02 章末过关检测卷(二) (第七章 复数)(Word版+PPT版)-【满分思维】2025-2026学年高中数学必修第二册（人教A版）

章末过关检测卷(二)(第七章) (120分钟　150分) 一、单选题(每小题5分,共40分) 1.在复平面内,下列说法正确的是 (　　) A.-i2=-1　 B.(-i)2=-1 C.若a>b,则a+i>b+i D.复数z=1-3i的虚部是3 【解析】选B.-i2=(-1)×(-1)=1,故A错误; (-i)2=(-1)2×i2=-1,故B正确; 两个虚数不能比较大小,故C错误; 复数z=1-3i的虚部是-3,故D错误. 2.若xi-2i2=y+2yi,x,y∈R,则复数x+yi= (　　) A.-2+i B.4+2i C.1-2i D.1+2i 【解析】选B.由i2=-1得xi-2i2=2+xi,则2+xi=y+2yi,根据复数相等的充要条件得,解得,故x+yi=4+2i. 3.复数6+5i与-3+4i分别表示向量与,则表示向量的复数为 (　　) A.3+9i B.2+8i C.-9-i D.9+i 【解析】选D.复数6+5i与-3+4i分别表示向量与,因为=-,所以表示向量的复数为(6+5i)-(-3+4i)=9+i. 4.已知a∈R,若复数z=(a2-1)+(a+1)i为纯虚数,则复数a-i在复平面内对应的点所在的象限为 (　　) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【解析】选D.因为z=(a2-1)+(a+1)i为纯虚数, 所以,解得a=1,所以复数a-i=1-i,在复平面内对应的点(1,-1)在第四象限. 5.若复数z满足(1-i)z=3-4i,则|z|= (　　) A. B. C. D.5 【解析】选B.因为(1-i)z=3-4i,所以z===-i.所以|z|==. 6.下列命题不正确的是 (　　) A.方程2x-5=0在自然数集N中无解 B.方程2x2+9x-5=0在整数集Z中有一解,在有理数集Q中有两解 C.x=i是方程x2+1=0在复数集C中的一个解 D.x4=1在R中有两解,在复数集C中也有两解 【解析】选D.方程2x-5=0根为x=∉N,故方程在自然数集N中无解,A命题正确; 方程2x2+9x-5=0即(2x-1)(x+5)=0,故在整数集Z中有一解x=-5,在有理数集Q中有两解-5和,B命题正确; x=i代入方程x2+1=0成立,故x=i是方程x2+1=0在复数集C中的一个解,C命题正确; x4=1在R中有两解±1,在复数集C中有四解±1,±i,D命题不正确. 7.记i为虚数单位,n为正整数,若(3+4i)n位于复平面的第四象限,则n的最小值为 (　　) A.4 B.5 C.6 D.7 【解析】选C.因为(3+4i)2=9+24i-16=-7+24i,即复数(3+4i)2在复平面内对应的点位于第二象限; (3+4i)3=(-7+24i)(3+4i)=-21+44i-96=-117+44i,即复数(3+4i)3在复平面内对应的点位于第二象限; (3+4i)4=(-117+44i)(3+4i)=-527-336i, 即复数(3+4i)4在复平面内对应的点位于第三象限; (3+4i)5=-(527+336i)(3+4i)=-237-3 116i,即复数(3+4i)5在复平面内对应的点位于第三象限; (3+4i)6=-(237+3 116i)(3+4i)=11 753-10 296i, 即复数(3+4i)6在复平面内对应的点位于第四象限,故n的最小值为6. 8.已知复数z1,z2满足2|z1|=|z2|=|2z1-z2|=2,则|z1+z2|= (　　) A.1 B. C.2 D.2 【解析】选B.设z1=a+bi,z2=c+di,(a,b,c,d∈R), 则2===2, 所以a2+b2=1,c2+d2=4,8-4(ac+bd)=4, 即ac+bd=1, 则|z1+z2|= = ==. 二、多选题(每小题6分,共18分,全部选对得6分,选对但不全的得部分分,有选错的得0分) 9.下列命题为真命题的是 (　　) A.若z=33+3i,则=-33+3i B.复数-i在复平面内对应的点在第四象限 C.i+i2 026=2i D.若z=m2-4+(2-m)i(m∈R)为纯虚数,则m=-2 【解析】选BD.对于A,由复数z=33+3i,则=33-3i,所以A错误; 对于B,由复数-i在复平面内对应的点为(,-1),在第四象限,所以B正确; 对于C,由复数i+i2 026=i+=i+(-1)1 013=-1+i,所以C错误; 对于D,由复数z=m2-4+(2-m)i(m∈R)为纯虚数,可得,解得m=-2,所以D正确. 