04 章末过关检测卷(四) (第九章 统计)(Word版+PPT版)-【满分思维】2025-2026学年高中数学必修第二册（人教A版）

章末过关检测卷(四)(第九章) (120分钟　150分) 一、单选题(每小题5分,共40分) 1.为了解某中学高一年级600名学生的身高情况,抽查了其中100名学生的身高进行统计分析.下列叙述错误的是 (　　) A.以上调查属于全面调查 B.每名学生的身高是总体的一个个体 C.100名学生的身高是总体的一个样本 D.600名学生的身高是总体 【解析】选A.以上调查属于抽样调查,A选项说法错误,符合题意. 2.①一次数学考试中,某班有12人的成绩在100分以上,30人的成绩在90~100分,12人的成绩低于90分,现从中抽取9人了解有关考试题目难度的情况;②运动会的工作人员为参加4×100 m接力赛的6支队伍安排跑道.针对这两件事,恰当的抽样方法分别为 (　　) A.分层随机抽样,简单随机抽样 B.简单随机抽样,简单随机抽样 C.简单随机抽样,分层随机抽样 D.分层随机抽样,分层随机抽样 【解析】选A.①中,考试成绩在不同分数段之间的同学有明显的差异,用分层随机抽样比较恰当;②中,总体包含的个体较少,用简单随机抽样比较恰当. 3.采用分层随机抽样的方法抽取一个容量为45的样本,高一年级被抽取20人,高三年级被抽取10人,高二年级共有300人,则这个学校共有高中学生的人数为 (　　) A.1 350　 B.675　 C.900　 D.450 【解析】选C.由题意可得抽样比为=,所以学生总数为45÷=900,即这个学校共有高中学生900人. 4.已知一组数据为85,87,88,90,92,则这组数据的第60百分位数为 (　　) A.87.5　 B.88　 C.89　 D.91 【解析】选C.5×60%=3,因为3为整数,故选取88和90的平均数作为第60百分位数,=89. 5.将某市参加高中数学建模竞赛的学生成绩分成5组:[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100],并整理得到频率分布直方图(如图所示).现按成绩运用分层随机抽样的方法抽取100位同学进行学习方法的问卷调查,则成绩在区间[70,80)内应抽取的人数为 (　　) A.10　 B.20　 C.30　 D.35 【解析】选D.依题意成绩在[70,80)内的频率为0.035×10=0.35,所以[70,80)内应抽取0.35×100=35(人). 6.已知甲、乙两组数据(已按从小到大的顺序排列):甲组:27,28,39,40,m,50;乙组:24,n,34,43,48,52.若这两组数据的第30百分位数、第80百分位数分别相等,则= (　　) A.　 B.　 C.　 D. 【解析】选A.因为30%×6=1.8,大于1.8的比邻整数为2,所以第30百分位数为n=28,80%×6=4.8,大于4.8的比邻整数为5,所以第80百分位数为m=48,所以==. 7.某学校在校学生有2 000人,为了增强学生的体质,学校举行了跑步和登山比赛,每人都参加且只参加其中一项比赛,高一、高二、高三年级参加跑步的人数分别为a,b,c,且a∶b∶c=2∶5∶3,全校参加登山的人数占总人数的.为了了解学生对本次比赛的满意程度,按分层随机抽样的方法从中抽取一个容量为200的样本进行调查,则应从高三年级参加跑步的学生中抽取 (　　) A.15人　 B.30人 C.40人　 D.45人 【解析】选D.由题意,可知全校参加跑步的人数为2 000×=1 500,所以a+b+c=1 500. 因为a∶b∶c=2∶5∶3,所以c=1 500×=450.因为按分层随机抽样的方法从中抽取一个容量为200的样本,所以应从高三年级参加跑步的学生中抽取的人数为450×=45. 8.某班统计一次数学测验的平均分与方差,计算完毕以后才发现有位同学的卷子还未登记分,只好重算一次.已知原平均分和原方差分别为,s2,新平均分和新方差分别为,,若此同学的得分恰好为,则 (　　) A.=,s2= B.=,s2< C.=,s2> D.<,s2= 【解析】选C.设这个班有n个同学,得分分别为a1,a2,…,ai,…,an,第i个同学的得分没登记(ai=), 第一次计算时总分为(n-1),方差为s2=·[(a1-)2+…+(ai-1-)2+(ai+1-)2+…+(an-)2]. 第二次计算时,平均数==, 方差=[(a1-)2+…+(ai-1-)2+(ai+1-)2+…+(an-)2+(-)2]=s2,故s2>. 二、多选题(每小题6分,共18分,全部选对得6分,选对但不全的得部分分,有选错的得0分) 9.对下面三个事件最适宜采用的抽样方法判断正确的是 (　　) ①从某工厂生产的2 500只冰墩墩中抽取500只进行质量检验; ②在一次诗词朗读比赛中,有10人的成绩在91~100分,40人的成绩在81~90分,10人的成绩低于80分,现在从中抽取12人的成绩了解有关情况; ③运动会服务人员为参加400 m决赛的6名同学安排跑道. A.①②适宜采用分层随机抽样 B.②③适宜采用简单随机抽样 C.②适宜采用分层随机抽样 D.③适宜采用简单随机抽样 【解析】选CD.