2.课时跟踪检测练 48 第10章 四十八 概率的基本性质(Word版+PPT版)-【满分思维】2025-2026学年高中数学必修第二册（人教A版）

四十八　概率的基本性质 (时间:45分钟　分值:90分) 【基础全面练】 1.(5分)(2025·吉安高一检测)已知事件A,B是互斥事件,P(A)=,P()=,则P(A∪B)= (　　) A. B. C. D. 【解析】选C.P(B)=1-P(),P()=,P(B)=,事件A,B是互斥事件, P(A∪B)=P(A)+P(B)=+=. 2.(5分)(2025·钦州高一检测)掷两枚质地均匀的正方体骰子,记事件A=“第一枚骰子向上的点数为偶数”,事件B=“第二枚骰子向上的点数为奇数”,则 (　　) A.A与B互为对立事件 B.A与B为互斥事件 C.P(A)=P(B) D.A=B 【解析】选C.因为事件A,B可以同时发生,所以A与B不是互斥事件,也不是对立事件. 因为事件A,B包含的样本点不一样,所以事件A,B不相等.因为P(A)==,P(B)==,所以P(A)=P(B). 3.(5分)(2025·郴州高一检测)抛掷一枚质地均匀的骰子两次,得到的点数分别为m,n,则“m≠2n”的概率为 (　　) A. B. C. D. 【解析】选D.抛掷一枚质地均匀的骰子两次,共有36种样本点, 设A为抛掷一枚质地均匀的骰子两次,得到的点数分别为m,n,则“m=2n”, 则A中共有样本点3种:(2,1),(4,2),(6,3), P(A)==,所以P()=1-=, 故“m≠2n”的概率为. 4.(5分)(2025·武汉高一检测)已知事件A,B互斥,它们都不发生的概率为,且P(A)=3P(B),则P()= (　　) A. B. C. D. 【解析】选D.因为事件A,B互斥,它们都不发生的概率为,所以P(A)+P(B)=,又因为P(A)=3P(B),所以P(B)=,所以P()=. 5.(5分)(2025·宜昌高一检测)小明需要从甲城市编号为1~14的14个工厂或乙城市编号为15~32的18个工厂中选择一个去实习,设“小明在甲城市实习”为事件A,“小明在乙城市且编号为3的倍数的工厂实习”为事件B,则P(A+B)= (　　) A. B. C. D. 【解析】选B.由题意可知A,B两事件互斥,且P(A)=,P(B)=, 所以P(A+B)=P(A)+P(B)=+=. 6.(5分)(多选)若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人,这五人被录用的机会均等,则 (　　) A.“从甲、乙、丙、丁、戊五人中录用三人”的样本空间中共10个样本点 B.“甲、乙、丙至少有两人被录用”的概率为 C.“丁、戊至多有一人被录用”的概率为 D.“甲或乙被录用”的概率为 【解析】选ABD.由题意,从五位大学毕业生中录用三人,所有不同的可能结果有(甲,乙,丙),(甲,乙,丁),(甲,乙,戊),(甲,丙,丁),(甲,丙,戊),(甲,丁,戊),(乙,丙,丁),(乙,丙,戊),(乙,丁,戊),(丙,丁,戊),共10种,故A正确;其中“甲、乙、丙至少有两人被录用”的所有不同的可能结果有(甲,乙,丙),(甲,乙,丁),(甲,乙,戊),(甲,丙,丁),(甲,丙,戊),(乙,丙,丁),(乙,丙,戊),共7种,故“甲、乙、丙至少有两人被录用”的概率为,故B正确;其中“丁、戊至多有一人被录用”的对立事件“丁、戊两人都被录用”的所有不同的可能结果有(甲,丁,戊),(乙,丁,戊),(丙,丁,戊),共3种,故“丁、戊至多有一人被录用”的概率为1-=,故C错误;其中“甲或乙被录用”的对立事件“甲与乙都未被录用”的所有不同的可能结果只有(丙,丁,戊)这1种,故“甲或乙被录用”的概率为1-=,故D正确. 7.(5分)(多选)对于概率的基本性质,下列选项正确的是 (　　) A.如果事件A与事件B互斥,那么P(AB)=P(A)+P(B) B.如果事件A与事件B互为对立事件,那么P(A)+P(B)=1 C.如果A⊆B,则P(A)<P(B) D.P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B) 【解析】选BD.对于A,事件A与事件B互斥, 则P(AB)=0,A错误; 对于B,事件A与事件B互为对立事件,则P(A)+P(B)=1,B正确; 对于C,A⊆B,则P(A)≤P(B),C错误; 对于D,P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B),D正确. 8.(5分)(2025·商丘高一检测)抛掷一个质地均匀的正方体玩具(各面分别标有数字1,2,3,4,5,6),事件A表示“朝上一面的数是奇数”,事件B表示“朝上一面的数不超过3”,则P(A+B)=　　.  【解析】由题知,A,B不互斥, P(A)=,P(B)=, 由AB表示“朝上一面点数为1,3”, 则P(AB)=,所以P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)=+-=. 