·c=(　　) A.0　 B. C.0或-　 D.0或- √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 【解析】选D.因为a,b,c为单位向量,所以|a|=|b|=|c|, 又a·b=-,b·c=,即a·b=|a||b|cos<a,b>=-,b·c=|b||c|cos<b,c>=, 即cos<a,b>=-,cos<b,c>=,又<a,b>∈[0,π],<b,c>∈[0,π], 所以<a,b>=,<b,c>=,则<a,c>=-=或<a,c>=+=, 所以a·c=|a||c|cos<a,c>=1×1×cos =0 或a·c=|a||c|cos<a,c>=1×1×cos =-. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 　　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 17.(5分)如果向量a,b的夹角为θ,我们就称a×b为向量a与b的“向量积”,a×b 还是一个向量,它的长度为|a×b|=|a||b|sin θ,如果|a|=10,|b|=2,a·b=-12,则 |a×b|= (　　) A.-16　 B.16　 C.-20　 D.20 【解析】选B.由于|a×b|=|a||b|sin θ,|a|=10,|b|=2,a·b=-12, 则a·b=|a||b|cos θ=10×2cos θ=-12, 则cos θ=-,所以sin θ=,则|a×b|=|a||b|sin θ=10×2×=16. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 【基础全面练】 1.(5分)在△ABC中,∠C=90°,BC=AB,则与的夹角是 (　　) A.30°　 B.60°　 C.120°　 D.150° 【解析】选C.如图,作向量=, 则∠BAD是与的夹角. 在△ABC中,因为∠ACB=90°,BC=AB, 所以∠ABC=60°.所以∠BAD=120°. 7.(5分)在正方形ABCD中,向量与向量的夹角是_____.(用弧度制表示)  【解析】向量与向量的夹角是∠ACB的补角,而∠ACB=,故<,>=π. 8.(5分)(2025·重庆高一检测)在☉O中,弦AB长为2,·=_____.  【解析】过O作OC⊥AB于点C,则点C为AB的中点, ·=||||cos∠BAO=||·||=2. 13.(5分)(2025·泉州高一检测)已知△ABC中,AB=2,AC=1,向量在向量上的投影向量 为-2,则A=______.  【解析】方法一:因为向量在向量上的投影向量为||cos A· =2cos A·=-2,则cos A=-, 因为A∈[0,π],所以A=. 方法二:如图作BO⊥AC,交CA的延长线于点O, 由题可知向量在向量上的投影向量为, 即||=2||=2,因为||=2, 所以∠BAO=,所以∠BAC=. 14.(10分)如图,在△OAB中,P为线段AB上一点,则=x+y. (1)若=,求x,y的值; 【解析】(1)若=,则=+,故x=y=. (2)若=3,||=4,||=2,且与的夹角为60°,求·的值. 【解析】(2)因为||=4,||=2,∠BOA=60°, 所以∠OBA=90°,||=2. 又因为=3,所以||=. 所以||==,cos∠OPB=. 设与的夹角为θ,所以与的夹角θ的余弦值为-. 所以·=||||cos θ=-3. 15.(10分)如图,扇形AOB的弧的中点为M,动点C,D分别在OA,OB上,且OC=BD,OA=1, ∠AOB=120°. (1)若点D是线段OB上靠近点O的四等分点,用,表示向量; 【解析】(1)由已知可得=,四边形OAMB是菱形,则=+, 所以=-=-(+)=--. (2)求·的取值范围. 【解析】(2)设||=||=x(0≤x≤1), 因为=+=+x,=+=+(1-x), 所以·=(+x)·[+(1-x)] =+x·+(1-x)·+x(1-x)·=(x-)2+, 所以当x=时,·取得最小值,最小值为, 当x=0或x=1时,·取得最大值,最大值为.所以·的取值范围为[,]. 【创新拓展练】 16.(5分)正五角星是一个非常优美的几何图形,且与黄金分割有着密切的联系.在如图所示的 正五角星ABCDE中,AB=6,O是该正五角星的中心,则·= (　　) A.-18　 B.-12　 C.12　 D.18 【解析】选A.如图,连接OD交AB于点F,则F是AB的中点且OD⊥AB, 由题意可得·=-· =-||||cos∠OAB=-|||| =-||2=-18. $ 五　向量的数量积(1) (时间:45分钟　分值:100分) 【基础全面练】 1.(5分)在△ABC中,∠C=90°,BC=AB,则与的夹角是 (　　) A.30°　 B.60°　 C.120°　 D.150° 【解析】选C.如图,作向量=, 则∠BAD是与的夹角. 在△ABC中,因为∠ACB=90°,BC=AB, 所以∠ABC=60°.所以∠BAD=120°. 2.(5分)已知向量a,b满足|a|=2,|b|=,且a与b的夹角为30°,那么a·b等于 (　　) A.1　 B.　 C.3　 D.3 【解析】选C.a·b=|a||b|cos θ=2××cos 30°=3. 3.(5分)已知非零向量a,b满足a·b=-3,|a|=1,则b在a方向上的投影向量为 (　　) A.-6a　 B.-3a C.3a　 D.-3b 【解析】选B.b在a方向上的投影向量为·=-3a. 4.(5分)已知|a|=1,|b|=,且a⊥b,则|a+b|= (　　) A.　 B.　 C.2　 D.2 【解析】选B.由题意得a·b=0,|a+b|====. 5.(5分)若单位向量a,b满足|3a+2b|=.