01 章末过关检测卷(一) (第六章 平面向量及其应用)(Word版+PPT版)-【满分思维】2025-2026学年高中数学必修第二册（人教A版）

章末过关检测卷(一)(第六章) (120分钟　150分) 一、单选题(每小题5分,共40分) 1.已知向量=(2,1),=(0,-1),则||= (　　) 　　　　　　　　　　　　　　　 A.2　 B.3　 C.　 D.2 【解析】选A.根据题意,=+=(0,-1)+(2,1)=(2,0),所以||==2. 2.已知向量a=(1,2),b=(3,-2λ),若a∥(2a-b),则λ= (　　) A.-3　 B.-1　 C.1　 D.3 【解析】选A.由a=(1,2),b=(3,-2λ)可得,2a-b=2(1,2)-(3,-2λ)=(-1,4+2λ), 因为a∥(2a-b),所以4+2λ=-2,解得λ=-3. 3.(2025·重庆高一检测)已知向量a与b满足|a|=2,|b|=,且a与b的夹角为,则|a-2b|= (　　) A.3　 B.　 C.2　 D. 【解析】选C.由题意得:a·b=|a|·|b|cos =2×=3, 所以|a-2b|====2. 4.(2025·株洲高一检测)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,S为△ABC的面积,若4S=a2+b2-c2,则C= (　　) A.　 B.　 C.　 D. 【解析】选B.将S=absin C代入已知条件,得到4S=2absin C=a2+b2-c2,则sin C==cos C,则tan C=1,则C=. 5.如图,在矩形ABCD中,AB=3,BC=4,E为AD上一点,·=0.若=λ+μ,则λ+μ的值为 (　　) A.　 B.　 C.　 D. 【解析】选C.由题意,建立如图所示平面直角坐标系, 因为AB=3,BC=4,则B(0,0),A(0,3),C(4,0),所以=(0,3),=(4,-3),设E的坐标为(a,3),则=(a,3), 因为·=0,所以4a-9=0,解得a=. 因为=λ+μ, 所以(,3)=λ(0,3)+μ(4,0), 所以,解得,则λ+μ=. 6.已知△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若bcos C+ccos B=b,且a=ccos B,则△ABC是 (　　) A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形 【解析】选D.bcos C+ccos B=b⇒sin Bcos C+sin Ccos B=sin B⇒sin(B+C)=sin B, 即sin A=sin B,故a=b, a=ccos B⇒sin A=sin Ccos B⇒sin(B+C)=sin Ccos B⇒sin Bcos C+cos Bsin C=sin Ccos B⇒sin Bcos C=0, 因为B∈(0,π),所以sin B≠0,故cos C=0, 因为C∈(0,π),所以C=,所以△ABC为等腰直角三角形. 7.(2025·芜湖高一检测)某数学兴趣小组在探测河对岸的塔高AB的实践活动中,选取与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D(如图所示).现测得∠BCD=70°,∠BDC=80°,CD=20 m,在点C,D测得塔顶A的仰角分别为45°,60°,则塔高AB约为 (　　) (精确到0.1 m,参考数据:≈1.73) A.11.6 m　 B.34.6 m C.38.4 m　 D.48.6 m 【解析】选B.设塔高AB为x m,由在点C,D测得塔顶A的仰角分别为45°,60°, 可得CB=x,BD=x,由∠BCD=70°,∠BDC=80°,可得∠CBD=30°, 在△BCD中,由余弦定理可得CD2=BC2+DB2-2BC·DBcos∠CBD, 所以400=x2+x2-2×x×x×, 所以400=x2,解得x=20≈20×1.73=34.6(m). 8.《周易·系辞》曰:易有太极,是生两仪,两仪生四象,四象生八卦.如图是根据八卦图抽象而得的正八边形ABCDEFGH与其内部的圆O,其中AB=2,圆O的直径MN为,O为正八边形的中心,P为正八边形边上的动点,则·的最小值为 (　　) A.+2　 B.+2 C.+2　 D.+2 【解析】选B.如图,过O点作OP0⊥BC交BC于P0, 则由正八边形的对称性可知OP0为OP的最小值, 则·=(+)·(+) =(+)·(-)=-=||2-,所以最小值为O-,OP0的长度解法提供以下三种: 方法一:延长P0O交GF于Q,连接BG,CF,AD,HE,BG,AD交于点R,由正八边形的对称性显然有P0Q=BG=CF=AD=HE,且易得△ABR为等腰直角三角形. 依题可知AB=2,所以BR=,BG=2+2. P0Q=BG=2OP0=2+2,所以OP0=1+, 所以最小值为O-=(1+)2-=3+2-=+2. 