10.已知z1,z2是复数,下列说法正确的是 (　　) A.= B.若z1z2=0,则z1=0或z2=0 C.=+ D.若|z1|=|z2|,则z1=±z2 【解析】选BC.设z1=a+bi,z2=c+di,a,b,c,d∈R. 对A:=a2+b2∈R,=(a+bi)2=a2-b2+2abi,显然≠,A错误; 对B:z1z2=(a+bi)(c+di)=ac-bd+(ad+bc)i, 若z1z2=0,则ac=bd,ad=-bc,解得c=d=0或a=b=0,也即z1=0或z2=0,故B正确; 对C:z1+z2=a+c+(b+d)i,=a+c-(b+d)i; +=a-bi+c-di=a+c-(b+d)i,=+,故C正确; 对D:若|z1|=|z2|=1,则可取z1=1,z2=i,但z1≠±z2,故D错误. 11.已知复数z满足|z-1+i|=3,则 (　　) A.复数z虚部的最大值为2 B.复数z实部的取值范围是[-2,4] C.|z+1+i|的最小值为1 D.复数z在复平面内对应的点位于第一、三、四象限 【解析】选ABC.满足|z-1+i|=3的复数z在复平面内对应点的轨迹是以(1,-1)为圆心,以3为半径的圆,如图, 由图可知,虚部最大的复数z=1+2i,即复数z虚部的最大值为2,A正确; 实部最小的复数z=-2-i,实部最大的复数z=4-i,所以实部的取值范围是[-2,4],B正确; |z+1+i|表示复数z在复平面内对应点到(-1,-1)的距离,所以|z+1+i|的最小值为3-2=1,C正确; 由图可知,第二象限内也有符合题意的点,D错误. 三、填空题(每小题5分,共15分) 12.已知复数z=2+i(其中i是虚数单位),则||=　　.  【解析】依题意=2-i,所以||==. 13.已知复数z=2i100-a+(3a-4)i103(a∈R),若z为纯虚数,则z的虚部为　-2　;若z在复平面内对应的点位于第四象限,则a的取值范围是　(,2)　.  【解析】z=2i100-a+(3a-4)i103 =2-a+(3a-4)·i =2-a-(3a-4)i. 若z为纯虚数,则,解得a=2, 所以z=-2i,z的虚部为-2. 若z在复平面内对应的点位于第四象限, 则,解得<a<2, 所以a的取值范围是(,2). 14.设O是复平面的原点,满足|z-i|+|z-1|=的复数在复平面上所对应的点构成集合M,在M中任取不同的两点A和B,则∠AOB的最大值是　　.  【解析】由|z-i|+|z-1|=可知,复数z表示在复平面内到P(0,1),Q(1,0)两点的距离之和为,而PQ=,所以复数z表示线段PQ,因此集合M是表示线段PQ上的点,如图所示: 显然当∠AOB=∠POQ=时,∠AOB有最大值,最大值为. 四、解答题(共77分) 15.(13分)设复数z1=-4+3i,z2=-4-3i. (1)在复平面内画出复数z1,z2对应的点和向量; 【解析】(1)如图,复数z1,z2对应的点分别为Z1,Z2,对应的向量分别为,. (2)求复数z1,z2的模,并比较它们的模的大小. 【解析】(2)|z1|=|-4+3i|==5, |z2|=|-4-3i|==5,则|z1|=|z2|. 16.(15分)已知a,b∈R,i是虚数单位,复数z1=a+i与z2=2+bi互为共轭复数. (1)指出复平面内z2对应的点所在的象限; (2)计算z1z2,,; (3)当实数λ取什么值时,复数z=z1+λz2是纯虚数? 【解析】因为z1=a+i与z2=2+bi互为共轭复数,所以a=2,b=-1. 所以z1=2+i,z2=2-i. (1)复平面内z2对应的点的坐标为(2,-1), 所以复平面内z2对应的点在第四象限. (2)z1z2=(2+i)(2-i)=4-i2=5, =(2+i)2=4+4i+i2=3+4i, ===+i. (3)z=(2+i)+λ(2-i)=2(1+λ)+(1-λ)i. 当1+λ=0,且1-λ≠0,即λ=-1时,复数z是纯虚数. 17.(15分)已知复数z=+1+i,i为虚数单位. (1)求; 【解析】(1)因为复数z=+1+i=+1+i=+1+i=1-2i+1+i=2-i,所以=2+i. (2)若复数z是关于x的方程x2+mx+n=0的一个根,求实数m,n的值. 【解析】(2)因为复数z是关于x的方程x2+mx+n=0的一个根, 所以(2-i)2+m(2-i)+n=0, 可得4-4i+i2+2m-mi+n=0,即(3+2m+n)-(m+4)i=0, 所以,解得m=-4,n=5. 18.