03 章末过关检测卷(三) (第八章 立体几何初步)(Word版+PPT版)-【满分思维】2025-2026学年高中数学必修第二册（人教A版）

章末过关检测卷(三)(第八章) (120分钟　150分) 一、单选题(每小题5分,共40分) 1.下列说法正确的是 (　　) A.多面体至少有3个面 B.有2个面平行,其余各面都是梯形的几何体是棱台 C.各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体 D.棱柱的侧棱相等,侧面是平行四边形 【解析】选D.一个多面体至少有4个面,如三棱锥有4个面,不存在有3个面的多面体,选项A错误; 反例如图1,选项B错误; 反例如图2,上、下底面是全等的菱形,各侧面是全等的正方形,它不是正方体,选项C错误; 根据棱柱的定义,选项D正确. 2.已知正三角形边长为4,用斜二测画法画出该三角形的直观图,则所得直观图的面积为 (　　) A. B. C. D.2 【解析】选C.如图所示,正三角形的边长为4,则高为4×sin 60°=2, 根据斜二测画法的知识,则直观图中三角形的高为h=,底边长为4, 所以直观图的面积为×4×=. 3.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,作截面EFGH(如图)分别交C1D1,A1B1,AB,CD于E,F,G,H,则四边形EFGH的形状为 (　　) A.平行四边形 B.菱形 C.矩形 D.梯形 【解析】选A.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,可得平面ABCD∥平面A1B1C1D1,且平面EFGH∩平面ABCD=GH,平面EFGH∩平面A1B1C1D1=EF, 所以EF∥GH,同理可证:EH∥FG, 所以四边形EFGH的形状一定为平行四边形. 4.(2025·天津高一检测)若圆锥的侧面积等于和它等高等底的圆柱的侧面积时,圆锥轴截面顶角的度数为 (　　) A.90° B.60° C.150° D.120° 【解析】选D.如图为圆锥的轴截面图形,设圆锥底面半径为r,母线长l, 则圆锥的高为,由圆锥的侧面积等于和它等高等底的圆柱的侧面积, 可得πrl=2πr,l=2, 解得=, 由图可知圆锥底面与母线所成的角为α(0°≤α≤90°),即∠ABD, 所以cos α=,得α=30°, 所以圆锥轴截面顶角的度数为180°-30°-30°=120°. 5.如图所示,三棱锥P-ABC中,平面ABC⊥平面PAB,PA=PB,AD=DB,则 (　　) A.PD⊂平面ABC B.PD∥平面ABC C.PD与平面ABC相交但不垂直 D.平面CPD⊥平面ABC 【解析】选D.对于选项A,B:因为P∉平面ABC,D∈平面ABC,所以PD∩平面ABC=D,故A,B错误; 对于选项C,D:因为PA=PB,AD=DB则PD⊥AB,又平面ABC⊥平面PAB,平面ABC∩平面PAB=AB,PD⊂平面PAB,可知PD⊥平面ABC,且PD⊂平面CPD,所以平面CPD⊥平面ABC,故C错误,D正确. 6.若一个正方体的八个顶点都在同一个球面上,则正方体与这个球的表面积之比为 (　　) A. B. C. D. 【解析】选C.设正方体的棱长为a,外接球的半径为R,则2R=a,故球的表面积为4πR2=π×(2R)2=3πa2,而正方体的表面积为6a2,故正方体与这个球的表面积之比为=. 7.已知a,b是异面直线,A,B是a上的两点,C,D是b上的两点,M,N分别是线段AC,BD的中点,则MN和a的位置关系是 (　　) A.异面　 B.平行 C.相交　 D.以上均有可能 【解析】选A.若MN与AB平行或相交,则MN与AB共面,设平面为α. 由题知C∈直线AM,D∈直线BN,所以C∈α,D∈α. 又A∈α,B∈α,所以a⊂α,b⊂α,与a,b异面矛盾. 故MN与AB异面,即MN与a异面. 8.(2025·北京高一检测)如图1,在矩形ABCD中,AD=,点E在AB边上,CE⊥DE且AE=1.如图2,将△ADE沿直线DE向上折起至A1位置,连接A1C.记二面角A-DE-A1的大小为θ,当θ∈(0,π)时,下面四个结论中错误的是 (　　) A.存在某个位置,使DA1⊥CE B.存在某个位置,使平面A1DE⊥平面A1EC C.存在某个位置,直线BE与平面A1DE所成角为60° D.存在某个位置,使平面A1DE与平面A1BC的交线与平面DEC平行 【解析】选D.