方法二:在△OBC中,∠BOC==,设OB=OC=a, 由余弦定理得cos∠BOC==,解得a2==4+2, 所求最小值为O-=a2-()2-=+2. 方法三:由tan∠P0OC=tan ==-1,(或1=tan =tan 2×=解得), 由tan∠P0OC===-1,解得O=(1+)2=3+2, 所求最小值为O-=+2. 二、多选题(每小题6分,共18分,全部选对得6分,选对但不全的得部分分,有选错的得0分) 9.(2025·三明高一检测)下列说法中正确的是 (　　) A.已知向量a,b,c,若a∥b,b∥c,则a∥c B.已知非零向量a,b,“a⊥b”是“a·b=0”的充要条件 C.若A,B,P是直线l上不同的三点,点O在直线l外,=m+(m-2)(m∈R),那么m= D.已知非零向量a,b,“a·b>0”是“a,b夹角为锐角”的必要不充分条件 【解析】选BD.对于A,当b=0时,满足a∥b,b∥c,而a与c不一定平行,所以A错误; 对于B,当a⊥b时,a·b=|a||b|cos =0,而当a·b=0时,a·b=|a||b|cos<a,b>=0, 因为a,b为非零向量,所以cos<a,b>=0, 因为<a,b>∈[0,π],所以<a,b>=,所以a⊥b, 所以“a⊥b”是“a·b=0”的充要条件,所以B正确; 对于C,由=m+(m-2)(m∈R),得=m(-)+(m-2), 所以(1-m)=-m+(m-2), 若m=1,则+=0,则O在直线AB上,不合题意,所以m≠1,所以=+, 因为A,B,P是直线l上不同的三点,点O在直线l外,所以+=1,即-=1,得m=3,所以C错误; 对于D,a,b为非零向量,若a,b夹角为锐角,则a·b>0,而当a·b>0时,则|a|·|b|cos<a,b>>0,所以cos<a,b>>0, 因为<a,b>∈[0,π],所以<a,b>=0或<a,b>为锐角,所以“a·b>0”是“a,b夹角为锐角”的必要不充分条件,所以D正确. 10.已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,下列说法正确的是 (　　) A.若sin A>sin B,则A>B B.若△ABC是边长为2的等边三角形,则·=2 C.若acos A=bcos B,则△ABC是等腰三角形 D.若a=,BC的中线AD长为1,则bc的最大值为 【解析】选AD.对于A,因为sin A>sin B,则由正弦定理=可得, =>1,所以a>b,即A>B,故A正确; 对于B,·=2×2×cos =2×2×(-)=-2,故B错误; 对于C,由正弦定理,得a=2Rsin A,b=2Rsin B, 因为acos A=bcos B, 所以sin Acos A=sin Bcos B, 所以sin 2A=sin 2B,所以2A=2B,或2A+2B=π,所以A=B,或A+B=, 所以△ABC是等腰三角形或直角三角形,故C错误; 对于D,如图所示,AD=1,因为a=,D为BC的中点,所以BD=CD=, 在△ABC中,cos C==, 在△ACD中,cos C===,所以=, 化简得b2+c2=,因为b2+c2≥2bc,当且仅当b=c时取等号, 所以2bc≤,即bc≤,所以bc的最大值为,故D正确. 11.(2025·烟台高一检测)已知△ABC为斜三角形,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且c=2asin B,则下列说法正确的是 (　　) A.+=2　　 B.+的最小值为2 C.若C=,则a2+b2=2ab D.若+=,则C= 【解析】选AC.A.由正弦定理及c=2asin B, 得sin C=2sin Asin B, 因为sin C=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B, 所以sin Acos B+cos Asin B=2sin Asin B, 两边都除以cos Acos B,得 tan A+tan B=2tan Atan B, 整理得+=2,故A项正确; B.若+的最小值为2,则此时a=b,可得A=B, 结合+=2,得tan A=tan B=1, 此时A=B=,可得C=,与△ABC为斜三角形矛盾,故B项不正确; C.若C=,由正弦定理===c,得2c2=, 结合sin C=2sin Asin B,可得 2c2==2ab,可得c2=ab, 由余弦定理得 c2=a2+b2-2abcos =a2+b2-ab, 因此,a2+b2-ab=ab,整理得 a2+b2=2ab,故C项正确; D.+===+2cos C =+2cos C=2sin C+2cos C, 若+=,则2sin C+2cos C=, 可得sin C+cos C=,即sin(C+)=, 结合C为三角形的内角,可知C+=或C+=,所以C=或,故D项不正确. 三、填空题(每小题5分,共15分) 12.若向量a=(-1,2),b=(3,4),则a在b上的投影向量的坐标为　(,)　.  