2.课时跟踪检测练 55 专题突破课四 与球有关的内接、外切问题(Word版+PPT版)-【满分思维】2025-2026学年高中数学必修第二册（人教A版）

专题突破练四 (时间:45分钟　分值:55分) 1.(5分)将棱长为2的正方体木块削成一个体积最大的球,则该球的体积为 (　　) A. B. C. D. 【解析】选A.由题意知,此球是正方体的内切球,根据其几何特征知,此球的直径与正方体的棱长是相等的,故可得球的直径为2,故半径为1,其体积是×π×13=. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 选题清单 2.(5分)长方体的长、宽、高分别为a,2a,2a,它的顶点都在球面上,则这个球的体积是 (　　) A. B. C. D. 【解析】选C.设这个球的半径为R,根据条件可知,外接球直径 2R==3a,则R=a,所以该球的体积为πR3=πa3. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 选题清单 3.(5分)鲁班锁是中国传统的智力玩具,起源于古代建筑中首创的榫卯结构,这种三维的拼插器具内部的凹凸部分(即榫卯结构)啮合,十分巧妙,外观看是严丝合缝的十字立方体,其上下、左右、前后完全对称,从外表上看,六根等长的正四棱柱分成三组,经90°榫卯起来,如图,若正四棱柱的高为6,底面正方形的边长为1,现将该鲁班锁放进一个球形容器内,则该球形容器的表面积的最小值为(容器壁的厚度忽略不计) (　　) A.36π B.40π C.41π D.44π √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 选题清单 【解析】选C.由题意,外接球的直径是长方体的体对角线的长度时,球形容器的半径取得最小值,最小值为=,所以该球形容器的表面积的最小值为4π·=41π. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 选题清单 4.(5分)(多选)下列关于三棱柱ABC-A1B1C1的命题,正确的是 (　　) A.任意直三棱柱ABC-A1B1C1均有外接球 B.任意直三棱柱ABC-A1B1C1均有内切球 C.若正三棱柱ABC-A1B1C1有一个半径为1的内切球,则该三棱柱的体积 为6 D.若直三棱柱ABC-A1B1C1的外接球球心在一个侧面上,则该三棱柱的底 面是直角三角形 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 选题清单 【解析】选ACD.对于A,取连接直三棱柱上、下底面三角形外心的线段的中点O,则点O到直三棱柱各个顶点的距离均为,其中r为底面三角形外接圆的半径,h为直三棱柱的高,所以点O即为直三棱柱的外接球球心,A正确; 对于B,若直三棱柱有内切球,则其高等于直径,底面内切圆半径等于内切球半径,即底面内切圆半径需与直三棱柱高的一半相等,不是所有直三棱柱都符合,B错误; 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 选题清单 对于C,若正三棱柱的内切球半径为1,则正三棱柱的高为2,底面正三角形的高为3,设正三棱柱底面正三角形的边长为a,则=3,解得a=2, 所以该正三棱柱的体积V=×2=6,C正确; 对于D,若外接球球心在直三棱柱的侧面上,则球心为该侧面的中心,其到底面三角形各顶点的距离相等,所以球心在底面上的射影到底面三角形三个顶点的距离也相等,又该侧面中心在底面的投影在底面三角形的一条边上, 所以该投影为底面三角形一条边的中点,且到另一顶点的距离为该边长的一半,所以该底面三角形为直角三角形,D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 选题清单 5.(5分)已知四面体SABC的所有棱长为2,球O1是其内切球.若在该四面体中再放入一个球O2,使其与平面SAB,平面SBC,平面SAC以及球O1均相切,则球O2与球O1的半径的比值为(　　) A. B. C. D. 【解析】选D.如图,设S在平面ABC内的射影为O, R1为球O1的半径,R2为球O2的半径,F,H分别为球O1, 球O2与侧面SBC的切点. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 选题清单 在Rt△SAO中,该四面体的高h=SO== ===2. 又四面体的表面积S=4××(2)2=12,则S·R1=×3h,解得R1=, 由=,得=,即=,解得R2=,故=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 选题清单 6.(5分)(多选)在七面体MN-ABCD中,四边形ABCD为正方形且边长为2,MB,ND都与平面ABCD垂直,且MB=ND=h,则对这个多面体描述正确的是 (　　) A.当h=1时,它有外接球,且其半径为 B.