对于A,当θ=时,平面A1DE⊥平面ABCD, 因为平面A1DE∩平面ABCD=DE,CE⊥DE,CE⊂平面ABCD,所以CE⊥平面A1DE, 因为A1D⊂平面A1DE,所以CE⊥A1D,故A正确; 对于B,当θ=时,由A可知CE⊥平面A1DE, 因为CE⊂平面A1EC,所以平面A1DE⊥平面A1EC,故B正确; 对于C,当θ=时,由A可知CE⊥平面A1DE, 在矩形ABCD中,BE∥DC, 已知直线BE与平面A1ED所成的角为∠CDE, 在Rt△ADE中,AE=1,AD=, 则tan∠ADE==,可得∠ADE=, 所以∠EDC=-∠ADE=,故C正确; 对于D,设平面A1DE∩平面A1BC=l,假设l∥平面ABCD, 因为平面ABCD∩平面A1DE=DE,l⊂平面A1DE,l∥平面ABCD, 所以l∥DE,同理l∥BC, 由图可知BC与DE不平行,则此与假设矛盾,故D错误. 二、多选题(每小题6分,共18分,全部选对得6分,选对但不全的得部分分,有选错的得0分) 9.a,b为不重合直线,β为平面,下列结论正确的是 (　　) A.若a⊥β,b⊥β,则a∥b B.若a∥β,b∥β,则a∥b C.若a∥β,b⊥β,则a⊥b D.若a∥β,b⊂β,则a∥b 【解析】选AC.若a⊥β,b⊥β,由直线与平面垂直的性质可得a∥b,故A正确; 若a∥β,b∥β,则a∥b或a与b相交或a与b异面,故B错误; 若b⊥β,则b垂直于β内的所有直线,b也垂直于平行于β的所有直线,又a∥β,所以a⊥b,故C正确; 若a∥β,b⊂β,则a∥b或a与b异面,故D错误. 10.如图是一个边长为2的正方体的平面展开图,在这个正方体中,下列说法中正确的是 (　　) A.直线AF与直线CN垂直 B.直线BM与直线CN相交 C.直线ME与直线CN平行 D.直线AB与直线CN异面 【解析】选AD.如图所示的正方体中,CN∥BE,AF⊥BE,故AF⊥CN,故A正确; 若直线BM与直线CN相交,则B,M,C,N四点共面,即点B在平面CMN内,不成立,故B错误; 因为CN∥BE,BE与ME相交,故直线ME与直线CN不平行,故C错误; AB∥MN,MN与CN不平行,故AB与CN不平行, 若AB与CN相交,则A,B,C,N四点共面,点N在平面ABC内,不成立, 故直线AB与直线CN异面,故D正确. 11.已知四面体ABCD的各个面都是全等的三角形,且AC=BC=3,AB=2,则下列选项正确的是 (　　) A.直线AB,CD所成的角为90° B.二面角C-AB-D的余弦值为 C.四面体ABCD的体积为 D.四面体外接球的直径为 【解析】选ABD.对于A,取AB的中点E,连接CE,DE, 由题意四面体ABCD的各个面都是全等的三角形, AC=BC=3,AB=2,可得AD=3,BD=3,所以CE⊥AB,DE⊥AB, 又CE∩DE=E,CE,DE⊂平面CDE,所以AB⊥平面CDE, 因为CD⊂平面CDE,所以AB⊥CD,所以AB,CD所成的角为90°,故A正确; 对于B,由A得CE⊥AB,DE⊥AB, 所以∠CED为二面角C-AB-D的平面角,在△CDE中,CE=DE=2,CD=2, 由余弦定理可得cos∠CED===,故B正确; 对于C,由B可得sin∠CED==, 由VA-BCD=VA-ECD+VB-ECD=2VA-ECD=2××2×2×sin∠CED×1=,故C不正确; 对于D,将四面体放入长方体中,如图可得长方体与三棱锥共球,所以外接球半径一样, 设外接球半径为r,所以2r==,故D正确. 三、填空题(每小题5分,共15分) 12.若正三棱柱的所有棱长均为4,则其体积为　16　.  【解析】正三棱柱的底面为边长为4的正三角形,其面积为×42×=4, 则正三棱柱的体积为4×4=16. 13.如图所示,ABCD-A1B1C1D1是长方体,AA1=a,∠BAB1=∠B1A1C1=30°,则AB与A1C1所成的角为　30°　,AA1与B1C所成的角为　45°　.  【解析】在长方体ABCD-A1B1C1D1中,∠BAB1=∠B1A1C1=30°, 因为AB∥A1B1,A1B1与A1C1所成的角,就是AB与A1C1所成的角, 所以AB与A1C1所成的角为30°. 因为AA1∥BB1,BB1与B1C所成的角就是AA1与B1C所成的角,连接AC,则AC∥A1C1, 所以∠BAC=30°, 因为AA1=a,∠BAB1=30°,所以AB=a, 所以BC=a,所以∠BB1C=45°, 所以AA1与B1C所成的角为45°. 14.如图所示,在三棱柱中,已知四边形ABCD和四边形AA'B'B都是矩形,平面AA'B'B⊥平面ABCD.若AA'=AD=2,则直线AB到平面DA'C的距离为　　.  【解析】如图,取B'C的中点E,连接BE, 因为四边形ABCD和四边形AA'B'B都是矩形, 所以AB⊥BC,AB⊥BB',又BC∩BB'=B, 所以AB⊥平面BCB',又BE⊂平面BCB', 所以AB⊥BE,又AB∥CD,所以CD⊥BE,AB∥平面DA'C, 因为AA'=AD,得BC=BB', 又E为B'C的中点,所以B'C⊥BE, 又CD⊥BE,CD∩B'C=C,CD,B'C⊂平面DCB'A', 所以BE⊥平面DCB'A', 所以直线AB到平面DA'C的距离即为BE的长, 因为平面AA'B'B⊥平面ABCD, 且平面AA'B'B∩平面ABCD=AB, BC⊥AB,BC⊂平面ABCD, 所以BC⊥平面ABB'A',又BB'⊂平面ABB'A', 所以BC⊥BB',在Rt△BCB'中,BC=BB'=2,所以BE=. 