【解析】设a,b的夹角为θ,则a在b上的投影向量的坐标为|a|cos θ·==(3,4)=(,). 13.(2025·滁州高一检测)已知向量a,b满足|a+b|=|a-b|=|a|,则a与b-a的夹角为　　.  【解析】|a+b|=|a-b|⇒|a+b|2=|a-b|2⇒2a·b=-2a·b⇒a·b=0, cos<a,b-a>===-,则a与b-a的夹角为. 14.在△ABC中,AB=2AC,D为边BC的中点,∠A的平分线交BC于点E,若△ADE的面积为1,则△ABC的面积为　6　,DE的最小值为　　.  【解析】在△ABC中,设A,B,C对应的边分别为a,b,c,因为D为BC的中点,所以DC=. 因为AE为∠BAC的平分线,AB=2AC,所以==2,EC==, 所以DE=DC-EC=,因为S△ADE=S△ABC=1,所以S△ABC=6. 在△ABC中,,所以, 因为a2=b2+c2-2bccos A=+-= ==27tan +≥18, 当且仅当tan =时,等号成立,所以a≥3,所以DE≥. 四、解答题(共77分) 15.(13分)(2025·淄博高一检测)设两个向量a,b满足a=(2,0),b=(,). (1)求a+b方向的单位向量; 【解析】(1)由已知a+b=(2,0)+(,)=(,),所以|a+b|==, 由a+b方向的单位向量为, 所以=(,), 即a+b方向的单位向量为(,). (2)若向量2ta+7b与向量a+tb反向,求实数t的值. 【解析】(2)方法一:设2ta+7b=k(a+tb)(k<0),即2ta+7b=ka+ktb, 则,得t=±,得t=-(正值舍去). 方法二:2ta+7b=(4t+,),a+tb=(2+,), 由平行,令(4t+)=(2+),得t2=,由反向,得t=-. 16.(15分)已知a,b,c分别为锐角△ABC内角A,B,C的对边,sin B-cos B=1. (1)求B; 【解析】(1)因为sin B-cos B=1,即sin B=1+cos B, 所以2sin cos =2cos2, 又B∈(0,),所以∈(0,),所以tan =,所以=,B=. (2)若sin C=cos B,△ABC的面积为3+,求边c的长. 【解析】(2)由(1)得sin C=cos B=,又C∈(0,),所以C=,则sin A=sin(B+C)=sin Bcos C+cos Bsin C=, 由正弦定理得==,所以b=c, 则S△ABC=bcsin A=c2×=3+,解得c=2. 17.(15分)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知cos2==. (1)求A; 【解析】(1)因为cos2==, 由正弦定理得1+cos A=,化简得sin B+cos Asin B=sin Acos B-sin C, 又因为sin C=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B,所以sin B=-2cos Asin B, 由于0<B<π,所以sin B>0则cos A=-,即A=120°. (2)若D为BC上一点,AD平分∠BAC,且AD=,BC=,求△ABC的面积. 【解析】(2)如图所示, 因为S△ABC=S△ABD+S△ACD, 所以bcsin 120°=c·ADsin 60°+b·ADsin 60°,即b+c=2bc, 由余弦定理知a2=b2+c2-2bccos 120°=b2+c2+bc. 即(b+c)2-bc=5,所以4(bc)2-bc-5=0,解得bc=或-1(舍去), 所以S△ABC=bcsin∠BAC=. 18.(17分)△ABC中,a,b,c分别为角A,B,C的对边,且b+c=2asin(C+). (1)求角A; 【解析】(1)因为b+c=2asin(C+)=2a(sin Ccos +cos Csin )=asin C+acos C, 由正弦定理得:sin B+sin C=sin Asin C+sin Acos C, sin B=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C, 所以cos Asin C+sin C=sin Asin C, 因为sin C>0,所以cos A+1=sin A, 即2cos2=2sin cos , 因为0<<,所以cos >0, 所以cos =sin ,所以tan =, 所以=,即A=. (2)若△ABC的内切圆面积为π,求△ABC的面积S的最小值. 【解析】(2)由题意知△ABC内切圆的半径为r,则πr2=π,解得r=1. 如图,内切圆的圆心为I,M,N为切点,则AI=2,AM=AN=, 从而a=BC=BM+CN=BA-AM+CA-AN =BA+CA-AM-AN=c+b-2, 由余弦定理得a2=(b+c-2)2=b2+c2-bc, 整理化简并利用基本不等式得3bc+12=4(b+c)≥8,解得bc≥12或bc≤(舍去)(当a=b=c=2时取等号). 