1.导学案 02 第7章 7.1.1 数系的扩充和复数的概念(Word版+PPT版)-【满分思维】2025-2026学年高中数学必修第二册（人教A版）

01 02 必备知识•自主导学 关键能力•师生共研 7.1　 复数的概念 7.1.1　数系的扩充和复数的概念 内容概览 【学习目标】 1.理解与复数有关的基本概念.(数学抽象) 2.理解两个复数相等的含义.(逻辑推理) 3.能够应用复数的分类解决相关问题.(数学运算) 返回 01 必备知识•自主导学 返回 一、复数 1.复数的定义:把形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数,其中i叫做_________,满足i2=___ 2.复数的表示:复数通常用字母z表示,即z=a+bi(a,b∈R),其中a叫做复数z的_____, b叫做复数z的_____ 【思考】 1.有人说“引进虚数单位后,我们得到了所有负数的平方根”,对这句话,你是怎样 理解的? 提示:对于bi,有(bi)2=(bi)(bi)=b2i2=-b2,即bi是-b2的一个平方根,只要b≠0,-b2就是一 个负数,而且任何负数都具有这个形式. 虚数单位 -1 实部 虚部 返回 二、复数集 1.定义:全体复数构成的集合叫做_______ 2.表示:通常用大写字母C表示,即C={a+bi|a,b∈R}. 3.复数相等:设a,b,c,d都是实数,则a+bi=c+di⇔_________ 【思考】 2.两个复数可以相等,它们也一定可以比较大小,对吗? 提示:两个复数,只要不全是实数,我们只能说它们相等或不相等,不能比较 大小. 复数集 a=c且b=d 返回 三、复数的分类 1.复数z=a+bi(a,b∈R) 2.复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系 返回 【明辨是非】(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)我们把形如a+bi的数叫做复数.( ) 提示:形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数. (2)实数是虚部等于零的复数.( ) (3)bi是纯虚数.( ) 提示:当b=0时,bi=0,是实数. (4)自然数是有理数,但不是复数.( ) 提示:自然数是复数. × √ × × 返回 02 关键能力•师生共研 返回 类型1复数的有关概念(数学抽象) 【典例1】(1)(多选)下列命题正确的是(　　) A.若z∈C,则z2≥0 B.2i-1的虚部是2i C.3i的实部是0 D.i是-1的一个平方根 【解析】选CD.复数的平方不一定大于0,如i2=-1<0,A不正确;2i-1的虚部是 2,B不正确;3i可以表示为0+3i,其实部是0,C正确;因为i2=-1,所以i是-1的一个 平方根,D正确. √ √ 返回 (2)已知复数z=a2-(2-b)i的实部和虚部分别是2和3,则实数a,b的值分别 是　　　　.  【解析】由题意,得a2=2,-(2-b)=3, 所以a=±,b=5. 答案:±,5 返回 【总结升华】 复数及相关概念的认识 (1)i为虚数单位,i2=i·i=-1; (2)复数z=a+bi(a,b∈R)中,a,b分别是z的实部与虚部. 返回 类型2复数相等的充要条件(逻辑推理) 【典例2】已知i是虚数单位,m∈R,复数z1=(m2+m+1)+(m2+m-4)i,z2=3-2i, 则“m=1”是“z1=z2”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【解析】选A.因为z1=z2,所以,解得m=1或-2,所以“m=1”是 “z1=z2”的充分不必要条件. √ 返回 【总结升华】 复数相等的充要条件应用的关注点 (1)应用:求参数的值; (2)方法:①确定两个复数的实部和虚部,②利用实部与实部、虚部与虚部分别相等,列方程组求解. 返回 【即学即练】 已知(x+y-3)+(x-2)i=0(x,y∈R),则x+y=　　　　　.  【解析】因为x,y∈R,(x+y-3)+(x-2)i=0, 所以,解得, 所以x+y=3. 答案:3 返回 类型3复数的分类及应用(数学运算) 【典例3】(易错·对对碰)复数z=sin 2α-(1-cos 2α)i,α∈[0,2π). (1)若复数z是实数,则α=　　　　;  (2)若复数z是纯虚数,则α=　　　　.  【解析】(1)因为复数z是实数,所以-(1-cos 2α)=0,即cos 2α=1, 而α∈[0,2π),所以α=0或π. (2)因为复数z是纯虚数,所以sin 2α=0,cos 2α≠1,α∈[0,2π),所以α=或. 答案:(1)0或π　(2)或 返回 【总结升华】 利用复数的分类求参数的关注点 (1)应将复数化为代数形式z=a+bi(a,b∈R). (2)特别注意:若z为纯虚数,则b≠0且a=0;解出的数要使实部、虚部有意义. (3)如果两个复数都是实数,可以比较大小,否则是不能比较大小的. 返回 【即学即练】 1.(多选)下列说法正确的是(　　) A.对于复数a+bi(a,b∈R),若a=0,则a+bi为纯虚数 B.对于复数a+bi(a,b∈R),若b=0,则a+bi为实数 C.若a∈R,则(a2+1)i是纯虚数 D.若复数z∈R,则其虚部不存在 【解析】选BC.对于复数a+bi(a,b∈R),若a=0,b=0,则a+bi为实数0,若b=0,则 a+bi=a为实数,故A错误,B正确;若a∈R,则a2+1≠0,所以(a2+1)i是纯虚数,故 C正确;实数的虚部为0,故D错误. √ √ 返回 2.