四、解答题(共77分) 15.(13分)已知长方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别为AA1和AB的中点. 求证:(1)D1,M,N,C四点共面; 【证明】(1)连接A1B(图略),因为M,N分别为AA1和AB的中点, 所以MN∥A1B,因为A1D1∥BC,A1D1=BC, 所以四边形A1BCD1为平行四边形, 所以A1B∥D1C,所以MN∥D1C, 所以MN与D1C确定一个平面, 所以M,N,C,D1四点共面. (2)D1M,DA,CN三线共点. 【证明】(2)因为MN∥D1C,且MN=D1C,所以直线D1M与CN必相交, 设D1M∩CN=K(图略),因为K∈D1M,D1M⊂平面AA1D1D, 所以K∈平面AA1D1D,又K∈CN,CN⊂平面ABCD, 所以K∈平面ABCD, 所以K是平面ABCD与平面AA1D1D的公共点, 又因为平面ABCD∩平面AA1D1D=AD, 所以K∈AD, 所以D1M,DA,CN三线共点. 16.(15分)如图所示的五面体中,棱AB,CD,EF相互平行,四边形ABEF是梯形.已知CD=EF,AD⊥平面ABEF,BE⊥AF. 求证:(1)DF∥平面BCE; 【证明】(1)因为AB,CD,EF相互平行,且CD=EF, 所以四边形CDFE是平行四边形, 所以DF∥CE, 因为DF⊄平面BCE,CE⊂平面BCE. 所以DF∥平面BCE. (2)平面ADF⊥平面BCE. 【证明】(2)因为AD⊥平面ABEF,BE⊂平面ABEF, 所以BE⊥AD, 因为BE⊥AF,AF∩AD=A,AF,AD⊂平面ADF, 所以BE⊥平面ADF, 因为BE⊂平面BCE, 所以平面ADF⊥平面BCE. 17.(15分)如图,在两块钢板上打孔,用钉帽呈半球形、钉身为圆柱形的铆钉(图1)穿在一起,在没有帽的一端锤打出一个帽,使得与钉帽的大小相等,铆合的两块钢板,成为某种钢结构的配件,其截面图如图2(单位:mm).(加工中不计损失) (1)若钉身长度是钉帽高度的3倍,求铆钉的表面积; 【解析】(1)由已知可得,铆钉为以r1=15 mm为半径的半球与圆柱的组合体. 由钉身长度是钉帽高度的3倍,可知圆柱的高为h=3r1=45 mm,圆柱底面半径为r2=8 mm. 由题图可知,铆钉的表面积等于半球的表面积加上圆柱的侧面积加上以r1=15 mm为半径的圆的面积. 半球的表面积为S1=×4π=×4π×152=450π(mm2),圆柱的侧面积为S2=2πr2h=2π×8×45=720π(mm2),圆的面积为S3=π=225π(mm2). 所以,铆钉的表面积S=S1+S2+S3=1 395π(mm2). (2)若每块钢板的厚度为10 mm,求钉身的长度(结果精确到1 mm). 【解析】(2)设钉身的长度为x,x>20,则钉身的体积V=πx=64πx. 由已知加工前后体积不变,加工后体积为钉身与钉帽体积之和,其中钉身长度为20,底面圆半径为r2=8,钉帽是以半径r1=15的半球. 所以V=π×20+π=1 280π+2 250π=3 530π(mm3). 所以64πx=3 530π,解得x≈55,满足条件. 所以钉身的长度约为55 mm. 18.(17分)如图,在多面体ABCDE中,DB⊥平面ABC,AE∥DB,2AE=BD=2,△ABC是边长为2的等边三角形. (1)证明:平面ECD⊥平面BCD; 【解析】(1)取BC的中点G,CD的中点F,连接FG,AG,易得FG∥BD,FG=BD, 因为DB⊥平面ABC,AG⊂平面ABC,所以AG⊥BD, 因为AG⊥BC,AG⊥BD,BD∩BC=B,BD,DC⊂平面BCD, 所以AG⊥平面DBC, 又因为AE∥BD∥FG,FG=BD,AE=BD,故AE=FG,AE∥FG, 所以四边形AGFE为平行四边形, 所以EF∥AG,所以EF⊥平面DBC,EF⊂平面CDE,故平面ECD⊥平面BCD. (2)求二面角D-EC-B的余弦值. 【解析】(2)连接BF,过F在平面DEC内作EC的垂线,垂足为H,连接HB. 因为EF⊥平面DBC,BF⊂平面DBC,所以BF⊥EF, 因为BC=BD,F为CD的中点,所以BF⊥CD, 又因为CD∩EF=F,CD,EF⊂平面CDE, 所以BF⊥平面EDC,CE⊂平面EDC,故BF⊥CE, 又FH⊥CE,BF∩FH=F,BF,FH⊂平面BFH,所以CE⊥平面BFH, 因为HB⊂平面BFH,故CE⊥BH, 所以∠FHB为二面角D-EC-B的平面角, 由题意得EC=EB=,CD=2, 所以BF=CD=, S△BCE=BC=CE·BH⇒×2=·BH, 故BH=, 在Rt△BFH中,FH==, 故cos∠FHB==. 