2.课时跟踪检测练 38 第9章 三十八 分层随机抽样(Word版+PPT版)-【满分思维】2025-2026学年高中数学必修第二册（人教A版）

三十八　分层随机抽样 (时间:45分钟　分值:95分) 【基础全面练】 1.(5分)简单随机抽样、分层随机抽样之间的共同点是 (　　) A.都是从总体中逐个抽取 B.将总体分成几个部分,按事先确定的规则在各部分抽取 C.抽样过程中每个个体被抽到的可能性是相等的 D.将总体分成几层,然后分层按照比例抽取 【解析】选C.选项A,只有简单随机抽样是从总体中逐个随机抽取,故A错误. 选项B,只有分层随机抽样是将总体分成几部分,按事先确定的规则在各部分抽取,故B错误. 选项C,简单随机抽样、分层随机抽样之间的共同点是抽样过程中每个个体被抽到的机会相同,故C正确. 选项D,只有分层随机抽样是将总体分成几层,分层进行抽取,故D错误. 2.(5分)各地都在积极推进“绿色出行,低碳出行”.某高中环保社团为了了解学生出行选择交通工具的情况,进行一次问卷调查,该校学生共有900人,其中男生500人,女生400人,现用分层随机抽样的方法从这所学校抽取45人,则抽取的男生人数是 (　　) A.20 B.25 C.30 D.35 【解析】选B.由题意可知,抽取的男生人数是45×=25. 3.(5分)(2025·阜阳高一检测)为实现乡村生态振兴,走乡村绿色发展之路,某乡政府采用分层随机抽样的方式从甲村和乙村抽取部分村民参与环保调研,已知甲村和乙村的人数之比是10∶9,被抽到的参与环保调研的村民中,甲村比乙村多7人,则参加调研的总人数是 (　　) A.133 B.170 C.70 D.63 【解析】选A.已知甲村和乙村的人数之比是10∶9,根据分层随机抽样,可设甲村被抽取参与调研的村民有10a人,则乙村被抽取参与调研的村民有9a人,则10a-9a=7,解得a=7. 所以参加调研的总人数为10a+9a=(10+9)a=19×7=133. 4.(5分)(2025·南阳高一检测)某工厂生产A,B,C三种不同型号的产品,它们的产量之比为1∶1∶4,用分层随机抽样的方法抽取一个样本容量为n的样本.若样本中C型号的产品有120件,则样本容量n为 (　　) A.150 B.180 C.200 D.250 【解析】选B.由题意得,n×=120,解得n=180. 5.(5分)(多选)某公司生产甲、乙、丙三种型号的轿车,产量分别为1 200辆、6 000辆和2 000辆,为检验该公司的产品质量,公司质监部门用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取46辆进行检验,则 (　　) A.在每一种型号的轿车中可采用抽签法抽取 B.抽样比为 C.三种型号的轿车依次抽取6辆、30辆、10辆 D.这三种型号的轿车,每一辆被抽到的可能性是相等的 【解析】选BCD.因为每一种型号的轿车数量较多,不适合用抽签法,故A错误; 在按比例分配的分层随机抽样中,抽样比为=,故B正确; 在按比例分配的分层随机抽样中,三种型号的轿车应依次抽取6辆、30辆、10辆,故C正确;在按比例分配的分层随机抽样中,每一辆被抽到的可能性是相等的,故D正确. 6.(5分)(多选)在《九章算术》中有如下问题:“今有甲持钱五百六十,乙持钱三百五十,丙持钱一百八十,凡三人俱出关,关税百钱.欲以钱数多少衰出之,问各几何?”其译文为今有甲持钱560,乙持钱350,丙持钱180,甲、乙、丙三人一起出关,关税共计100钱,要按照各人带钱多少的比率进行交税,问三人各应付多少税?则 (　　) A.甲应付51钱 B.乙应付32钱 C.丙应付16钱 D.三者中甲付的钱最多,丙付的钱最少 【解析】选AD.由题设条件知,=,则甲应付×560=51(钱), 乙应付×350=32(钱), 丙应付×180=16(钱). 7.(5分)某校有男教师80人,女教师120人,为了调查教师的运动量的平均值(通过微信步数),按性别比例分配进行分层随机抽样,通过对样本的计算,得出男教师平均微信步数为12 500,女教师平均微信步数为8 600,则该校教师平均微信步数为　10 160　.  【解析】设样本容量为n,则抽到的男教师有n=n,女教师有n=n, 由题意可得该校教师平均微信步数为 =10 160. 