①从某工厂生产的2 500只冰墩墩中抽取500只进行质量检验,总体没有明显差异,不满足分层随机抽样的方法;②总体由差异明显且互不重叠的几部分组成,若要从中抽取12人的成绩了解有关情况,适合采用分层随机抽样的方法;③运动会服务人员为参加400 m决赛的6名同学安排跑道,具有随机性,适合用简单随机抽样. 10.新中国成立以来,我国共进行了7次人口普查,这7次人口普查的城乡人口数据如图所示.根据该图数据判断,下列选项中正确的是 (　　) A.乡村人口数均高于城镇人口数 B.城镇人口比重的极差是50.63% C.城镇人口数达到最高峰是第7次 D.和前一次相比,城镇人口比重增量最大的是第6次 【解析】选BC.2020年,城镇人口数高于乡村人口数,故A项错误;城镇人口比重的极差为63.89%-13.26%=50.63%,故B项正确;城镇人口数最高峰为2020年,即第7次,故C项正确;和前一次相比,第6次普查,城镇人口比重增量为49.68%-36.22%=13.46%,第7次普查,城镇人口比重增量为63.89%-49.68%=14.21%,则城镇人口比重增量最大的是第7次,故D项错误. 11.为了增强大学生的环保意识,加强对“碳中和”概念的宣传,某公益组织分别在A,B两所大学随机选取10名学生进行碳中和问题测试(满分100分),这20名学生得分的折线图如图所示,关于这两所学校被选取的学生的得分,下列结论正确的是 (　　) A.A校学生分数的平均分大于B校学生分数的平均分 B.A校学生分数的众数大于B校学生分数的众数 C.A校学生分数的中位数等于B校学生分数的中位数 D.A校学生分数的方差大于B校学生分数的方差 【解析】选ABD.由题图知,A校学生的测试分数从小到大依次为50,51,60,63,65,69,74,76,76,78,B校学生的测试分数从小到大依次为53,55,56,61,63,64,65,65,67,73,A校学生分数的平均分=×(50+51+60+63+65+69+74+76+76+78)=66.2,B校学生分数的平均分=×(53+55+56+61+63+64+65+65+67+73)=62.2,故A项正确;A校学生分数的众数为76,B校学生分数的众数为65,故B项正确;A校学生分数的中位数为=67,B校学生分数的中位数为=63.5,故C项错误;A校学生分数分布较为分散,相对于波动较大,B校学生分数分布较为集中,相对于波动较小,即A校学生分数的方差大于B校学生分数的方差,故D项正确. 三、填空题(每小题5分,共15分) 12.已知一组数据-3,2a,4,5-a,1,9的平均数为3(其中a∈R),则中位数为　3.5　.  【解析】因为数据-3,2a,4,5-a,1,9的平均数为3,所以-3+2a+4+5-a+1+9=3×6,解得a=2,所以这组数据分别是-3,4,4,3,1,9, 按从小到大排列分别为-3,1,3,4,4,9, 故中位数为=3.5. 13.某学校统计教师职称及年龄,中级职称教师的人数为50,其平均年龄为38岁,方差是2,高级职称的教师中有3人58岁,5人40岁,2人38岁,则该校中级职称教师和高级职称教师年龄的平均数和方差分别为　39　20.67　.  【解析】依题意,高级职称教师的平均年龄为==45(岁), 高级职称教师年龄的方差为=[3(58-45)2+5(40-45)2+2(38-45)2]=73, 所以该校中级职称教师和高级职称教师的平均年龄为=×38+×45≈39(岁), 该校中级职称教师和高级职称教师年龄的方差为s2=×[2+(38-39)2]+×[73+(45-39)2]≈20.67. 14.某校采用按比例分配的分层随机抽样的方法采集了高一、高二、高三年级学生的身高情况,部分调查数据如表: 项目 样本量 样本平均数 样本方差 高一 100 167 120 高二 100 170 150 高三 100 173 150 则总样本方差s2=　146　.  【解析】由题意知,总样本平均数为=×167+×170+×173=170, 所以总样本方差为s2=×[120+(167-170)2]+×[150+(170-170)2]+×[150+(173-170)2]=146. 四、解答题(共77分) 15.(13分)某校从参加某次知识竞赛的同学中,选取60名同学将其成绩(百分制,均为整数)分成[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]六组后,得到的部分频率分布直方图(如图),观察图形中的信息,回答下列问题: (1)求分数在[70,80)内的频率,并补全这个频率分布直方图; 【解析】(1)设分数在[70,80)内的频率为x,由频率分布直方图,得(0.01+0.015×2+0.025+0.005)×10+x=1,解得x=0.30, 所以补全后的频率分布直方图如图所示. (2)从频率分布直方图中,估计本次竞赛成绩的中位数. 【解析】(2)以中位数为准作一条垂直于横轴的直线,这条直线把频率分布直方图分成面积相等的两个部分,由频率分布直方图知中位数要把最高的小长方形三等分,所以中位数是70+10×=73,所以估计本次竞赛成绩的中位数为73. 16.(15分)某果园新采摘了一批苹果,从中随机抽取50个作为样本,称出它们的质量(单位:克),将质量按照[120,140),[140,160),[160,180),[180,200]进行分组,得到的频率分布直方图如图所示(同一组中的数据以该组区间的中点值为代表). (1)估计这批苹果的质量的平均数; 【解析】(1)由题意,得(0.016+0.015+a+0.009)×20=1,解得a=0.01. 