从而S=bcsin A≥×12×=3, 即△ABC面积S的最小值为3. 19.(17分)(2025·菏泽高一检测)“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出的一个问题.该问题是:“在一个三角形内求作一点,使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小.”意大利数学家托里拆利给出了解答,当△ABC的三个内角均小于时,使得∠AOB=∠BOC=∠COA=的点O即为费马点;当△ABC有一个内角大于或等于时,最大内角的顶点为费马点.试用以上知识解决下面问题:已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且cos 2B+cos 2C-cos 2A=1. (1)求A; 【解析】(1)已知在△ABC中, cos 2B+cos 2C-cos 2A=1, 即1-2sin2B+1-2sin2C-1+2sin2A=1, 故sin2A=sin2B+sin2C,由正弦定理可得a2=b2+c2,故△ABC为直角三角形,即A=. (2)若bc=2,设点P为△ABC的费马点,求·+·+·; 【解析】(2)由(1)知A=,所以△ABC的三个角都小于, 则由费马点定义可知:∠APB=∠BPC=∠APC=, 设||=x,||=y,||=z,由S△APB+S△BPC+S△APC=S△ABC得: xy·+yz·+xz·=×2, 整理得xy+yz+xz=, 则·+·+· =xy·(-)+yz·(-)+xz·(-) =-=-. (3)设点P为△ABC的费马点,PB+PC=tPA,求实数t的最小值. 【解析】(3)点P为△ABC的费马点,则∠APB=∠BPC=∠CPA=, 设PB=mPA,PC=nPA,PA=x,m>0,n>0,x>0,则由PB+PC=tPA得m+n=t; 由余弦定理得AB2=x2+m2x2-2mx2cos =(m2+m+1)x2, AC2=x2+n2x2-2nx2cos =(n2+n+1)x2, BC2=m2x2+n2x2-2mnx2cos =(m2+n2+mn)x2, 故由AC2+AB2=BC2得(n2+n+1)x2+(m2+m+1)x2=(m2+n2+mn)x2,即m+n+2=mn,而m>0,n>0,故m+n+2=mn≤()2, 当且仅当m=n,结合m+n+2=mn,解得m=n=1+时,等号成立, 又m+n=t,即有t2-4t-8≥0,解得t≥2+2或t≤2-2(舍去), 故实数t的最小值为2+2. - 12 - 学科网（北京）股份有限公司 $章末过关检测卷(一)(第六章) (120分钟　150分) √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 18 19 2.已知向量a=(1,2),b=(3,-2λ),若a∥(2a-b),则λ= (　　) A.-3　 B.-1　 C.1　 D.3 【解析】选A.由a=(1,2),b=(3,-2λ)可得,2a-b=2(1,2)-(3,-2λ)=(-1,4+2λ), 因为a∥(2a-b),所以4+2λ=-2,解得λ=-3. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 18 19 3.(2025·重庆高一检测)已知向量a与b满足|a|=2,|b|=,且a与b的夹角为,则|a-2b|=(　　) A.3　 B.　 C.2　 D. 【解析】选C.由题意得:a·b=|a|·|b|cos =2×=3, 所以|a-2b|====2. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 18 19 4.(2025·株洲高一检测)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,S为△ABC的面积,若4S=a2+b2-c2,则C= (　　) A.　 B.　 C.　 D. 【解析】选B.将S=absin C代入已知条件,得到4S=2absin C=a2+b2-c2,则sin C==cos C,则tan C=1,则C=. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 18 19 A.　 B.　 C.　 D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 18 19 【解析】选C.由题意,建立如图所示平面直角坐标系, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 18 19 6.