则a,b的夹角为 (　　) A.　 B.　 C.　 D. 【解析】选C.由题意得,|a|=|b|=1,由|3a+2b|=得9a2+12a·b+4b2=7, 即9+12a·b+4=7,所以a·b=-,设a与b的夹角为θ,所以cos θ==-,又θ∈[0,π],所以θ=. 6.(5分)(2025·宁波高一检测)已知向量a,b满足|a|=2,|b|=1,|a-b|=2,则a在b方向上的投影向量是 (　　) A.a B.a C.b D.b 【解析】选D.因为向量a,b满足|a|=2,|b|=1,|a-b|=2, 所以(a-b)2=|a-b|2=a2-2a·b+b2=|a|2-2a·b+|b|2=4, 解得a·b=, 所以a在b方向上的投影向量是b=b. 7.(5分)在正方形ABCD中,向量与向量的夹角是　π　.(用弧度制表示)  【解析】向量与向量的夹角是∠ACB的补角,而∠ACB=,故<,>=π. 8.(5分)(2025·重庆高一检测)在☉O中,弦AB长为2,·=　2　.  【解析】过O作OC⊥AB于点C,则点C为AB的中点, ·=||||cos∠BAO=||·||=2. 9.(5分)设向量a,b的夹角的余弦值为,且|a|=1,a·b=1,则|b|=　3　.  【解析】向量a,b的夹角的余弦值为,所以cos<a,b>=,因为a·b=1,所以a·b=|a|·|b|·cos<a,b>=|b|=1,解得|b|=3. 10.(10分)已知|a|=2|b|=2,e是与b方向相同的单位向量,且向量a在向量b方向上的投影向量为-e. (1)求a与b的夹角θ; 【解析】(1)由题意知|a|=2,|b|=1.又a在b方向上的投影向量为|a|cos θ e=-e, 所以cos θ=-,又θ∈[0,π],所以θ=. (2)求a·b. 【解析】(2)由(1)知θ=,所以a·b=|a||b|cos θ=-1. 【综合应用练】 11.(5分)已知|a|=5,|b|=4,与b同向的单位向量为e,若a在b上的投影向量为-e,则a与b的夹角θ= (　　) A.60°　 B.120°　 C.135°　 D.150° 【解析】选B.因为a在b上的投影向量为·=·e=-e, 所以=-,即=-, 解得cos θ=-,由0°≤θ≤180°知,θ=120°. 12.(5分)(2025·辽阳高一检测)若单位向量a,b,c满足a·b=-,b·c=,则a·c= (　　) A.0　 B. C.0或-　 D.0或- 【解析】选D.因为a,b,c为单位向量, 所以|a|=|b|=|c|, 又a·b=-,b·c=, 即a·b=|a||b|cos<a,b>=-, b·c=|b||c|cos<b,c>=, 即cos<a,b>=-,cos<b,c>=,又<a,b>∈[0,π],<b,c>∈[0,π],所以<a,b>=,<b,c>=, 则<a,c>=-=或<a,c>=+=, 所以a·c=|a||c|cos<a,c>=1×1×cos =0或a·c=|a||c|cos<a,c>=1×1×cos =-. 13.(5分)(2025·泉州高一检测)已知△ABC中,AB=2,AC=1,向量在向量上的投影向量为-2,则A=　　.  【解析】方法一:因为向量在向量上的投影向量为||cos A·=2cos A·=-2,则cos A=-, 因为A∈[0,π],所以A=. 方法二:如图作BO⊥AC,交CA的延长线于点O, 由题可知向量在向量上的投影向量为, 即||=2||=2,因为||=2, 所以∠BAO=,所以∠BAC=. 14.(10分)如图,在△OAB中,P为线段AB上一点,则=x+y. (1)若=,求x,y的值; 【解析】(1)若=,则=+,故x=y=. (2)若=3,||=4,||=2,且与的夹角为60°,求·的值. 【解析】(2)因为||=4,||=2,∠BOA=60°, 所以∠OBA=90°,||=2. 又因为=3,所以||=. 所以||==, cos∠OPB=. 设与的夹角为θ, 所以与的夹角θ的余弦值为-. 所以·=||||cos θ=-3. 15.(10分)如图,扇形AOB的弧的中点为M,动点C,D分别在OA,OB上,且OC=BD,OA=1, ∠AOB=120°. (1)若点D是线段OB上靠近点O的四等分点,用,表示向量; 【解析】(1)由已知可得=,四边形OAMB是菱形,则=+, 所以=-=-(+)=--. (2)求·的取值范围. 【解析】(2)设||=||=x(0≤x≤1), 因为=+=+x, =+=+(1-x), 所以·=(+x)·[+(1-x)]=+x·+(1-x)·+x(1-x)·=(x-)2+, 所以当x=时,·取得最小值,最小值为, 当x=0或x=1时,·取得最大值,最大值为. 所以·的取值范围为[,]. 【创新拓展练】 16.(5分)正五角星是一个非常优美的几何图形,且与黄金分割有着密切的联系.在如图所示的正五角星ABCDE中,AB=6,O是该正五角星的中心,则·= (　　) A.-18　 B.-12　 C.12　 D.18 【解析】选A.如图,连接OD交AB于点F,则F是AB的中点且OD⊥AB, 由题意可得·=-· =-||||cos∠OAB=-|||| =-||2=-18. 17.(5分)如果向量a,b的夹角为θ,我们就称a×b为向量a与b的“向量积”,a×b还是一个向量,它的长度为|a×b|=|a||b|sin θ,如果|a|=10,|b|=2,a·b=-12,则|a×b|= (　　) A.-16　 B.16　 C.-20　 D.20 【解析】选B.由于|a×b|=|a||b|sin θ,|a|=10,|b|=2,a·b=-12, 则a·b=|a||b|cos θ=10×2cos θ=-12, 则cos θ=-, 所以sin θ=,则|a×b|=|a||b|sin θ=10×2×=16. - 1 - 学科网（北京）股份有限公司 $