50个苹果质量的平均数为x=0.2×130+0.3×150+0.32×170+0.18×190=159.6, 故估计这批苹果的质量的平均数约为159.6克. (2)该果园准备把这批苹果销售给一家超市,据市场行情,有两种销售方案: 方案一:所有苹果混在一起,价格为1元/千克; 方案二:将不同质量的苹果分开,质量不小于160克的苹果的价格为1.2元/千克,质量小于160克的苹果的价格为0.8元/千克,但果园需支付每1 000个苹果5元的分拣费. 分别估计并比较两种方案下果园销售10 000个苹果的收入. 【解析】(2)若采用方案一,估计销售收入约为159.6×10 000×=1 596(元). 若采用方案二,质量小于160克的苹果的总质量约为(10 000×0.2×130+10 000×0.3×150)×=710(千克), 质量不小于160克的苹果的总质量约为(10 000×0.32×170+10 000×0.18×190)×=886(千克), 估计销售收入约为710×0.8+886×1.2-50=1 581.2(元). 因此方案一的销售收入更高. 17.(15分)在某次高考体检中,某校随机选取了20名男生,测得其身高(单位:cm)如表所示. 序号 1 2 3 4 5 6 7 身高 168 167 165 186 a b c 序号 8 9 10 11 12 13 14 身高 d 178 158 166 178 175 169 序号 15 16 17 18 19 20 / 身高 172 177 182 169 168 176 / 由于统计时出现了失误,导致5,6,7,8号的身高数据丢失,现用字母a,b,c,d表示,但是已知这4人的身高都在区间(160,180)内(单位:cm),且这20组身高数据的平均数=172,标准差s=7. (1)为了更好地研究本校男生的身高数据,决定用这20个数据中在区间(-2s,+2s)内的数据,重新计算其平均数与方差,据此估计,该校男生身高的平均值与方差分别为多少(方差结果保留2位小数). 【解析】(1)由条件可得区间(-2s,+2s)=(158,186),在区间外的数据有158和186,去除后,剩余18个数据,其平均数为'=×(172×20-158-186)=172, 方差为s'2=×[s2×20-(158-172)2-(186-172)2]=×[72×20-(-14)2-142]=≈32.67. (2)说明区间(-2s,+2s)内的数据与原数据对比,有什么特点(主要用平均数与方差进行说明)? 附:s2=(xi-)2=(-n). 【解析】(2)区间(-2s,+2s)内的数据与原数据对比,有以下特点: ①(-2s,+2s)以内的数据占总数据个数的90%,说明该校90%左右的男生身高都在区间(158,186)以内; ②区间(-2s,+2s)内的数据与原数据对比,平均数没变,即平均身高没有变化; ③原数据的方差为49,而(-2s,+2s)以内的数据的方差约为32.67,方差变小了,说明去除两个极端数据后,数据更趋于集中,更具有代表性. 18.(17分)某个学校抽100名学生,进行某个学科调研测试的分数的频率分布表如下,满分100分. 分数段 [0, 60) [60, 70) [70, 80) [80, 90) [90, 100] 频率 0.1 0.3 m 0.13 0.07 (1)求表格中的m的数值; 【解析】(1)依题意可得0.1+0.3+m+0.13+0.07=1,解得m=0.4. (2)[80,90)分数段的学生成绩如下:86,80,81,80,81,82,84,87,87,89,84,83,85,求100名学生成绩的第86百分位数; 【解析】(2)由(1)可得0.1+0.3+0.4=0.8,即[0,80)内一共有100×0.8=80人,将[80,90)分数段的学生成绩按照从小到大的顺序排列为:80,80,81,81,82,83,84,84,85,86,87,87,89,所以整个数据从小到大第86个数为83、第87个数为84, 因为100×86%=86,所以成绩的第86百分位数为第86个和第87个数的平均数为=83.5. (3)[60,70)的学生成绩的方差为2.2,平均分为67,[70,80)的学生成绩的方差为3.1,平均分为76,求[60,80)分数段的学生的总体方差.(结果精确到0.01) 【解析】(3)由(1)得[60,70)内有100×0.3=30个数据,分别设为x1,x2,…,x30, [70,80)内有100×0.4=40个数据,分别设为y1,y2,…,y40, 依题意可得x1+x2+…+x30=30×67=2 010, ++…+=30×2.2=66, 即++…+-2×67(x1+x2+…+x30)+30×672=66, 所以++…+=2×67×2 010-30×672+66=134 736, y1+y2+…+y40=40×76=3 040, ++…+=40×3.1=124,++…+-2×76(y1+y2+…+y40)+40×762=124, 所以++…+=2×76×3 040-40×762+124=231 164, 所以[60,80)分数段的学生的总体平均数为 ==. [60,80)分数段的学生的总体方差为 [++…++++…+]=[(++…+)-2×(x1+x2+…+x30+y1+y2+…+y40)+(++…+)+70×]=[134 736-2××5 050+231 164+70×] =(134 736-20×+231 164+10×) =[134 736-10×+231 164]≈22.55. 