9.(5分)张三和李四下棋,张三获胜的概率是,和棋的概率是,则张三不输的概率为　　.  【解析】由题意得,张三不输的情况有:和棋或者获胜,所以张三不输的概率P=+=. 10.(10分)某校在元旦联欢会上设有一个抽奖游戏.抽奖箱中共有12张纸条,分别设置一等奖、二等奖、三等奖、无奖.从中任取一张,不中奖的概率为,中二等奖或三等奖的概率为. (1)任取一张,求中一等奖的概率; 【解析】(1)设事件A=“任取一张,中一等奖”,事件B=“任取一张,中二等奖”,事件C=“任取一张,中三等奖”,事件D=“任取一张,不中奖”,则事件A,B,C,D两两互斥. 由条件可得P(D)=,P(B∪C)=P(B)+P(C)=,由题意知P(A)=1-P(B∪C∪D)=1-P(B∪C)-P(D)=1--=, 所以任取一张,中一等奖的概率为. (2)若任取一张,中一等奖或二等奖的概率为,求中三等奖的概率. 【解析】(2)因为P(A∪B)=P(A)+P(B)=,且P(A)=,所以P(B)=-=. 又因为P(B∪C)=P(B)+P(C)=, 所以P(C)=, 所以任取一张,中三等奖的概率为. 【综合应用练】 11.(5分)(2025·金华高一检测)甲、乙两人玩跳棋游戏,约定由抛两次硬币的结果确定谁先走,若两次都正面向上,则甲先走,否则乙先走,已知甲先走的情况下,甲胜的概率为p,乙先走的情况下,甲胜的概率为p,则甲获胜的概率是 (　　) A.1-p B.p C.1-p D.p 【解析】选B.由题意可知:甲先走的概率为,则乙先走的概率为, 甲获胜有两种情形:甲先走且获胜;乙先走且甲获胜,则甲获胜的概率为×p+p=p. 12.(5分)(多选)某学校成立了数学、英语、音乐3个课外兴趣小组,3个小组分别有39,32,33个成员,一些成员参加了不止一个小组,具体情况如图所示.现随机选取一个成员,则 (　　) A.他只属于音乐小组的概率为 B.他属于至少2个小组的概率为 C.他只属于英语小组的概率为 D.他属于不超过2个小组的概率为 【解析】选BD.由题图知参加兴趣小组的共有6+7+8+8+10+10+11=60人,只属于数学、英语、音乐小组的人数分别为10,6,8人, 故他只属于音乐小组的概率为=, 只属于英语小组的概率为=, “至少2个小组”包含“2个小组”和“3个小组”两种情况, 故他属于至少2个小组的概率为=, “不超过2个小组”包含“1个小组”和“2个小组”, 其对立事件是“3个小组”.故他属于不超过2个小组的概率是P=1-=. 13.(5分)在财务审计中,我们可以用“本福特定律”来检验数据是否造假.本福特定律指出,在一组没有人为编造的自然生成的数据(均为正实数)中,首位非零的数字是1~9这九个事件不是等可能的.具体来说,随机变量X是一组没有人为编造的首位非零数字,则P(X=k)=loga(a>0且a≠1,k=1,2,…,9).则根据本福特定律,首位非零数字是1与首位非零数字是8的概率之比约为 　6∶1　.(lg 2≈0.301,lg 3≈0.477,保留至整数)  【解析】由概率和为1,知loga+loga+…+loga=loga10=1,可得a=10, 故所求概率之比为===≈≈6. 14.(10分)(2025·蚌埠高一检测)某班元旦联欢会上开展趣味抽奖小游戏,在不透明的盒子里装有标号为1,2的两个红球和标号为3,4,5的三个白球,五个小球除颜色外完全相同,参与游戏的同学从中任取1个,有放回地抽取2次,根据抽到小球的情形分别设置一、二、三等奖.班委会讨论了以下两种规则: 规则一:若抽到两个红球且标号和为偶数获一等奖,抽到两个白球且标号和为偶数获二等奖,抽到两个球标号和为奇数获三等奖,其余不获奖; 规则二:若抽到两个红球且标号和为奇数获一等奖,抽到两个球的标号和为5的倍数获二等奖,抽到两个球标号和为偶数获三等奖,其余不获奖. (1)请以标号(x,y)写出两次抽取小球的所有结果(其中x,y分别为第一、第二次抽到的小球标号); 【解析】(1)两次抽取小球的所有可能结果为 (1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5), (2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5), (3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5), (4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5), (5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5). (2)求两种规则下获得二等奖的概率; 【解析】(2)记规则一中获得二等奖为事件A2,规则二中获得二等奖为事件B2, 事件A2包含(3,3),(3,5),(4,4),(5,3),(5,5)五个样本点,故P(A2)==, 事件B2包含(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),(5,5)五个样本点,故P(B2)==. (3)请问哪种规则获奖概率更大?