(17分)已知z为复数,z+2i和均为实数,其中i为虚数单位. (1)求复数z和|z|; 【解析】(1)设z=a+bi(a,b∈R),由z+2i=a+(b+2)i为实数, 所以b+2=0,所以b=-2. ===+i, 由为实数,可得=0, 所以a=-2b=4,所以z=4-2i, 所以|z|==2. (2)若复数z1=+-i在复平面内对应的点位于第四象限,求实数m的取值范围. 【解析】(2)z1=+-i=+i, 复数z1=+-i在复平面内对应的点位于第四象限, 所以, 解得-2<m<或1<m<. 所以实数m的取值范围为(-2,)∪(1,). 19.(17分)已知: ①任何一个复数z=a+bi都可以表示成r(cos θ+isin θ)的形式.其中r是复数z的模,θ是复平面内以实轴的非负半轴为始边,向量所在射线(射线OZ)为终边的角,叫做复数z=a+bi的辐角,r(cos θ+isin θ)叫做复数z=a+bi的三角形式. ②eix=cos x+isin x被称为欧拉公式,是复数的指数形式. ③方程xn=1(n为正整数)有n个不同的复数根. 根据以上材料,回答下列问题: (1)设ω=-+i,求ω2 024; 【解析】(1)依题意,ω=-+i=cos +isin =,所以ω2 024=()2 024==cos +isin =cos +isin =--i. (2)试求出所有满足方程x6=1的复数x的值所组成的集合; 【解析】(2)设x=cos θ+isin θ=eiθ,则x6=(cos θ+isin θ)6==ei·6θ=cos 6θ+isin 6θ=1, 因此sin 6θ=0,cos 6θ=1,6θ=2kπ,k∈Z,解得θ=,k∈Z, 由终边相同的角的意义,取k=0,1,2,3,4,5,则对应的θ依次为0,,,π,,, 因此对应的x依次为1,+i,-+i,-1,--i,-i, 所以所求的集合是1,+i,-+i,-1,--i,-i. (3)复数z=cos +isin ,求(z-1)(z2-1)…(z2 023-1). 【解析】(3)当z=cos +isin 时, zn===,n∈Z, 则==ei·2nπ=cos 2nπ+isin 2nπ=1,n∈N,n≤2 023, 因此关于x的方程x2 024-1=0的根为1,z,z2,z3,…,z2 023, 则x2 024-1=(x-1)(x-z)(x-z2)(x-z3)…(x-z2 023), 又x2-1=(x-1)(1+x), x3-1=(x-1)(1+x+x2), x4-1=(x-1)(1+x+x2+x3),…, 由此可得x2 024-1=(x-1)(1+x+x2+…+x2 023), 则(x-z)(x-z2)(x-z3)…(x-z2 023)=1+x+x2+…+x2 023, 令x=1,得(1-z)(1-z2)(1-z3)…(1-z2 023)=1+1+12+…+12 023=2 024,而2 023为奇数, 所以(z-1)(z2-1)(z3-1)…(z2 023-1)=-2 024. - 4 - 学科网（北京）股份有限公司 $章末过关检测卷(二)(第七章) (120分钟　150分) 一、单选题(每小题5分,共40分) 1.在复平面内,下列说法正确的是(　　) A.-i2=-1　 B.(-i)2=-1 C.若a>b,则a+i>b+i D.复数z=1-3i的虚部是3 【解析】选B.-i2=(-1)×(-1)=1,故A错误; (-i)2=(-1)2×i2=-1,故B正确; 两个虚数不能比较大小,故C错误; 复数z=1-3i的虚部是-3,故D错误. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 18 19 2.若xi-2i2=y+2yi,x,y∈R,则复数x+yi= (　　) A.-2+i B.4+2i C.1-2i D.1+2i 【解析】选B.由i2=-1得xi-2i2=2+xi,则2+xi=y+2yi,根据复数相等的充要条件得,解得,故x+yi=4+2i. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 18 19 3.复数6+5i与-3+4i分别表示向量 与 ,则表示向量 的复数为(　　) A.3+9i B.2+8i C.-9-i D.9+i 【解析】选D.复数6+5i与-3+4i分别表示向量 与 ,因为 = - ,所以表示向量 的复数为(6+5i)-(-3+4i)=9+i. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 18 19 4.