19.(17分)中国独有的文书工具,即笔、墨、纸、砚,有文房四宝之名,起源于南北朝时期.其中宣纸“始于唐代,产于泾县”,因唐代泾县隶属宣州管理,故因地得名宣纸,宣纸按质量等级分为:正牌(优等品)、副牌(合格品)、废品三等.某公司生产的宣纸为纯手工制作,年产宣纸10 000刀(1刀=100张),该公司按照某种质量指标x给宣纸确定等级如表所示: x的范围 (44,48]∪ (52,56] (48,52] [0,44]∪ (56,60] 质量等级 副牌 正牌 废品 在该公司所生产的宣纸中随机抽取了一刀进行检验,得到频率分布直方图如图所示,已知每张正牌宣纸的利润为15元,副牌宣纸的利润为8元,废品的利润为-20元. (1)试估计该公司的年利润; 【解析】(1)由题中频率分布直方图得,一刀宣纸有正牌100×0.1×4=40(张),有副牌100×0.05×4×2=40(张),有废品100×0.025×4×2=20(张),所以该公司一刀宣纸的利润的估计值为40×15+40×8+(-20)×20=520(元), 所以估计该公司的年利润为520万元. (2)市场上有一种售价为100万元的机器可以改进宣纸的生产工艺,但这种机器的使用寿命只有一年,且只能提高宣纸的质量,不能增加宣纸的年产量.据调查,这种机器生产的宣纸的质量指标x如表所示: x的范围 (-2,+2) (-6,+6) 频率 0.682 7 0.954 5 其中为质量指标x的平均值,但是由于人们对传统手工工艺的认可,改进后的正牌和副牌宣纸的利润都将下降3元/张,该公司是否应该购买这种机器?请你为该公司提出合理建议,并说明理由.(同一组的数据用该组区间的中点值作代表) 【解析】(2)由题中频率分布直方图得, =42×0.025×4+46×0.05×4+50×0.1×4+54×0.05×4+58×0.025×4=50. 由题中表格数据可得一刀宣纸中正牌的张数估计为100×0.682 7=68.27, 废品的张数估计为100×(1-0.954 5)=4.55, 副牌的张数估计为100×(0.954 5-0.682 7)=27.18, 所以一刀宣纸的利润为68.27×12+27.18×5-4.55×20=864.14(元), 10 000刀宣纸的利润为10 000×864.14=8 641 400(元)=864.14(万元), 所以购买这种机器后该公司的年利润为864.14-100=764.14(万元), 因为764.14>520,所以建议该公司购买这种机器. - 12 - 学科网（北京）股份有限公司 $章末过关检测卷(四)(第九章) (120分钟　150分) 一、单选题(每小题5分,共40分) 1.为了解某中学高一年级600名学生的身高情况,抽查了其中100名学生的身高进行统计分析.下列叙述错误的是(　　) A.以上调查属于全面调查 B.每名学生的身高是总体的一个个体 C.100名学生的身高是总体的一个样本 D.600名学生的身高是总体 【解析】选A.以上调查属于抽样调查,A选项说法错误,符合题意. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 18 19 2.①一次数学考试中,某班有12人的成绩在100分以上,30人的成绩在90~100分,12人的成绩低于90分,现从中抽取9人了解有关考试题目难度的情况;②运动会的工作人员为参加4×100 m接力赛的6支队伍安排跑道.针对这两件事,恰当的抽样方法分别为 (　　) A.分层随机抽样,简单随机抽样 B.简单随机抽样,简单随机抽样 C.简单随机抽样,分层随机抽样 D.分层随机抽样,分层随机抽样 【解析】选A.①中,考试成绩在不同分数段之间的同学有明显的差异,用分层随机抽样比较恰当;②中,总体包含的个体较少,用简单随机抽样比较恰当. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 18 19 3.采用分层随机抽样的方法抽取一个容量为45的样本,高一年级被抽取20人,高三年级被抽取10人,高二年级共有300人,则这个学校共有高中学生的人数为 (　　) A.1 350　 B.675　 C.900　 D.450 【解析】选C.由题意可得抽样比为=,所以学生总数为45÷=900,即这个学校共有高中学生900人. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 18 19 4.已知一组数据为85,87,88,90,92,则这组数据的第60百分位数为 (　　) A.87.5　 B.88　 C.89　 D.91 【解析】选C.5×60%=3,因为3为整数,故选取88和90的平均数作为第60百分位数,=89. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 18 19 5.