当h=2时,它有外接球,且其半径为 C.当它有内切球时,h=2 D.当它有内切球时,h=4 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 选题清单 【解析】选ABD.以正方形ABCD为底面作长方体ABCD-PMQN,则这个长方体的外接球即为多面体MN-ABCD的外接球, 当h=1时,外接球半径为=,当h=2时, 外接球半径为=,故A,B正确; 设E,F分别为MN,AC的中点,若这个多面体有内切球, 则其球心O必在EF上,且半径为r=1. 设OH⊥AE,垂足为H,则由=,可得=, 解得h=4(h=0舍去),故C错误,D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 选题清单 7.(5分)棱长为a的正方体的外接球与内切球的表面积比为_________.  【解析】棱长为a的正方体的外接球的直径为正方体的体对角线,即外接球的半径为a, 棱长为a的正方体的内切球的半径为, 所以外接球与内切球的表面积之比为3∶1. 　3∶1　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 选题清单 8.(5分)在三棱锥A-BCD中,若AD⊥平面BCD,AB⊥BC,AD=BD=2,CD=4,点A,B,C,D在同一个球面上,则该球的表面积为________.  【解析】根据题意得,BC⊥平面ABD, 则BC⊥BD,即AD,BC,BD两两垂直, 所以可将三棱锥A-BCD放置于长方体内,如图所示, 该三棱锥的外接球即为长方体的外接球,球心为长方体体对角线的中点, 即外接球的半径为长方体体对角线长的一半,此时AC为长方体的体对角线,即为外接球的直径,所以该球的表面积S=4πR2=π·AC2=π·(22+42)=20π. 　20π　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 选题清单 9.(5分)已知体积为的正三棱锥V-ABC的外接球的球心为O,满足 + + =0,则该三棱锥外接球的体积为________.  【解析】由题意知, + = ,说明正三角形ABC的顶点在球O的 大圆上. 设球的半径为R,则该三棱锥的底面正三角形ABC的高为,△ABC的边长 为R,所以正三棱锥V-ABC的体积为×(R)2×R=,解得R3=4, 则该三棱锥外接球的体积为πR3=π. 　π　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 选题清单 10.(10分)四面体的四个顶点都在半径为R1的球O1上,该四面体各棱长都相等,如图①.正方体的八个顶点都在半径为R2的球O2上,如图②.八面体的六个顶点都在半径为R3的球O3上,该八面体各棱长都相等,四边形ABCD是正方形,如图③.设四面体、正方体、八面体的表面积分别为S4,S6,S8.若R1∶R2∶R3=.求证:S4=S6=S8. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 选题清单 【证明】设正四面体的棱长为a4, 如图,正四面体A'B'C'D'内接于棱长为的正方体内, 则易求R1=a4,所以a4=,所以S4=4×=; 设正方体的棱长为a6,则2R2=a6,所以a6=,所以S6=6=8; 设八面体的棱长为a8,其外接球球心为AC的中点,则a8=R3, 所以S8=8×=4. 因为R1∶R2∶R3=,所以设R1=R,R2=R,R3=R, 所以S4=S6=S8=8R2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 选题清单 $ 专题突破练四 (时间:45分钟　分值:55分) 1.(5分)将棱长为2的正方体木块削成一个体积最大的球,则该球的体积为 (　　) A. B. C. D. 【解析】选A.由题意知,此球是正方体的内切球,根据其几何特征知,此球的直径与正方体的棱长是相等的,故可得球的直径为2,故半径为1,其体积是×π×13=. 2.(5分)长方体的长、宽、高分别为a,2a,2a,它的顶点都在球面上,则这个球的体积是 (　　) A. B. C. D. 【解析】选C.设这个球的半径为R,根据条件可知,外接球直径2R==3a,则R=a,所以该球的体积为πR3=πa3. 3.(5分)鲁班锁是中国传统的智力玩具,起源于古代建筑中首创的榫卯结构,这种三维的拼插器具内部的凹凸部分(即榫卯结构)啮合,十分巧妙,外观看是严丝合缝的十字立方体,其上下、左右、前后完全对称,从外表上看,六根等长的正四棱柱分成三组,经90°榫卯起来,如图,若正四棱柱的高为6,底面正方形的边长为1,现将该鲁班锁放进一个球形容器内,则该球形容器的表面积的最小值为(容器壁的厚度忽略不计) (　　) A.36π B.40π C.41π D.44π 【解析】选C.由题意,外接球的直径是长方体的体对角线的长度时,球形容器的半径取得最小值,最小值为=,所以该球形容器的表面积的最小值为4π·=41π. 4.