已知a∈R,若复数z=(a2-1)+(a+1)i为纯虚数,则复数a-i在复平面内对应的点所在的象限为 (　　) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【解析】选D.因为z=(a2-1)+(a+1)i为纯虚数, 所以,解得a=1,所以复数a-i=1-i,在复平面内对应的点(1,-1)在第四象限. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 18 19 5.若复数z满足(1-i)z=3-4i,则|z|= (　　) A. B. C. D.5 【解析】选B.因为(1-i)z=3-4i,所以z===-i.所以|z|==. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 18 19 6.下列命题不正确的是 (　　) A.方程2x-5=0在自然数集N中无解 B.方程2x2+9x-5=0在整数集Z中有一解,在有理数集Q中有两解 C.x=i是方程x2+1=0在复数集C中的一个解 D.x4=1在R中有两解,在复数集C中也有两解 【解析】选D.方程2x-5=0根为x=∉N,故方程在自然数集N中无解,A命题正确; 方程2x2+9x-5=0即(2x-1)(x+5)=0,故在整数集Z中有一解x=-5,在有理数集Q中有两解-5和,B命题正确; x=i代入方程x2+1=0成立,故x=i是方程x2+1=0在复数集C中的一个解,C命题正确; x4=1在R中有两解±1,在复数集C中有四解±1,±i,D命题不正确. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 18 19 7.记i为虚数单位,n为正整数,若(3+4i)n位于复平面的第四象限,则n的最小值为 (　　) A.4 B.5 C.6 D.7 【解析】选C.因为(3+4i)2=9+24i-16=-7+24i,即复数(3+4i)2在复平面内对应的点位于第二象限; (3+4i)3=(-7+24i)(3+4i)=-21+44i-96=-117+44i,即复数(3+4i)3在复平面内对应的点位于第二象限; (3+4i)4=(-117+44i)(3+4i)=-527-336i, 即复数(3+4i)4在复平面内对应的点位于第三象限; (3+4i)5=-(527+336i)(3+4i)=-237-3 116i,即复数(3+4i)5在复平面内对应的点位于第三象限; (3+4i)6=-(237+3 116i)(3+4i)=11 753-10 296i, 即复数(3+4i)6在复平面内对应的点位于第四象限,故n的最小值为6. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 18 19 8.已知复数z1,z2满足2|z1|=|z2|=|2z1-z2|=2,则|z1+z2|=(　　) A.1 B. C.2 D.2 【解析】选B.设z1=a+bi,z2=c+di,(a,b,c,d∈R), 则2===2, 所以a2+b2=1,c2+d2=4,8-4(ac+bd)=4, 即ac+bd=1, 则|z1+z2|= = ==. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 18 19 二、多选题(每小题6分,共18分,全部选对得6分,选对但不全的得部分分,有选错的得0分) 9.下列命题为真命题的是(　　) A.若z=33+3i,则=-33+3i B.复数-i在复平面内对应的点在第四象限 C.i+i2 026=2i D.若z=m2-4+(2-m)i(m∈R)为纯虚数,则m=-2 【解析】选BD.对于A,由复数z=33+3i,则=33-3i,所以A错误; 对于B,由复数-i在复平面内对应的点为(,-1),在第四象限,所以B正确; 对于C,由复数i+i2 026=i+=i+(-1)1 013=-1+i,所以C错误; 对于D,由复数z=m2-4+(2-m)i(m∈R)为纯虚数,可得,解得m=-2,所以D正确. √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 18 19 10.已知z1,z2是复数,下列说法正确的是 (　　) A.= B.若z1z2=0,则z1=0或z2=0 C.=+ D.若|z1|=|z2|,则z1=±z2 【解析】选BC.设z1=a+bi,z2=c+di,a,b,c,d∈R. 