将某市参加高中数学建模竞赛的学生成绩分成5组:[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100],并整理得到频率分布直方图(如图所示).现按成绩运用分层随机抽样的方法抽取100位同学进行学习方法的问卷调查,则成绩在区间[70,80)内应抽取的人数为 (　　) A.10　 B.20　 C.30　 D.35 【解析】选D.依题意成绩在[70,80)内的频率为0.035×10=0.35,所以[70,80)内应抽取0.35×100=35(人). √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 18 19 6.已知甲、乙两组数据(已按从小到大的顺序排列):甲组:27,28,39,40,m,50;乙组:24,n,34,43,48,52.若这两组数据的第30百分位数、第80百分位数分别相等,则=(　　) A.　 B.　 C.　 D. 【解析】选A.因为30%×6=1.8,大于1.8的比邻整数为2,所以第30百分位数为n=28,80%×6=4.8,大于4.8的比邻整数为5,所以第80百分位数为m=48,所以==. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 18 19 7.某学校在校学生有2 000人,为了增强学生的体质,学校举行了跑步和登山比赛,每人都参加且只参加其中一项比赛,高一、高二、高三年级参加跑步的人数分别为a,b,c,且a∶b∶c=2∶5∶3,全校参加登山的人数占总人数的.为了了解学生对本次比赛的满意程度,按分层随机抽样的方法从中抽取一个容量为200的样本进行调查,则应从高三年级参加跑步的学生中抽取(　　) A.15人　 B.30人 C.40人　 D.45人 【解析】选D.由题意,可知全校参加跑步的人数为2 000×=1 500,所以a+b+c=1 500. 因为a∶b∶c=2∶5∶3,所以c=1 500×=450.因为按分层随机抽样的方法从中抽取一个容量为200的样本,所以应从高三年级参加跑步的学生中抽取的人数为450×=45. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 18 19 8.某班统计一次数学测验的平均分与方差,计算完毕以后才发现有位同学的卷子还未登记分,只好重算一次.已知原平均分和原方差分别为,s2,新平均分和新方差分别为,,若此同学的得分恰好为,则(　　) A.=,s2= B.=,s2< C.=,s2> D.<,s2= 【解析】选C.设这个班有n个同学,得分分别为a1,a2,…,ai,…,an,第i个同学的得分没登记(ai=), 第一次计算时总分为(n-1),方差为s2=·[(a1-)2+…+(ai-1-)2+(ai+1-)2+…+(an-)2]. 第二次计算时,平均数==, 方差=[(a1-)2+…+(ai-1-)2+(ai+1-)2+…+(an-)2+(-)2]=s2,故s2>. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 18 19 二、多选题(每小题6分,共18分,全部选对得6分,选对但不全的得部分分,有选错的得0分) 9.对下面三个事件最适宜采用的抽样方法判断正确的是(　　) ①从某工厂生产的2 500只冰墩墩中抽取500只进行质量检验; ②在一次诗词朗读比赛中,有10人的成绩在91~100分,40人的成绩在81~90分,10人的成绩低于80分,现在从中抽取12人的成绩了解有关情况; ③运动会服务人员为参加400 m决赛的6名同学安排跑道. A.①②适宜采用分层随机抽样 B.②③适宜采用简单随机抽样 C.②适宜采用分层随机抽样 D.③适宜采用简单随机抽样 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 18 19 【解析】选CD.①从某工厂生产的2 500只冰墩墩中抽取500只进行质量检验,总体没有明显差异,不满足分层随机抽样的方法;②总体由差异明显且互不重叠的几部分组成,若要从中抽取12人的成绩了解有关情况,适合采用分层随机抽样的方法;③运动会服务人员为参加400 m决赛的6名同学安排跑道,具有随机性,适合用简单随机抽样. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 18 19 10.新中国成立以来,我国共进行了7次人口普查,这7次人口普查的城乡人口数据如图所示.根据该图数据判断,下列选项中正确的是 (　　) A.乡村人口数均高于城镇人口数 B.城镇人口比重的极差是50.63% C.城镇人口数达到最高峰是第7次 D.和前一次相比,城镇人口比重增 量最大的是第6次 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 18 19 【解析】选BC.2020年,城镇人口数高于乡村人口数,故A项错误;城镇人口比重的极差为63.89%-13.26%=50.63%,故B项正确;城镇人口数最高峰为2020年,即第7次,故C项正确;和前一次相比,第6次普查,城镇人口比重增量为49.68%-36.22%=13.46%,第7次普查,城镇人口比重增量为63.89%-49.68%=14.21%,则城镇人口比重增量最大的是第7次,故D项错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 18 19 11.