所以二面角D-EC-B的平面角的余弦值为. 19.(17分)已知正四面体A-BCD的棱长为3,点E在棱CD上,点F在线段AE上,且BF⊥AE. (1)如图1,若点E在棱CD的中点处,求证:CD⊥平面ABE; 【解析】(1)由于E是CD的中点,结合正四面体的性质可得AE⊥CD,BE⊥CD, 又因为AE∩BE=E,AE,BE⊂平面ABE,所以CD⊥平面ABE; (2)如图2,若=2,求三棱锥B-CEF的体积; 【解析】(2)因为=2,所以DE=2EC=2, 在△ACE中,由余弦定理可得AE==, 同理BE=, 在△ABE中,E到AB的距离为=, 所以由等面积法可得BF·AE=AB,代入数据得BF=, 所以EF==, 所以==, 所以F到底面BCD的距离为A到底面BCD的距离的, △BCE的面积是△BCD面积的, 所以==, 如图,取CD的中点记为H,AG为棱锥的高, AH==, BG==, 所以AG==, 则VA-BCD=×(×3×3sin 60°)×=, 所以VB-CEF=VF-BCE=VA-BCD==. (3)如图3,当点E在棱CD上移动时,求线段CF长度的最小值. 【解析】(3)因为BF⊥AE, 所以点F在以AB为直径的球面上,取AB的中点为O, 因为点F在△ACD中, 由于一个平面截一个球所得的是一个圆面, 所以点F的轨迹为一段圆弧, 取CD的中点为M,连接AM,在AM上取一点N,使得AN=2NM, 在等边△ACD中,易得点N为△ACD的中心, 所以在正四面体A-BCD中,易得BN⊥平面ACD, 取AN的中点为Q,连接OQ,则OQ∥BN,则OQ⊥平面ACD, 由于一个平面截一个球所得的是一个圆面,且球心与这个圆面的圆心所在直线与该平面垂直, 所以点F的轨迹是以点Q为圆心的一段圆弧, 在△ACD中,AC=3,CM=, 所以AM=,则AN=, 所以BN==, 所以OQ=, 所以圆Q的半径r==, 而CQ==, 所以CF≥CQ-r=, 故CF长度的最小值为. - 11 - 学科网（北京）股份有限公司 $章末过关检测卷(三)(第八章) (120分钟　150分) 一、单选题(每小题5分,共40分) 1.下列说法正确的是(　　) A.多面体至少有3个面 B.有2个面平行,其余各面都是梯形的几何体是棱台 C.各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体 D.棱柱的侧棱相等,侧面是平行四边形 【解析】选D.一个多面体至少有4个面,如三棱锥有4个面,不存在有3个面的多面体,选项A错误; 反例如图1,选项B错误; 反例如图2,上、下底面是 全等的菱形,各侧面是全等 的正方形,它不是正方体,选项C错误;根据棱柱的定义,选项D正确. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 18 19 2.已知正三角形边长为4,用斜二测画法画出该三角形的直观图,则所得直观图的面积为 (　　) A. B. C. D.2 【解析】选C.如图所示,正三角形的边长为4, 则高为4×sin 60°=2,根据斜二测画法的知识, 则直观图中三角形的高为h=,底边长为4, 所以直观图的面积为×4×=. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 18 19 3.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,作截面EFGH(如图)分别交C1D1,A1B1,AB,CD于E,F,G,H,则四边形EFGH的形状为 (　　) A.平行四边形 B.菱形 C.矩形 D.梯形 【解析】选A.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,可得平面ABCD∥平面A1B1C1D1,且平面EFGH∩平面ABCD=GH,平面EFGH∩平面A1B1C1D1=EF, 所以EF∥GH,同理可证:EH∥FG, 所以四边形EFGH的形状一定为平行四边形. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 18 19 4.(2025·天津高一检测)若圆锥的侧面积等于和它等高等底的圆柱的侧面积时,圆锥轴截面顶角的度数为 (　　) A.90° B.60° C.150° D.120° 【解析】选D.如图为圆锥的轴截面图形,设圆锥底面半径为r,母线长l, 则圆锥的高为,由圆锥的侧面积等于和它等高等底的圆柱的侧面积, 可得πrl=2πr,l=2, 解得=,由图可知圆锥底面与母线所成的角 为α(0°≤α≤90°),即∠ABD,所以cos α=,得α=30°, 所以圆锥轴截面顶角的度数为180°-30°-30°=120°. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 18 19 5.如图所示,三棱锥P-ABC中,平面ABC⊥平面PAB,PA=PB,AD=DB,则 (　　) A.PD⊂平面ABC B.PD∥平面ABC C.PD与平面ABC相交但不垂直 D.平面CPD⊥平面ABC 【解析】选D.对于选项A,B:因为P∉平面ABC,D∈平面ABC,所以PD∩平面ABC=D,故A,B错误; 对于选项C,D:因为PA=PB,AD=DB则PD⊥AB,又平面ABC⊥平面PAB,平面ABC∩平面PAB=AB,PD⊂平面PAB,可知PD⊥平面ABC,且PD⊂平面CPD,所以平面CPD⊥平面ABC,故C错误,D正确. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 18 19 6.若一个正方体的八个顶点都在同一个球面上,则正方体与这个球的表面积之比为 (　　) A. B. C. D. 【解析】选C.设正方体的棱长为a,外接球的半径为R,则2R=a,故球的表面积为4πR2=π×(2R)2=3πa2,而正方体的表面积为6a2,故正方体与这个球的表面积之比为=. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 18 19 7.已知a,b是异面直线,A,B是a上的两点,C,D是b上的两点,M,N分别是线段AC,BD的中点,则MN和a的位置关系是 (　　) A.异面　 B.平行 C.相交　 D.以上均有可能 【解析】选A.若MN与AB平行或相交,则MN与AB共面,设平面为α. 由题知C∈直线AM,D∈直线BN,所以C∈α,D∈α. 又A∈α,B∈α,所以a⊂α,b⊂α,与a,b异面矛盾. 故MN与AB异面,即MN与a异面. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 18 19 8.(2025·北京高一检测)如图1,在矩形ABCD中,AD=,点E在AB边上,CE⊥DE且AE=1.如图2,将△ADE沿直线DE向上折起至A1位置,连接A1C.记二面角A-DE-A1的大小为θ,当θ∈(0,π)时,下面四个结论中错误的是(　　) A.存在某个位置,使DA1⊥CE B.存在某个位置,使平面A1DE⊥平面A1EC C.存在某个位置,直线BE与平面A1DE所 成角为60° D.存在某个位置,使平面A1DE与平面A1BC的交 线与平面DEC平行 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 18 19 【解析】选D.对于A,当θ=时,平面A1DE⊥平面ABCD, 因为平面A1DE∩平面ABCD=DE,CE⊥DE,CE⊂平面ABCD,所以CE⊥平面A1DE, 因为A1D⊂平面A1DE,所以CE⊥A1D,故A正确; 对于B,当θ=时,由A可知CE⊥平面A1DE, 因为CE⊂平面A1EC,所以平面A1DE⊥平面A1EC,故B正确; 对于C,当θ=时,由A可知CE⊥平面A1DE, 在矩形ABCD中,BE∥DC, 已知直线BE与平面A1ED所成的角为∠CDE, 在Rt△ADE中,AE=1,AD=, 则tan∠ADE==,可得∠ADE=, 所以∠EDC=-∠ADE=,故C正确; 对于D,设平面A1DE∩平面A1BC=l,假设l∥平面ABCD, 因为平面ABCD∩平面A1DE=DE,l⊂平面A1DE,l∥平面ABCD, 所以l∥DE,同理l∥BC, 由图可知BC与DE不平行,则此与假设矛盾,故D错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 18 19 二、多选题(每小题6分,共18分,全部选对得6分,选对但不全的得部分分,有选错的得0分) 9.a,b为不重合直线,β为平面,下列结论正确的是(　　) A.若a⊥β,b⊥β,则a∥b B.若a∥β,b∥β,则a∥b C.若a∥β,b⊥β,则a⊥b D.若a∥β,b⊂β,则a∥b 【解析】选AC.若a⊥β,b⊥β,由直线与平面垂直的性质可得a∥b,故A正确; 若a∥β,b∥β,则a∥b或a与b相交或a与b异面,故B错误; 若b⊥β,则b垂直于β内的所有直线,b也垂直于平行于β的所有直线,又a∥β,所以a⊥b,故C正确;若a∥β,b⊂β,则a∥b或a与b异面,故D错误. √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 18 19 10.如图是一个边长为2的正方体的平面展开图,在这个正方体中,下列说法中正确的是 (　　) A.