对A:=a2+b2∈R,=(a+bi)2=a2-b2+2abi,显然≠,A错误; 对B:z1z2=(a+bi)(c+di)=ac-bd+(ad+bc)i, 若z1z2=0,则ac=bd,ad=-bc,解得c=d=0或a=b=0,也即z1=0或z2=0,故B正确; 对C:z1+z2=a+c+(b+d)i,=a+c-(b+d)i; +=a-bi+c-di=a+c-(b+d)i,=+,故C正确; 对D:若|z1|=|z2|=1,则可取z1=1,z2=i,但z1≠±z2,故D错误. √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 18 19 11.已知复数z满足|z-1+i|=3,则 (　　) A.复数z虚部的最大值为2 B.复数z实部的取值范围是[-2,4] C.|z+1+i|的最小值为1 D.复数z在复平面内对应的点位于第一、三、四象限 【解析】选ABC.满足|z-1+i|=3的复数z在复平面内对应点的轨迹是以(1,-1)为圆心,以3为半径的圆,如图, 由图可知,虚部 最大的复数z=1+2i, 即复数z虚部的最大值为2,A正确; 实部最小的复数z=-2-i,实部最大的复数z=4-i,所以实部的取值范围是[-2,4],B正确; |z+1+i|表示复数z在复平面内对应点到(-1,-1)的距离,所以|z+1+i|的最小值为3-2=1,C正确; 由图可知,第二象限内也有符合题意的点,D错误. √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 18 19 三、填空题(每小题5分,共15分) 12.已知复数z=2+i(其中i是虚数单位),则||=________.  【解析】依题意=2-i,所以||==. 　　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 18 19 13.已知复数z=2i100-a+(3a-4)i103(a∈R),若z为纯虚数,则z的虚部为_______;若z在复平面内对应的点位于第四象限,则a的取值范围是_________.  【解析】z=2i100-a+(3a-4)i103 =2-a+(3a-4)·i =2-a-(3a-4)i. 若z为纯虚数,则,解得a=2, 所以z=-2i,z的虚部为-2. 若z在复平面内对应的点位于第四象限, 则,解得<a<2, 所以a的取值范围是(,2). 　-2　 　(,2)　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 18 19 14.设O是复平面的原点,满足|z-i|+|z-1|=的复数在复平面上所对应的点构成集合M,在M中任取不同的两点A和B,则∠AOB的最大值是______.  【解析】由|z-i|+|z-1|=可知,复数z表示在复平面内到P(0,1),Q(1,0)两点的距离之和为,而PQ=,所以复数z表示线段PQ,因此集合M是表示线段PQ上的点,如图所示: 显然当∠AOB=∠POQ=时,∠AOB有最大值,最大值为. 　　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 18 19 四、解答题(共77分) 15.(13分)设复数z1=-4+3i,z2=-4-3i. (1)在复平面内画出复数z1,z2对应的点和向量; 【解析】(1)如图,复数z1,z2对应的点分别为Z1,Z2, 对应的向量分别为 , . (2)求复数z1,z2的模,并比较它们的模的大小. 【解析】(2)|z1|=|-4+3i|==5, |z2|=|-4-3i|==5,则|z1|=|z2|. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 18 19 16.(15分)已知a,b∈R,i是虚数单位,复数z1=a+i与z2=2+bi互为共轭复数. (1)指出复平面内z2对应的点所在的象限; (2)计算z1z2,,; (3)当实数λ取什么值时,复数z=z1+λz2是纯虚数? 【解析】因为z1=a+i与z2=2+bi互为共轭复数,所以a=2,b=-1. 所以z1=2+i,z2=2-i. (1)复平面内z2对应的点的坐标为(2,-1), 所以复平面内z2对应的点在第四象限. (2)z1z2=(2+i)(2-i)=4-i2=5, =(2+i)2=4+4i+i2=3+4i, ===+i. (3)z=(2+i)+λ(2-i)=2(1+λ)+(1-λ)i. 当1+λ=0,且1-λ≠0,即λ=-1时,复数z是纯虚数. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 18 19 17.