8.(5分)某校高一年级、高二年级、高三年级学生人数之比为7∶3∶4,现采用分层随机抽样的方法从高中各年级共抽取56名学生参加“流行病学”调查,则高一年级应抽取　28　名学生.  【解析】高一年级应抽取的学生人数为56×=28. 9.(10分)某专业户要出售100只羊,现在市场上羊的价格为每千克18元,为了估计这100只羊能卖多少钱,该专业户从中随机抽取5只羊,每只羊的质量如下(单位:千克):26,31,32,36,37. (1)试分别指出上述问题中的总体、个体和样本各是什么. 【解析】(1)总体是100只羊的质量;个体是每一只羊的质量;样本是所抽取的5只羊的质量. (2)上述问题中的调查方式是全面调查还是抽样调查?这种调查方式合适吗?请说明你的理由. 【解析】(2)因为5只羊是从100只羊中随机抽取,故为抽样调查;调查方式合适,抽样调查适用于总体数量偏多的情况,而100只羊如果采用全面调查的方式,耗时耗力,不可取. 【综合应用练】 10.(5分)为了了解同学们对某短视频软件的意见,计划采用分层随机抽样的方法从这6 000名学生中抽取一个容量60的样本,若从高一、高二、高三抽取的人数恰好是从小到大排列的连续偶数,则该校高二年级的人数为 (　　) A.1 000 B.1 500 C.2 000 D.3 000 【解析】选C.因为从高一、高二、高三抽取的人数恰好是从小到大排列的连续偶数, 所以设高三抽取的人数为2a,则高二抽取的人数为2a-2,高一抽取的人数为2a-4, 因为样本容量为60,所以2a+2a-2+2a-4=60⇒2a=22,设该校高二年级的人数为x, 根据分层随机抽样得,=⇒x=2 000. 11.(5分)(多选)某高校大一新生中,来自东部地区的学生有2 400人、中部地区的学生有1 600人、西部地区的学生有1 000人.从中选取100人作样本调研饮食习惯,为保证调研结果相对准确,下列判断正确的有 (　　) A.用分层随机抽样的方法分别抽取东部地区学生48人、中部地区学生32人、西部地区学生20人 B.用简单随机抽样的方法从新生中选出100人最适合 C.西部地区学生小刘被选中的可能性为 D.中部地区学生小张被选中的可能性为 【解析】选AC.由题设可得东部地区、中部地区、西部地区的学生的抽样比为12∶8∶5,故抽取100人时东部地区、中部地区、西部地区的学生人数分别为100×,100×,100×,即48,32,20,故A正确. 用简单随机抽样的方法从新生中选出人数为25n(n∈N*)均合适,故B错误. 由分层随机抽样的性质可得无论哪一个地区的学生,被抽取到的可能性为=,故C正确,D错误. 12.(5分)某校有高一学生n名,其中男生数与女生数之比为6∶5,为了解学生的视力情况,现要求按分层随机抽样的方法抽取一个样本容量为的样本,若样本中男生比女生多12人,则n=　1 320　.  【解析】依题意可得(-)×=12,解得n=1 320. 13.(10分)某学校有高中学生500人,其中男生300人,女生200人.有人为了获得该校全体高中学生的身高信息,按一定方法抽取样本,并观测样本的指标值(单位:cm),计算得男生的样本平均数为175,女生的样本平均数为165. (1)如果男、女的样本量按比例分配,请计算总体平均数为多少. 【解析】(1)男、女的样本量按比例分配, 总体平均数为×175+×165=171 (cm). (2)如果男、女的样本量都是25,请计算总体平均数为多少. 【解析】(2)男、女的样本量都是25, 总体平均数为×175+×165=170 (cm). 14.(10分)某大型企业针对改善员工福利的A,B,C三种方案进行了问卷调查,调查结果如表: 项目 支持A方案 支持B方案 支持C方案 35岁以下的人数 200 400 800 35岁及以上的人数 100 100 400 (1)从所有参与调查的人中,用分层随机抽样的方法抽取n人,已知从支持A方案的人中抽取了6人,求n的值. 【解析】(1)由题意得 =,解得n=40. (2)从支持B方案的人中,用分层随机抽样的方法抽取5人,这5人中年龄在35岁及以上的人数是多少?年龄在35岁以下的人数是多少? 