直线AF与直线CN垂直 B.直线BM与直线CN相交 C.直线ME与直线CN平行 D.直线AB与直线CN异面 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 18 19 【解析】选AD.如图所示的正方体中,CN∥BE,AF⊥BE,故AF⊥CN,故A正确; 若直线BM与直线CN相交,则B,M,C,N四点共面,即点B在平面CMN内,不成立,故B错误; 因为CN∥BE,BE与ME相交,故直线ME与直线CN不平行,故C错误; AB∥MN,MN与CN不平行,故AB与CN不平行, 若AB与CN相交,则A,B,C,N四点共面,点N在平面ABC内,不成立, 故直线AB与直线CN异面,故D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 18 19 11.已知四面体ABCD的各个面都是全等的三角形,且AC=BC=3,AB=2,则下列选项正确的是 (　　) A.直线AB,CD所成的角为90° B.二面角C-AB-D的余弦值为 C.四面体ABCD的体积为 D.四面体外接球的直径为 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 18 19 【解析】选ABD.对于A,取AB的中点E,连接CE,DE, 由题意四面体ABCD的各个面都是全等的三角形, AC=BC=3,AB=2,可得AD=3,BD=3,所以CE⊥AB,DE⊥AB, 又CE∩DE=E,CE,DE⊂平面CDE,所以AB⊥平面CDE, 因为CD⊂平面CDE,所以AB⊥CD,所以AB,CD所成的角为90°,故A正确; 对于B,由A得CE⊥AB,DE⊥AB, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 18 19 所以∠CED为二面角C-AB-D的平面角,在△CDE中,CE=DE=2,CD=2, 由余弦定理可得cos∠CED===,故B正确; 对于C,由B可得sin∠CED==, 由VA-BCD=VA-ECD+VB-ECD=2VA-ECD=2××2×2×sin∠CED×1=,故C不正确; 对于D,将四面体放入长方体中,如图可得长方体与三 棱锥共球,所以外接球半径一样, 设外接球半径为r,所以2r==,故D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 18 19 三、填空题(每小题5分,共15分) 12.若正三棱柱的所有棱长均为4,则其体积为__________.  【解析】正三棱柱的底面为边长为4的正三角形,其面积为×42×=4, 则正三棱柱的体积为4×4=16. 　16　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 18 19 13.如图所示,ABCD-A1B1C1D1是长方体,AA1=a,∠BAB1=∠B1A1C1=30°,则AB与A1C1所成的角为________,AA1与B1C所成的角为________.  　30°　 　45°　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 18 19 【解析】在长方体ABCD-A1B1C1D1中,∠BAB1=∠B1A1C1=30°, 因为AB∥A1B1,A1B1与A1C1所成的角,就是AB与A1C1所成的角, 所以AB与A1C1所成的角为30°. 因为AA1∥BB1,BB1与B1C所成的角就是AA1与B1C所成的角,连接AC,则AC∥A1C1, 所以∠BAC=30°, 因为AA1=a,∠BAB1=30°,所以AB=a, 所以BC=a,所以∠BB1C=45°, 所以AA1与B1C所成的角为45°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 18 19 14.如图所示,在三棱柱中,已知四边形ABCD和四边形AA'B'B都是矩形,平面AA'B'B⊥平面ABCD.若AA'=AD=2,则直线AB到平面DA'C的距离为 ________.  　　