已知△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若bcos C+ccos B=b,且a=ccos B,则△ABC是 (　　) A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形 【解析】选D.bcos C+ccos B=b⇒sin Bcos C+sin Ccos B=sin B⇒sin(B+C)=sin B, 即sin A=sin B,故a=b, a=ccos B⇒sin A=sin Ccos B⇒sin(B+C)=sin Ccos B⇒sin Bcos C+cos Bsin C=sin Ccos B⇒sin Bcos C=0, 因为B∈(0,π),所以sin B≠0,故cos C=0, 因为C∈(0,π),所以C=,所以△ABC为等腰直角三角形. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 18 19 7.(2025·芜湖高一检测)某数学兴趣小组在探测河对岸的塔高AB的实践活动中,选取与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D(如图所示).现测得∠BCD=70°,∠BDC=80°, CD=20 m,在点C,D测得塔顶A的仰角分别为45°,60°,则塔高AB约为 (　　) (精确到0.1 m,参考数据:≈1.73) A.11.6 m　 B.34.6 m C.38.4 m　 D.48.6 m 【解析】选B.设塔高AB为x m,由在点C,D测得塔顶A的仰角分别为45°,60°, 可得CB=x,BD=x,由∠BCD=70°,∠BDC=80°,可得∠CBD=30°, 在△BCD中,由余弦定理可得CD2=BC2+DB2-2BC·DBcos∠CBD, 所以400=x2+x2-2×x×x×, 所以400=x2,解得x=20≈20×1.73=34.6(m). √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 18 19 8.《周易·系辞》曰:易有太极,是生两仪,两仪生四象,四象生八卦.如图是根据八卦图抽象而得的正八边形ABCDEFGH与其内部的圆O,其中AB=2,圆O的直径MN为,O为正八边形的中心,P为正八边形边上的动点,则 · 的最小值为(　　) A.+2　 B.+2 C.+2　 D.+2 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 18 19 【解析】选B.如图,过O点作OP0⊥BC交BC于P0,   则由正八边形的对称性可知OP0为OP的最小值, 则 · =( + )·( + ) =( + )·( - )= - =| |2-,所以最小值为O-,OP0的长度解法提供以下三种: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 18 19 方法一:延长P0O交GF于Q,连接BG,CF,AD,HE,BG,AD交于点R,由正八边形的对称性显然有P0Q=BG=CF=AD=HE,且易得△ABR为等腰直角三角形. 依题可知AB=2,所以BR=,BG=2+2. P0Q=BG=2OP0=2+2,所以OP0=1+, 所以最小值为O-=(1+)2-=3+2-=+2. 方法二:在△OBC中,∠BOC==,设OB=OC=a, 由余弦定理得cos∠BOC==,解得a2==4+2, 所求最小值为O-=a2-()2-=+2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 18 19 方法三:由tan∠P0OC=tan ==-1,(或1=tan =tan 2×=解得), 由tan∠P0OC===-1,解得O=(1+)2=3+2, 所求最小值为O-=+2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 18 19 二、多选题(每小题6分,共18分,全部选对得6分,选对但不全的得部分分,有选错的得0分) 9.(2025·三明高一检测)下列说法中正确的是(　　) A.已知向量a,b,c,若a∥b,b∥c,则a∥c B.已知非零向量a,b,“a⊥b”是“a·b=0”的充要条件 C.若A,B,P是直线l上不同的三点,点O在直线l外, =m +(m-2) (m∈R),那么m= D.已知非零向量a,b,“a·b>0”是“a,b夹角为锐角”的必要不充分条件 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 18 19 10.已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,下列说法正确的是 (　　) A.若sin A>sin B,则A>B B.若△ABC是边长为2的等边三角形,则 · =2 C.若acos A=bcos B,则△ABC是等腰三角形 D.若a=,BC的中线AD长为1,则bc的最大值为 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 18 19 【解析】选AD.