为了增强大学生的环保意识,加强对“碳中和”概念的宣传,某公益组织分别在A,B两所大学随机选取10名学生进行碳中和问题测试(满分100分),这20名学生得分的折线图如图所示,关于这两所学校被选取的学生的得分,下列结论正确的是 (　　) A.A校学生分数的平均分大于B校学生分数的平均分 B.A校学生分数的众数大于B校学生分数的众数 C.A校学生分数的中位数等于B校学生分数的中位数 D.A校学生分数的方差大于B校学生分数的方差 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 18 19 【解析】选ABD.由题图知,A校学生的测试分数从小到大依次为50,51,60,63,65,69,74,76,76,78,B校学生的测试分数从小到大依次为 53,55,56,61,63,64,65,65,67,73,A校学生分数的平均分 =×(50+51+60+63+65+69+74+76+76+78)=66.2,B校学生分数的平均分=×(53+55+56+61+63+64+65+65+67+73)=62.2,故A项正确;A校学生分数的众数为76,B校学生分数的众数为65,故B项正确;A校学生分数的中位数为=67,B校学生分数的中位数为=63.5,故C项错误;A校学生分数分布较为分散,相对于波动较大,B校学生分数分布较为集中,相对于波动较小,即A校学生分数的方差大于B校学生分数的方差,故D项正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 18 19 三、填空题(每小题5分,共15分) 12.已知一组数据-3,2a,4,5-a,1,9的平均数为3(其中a∈R),则中位数为 ________.  【解析】因为数据-3,2a,4,5-a,1,9的平均数为3,所以-3+2a+4+5-a+1+9=3×6,解得a=2,所以这组数据分别是-3,4,4,3,1,9, 按从小到大排列分别为-3,1,3,4,4,9, 故中位数为=3.5. 　3.5　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 18 19 13.某学校统计教师职称及年龄,中级职称教师的人数为50,其平均年龄为38岁,方差是2,高级职称的教师中有3人58岁,5人40岁,2人38岁,则该校中级职称教师和高级职称教师年龄的平均数和方差分别为______________.  【解析】依题意,高级职称教师的平均年龄为==45(岁), 高级职称教师年龄的方差为=[3(58-45)2+5(40-45)2+2(38-45)2]=73, 所以该校中级职称教师和高级职称教师的平均年龄为=×38+×45≈39(岁), 该校中级职称教师和高级职称教师年龄的方差为s2=×[2+(38-39)2]+×[73+(45-39)2]≈20.67. 　39　20.67　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 18 19 14.某校采用按比例分配的分层随机抽样的方法采集了高一、高二、高三年级学生的身高情况,部分调查数据如表: 则总样本方差s2=________.  【解析】由题意知,总样本平均数为=×167+×170+×173=170, 所以总样本方差为s2=×[120+(167-170)2]+×[150+(170-170)2]+×[150+(173-170)2]=146. 项目 样本量 样本平均数 样本方差 高一 100 167 120 高二 100 170 150 高三 100 173 150 　146　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 18 19 四、解答题(共77分) 15.(13分)某校从参加某次知识竞赛的同学中,选取60名同学将其成绩(百分制,均为整数)分成[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]六组后,得到的部分频率分布直方图(如图),观察图形中的信息,回答下列问题:   (1)求分数在[70,80)内的频率,并补全这个频率分布直方图; 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 18 19 【解析】(1)设分数在[70,80)内的频率为x,由频率分布直方图,得(0.01+0.015×2+0.025+0.005)×10+x=1,解得x=0.30, 所以补全后的频率分布直方图如图所示. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 18 19 (2)从频率分布直方图中,估计本次竞赛成绩的中位数. 【解析】(2)以中位数为准作一条垂直于横轴的直线,这条直线把频率分布直方图分成面积相等的两个部分,由频率分布直方图知中位数要把最高的小长方形三等分,所以中位数是70+10×=73,所以估计本次竞赛成绩的中位数为73. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 18 19 16.