(15分)已知复数z=+1+i,i为虚数单位. (1)求; 【解析】(1)因为复数z=+1+i=+1+i=+1+i=1-2i+1+i=2-i,所以=2+i. (2)若复数z是关于x的方程x2+mx+n=0的一个根,求实数m,n的值. 【解析】(2)因为复数z是关于x的方程x2+mx+n=0的一个根, 所以(2-i)2+m(2-i)+n=0, 可得4-4i+i2+2m-mi+n=0,即(3+2m+n)-(m+4)i=0, 所以,解得m=-4,n=5. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 18 19 18.(17分)已知z为复数,z+2i和均为实数,其中i为虚数单位. (1)求复数z和|z|; 【解析】(1)设z=a+bi(a,b∈R),由z+2i=a+(b+2)i为实数, 所以b+2=0,所以b=-2. ===+i, 由为实数,可得=0, 所以a=-2b=4,所以z=4-2i, 所以|z|==2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 18 19 (2)若复数z1=+-i在复平面内对应的点位于第四象限,求实数m的取值范围. 【解析】(2)z1=+-i=+i, 复数z1=+-i在复平面内对应的点位于第四象限, 所以, 解得-2<m<或1<m<. 所以实数m的取值范围为(-2,)∪(1,). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 18 19 19.(17分)已知: ①任何一个复数z=a+bi都可以表示成r(cos θ+isin θ)的形式.其中r是复数z的模,θ是复平面内以实轴的非负半轴为始边,向量 所在射线(射线OZ)为终边的角,叫做复数z=a+bi的辐角,r(cos θ+isin θ)叫做复数z=a+bi的三角形式. ②eix=cos x+isin x被称为欧拉公式,是复数的指数形式. ③方程xn=1(n为正整数)有n个不同的复数根. 根据以上材料,回答下列问题: (1)设ω=-+i,求ω2 024; 【解析】(1)依题意,ω=-+i=cos +isin =,所以ω2 024=()2 024==cos +isin =cos +isin =--i. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 18 19 (2)试求出所有满足方程x6=1的复数x的值所组成的集合; 【解析】(2)设x=cos θ+isin θ=eiθ,则x6=(cos θ+isin θ)6==ei·6θ=cos 6θ+isin 6θ=1, 因此sin 6θ=0,cos 6θ=1,6θ=2kπ,k∈Z,解得θ=,k∈Z, 由终边相同的角的意义,取k=0,1,2,3,4,5,则对应的θ依次为0,,,π,,, 因此对应的x依次为1,+i,-+i,-1,--i,-i, 所以所求的集合是 1,+i,-+i,-1,--i,-i . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 18 19 (3)复数z=cos +isin ,求(z-1)(z2-1)…(z2 023-1). 【解析】(3)当z=cos +isin 时, zn===,n∈Z, 则==ei·2nπ=cos 2nπ+isin 2nπ=1,n∈N,n≤2 023, 因此关于x的方程x2 024-1=0的根为1,z,z2,z3,…,z2 023, 则x2 024-1=(x-1)(x-z)(x-z2)(x-z3)…(x-z2 023), 又x2-1=(x-1)(1+x), 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 18 19 x3-1=(x-1)(1+x+x2), x4-1=(x-1)(1+x+x2+x3),…, 由此可得x2 024-1=(x-1)(1+x+x2+…+x2 023), 则(x-z)(x-z2)(x-z3)…(x-z2 023)=1+x+x2+…+x2 023, 令x=1,得(1-z)(1-z2)(1-z3)…(1-z2 023)=1+1+12+…+12 023=2 024,而2 023为奇数, 所以(z-1)(z2-1)(z3-1)…(z2 023-1)=-2 024. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 18 19 $