对于A,因为sin A>sin B,则由正弦定理=可得, =>1,所以a>b,即A>B,故A正确; 对于B, · =2×2×cos =2×2×(-)=-2,故B错误; 对于C,由正弦定理,得a=2Rsin A,b=2Rsin B, 因为acos A=bcos B, 所以sin Acos A=sin Bcos B, 所以sin 2A=sin 2B,所以2A=2B,或2A+2B=π,所以A=B,或A+B=, 所以△ABC是等腰三角形或直角三角形,故C错误; 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 18 19 对于D,如图所示,AD=1,因为a=,D为BC的中点,所以BD=CD=, 在△ABC中,cos C==, 在△ACD中,cos C===, 所以=, 化简得b2+c2=,因为b2+c2≥2bc,当且仅当b=c时取等号, 所以2bc≤,即bc≤,所以bc的最大值为,故D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 18 19 11.(2025·烟台高一检测)已知△ABC为斜三角形,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且c=2asin B,则下列说法正确的是 (　　) A.+=2　　 B.+的最小值为2 C.若C=,则a2+b2=2ab D.若+=,则C= √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 18 19 【解析】选AC.A.由正弦定理及c=2asin B, 得sin C=2sin Asin B, 因为sin C=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B, 所以sin Acos B+cos Asin B=2sin Asin B, 两边都除以cos Acos B,得 tan A+tan B=2tan Atan B, 整理得+=2,故A项正确; 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 18 19 B.若+的最小值为2,则此时a=b,可得A=B, 结合+=2,得tan A=tan B=1, 此时A=B=,可得C=,与△ABC为斜三角形矛盾,故B项不正确; C.若C=,由正弦定理===c,得2c2=, 结合sin C=2sin Asin B,可得 2c2==2ab,可得c2=ab, 由余弦定理得 c2=a2+b2-2abcos =a2+b2-ab, 因此,a2+b2-ab=ab,整理得 a2+b2=2ab,故C项正确; 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 18 19 D.+===+2cos C =+2cos C=2sin C+2cos C, 若+=,则2sin C+2cos C=, 可得sin C+cos C=,即sin(C+)=, 结合C为三角形的内角,可知C+=或C+=,所以C=或,故D项不正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 18 19 三、填空题(每小题5分,共15分) 12.若向量a=(-1,2),b=(3,4),则a在b上的投影向量的坐标为_________.  【解析】设a,b的夹角为θ,则a在b上的投影向量的坐标为|a|cos θ·==(3,4)=(,). 13.(2025·滁州高一检测)已知向量a,b满足|a+b|=|a-b|=|a|,则a与b-a的夹角为_______.  【解析】|a+b|=|a-b|⇒|a+b|2=|a-b|2⇒2a·b=-2a·b⇒a·b=0, cos<a,b-a>===-,则a与b-a的夹角为. 　(,)　 　　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 18 19 14.在△ABC中,AB=2AC,D为边BC的中点,∠A的平分线交BC于点E,若△ADE的面积为1,则△ABC的面积为______,DE的最小值为_______.  【解析】在△ABC中,设A,B,C对应的边分别为a,b,c,因为D为BC的中点,所以DC=. 因为AE为∠BAC的平分线,AB=2AC,所以==2,EC==, 所以DE=DC-EC=,因为S△ADE=S△ABC=1,所以S△ABC=6. 　6　 　　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 18 19 在△ABC中,,所以, 因为a2=b2+c2-2bccos A=+-= ==27tan +≥18, 当且仅当tan =时,等号成立,所以a≥3,所以DE≥. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 18 19 四、解答题(共77分) 15.(13分)(2025·淄博高一检测)设两个向量a,b满足a=(2,0),b=(,). (1)求a+b方向的单位向量; 【解析】(1)由已知a+b=(2,0)+(,)=(,),所以|a+b|==, 由a+b方向的单位向量为, 所以=(,), 即a+b方向的单位向量为(,) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 18 19 (2)若向量2ta+7b与向量a+tb反向,求实数t的值. 【解析】(2)方法一:设2ta+7b=k(a+tb)(k<0),即2ta+7b=ka+ktb, 则,得t=±,得t=-(正值舍去). 方法二:2ta+7b=(4t+,),a+tb=(2+,), 由平行,令(4t+)=(2+),得t2=,由反向,得t=-. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 18 19 16.(15分)已知a,b,c分别为锐角△ABC内角A,B,C的对边,sin B-cos B=1. (1)求B; 【解析】(1)因为sin B-cos B=1,即sin B=1+cos B, 所以2sin cos =2cos2, 又B∈(0,),所以∈(0,),所以tan =,所以=,B=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 18 19 (2)若sin C=cos B,△ABC的面积为3+,求边c的长. 【解析】(2)由(1)得sin C=cos B=,又C∈(0,),所以C=,则sin A=sin(B+C)=sin Bcos C+cos Bsin C=, 由正弦定理得==,所以b=c, 则S△ABC=bcsin A=c2×=3+,解得c=2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 18 19 17.(15分)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知cos2==. (1)求A; 【解析】(1)因为cos2==, 由正弦定理得1+cos A=,化简得sin B+cos Asin B=sin Acos B-sin C, 又因为sin C=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B,所以sin B=-2cos Asin B, 由于0<B<π,所以sin B>0则cos A=-,即A=120°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 18 19 (2)若D为BC上一点,AD平分∠BAC,且AD=,BC=,求△ABC的面积. 【解析】(2)如图所示, 因为S△ABC=S△ABD+S△ACD, 所以bcsin 120°=c·ADsin 60°+b·ADsin 60°,即b+c=2bc, 由余弦定理知a2=b2+c2-2bccos 120°=b2+c2+bc. 即(b+c)2-bc=5,所以4(bc)2-bc-5=0,解得bc=或-1(舍去), 所以S△ABC=bcsin∠BAC=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 18 19 18.(17分)△ABC中,a,b,c分别为角A,B,C的对边,且b+c=2asin(C+). (1)求角A; 【解析】(1)因为b+c=2asin(C+)=2a(sin Ccos +cos Csin )=asin C+acos C, 由正弦定理得:sin B+sin C=sin Asin C+sin Acos C, sin B=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C, 所以cos Asin C+sin C=sin Asin C, 因为sin C>0,所以cos A+1=sin A, 即2cos2=2sin cos , 因为0<<,所以cos >0, 所以cos =sin ,所以tan =, 所以=,即A=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 18 19 (2)若△ABC的内切圆面积为π,求△ABC的面积S的最小值. 【解析】(2)由题意知△ABC内切圆的半径为r,则πr2=π,解得r=1. 如图,内切圆的圆心为I,M,N为切点,则AI=2,AM=AN=, 从而a=BC=BM+CN=BA-AM+CA-AN =BA+CA-AM-AN=c+b-2, 由余弦定理得a2=(b+c-2)2=b2+c2-bc, 整理化简并利用基本不等式得3bc+12=4(b+c)≥8,解得bc≥12或bc≤(舍去)(当a=b=c=2时取等号). 