(5分)(多选)下列关于三棱柱ABC-A1B1C1的命题,正确的是 (　　) A.任意直三棱柱ABC-A1B1C1均有外接球 B.任意直三棱柱ABC-A1B1C1均有内切球 C.若正三棱柱ABC-A1B1C1有一个半径为1的内切球,则该三棱柱的体积为6 D.若直三棱柱ABC-A1B1C1的外接球球心在一个侧面上,则该三棱柱的底面是直角三角形 【解析】选ACD.对于A,取连接直三棱柱上、下底面三角形外心的线段的中点O,则点O到直三棱柱各个顶点的距离均为,其中r为底面三角形外接圆的半径,h为直三棱柱的高, 所以点O即为直三棱柱的外接球球心,A正确; 对于B,若直三棱柱有内切球,则其高等于直径,底面内切圆半径等于内切球半径, 即底面内切圆半径需与直三棱柱高的一半相等,不是所有直三棱柱都符合,B错误; 对于C,若正三棱柱的内切球半径为1,则正三棱柱的高为2,底面正三角形的高为3, 设正三棱柱底面正三角形的边长为a,则=3,解得a=2, 所以该正三棱柱的体积V=×2=6,C正确; 对于D,若外接球球心在直三棱柱的侧面上,则球心为该侧面的中心,其到底面三角形各顶点的距离相等,所以球心在底面上的射影到底面三角形三个顶点的距离也相等,又该侧面中心在底面的投影在底面三角形的一条边上, 所以该投影为底面三角形一条边的中点,且到另一顶点的距离为该边长的一半, 所以该底面三角形为直角三角形,D正确. 5.(5分)已知四面体SABC的所有棱长为2,球O1是其内切球.若在该四面体中再放入一个球O2,使其与平面SAB,平面SBC,平面SAC以及球O1均相切,则球O2与球O1的半径的比值为 (　　) A. B. C. D. 【解析】选D.如图,设S在平面ABC内的射影为O,R1为球O1的半径,R2为球O2的半径,F,H分别为球O1,球O2与侧面SBC的切点. 在Rt△SAO中,该四面体的高h=SO== ===2. 又四面体的表面积S=4××(2)2=12,则S·R1=×3h,解得R1=, 由=,得=,即=,解得R2=,故=. 6.(5分)(多选)在七面体MN-ABCD中,四边形ABCD为正方形且边长为2,MB,ND都与平面ABCD垂直,且MB=ND=h,则对这个多面体描述正确的是 (　　) A.当h=1时,它有外接球,且其半径为 B.当h=2时,它有外接球,且其半径为 C.当它有内切球时,h=2 D.当它有内切球时,h=4 【解析】选ABD.以正方形ABCD为底面作长方体ABCD-PMQN,则这个长方体的外接球即为多面体MN-ABCD的外接球, 当h=1时,外接球半径为=, 当h=2时,外接球半径为=,故A,B正确; 设E,F分别为MN,AC的中点,若这个多面体有内切球,则其球心O必在EF上,且半径为r=1. 设OH⊥AE,垂足为H,则由=, 可得=,解得h=4(h=0舍去),故C错误,D正确. 7.(5分)棱长为a的正方体的外接球与内切球的表面积比为　3∶1　.  【解析】棱长为a的正方体的外接球的直径为正方体的体对角线,即外接球的半径为a, 棱长为a的正方体的内切球的半径为, 所以外接球与内切球的表面积之比为3∶1. 8.(5分)在三棱锥A-BCD中,若AD⊥平面BCD,AB⊥BC,AD=BD=2,CD=4,点A,B,C,D在同一个球面上,则该球的表面积为　20π　.  【解析】根据题意得,BC⊥平面ABD, 则BC⊥BD,即AD,BC,BD两两垂直, 所以可将三棱锥A-BCD放置于长方体内,如图所示, 该三棱锥的外接球即为长方体的外接球,球心为长方体体对角线的中点, 即外接球的半径为长方体体对角线长的一半,此时AC为长方体的体对角线,即为外接球的直径, 所以该球的表面积S=4πR2=π·AC2=π·(22+42)=20π. 9.(5分)已知体积为的正三棱锥V-ABC的外接球的球心为O,满足++=0,则该三棱锥外接球的体积为　π　.  【解析】由题意知,+=,说明正三角形ABC的顶点在球O的大圆上.设球的半径为R, 则该三棱锥的底面正三角形ABC的高为,△ABC的边长为R, 所以正三棱锥V-ABC的体积为×(R)2×R=,解得R3=4, 则该三棱锥外接球的体积为πR3=π. 10.(10分)四面体的四个顶点都在半径为R1的球O1上,该四面体各棱长都相等,如图①.正方体的八个顶点都在半径为R2的球O2上,如图②.八面体的六个顶点都在半径为R3的球O3上,该八面体各棱长都相等,四边形ABCD是正方形,如图③.设四面体、正方体、八面体的表面积分别为S4,S6,S8.若R1∶R2∶R3=.求证:S4=S6=S8. 【证明】设正四面体的棱长为a4, 如图,正四面体A'B'C'D'内接于棱长为的正方体内, 则易求R1=a4,所以a4=,所以S4=4×=; 设正方体的棱长为a6,则2R2=a6,所以a6=,所以S6=6=8; 设八面体的棱长为a8,其外接球球心为AC的中点,则a8=R3,所以S8=8×=4. 因为R1∶R2∶R3=,所以设R1=R,R2=R,R3=R, 所以S4=S6=S8=8R2. - 5 - 学科网（北京）股份有限公司 $