并说明理由. 【解析】(3)两种规则获奖概率一样大. 理由如下:记规则一获得一、二、三等奖分别为事件A1,A2,A3, 规则二获得一、二、三等奖分别为事件B1,B2,B3, 事件A1包含(1,1),(2,2)两个样本点, 所以P(A1)=; 事件A3包含(1,2),(1,4),(2,1),(2,3),(2,5),(3,2),(3,4),(4,1),(4,3),(4,5),(5,2),(5,4)十二个样本点,所以P(A3)=. 所以规则一获奖的概率P(A1+A2+A3)= P(A1)+P(A2)+P(A3)=++=. 事件B1包含(1,2),(2,1)两个样本点, 所以P(B1)=; 事件B3包含(1,1),(1,3),(1,5),(2,2),(2,4),(3,1),(3,3),(3,5),(4,2),(4,4),(5,1),(5,3),(5,5)(在B2中已经记录,不再计算)十二个样本点,所以P(B3)=. 所以规则二获奖的概率P(B1+B2+B3)=P(B1)+P(B2)+P(B3)=++=, 所以两种规则获奖的概率一样大. 【创新拓展练】 15.(5分)连续抛掷两次一枚质地均匀的硬币,分别记录下每次抛掷的结果,记事件A=“正面向上的次数大于反面向上的次数”,事件Bi=“第i次抛掷的结果为正面向上”(其中i=1,2),则有 (　　) A.事件A与事件B1是互斥事件 B.事件B1与事件B2是对立事件 C.P(A∪B1)>P(B1∪B2) D.P(A∩B1)=P(B1∩B2) 【解析】选D.根据题意,试验的结果有:正正,正反,反反,反正.则事件A包含:正正,事件B1:正正,正反,事件B2:正正,反正. 对于A,事件A与事件B1不是互斥事件,它们有可能同时发生,故A错误; 对于B,试验结果除了B1和B2外,还有其他结果如反反,所以事件B1与事件B2不是对立事件,故B错误; 对于C,P(A∪B1)=P(A)+P(B1)-P(AB1)=+-=, P(B1+B2)=P(B1)+P(B2)-P(B1B2)=+-=, 所以P(A∪B1)<P(B1+B2),故C错误; 对于D,P(A∩B1)=,P(B1∩B2)=, 所以P(A∩B1)=P(B1∩B2),故D正确. 【点睛】本题解题的关键是厘清事件A包含:正正,事件B1:正正,正反,事件B2:正正,反正. 16.(5分)有一种珍惜生物,对于其每个个体,每天都会发生如下事件:有p(0≤p≤1)的概率消失,有的概率保持不变,有的概率分裂成两个,对所有新产生的生物每天也会发生上述事件,假设开始只有一个这样的珍惜生物,若希望最终这种生物灭绝的概率不超过,则p的最大值为 　　.  【解析】设开始有一个珍稀生物、最终灭绝的概率为f(1)=q≤, 那么若开始有n个珍稀生物、最终灭绝的概率则为f(n)=qn, 由题意知f(1)=p+f(1)+f(2), 从而可得q=p+q+q2, 即(q-1)[(q+2)-1]=0, 因为q≤,所以q-1≠0,所以0=(q+2)-1≤·-1. 解得p≤,故p的最大值为. - 1 - 学科网（北京）股份有限公司 $四十八　概率的基本性质 (时间:45分钟　分值:90分) 【基础全面练】 1.(5分)(2025·吉安高一检测)已知事件A,B是互斥事件,P(A)=,P()=,则P(A∪B)=(　　) A. B. C. D. 【解析】选C.P(B)=1-P(),P()=,P(B)=,事件A,B是互斥事件, P(A∪B)=P(A)+P(B)=+=. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 选题清单 2.(5分)(2025·钦州高一检测)掷两枚质地均匀的正方体骰子,记事件A=“第一枚骰子向上的点数为偶数”,事件B=“第二枚骰子向上的点数为奇数”,则 (　　) A.A与B互为对立事件 B.A与B为互斥事件 C.P(A)=P(B) D.A=B 【解析】选C.因为事件A,B可以同时发生,所以A与B不是互斥事件,也不是对立事件. 因为事件A,B包含的样本点不一样,所以事件A,B不相等.因为P(A)==,P(B)==,所以P(A)=P(B). √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 选题清单 3.(5分)(2025·郴州高一检测)抛掷一枚质地均匀的骰子两次,得到的点数分别为m,n,则“m≠2n”的概率为 (　　) A. B. C. D. 【解析】选D.抛掷一枚质地均匀的骰子两次,共有36种样本点, 设A为抛掷一枚质地均匀的骰子两次,得到的点数分别为m,n,则“m=2n”, 则A中共有样本点3种:(2,1),(4,2),(6,3), P(A)==,所以P()=1-=, 故“m≠2n”的概率为. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 选题清单 4.(5分)(2025·武汉高一检测)已知事件A,B互斥,它们都不发生的概率为,且P(A)=3P(B),则P()=(　　) A. B. C. D. 【解析】选D.因为事件A,B互斥,它们都不发生的概率为,所以P(A)+P(B)=,又因为P(A)=3P(B),所以P(B)=,所以P()=. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 选题清单 5.(5分)(2025·宜昌高一检测)小明需要从甲城市编号为1~14的14个工厂或乙城市编号为15~32的18个工厂中选择一个去实习,设“小明在甲城市实习”为事件A,“小明在乙城市且编号为3的倍数的工厂实习”为事件B,则P(A+B)= (　　) A. B. C. D. 【解析】选B.由题意可知A,B两事件互斥,且P(A)=,P(B)=, 所以P(A+B)=P(A)+P(B)=+=. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 选题清单 6.(5分)(多选)若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人,这五人被录用的机会均等,则 (　　) A.“从甲、乙、丙、丁、戊五人中录用三人”的样本空间中共10个样本点 B.“甲、乙、丙至少有两人被录用”的概率为 C.“丁、戊至多有一人被录用”的概率为 D.“甲或乙被录用”的概率为 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 选题清单 【解析】选ABD.由题意,从五位大学毕业生中录用三人,所有不同的可能结果有(甲,乙,丙),(甲,乙,丁),(甲,乙,戊),(甲,丙,丁),(甲,丙,戊),(甲,丁,戊),(乙,丙,丁),(乙,丙,戊),(乙,丁,戊),(丙,丁,戊),共10种,故A正确;其中“甲、乙、丙至少有两人被录用”的所有不同的可能结果有(甲,乙,丙),(甲,乙,丁),(甲,乙,戊),(甲,丙,丁),(甲,丙,戊),(乙,丙,丁),(乙,丙,戊),共7种,故“甲、乙、丙至少有两人被录用”的概率为,故B正确;其中“丁、戊至多有一人被录用”的对立事件“丁、戊两人都被录用”的所有不同的可能结果有(甲,丁,戊),(乙,丁,戊),(丙,丁,戊),共3种,故“丁、戊至多有一人被录用”的概率为1-=,故C错误;其中“甲或乙被录用”的对立事件“甲与乙都未被录用”的所有不同的可能结果只有(丙,丁,戊)这1种,故“甲或乙被录用”的概率为1-=,故D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 选题清单 7.(5分)(多选)对于概率的基本性质,下列选项正确的是 (　　) A.如果事件A与事件B互斥,那么P(AB)=P(A)+P(B) B.如果事件A与事件B互为对立事件,那么P(A)+P(B)=1 C.如果A⊆B,则P(A)<P(B) D.P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B) √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 选题清单 【解析】选BD.对于A,事件A与事件B互斥, 则P(AB)=0,A错误; 对于B,事件A与事件B互为对立事件,则P(A)+P(B)=1,B正确; 对于C,A⊆B,则P(A)≤P(B),C错误; 对于D,P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B),D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 选题清单 8.(5分)(2025·商丘高一检测)抛掷一个质地均匀的正方体玩具(各面分别标 有数字1,2,3,4,5,6),事件A表示“朝上一面的数是奇数”,事件B表示“朝上一面 数不超过3”,则P(A+B)=______.  【解析】由题知,A,B不互斥, P(A)=,P(B)=, 由AB表示“朝上一面点数为1,3”, 则P(AB)=,所以P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)=+-=. 　　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 选题清单 9.(5分)张三和李四下棋,张三获胜的概率是,和棋的概率是,则张三不输的 概率为_______.  【解析】由题意得,张三不输的情况有:和棋或者获胜,所以张三不输的概 率P=+=. 　　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 选题清单 10.