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 18 19 【解析】如图,取B'C的中点E,连接BE, 因为四边形ABCD和四边形AA'B'B都是矩形, 所以AB⊥BC,AB⊥BB',又BC∩BB'=B, 所以AB⊥平面BCB',又BE⊂平面BCB', 所以AB⊥BE,又AB∥CD,所以CD⊥BE,AB∥平面DA'C, 因为AA'=AD,得BC=BB', 又E为B'C的中点,所以B'C⊥BE, 又CD⊥BE,CD∩B'C=C,CD,B'C⊂平面DCB'A', 所以BE⊥平面DCB'A', 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 18 19 所以直线AB到平面DA'C的距离即为BE的长, 因为平面AA'B'B⊥平面ABCD, 且平面AA'B'B∩平面ABCD=AB, BC⊥AB,BC⊂平面ABCD, 所以BC⊥平面ABB'A',又BB'⊂平面ABB'A', 所以BC⊥BB',在Rt△BCB'中,BC=BB'=2,所以BE=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 18 19 四、解答题(共77分) 15.(13分)已知长方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别为AA1和AB的中点. 求证:(1)D1,M,N,C四点共面; 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 18 19 【证明】(1)连接A1B(图略),因为M,N分别为AA1和AB的中点, 所以MN∥A1B,因为A1D1∥BC,A1D1=BC, 所以四边形A1BCD1为平行四边形, 所以A1B∥D1C,所以MN∥D1C, 所以MN与D1C确定一个平面, 所以M,N,C,D1四点共面. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 18 19 (2)D1M,DA,CN三线共点. 【证明】(2)因为MN∥D1C,且MN=D1C,所以直线D1M与CN必相交, 设D1M∩CN=K(图略),因为K∈D1M,D1M⊂平面AA1D1D, 所以K∈平面AA1D1D,又K∈CN,CN⊂平面ABCD, 所以K∈平面ABCD, 所以K是平面ABCD与平面AA1D1D的公共点, 又因为平面ABCD∩平面AA1D1D=AD, 所以K∈AD, 所以D1M,DA,CN三线共点. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 18 19 16.(15分)如图所示的五面体中,棱AB,CD,EF相互平行,四边形ABEF是梯形.已知CD=EF,AD⊥平面ABEF,BE⊥AF. 求证:(1)DF∥平面BCE; 【证明】(1)因为AB,CD,EF相互平行,且CD=EF, 所以四边形CDFE是平行四边形, 所以DF∥CE, 因为DF⊄平面BCE,CE⊂平面BCE. 所以DF∥平面BCE. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 18 19 (2)平面ADF⊥平面BCE. 【证明】(2)因为AD⊥平面ABEF,BE⊂平面ABEF, 所以BE⊥AD, 因为BE⊥AF,AF∩AD=A,AF,AD⊂平面ADF, 所以BE⊥平面ADF, 因为BE⊂平面BCE, 所以平面ADF⊥平面BCE. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 18 19 17.(15分)如图,在两块钢板上打孔,用钉帽呈半球形、钉身为圆柱形的铆钉(图1)穿在一起,在没有帽的一端锤打出一个帽,使得与钉帽的大小相等,铆合的两块钢板,成为某种钢结构的配件,其截面图如图2(单位:mm).(加工中不计损失) (1)若钉身长度是钉帽高度的3倍,求铆钉的表面积; 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 18 19 【解析】(1)由已知可得,铆钉为以r1=15 mm为半径的半球与圆柱的组合体. 由钉身长度是钉帽高度的3倍,可知圆柱的高为h=3r1=45 mm,圆柱底面半径为r2=8 mm. 由题图可知,铆钉的表面积等于半球的表面积加上圆柱的侧面积加上以r1=15 mm为半径的圆的面积. 半球的表面积为S1=×4π=×4π×152=450π(mm2),圆柱的侧面积为S2=2πr2h=2π×8×45=720π(mm2),圆的面积为S3=π=225π(mm2). 所以,铆钉的表面积S=S1+S2+S3=1 395π(mm2). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 18 19 (2)若每块钢板的厚度为10 mm,求钉身的长度(结果精确到1 mm). 【解析】(2)设钉身的长度为x,x>20,则钉身的体积V=πx=64πx. 由已知加工前后体积不变,加工后体积为钉身与钉帽体积之和,其中钉身长度为20,底面圆半径为r2=8,钉帽是以半径r1=15的半球. 所以V=π×20+π=1 280π+2 250π=3 530π(mm3). 所以64πx=3 530π,解得x≈55,满足条件. 所以钉身的长度约为55 mm. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 18 19 18.(17分)如图,在多面体ABCDE中,DB⊥平面ABC,AE∥DB, 2AE=BD=2,△ABC是边长为2的等边三角形. (1)证明:平面ECD⊥平面BCD; 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 18 19 【解析】(1)取BC的中点G,CD的中点F,连接FG,AG,易得FG∥BD,FG=BD, 因为DB⊥平面ABC,AG⊂平面ABC,所以AG⊥BD, 因为AG⊥BC,AG⊥BD,BD∩BC=B,BD,DC⊂平面BCD, 所以AG⊥平面DBC, 又因为AE∥BD∥FG,FG=BD,AE=BD,故AE=FG,AE∥FG, 所以四边形AGFE为平行四边形, 所以EF∥AG,所以EF⊥平面DBC,EF⊂平面CDE,故平面ECD⊥平面BCD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 18 19 (2)求二面角D-EC-B的余弦值. 【解析】(2)连接BF,过F在平面DEC内作EC的垂线,垂足为H,连接HB. 因为EF⊥平面DBC,BF⊂平面DBC,所以BF⊥EF, 因为BC=BD,F为CD的中点,所以BF⊥CD, 又因为CD∩EF=F,CD,EF⊂平面CDE, 所以BF⊥平面EDC,CE⊂平面EDC,故BF⊥CE, 又FH⊥CE,BF∩FH=F,BF,FH⊂平面BFH,所以CE⊥平面BFH, 因为HB⊂平面BFH,故CE⊥BH, 所以∠FHB为二面角D-EC-B的平面角, 由题意得EC=EB=,CD=2, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 18 19 所以BF=CD=, S△BCE=BC=CE·BH⇒×2=·BH, 故BH=, 在Rt△BFH中,FH==, 故cos∠FHB==. 所以二面角D-EC-B的平面角的余弦值为. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 18 19 19.(17分)已知正四面体A-BCD的棱长为3,点E在棱CD上,点F在线段AE上,且BF⊥AE. (1)如图1,若点E在棱CD的中点处,求证:CD⊥平面ABE; 【解析】(1)由于E是CD的中点,结合正四面体的性质可得AE⊥CD,BE⊥CD, 又因为AE∩BE=E,AE,BE⊂平面ABE,所以CD⊥平面ABE; 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 18 19 (2)如图2,若=2,求三棱锥B-CEF的体积; 【解析】(2)因为=2,所以DE=2EC=2, 在△ACE中,由余弦定理可得AE==, 同理BE=, 在△ABE中,E到AB的距离为=, 所以由等面积法可得BF·AE=AB,代入数据得BF=, 所以EF==, 所以==, 所以F到底面BCD的距离为A到底面BCD的距离的, △BCE的面积是△BCD面积的, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 18 19 所以==, 如图,取CD的中点记为H,AG为棱锥的高, AH==, BG==, 所以AG==, 则VA-BCD=×(×3×3sin 60°)×=, 所以VB-CEF=VF-BCE=VA-BCD==. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 18 19 (3)如图3,当点E在棱CD上移动时,求线段CF长度的最小值. 【解析】(3)因为BF⊥AE, 所以点F在以AB为直径的球面上,取AB的中点为O, 因为点F在△ACD中, 由于一个平面截一个球所得的是一个圆面, 所以点F的轨迹为一段圆弧, 取CD的中点为M,连接AM,在AM上取一点N,使得AN=2NM, 在等边△ACD中,易得点N为△ACD的中心, 所以在正四面体A-BCD中,易得BN⊥平面ACD, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 18 19 取AN的中点为Q,连接OQ,则OQ∥BN,则OQ⊥平面ACD, 由于一个平面截一个球所得的是一个圆面,且球心与这个圆面的圆心所在直线与该平面垂直, 所以点F的轨迹是以点Q为圆心的一段圆弧, 在△ACD中,AC=3,CM=, 所以AM=,则AN=, 所以BN==, 所以OQ=, 所以圆Q的半径r==, 而CQ==, 所以CF≥CQ-r=, 故CF长度的最小值为. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 18 19 $