【解析】(2)年龄在35岁以下的人数为×400=4, 年龄在35岁及以上的人数为×100=1. 【创新拓展练】 15.(10分)已知总体划分为3层,通过分层随机抽样,得到各层的样本平均数分别为,,. (1)根据以上信息可以估计总体平均数吗?如果不能,还需要什么条件?写出估计式. 【解析】(1)不可以估计总体平均数,需要各层占总体的比例为r,s,t,则估计式为r+s+t. (2)如果样本量是按比例分配,第1,2,3层的个体数分别为L,M,N,样本量分别为l,m,n,证明:++=++. 【解析】(2)样本平均数为=+ + . 在比例分配的分层随机抽样中,===, 所以++=++. - 1 - 学科网（北京）股份有限公司 $三十八　分层随机抽样 (时间:45分钟　分值:95分) 【基础全面练】 1.(5分)简单随机抽样、分层随机抽样之间的共同点是(　　) A.都是从总体中逐个抽取 B.将总体分成几个部分,按事先确定的规则在各部分抽取 C.抽样过程中每个个体被抽到的可能性是相等的 D.将总体分成几层,然后分层按照比例抽取 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 选题清单 【解析】选C.选项A,只有简单随机抽样是从总体中逐个随机抽取,故A错误. 选项B,只有分层随机抽样是将总体分成几部分,按事先确定的规则在各部分抽取,故B错误. 选项C,简单随机抽样、分层随机抽样之间的共同点是抽样过程中每个个体被抽到的机会相同,故C正确. 选项D,只有分层随机抽样是将总体分成几层,分层进行抽取,故D错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 选题清单 2.(5分)各地都在积极推进“绿色出行,低碳出行”.某高中环保社团为了了解学生出行选择交通工具的情况,进行一次问卷调查,该校学生共有900人,其中男生500人,女生400人,现用分层随机抽样的方法从这所学校抽取45人,则抽取的男生人数是 (　　) A.20 B.25 C.30 D.35 【解析】选B.由题意可知,抽取的男生人数是45×=25. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 选题清单 3.(5分)(2025·阜阳高一检测)为实现乡村生态振兴,走乡村绿色发展之路,某乡政 府采用分层随机抽样的方式从甲村和乙村抽取部分村民参与环保调研,已知甲 村和乙村的人数之比是10∶9,被抽到的参与环保调研的村民中,甲村比乙村多7 人,则参加调研的总人数是 (　　) A.133 B.170 C.70 D.63 【解析】选A.已知甲村和乙村的人数之比是10∶9,根据分层随机抽样,可设甲村 被抽取参与调研的村民有10a人,则乙村被抽取参与调研的村民有9a人, 则10a-9a=7,解得a=7. 所以参加调研的总人数为10a+9a=(10+9)a=19×7=133. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 选题清单 4.(5分)(2025·南阳高一检测)某工厂生产A,B,C三种不同型号的产品,它们的 产量之比为1∶1∶4,用分层随机抽样的方法抽取一个样本容量为n的样本. 若样本中C型号的产品有120件,则样本容量n为 (　　) A.150 B.180 C.200 D.250 【解析】选B.由题意得,n×=120,解得n=180. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 选题清单 5.(5分)(多选)某公司生产甲、乙、丙三种型号的轿车,产量分别为1 200辆、 6 000辆和2 000辆,为检验该公司的产品质量,公司质监部门用按比例分配 的分层随机抽样的方法抽取46辆进行检验,则 (　　) A.在每一种型号的轿车中可采用抽签法抽取 B.抽样比为 C.三种型号的轿车依次抽取6辆、30辆、10辆 D.这三种型号的轿车,每一辆被抽到的可能性是相等的 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 选题清单 【解析】选BCD.