(10分)某校在元旦联欢会上设有一个抽奖游戏.抽奖箱中共有12张纸条,分别设置一等奖、二等奖、三等奖、无奖.从中任取一张,不中奖的概率为,中二等奖或三等奖的概率为. (1)任取一张,求中一等奖的概率; 【解析】(1)设事件A=“任取一张,中一等奖”,事件B=“任取一张,中二等奖”,事件C=“任取一张,中三等奖”,事件D=“任取一张,不中奖”,则事件A,B,C,D两两互斥.由条件可得P(D)=,P(B∪C)=P(B)+P(C)=,由题意知P(A)=1-P(B∪C∪D)=1-P(B∪C)-P(D)=1--=,所以任取一张,中一等奖的概率为. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 选题清单 (2)若任取一张,中一等奖或二等奖的概率为,求中三等奖的概率. 【解析】(2)因为P(A∪B)=P(A)+P(B)=,且P(A)=,所以P(B)=-=. 又因为P(B∪C)=P(B)+P(C)=, 所以P(C)=, 所以任取一张,中三等奖的概率为. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 选题清单 【综合应用练】 11.(5分)(2025·金华高一检测)甲、乙两人玩跳棋游戏,约定由抛两次硬币的结果确定谁先走,若两次都正面向上,则甲先走,否则乙先走,已知甲先走的情况下,甲胜的概率为p,乙先走的情况下,甲胜的概率为p,则甲获胜的概率是(　　) A.1-p B.p C.1-p D.p 【解析】选B.由题意可知:甲先走的概率为,则乙先走的概率为, 甲获胜有两种情形:甲先走且获胜;乙先走且甲获胜,则甲获胜的概率为×p+p=p. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 选题清单 12.(5分)(多选)某学校成立了数学、英语、音乐3个课外兴趣小组,3个小组分别有39,32,33个成员,一些成员参加了不止一个小组,具体情况如图所示.现随机选取一个成员,则 (　　) A.他只属于音乐小组的概率为 B.他属于至少2个小组的概率为 C.他只属于英语小组的概率为 D.他属于不超过2个小组的概率为 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 选题清单 【解析】选BD.由题图知参加兴趣小组的共有6+7+8+8+10+10+11=60人,只属于数学、英语、音乐小组的人数分别为10,6,8人, 故他只属于音乐小组的概率为=, 只属于英语小组的概率为=, “至少2个小组”包含“2个小组”和“3个小组”两种情况, 故他属于至少2个小组的概率为=, “不超过2个小组”包含“1个小组”和“2个小组”, 其对立事件是“3个小组”.故他属于不超过2个小组的概率是P=1-=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 选题清单 13.(5分)在财务审计中,我们可以用“本福特定律”来检验数据是否造假.本 福特定律指出,在一组没有人为编造的自然生成的数据(均为正实数)中,首 位非零的数字是1~9这九个事件不是等可能的.具体来说,随机变量X是一组 没有人为编造的首位非零数字,则P(X=k)=loga(a>0且a≠1,k=1,2,…,9). 则根据本福特定律,首位非零数字是1与首位非零数字是8的概率之比约为 _________.(lg 2≈0.301,lg 3≈0.477,保留至整数)  【解析】由概率和为1,知loga+loga+…+loga=loga10=1,可得a=10, 故所求概率之比为===≈≈6. 　6∶1　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 选题清单 14.(10分)(2025·蚌埠高一检测)某班元旦联欢会上开展趣味抽奖小游戏,在不透明的盒子里装有标号为1,2的两个红球和标号为3,4,5的三个白球,五个小球除颜色外完全相同,参与游戏的同学从中任取1个,有放回地抽取2次,根据抽到小球的情形分别设置一、二、三等奖.班委会讨论了以下两种规则: 规则一:若抽到两个红球且标号和为偶数获一等奖,抽到两个白球且标号和为偶数获二等奖,抽到两个球标号和为奇数获三等奖,其余不获奖; 规则二:若抽到两个红球且标号和为奇数获一等奖,抽到两个球的标号和为5的倍数获二等奖,抽到两个球标号和为偶数获三等奖,其余不获奖. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 选题清单 (1)请以标号(x,y)写出两次抽取小球的所有结果(其中x,y分别为第一、第二次抽到的小球标号); 【解析】(1)两次抽取小球的所有可能结果为 (1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5), (2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5), (3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5), (4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5), (5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 选题清单 (2)求两种规则下获得二等奖的概率; 【解析】(2)记规则一中获得二等奖为事件A2,规则二中获得二等奖为事件B2, 事件A2包含(3,3),(3,5),(4,4),(5,3),(5,5)五个样本点,故P(A2)==, 事件B2包含(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),(5,5)五个样本点,故P(B2)==. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 选题清单 (3)请问哪种规则获奖概率更大?并说明理由. 【解析】(3)两种规则获奖概率一样大. 理由如下:记规则一获得一、二、三等奖分别为事件A1,A2,A3, 规则二获得一、二、三等奖分别为事件B1,B2,B3, 事件A1包含(1,1),(2,2)两个样本点, 所以P(A1)=; 事件A3包含(1,2),(1,4),(2,1),(2,3),(2,5),(3,2),(3,4),(4,1),(4,3),(4,5),(5,2),(5,4)十二个样本点,所以P(A3)=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 选题清单 所以规则一获奖的概率P(A1+A2+A3)=P(A1)+P(A2)+P(A3)=++=. 事件B1包含(1,2),(2,1)两个样本点,所以P(B1)=; 事件B3包含 (1,1),(1,3),(1,5),(2,2),(2,4),(3,1),(3,3),(3,5),(4,2),(4,4),(5,1),(5,3),(5,5)(在B2中已经记录,不再计算)十二个样本点,所以P(B3)=. 所以规则二获奖的概率P(B1+B2+B3)=P(B1)+P(B2)+P(B3)=++=, 所以两种规则获奖的概率一样大. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 选题清单 【创新拓展练】 15.(5分)连续抛掷两次一枚质地均匀的硬币,分别记录下每次抛掷的结果,记事件A=“正面向上的次数大于反面向上的次数”,事件Bi=“第i次抛掷的结果为正面向上”(其中i=1,2),则有(　　) A.事件A与事件B1是互斥事件 B.事件B1与事件B2是对立事件 C.P(A∪B1)>P(B1∪B2) D.P(A∩B1)=P(B1∩B2) 【解析】选D.根据题意,试验的结果有:正正,正反,反反,反正.则事件A包含:正正,事件B1:正正,正反,事件B2:正正,反正. 对于A,事件A与事件B1不是互斥事件,它们有可能同时发生,故A错误; √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 选题清单 对于B,试验结果除了B1和B2外,还有其他结果如反反,所以事件B1与事件B2不是对立事件,故B错误; 对于C,P(A∪B1)=P(A)+P(B1)-P(AB1)=+-=, P(B1+B2)=P(B1)+P(B2)-P(B1B2)=+-=, 所以P(A∪B1)<P(B1+B2),故C错误; 对于D,P(A∩B1)=,P(B1∩B2)=,所以P(A∩B1)=P(B1∩B2),故D正确. 【点睛】本题解题的关键是厘清事件A包含:正正,事件B1:正正,正反,事件B2:正正,反正. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 选题清单 16.(5分)有一种珍惜生物,对于其每个个体,每天都会发生如下事件:有 p(0≤p≤1)的概率消失,有的概率保持不变,有的概率分裂成两个,对所 有新产生的生物每天也会发生上述事件,假设开始只有一个这样的珍惜生 物,若希望最终这种生物灭绝的概率不超过,则p的最大值为______.  　　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 选题清单 【解析】设开始有一个珍稀生物、最终灭绝的概率为f(1)=q≤, 那么若开始有n个珍稀生物、最终灭绝的概率则为f(n)=qn, 由题意知f(1)=p+f(1)+f(2), 从而可得q=p+q+q2, 即(q-1)[(q+2)-1]=0, 因为q≤,所以q-1≠0,所以0=(q+2)-1≤·-1. 解得p≤,故p的最大值为. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 选题清单 $