(15分)某果园新采摘了一批苹果,从中随机抽取50个作为样本,称出它们的质量(单位:克),将质量按照[120,140),[140,160),[160,180),[180,200]进行分组,得到的频率分布直方图如图所示(同一组中的数据以该组区间的中点值为代表). (1)估计这批苹果的质量的平均数; 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 18 19 【解析】(1)由题意,得(0.016+0.015+a+0.009)×20=1,解得a=0.01. 50个苹果质量的平均数为 x=0.2×130+0.3×150+0.32×170+0.18×190=159.6, 故估计这批苹果的质量的平均数约为159.6克. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 18 19 (2)该果园准备把这批苹果销售给一家超市,据市场行情,有两种销售方案: 方案一:所有苹果混在一起,价格为1元/千克; 方案二:将不同质量的苹果分开,质量不小于160克的苹果的价格为1.2元/千克,质量小于160克的苹果的价格为0.8元/千克,但果园需支付每1 000个苹果5元的分拣费. 分别估计并比较两种方案下果园销售10 000个苹果的收入. 【解析】(2)若采用方案一,估计销售收入约为159.6×10 000×=1 596(元). 若采用方案二,质量小于160克的苹果的总质量约为(10 000×0.2×130+10 000×0.3×150)×=710(千克), 质量不小于160克的苹果的总质量约为(10 000×0.32×170+10 000×0.18×190)×=886(千克), 估计销售收入约为710×0.8+886×1.2-50=1 581.2(元). 因此方案一的销售收入更高. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 18 19 17.(15分)在某次高考体检中,某校随机选取了20名男生,测得其身高(单位:cm)如表所示. 序号 1 2 3 4 5 6 7 身高 168 167 165 186 a b c 序号 8 9 10 11 12 13 14 身高 d 178 158 166 178 175 169 序号 15 16 17 18 19 20 / 身高 172 177 182 169 168 176 / 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 18 19 由于统计时出现了失误,导致5,6,7,8号的身高数据丢失,现用字母a,b,c,d表示,但是已知这4人的身高都在区间(160,180)内(单位:cm),且这20组身高数据的平均数=172,标准差s=7. (1)为了更好地研究本校男生的身高数据,决定用这20个数据中在区间(-2s,+2s)内的数据,重新计算其平均数与方差,据此估计,该校男生身高的平均值与方差分别为多少(方差结果保留2位小数). 【解析】(1)由条件可得区间(-2s,+2s)=(158,186),在区间外的数据有158和186,去除后,剩余18个数据,其平均数为'=×(172×20-158-186)=172, 方差为s'2=×[s2×20-(158-172)2-(186-172)2]=×[72×20-(-14)2-142]=≈32.67. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 18 19 (2)说明区间(-2s,+2s)内的数据与原数据对比,有什么特点(主要用平均数与方差进行说明)? 附:s2=(xi-)2=(-n). 【解析】(2)区间(-2s,+2s)内的数据与原数据对比,有以下特点: ①(-2s,+2s)以内的数据占总数据个数的90%,说明该校90%左右的男生身高都在区间(158,186)以内; ②区间(-2s,+2s)内的数据与原数据对比,平均数没变,即平均身高没有变化; ③原数据的方差为49,而(-2s,+2s)以内的数据的方差约为32.67,方差变小了,说明去除两个极端数据后,数据更趋于集中,更具有代表性. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 18 19 18.(17分)某个学校抽100名学生,进行某个学科调研测试的分数的频率分布表如下,满分100分. (1)求表格中的m的数值; 【解析】(1)依题意可得0.1+0.3+m+0.13+0.07=1,解得m=0.4. 分数段 [0,60) [60,70) [70,80) [80,90) [90,100] 频率 0.1 0.3 m 0.13 0.07 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 18 19 (2)[80,90)分数段的学生成绩如下:86,80,81,80,81,82,84,87,87,89,84,83,85,求100名学生成绩的第86百分位数; 【解析】(2)由(1)可得0.1+0.3+0.4=0.8,即[0,80)内一共有100×0.8=80人,将[80,90)分数段的学生成绩按照从小到大的顺序排列为:80,80,81,81,82,83,84,84,85,86,87,87,89,所以整个数据从小到大第86个数为83、第87个数为84, 因为100×86%=86,所以成绩的第86百分位数为第86个和第87个数的平均数为=83.5. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 18 19 (3)[60,70)的学生成绩的方差为2.2,平均分为67,[70,80)的学生成绩的方差为3.1,平均分为76,求[60,80)分数段的学生的总体方差.(结果精确到0.01) 【解析】(3)由(1)得[60,70)内有100×0.3=30个数据,分别设为x1,x2,…,x30, [70,80)内有100×0.4=40个数据,分别设为y1,y2,…,y40, 依题意可得x1+x2+…+x30=30×67=2 010, ++…+=30×2.2=66, 即++…+-2×67(x1+x2+…+x30)+30×672=66, 所以++…+=2×67×2 010-30×672+66=134 736, y1+y2+…+y40=40×76=3 040, ++…+=40×3.1=124,++…+-2×76(y1+y2+…+y40)+40×762=124, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 18 19 所以++…+=2×76×3 040-40×762+124=231 164, 所以[60,80)分数段的学生的总体平均数为 ==. [60,80)分数段的学生的总体方差为 [++…++++…+]=[(++…+)-2×(x1+x2+…+x30+y1+y2+…+y40)+(++…+)+70×]=[134 736-2××5 050+231 164+70×] =(134 736-20×+231 164+10×) =[134 736-10×+231 164]≈22.55. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 18 19 19.(17分)中国独有的文书工具,即笔、墨、纸、砚,有文房四宝之名,起源于南北朝时期.其中宣纸“始于唐代,产于泾县”,因唐代泾县隶属宣州管理,故因地得名宣纸,宣纸按质量等级分为:正牌(优等品)、副牌(合格品)、废品三等.某公司生产的宣纸为纯手工制作,年产宣纸10 000刀(1刀=100张),该公司按照某种质量指标x给宣纸确定等级如表所示: x的范围 (44,48]∪(52,56] (48,52] [0,44]∪(56,60] 质量等级 副牌 正牌 废品 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 18 19 在该公司所生产的宣纸中随机抽取了一刀进行检验,得到频率分布直方图如图所示,已知每张正牌宣纸的利润为15元,副牌宣纸的利润为8元,废品的利润为-20元. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 18 19 (1)试估计该公司的年利润; 【解析】(1)由题中频率分布直方图得,一刀宣纸有正牌100×0.1×4=40(张),有副牌100×0.05×4×2=40(张),有废品100×0.025×4×2=20(张),所以该公司一刀宣纸的利润的估计值为40×15+40×8+(-20)×20=520(元), 所以估计该公司的年利润为520万元. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 18 19 (2)市场上有一种售价为100万元的机器可以改进宣纸的生产工艺,但这种机器的使用寿命只有一年,且只能提高宣纸的质量,不能增加宣纸的年产量.据调查,这种机器生产的宣纸的质量指标x如表所示: 其中为质量指标x的平均值,但是由于人们对传统手工工艺的认可,改进后的正牌和副牌宣纸的利润都将下降3元/张,该公司是否应该购买这种机器?请你为该公司提出合理建议,并说明理由.(同一组的数据用该组区间的中点值作代表) x的范围 (-2,+2) (-6,+6) 频率 0.682 7 0.954 5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 18 19 【解析】(2)由题中频率分布直方图得, =42×0.025×4+46×0.05×4+50×0.1×4+54×0.05×4+58×0.025×4=50. 由题中表格数据可得一刀宣纸中正牌的张数估计为100×0.682 7=68.27, 废品的张数估计为100×(1-0.954 5)=4.55, 副牌的张数估计为100×(0.954 5-0.682 7)=27.18, 所以一刀宣纸的利润为68.27×12+27.18×5-4.55×20=864.14(元), 10 000刀宣纸的利润为10 000×864.14=8 641 400(元)=864.14(万元), 所以购买这种机器后该公司的年利润为864.14-100=764.14(万元), 因为764.14>520,所以建议该公司购买这种机器. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 18 19 $