因为每一种型号的轿车数量较多,不适合用抽签法,故A错误; 在按比例分配的分层随机抽样中,抽样比为=,故B正确; 在按比例分配的分层随机抽样中,三种型号的轿车应依次抽取6辆、30辆、10辆,故C正确;在按比例分配的分层随机抽样中,每一辆被抽到的可能性是相等的,故D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 选题清单 6.(5分)(多选)在《九章算术》中有如下问题:“今有甲持钱五百六十,乙持钱 三百五十,丙持钱一百八十,凡三人俱出关,关税百钱.欲以钱数多少衰出之, 问各几何?”其译文为今有甲持钱560,乙持钱350,丙持钱180,甲、乙、丙三 人一起出关,关税共计100钱,要按照各人带钱多少的比率进行交税,问三人 各应付多少税?则 (　　) A.甲应付51钱 B.乙应付32钱 C.丙应付16钱 D.三者中甲付的钱最多,丙付的钱最少 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 选题清单 【解析】选AD.由题设条件知,=,则甲应付×560=51(钱), 乙应付×350=32(钱), 丙应付×180=16(钱). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 选题清单 7.(5分)某校有男教师80人,女教师120人,为了调查教师的运动量的平均值 (通过微信步数),按性别比例分配进行分层随机抽样,通过对样本的计算,得 出男教师平均微信步数为12 500,女教师平均微信步数为8 600,则该校教师 平均微信步数为___________.  【解析】设样本容量为n,则抽到的男教师有n=n,女教师有n=n, 由题意可得该校教师平均微信步数为=10 160. 　10 160　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 选题清单 8.(5分)某校高一年级、高二年级、高三年级学生人数之比为7∶3∶4,现采 用分层随机抽样的方法从高中各年级共抽取56名学生参加“流行病学”调 查,则高一年级应抽取_______名学生.  【解析】高一年级应抽取的学生人数为56×=28. 　28　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 选题清单 9.(10分)某专业户要出售100只羊,现在市场上羊的价格为每千克18元,为了 估计这100只羊能卖多少钱,该专业户从中随机抽取5只羊,每只羊的质量如 下(单位:千克):26,31,32,36,37. (1)试分别指出上述问题中的总体、个体和样本各是什么. 【解析】(1)总体是100只羊的质量;个体是每一只羊的质量;样本是所抽取 的5只羊的质量. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 选题清单 (2)上述问题中的调查方式是全面调查还是抽样调查?这种调查方式合适 吗?请说明你的理由. 【解析】(2)因为5只羊是从100只羊中随机抽取,故为抽样调查;调查方式 合适,抽样调查适用于总体数量偏多的情况,而100只羊如果采用全面调查 的方式,耗时耗力,不可取. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 选题清单 【综合应用练】 10.(5分)为了了解同学们对某短视频软件的意见,计划采用分层随机抽样的方法从这 6 000名学生中抽取一个容量60的样本,若从高一、高二、高三抽取的人数恰好是从小 到大排列的连续偶数,则该校高二年级的人数为(　　) A.1 000 B.1 500 C.2 000 D.3 000 【解析】选C.因为从高一、高二、高三抽取的人数恰好是从小到大排列的连续偶数, 所以设高三抽取的人数为2a,则高二抽取的人数为2a-2,高一抽取的人数为2a-4, 因为样本容量为60,所以2a+2a-2+2a-4=60⇒2a=22,设该校高二年级的人数为x, 根据分层随机抽样得,=⇒x=2 000. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 选题清单 11.