已知i为虚数单位,实数x满足x-1+(x2-5x-6)i≥0,则x=　　　　.  【解析】由题意, 即,解得x=6. 答案:6 返回 $ 7.1　复数的概念 7.1.1　数系的扩充和复数的概念 【学习目标】 1.理解与复数有关的基本概念.(数学抽象) 2.理解两个复数相等的含义.(逻辑推理) 3.能够应用复数的分类解决相关问题.(数学运算) 必备知识·自主导学 一、复数 1.复数的定义:把形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数,其中i叫做虚数单位,满足i2=-1 2.复数的表示:复数通常用字母z表示,即z=a+bi(a,b∈R),其中a叫做复数z的实部,b叫做复数z的虚部 【思考】 1.有人说“引进虚数单位后,我们得到了所有负数的平方根”,对这句话,你是怎样理解的? 提示:对于bi,有(bi)2=(bi)(bi)=b2i2=-b2,即bi是-b2的一个平方根,只要b≠0,-b2就是一个负数,而且任何负数都具有这个形式. 二、复数集 1.定义:全体复数构成的集合叫做复数集 2.表示:通常用大写字母C表示,即C={a+bi|a,b∈R}. 3.复数相等:设a,b,c,d都是实数,则a+bi=c+di⇔a=c且b=d 【思考】 2.两个复数可以相等,它们也一定可以比较大小,对吗? 提示:两个复数,只要不全是实数,我们只能说它们相等或不相等,不能比较大小. 三、复数的分类 1.复数z=a+bi(a,b∈R) 2.复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系 【明辨是非】(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)我们把形如a+bi的数叫做复数. (×) 提示:形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数. (2)实数是虚部等于零的复数. (√) (3)bi是纯虚数. (×) 提示:当b=0时,bi=0,是实数. (4)自然数是有理数,但不是复数. (×) 提示:自然数是复数. 关键能力·师生共研 类型1复数的有关概念(数学抽象) 【典例1】(1)(多选)下列命题正确的是 (　　) A.若z∈C,则z2≥0 B.2i-1的虚部是2i C.3i的实部是0 D.i是-1的一个平方根 【解析】选CD.复数的平方不一定大于0,如i2=-1<0,A不正确;2i-1的虚部是2,B不正确;3i可以表示为0+3i,其实部是0,C正确;因为i2=-1,所以i是-1的一个平方根,D正确. (2)已知复数z=a2-(2-b)i的实部和虚部分别是2和3,则实数a,b的值分别是　　　　.  【解析】由题意,得a2=2,-(2-b)=3, 所以a=±,b=5. 答案:±,5 【总结升华】 复数及相关概念的认识 (1)i为虚数单位,i2=i·i=-1; (2)复数z=a+bi(a,b∈R)中,a,b分别是z的实部与虚部. 类型2复数相等的充要条件(逻辑推理) 【典例2】已知i是虚数单位,m∈R,复数z1=(m2+m+1)+(m2+m-4)i,z2=3-2i,则“m=1”是“z1=z2”的 (　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【解析】选A.因为z1=z2,所以,解得m=1或-2,所以“m=1”是“z1=z2”的充分不必要条件. 【总结升华】 复数相等的充要条件应用的关注点 (1)应用:求参数的值; (2)方法:①确定两个复数的实部和虚部,②利用实部与实部、虚部与虚部分别相等,列方程组求解. 【即学即练】 已知(x+y-3)+(x-2)i=0(x,y∈R),则x+y=　　　　　.  【解析】因为x,y∈R,(x+y-3)+(x-2)i=0, 所以,解得, 所以x+y=3. 答案:3 类型3复数的分类及应用(数学运算) 【典例3】(易错·对对碰)复数z=sin 2α-(1-cos 2α)i,α∈[0,2π). (1)若复数z是实数,则α=　　　　;  (2)若复数z是纯虚数,则α=　　　　.  【解析】(1)因为复数z是实数, 所以-(1-cos 2α)=0,即cos 2α=1, 而α∈[0,2π),所以α=0或π. (2)因为复数z是纯虚数, 所以sin 2α=0,cos 2α≠1,α∈[0,2π), 所以α=或. 答案:(1)0或π　(2)或 【总结升华】 利用复数的分类求参数的关注点 (1)应将复数化为代数形式z=a+bi(a,b∈R). (2)特别注意:若z为纯虚数,则b≠0且a=0;解出的数要使实部、虚部有意义. (3)如果两个复数都是实数,可以比较大小,否则是不能比较大小的. 【即学即练】 1.(多选)下列说法正确的是 (　　) A.对于复数a+bi(a,b∈R),若a=0,则a+bi为纯虚数 B.对于复数a+bi(a,b∈R),若b=0,则a+bi为实数 C.若a∈R,则(a2+1)i是纯虚数 D.若复数z∈R,则其虚部不存在 【解析】选BC.对于复数a+bi(a,b∈R),若a=0,b=0,则a+bi为实数0,若b=0,则a+bi=a为实数,故A错误,B正确;若a∈R,则a2+1≠0,所以(a2+1)i是纯虚数,故C正确;实数的虚部为0,故D错误. 2.已知i为虚数单位,实数x满足x-1+(x2-5x-6)i≥0,则x=　　　　.  【解析】由题意, 即,解得x=6. 答案:6 - 1 - 学科网（北京）股份有限公司 $