从而S=bcsin A≥×12×=3, 即△ABC面积S的最小值为3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 18 19 19.(17分)(2025·菏泽高一检测)“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出的一个问题.该问题是:“在一个三角形内求作一点,使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小.”意大利数学家托里拆利给出了解答,当△ABC的三个内角均小于时,使得∠AOB=∠BOC=∠COA=的点O即为费马点;当△ABC有一个内角大于或等于时,最大内角的顶点为费马点.试用以上知识解决下面问题:已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且cos 2B+cos 2C-cos 2A=1. (1)求A; 【解析】(1)已知在△ABC中, cos 2B+cos 2C-cos 2A=1, 即1-2sin2B+1-2sin2C-1+2sin2A=1, 故sin2A=sin2B+sin2C,由正弦定理可得a2=b2+c2,故△ABC为直角三角形,即A=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 18 19 (3)设点P为△ABC的费马点,PB+PC=tPA,求实数t的最小值. 【解析】(3)点P为△ABC的费马点,则∠APB=∠BPC=∠CPA=, 设PB=mPA,PC=nPA,PA=x,m>0,n>0,x>0,则由PB+PC=tPA得m+n=t; 由余弦定理得AB2=x2+m2x2-2mx2cos =(m2+m+1)x2, AC2=x2+n2x2-2nx2cos =(n2+n+1)x2, BC2=m2x2+n2x2-2mnx2cos =(m2+n2+mn)x2, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 18 19 故由AC2+AB2=BC2得(n2+n+1)x2+(m2+m+1)x2=(m2+n2+mn)x2, 即m+n+2=mn,而m>0,n>0,故m+n+2=mn≤()2, 当且仅当m=n,结合m+n+2=mn,解得m=n=1+时,等号成立, 又m+n=t,即有t2-4t-8≥0,解得t≥2+2或t≤2-2(舍去), 故实数t的最小值为2+2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 18 19 一、单选题(每小题5分,共40分) 1.已知向量=(2,1),=(0,-1),则||= (　　) 　　　　　　　　　　　　　　　 A.2　 B.3　 C.　 D.2 【解析】选A.根据题意,=+=(0,-1)+(2,1)=(2,0),所以||==2. 5.如图,在矩形ABCD中,AB=3,BC=4,E为AD上一点,·=0.若=λ+μ,则λ+μ的值为 (　　) 因为AB=3,BC=4,则B(0,0),A(0,3),C(4,0),所以=(0,3),=(4,-3),设E的坐标为(a,3),则=(a,3), 因为·=0,所以4a-9=0,解得a=. 因为=λ+μ, 所以(,3)=λ(0,3)+μ(4,0), 所以,解得,则λ+μ=. 【解析】选BD.对于A,当b=0时,满足a∥b,b∥c,而a与c不一定平行,所以A错误; 对于B,当a⊥b时,a·b=|a||b|cos =0,而当a·b=0时,a·b=|a||b|cos<a,b>=0, 因为a,b为非零向量,所以cos<a,b>=0, 因为<a,b>∈[0,π],所以<a,b>=,所以a⊥b, 所以“a⊥b”是“a·b=0”的充要条件,所以B正确; 对于C,由=m+(m-2)(m∈R),得=m(-)+(m-2), 所以(1-m)=-m+(m-2), 若m=1,则+=0,则O在直线AB上,不合题意,所以m≠1,所以=+, 因为A,B,P是直线l上不同的三点,点O在直线l外,所以+=1,即-=1,得m=3,所以C错误; 对于D,a,b为非零向量,若a,b夹角为锐角,则a·b>0,而当a·b>0时,则|a|·|b|cos<a,b>>0,所以cos<a,b>>0, 因为<a,b>∈[0,π],所以<a,b>=0或<a,b>为锐角,所以“a·b>0”是“a,b夹角为锐角”的必要不充分条件,所以D正确. (2)若bc=2,设点P为△ABC的费马点,求·+·+·; 【解析】(2)由(1)知A=,所以△ABC的三个角都小于, 则由费马点定义可知:∠APB=∠BPC=∠APC=, 设||=x,||=y,||=z,由S△APB+S△BPC+S△APC=S△ABC得: xy·+yz·+xz·=×2, 整理得xy+yz+xz=, 则·+·+· =xy·(-)+yz·(-)+xz·(-) =-=-. $