(5分)(多选)某高校大一新生中,来自东部地区的学生有2 400人、中部地 区的学生有1 600人、西部地区的学生有1 000人.从中选取100人作样本调 研饮食习惯,为保证调研结果相对准确,下列判断正确的有 (　　) A.用分层随机抽样的方法分别抽取东部地区学生48人、中部地区学生32 人、西部地区学生20人 B.用简单随机抽样的方法从新生中选出100人最适合 C.西部地区学生小刘被选中的可能性为 D.中部地区学生小张被选中的可能性为 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 选题清单 【解析】选AC.由题设可得东部地区、中部地区、西部地区的学生的抽样比为12∶8∶5,故抽取100人时东部地区、中部地区、西部地区的学生人数分别为100×,100×,100×,即48,32,20,故A正确. 用简单随机抽样的方法从新生中选出人数为25n(n∈N*)均合适,故B错误. 由分层随机抽样的性质可得无论哪一个地区的学生,被抽取到的可能性为=,故C正确,D错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 选题清单 12.(5分)某校有高一学生n名,其中男生数与女生数之比为6∶5,为了解学生 的视力情况,现要求按分层随机抽样的方法抽取一个样本容量为的样本, 若样本中男生比女生多12人,则n=__________.  【解析】依题意可得(-)×=12,解得n=1 320. 　1 320　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 选题清单 13.(10分)某学校有高中学生500人,其中男生300人,女生200人.有人为了获得该校全 体高中学生的身高信息,按一定方法抽取样本,并观测样本的指标值(单位:cm),计算 得男生的样本平均数为175,女生的样本平均数为165. (1)如果男、女的样本量按比例分配,请计算总体平均数为多少. 【解析】(1)男、女的样本量按比例分配, 总体平均数为×175+×165=171 (cm). (2)如果男、女的样本量都是25,请计算总体平均数为多少. 【解析】(2)男、女的样本量都是25, 总体平均数为×175+×165=170 (cm). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 选题清单 14.(10分)某大型企业针对改善员工福利的A,B,C三种方案进行了问卷调查, 调查结果如表: (1)从所有参与调查的人中,用分层随机抽样的方法抽取n人,已知从支持A 方案的人中抽取了6人,求n的值. 【解析】(1)由题意得=,解得n=40. 项目 支持A方案 支持B方案 支持C方案 35岁以下的人数 200 400 800 35岁及以上的人数 100 100 400 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 选题清单 (2)从支持B方案的人中,用分层随机抽样的方法抽取5人,这5人中年龄在35 岁及以上的人数是多少?年龄在35岁以下的人数是多少? 【解析】(2)年龄在35岁以下的人数为×400=4, 年龄在35岁及以上的人数为×100=1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 选题清单 【创新拓展练】 15.(10分)已知总体划分为3层,通过分层随机抽样,得到各层的样本平均数 分别为,,. (1)根据以上信息可以估计总体平均数吗?如果不能,还需要什么条件?写出 估计式. 【解析】(1)不可以估计总体平均数,需要各层占总体的比例为r,s,t,则估计 式为r+s+t. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 选题清单 (2)如果样本量是按比例分配,第1,2,3层的个体数分别为L,M,N,样本量分别 为l,m,n,证明:++=++. 【解析】(2)样本平均数为=+ + . 在比例分配的分层随机抽样中,===, 所以++=++. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 选题清单 $