2.课时跟踪检测练 54 专题突破课三 三角形中的最值范围问题(Word版+PPT版)-【满分思维】2025-2026学年高中数学必修第二册（人教A版）

专题突破练三 (时间:45分钟　分值:55分) 1.(5分)在△ABC中,A,B,C的对边分别是a,b,c,若A=120°,a=1,则b+c的最大值为 (　　) A. B. C.2 D.1 【解析】选B.由A=120°,a=1,代入余弦定理可得: 1=b2+c2+bc=(b+c)2-bc≥(b+c)2-=(b+c)2, 当且仅当b=c=时取等号,所以b+c≤. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 选题清单 2.(5分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若2acos B+c=0,则tan C的最大值是 (　　) A.1 B. C. D. 【解析】选B.由余弦定理,2acos B+c=+c=0,即a2+2c2=b2, 而cos C==≥=, 当且仅当b=a时等号成立,又0<C<π,则0<C≤,故Cmax=,所以tan C的最大值是. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 选题清单 3.(5分)(2025·福州高一检测)已知在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若c2=a(a+b),∈(,),则角A的取值范围是(　　) A.(,) B.(,) C.(,) D.(,) 【解析】选B.在△ABC中,由c2=a(a+b),得c2-a2=ab>0,则c>a,0<A<, 由余弦定理得ccos A-acos C=c·-a·==a, 因此=sin A,依题意,sin A∈(,),则A∈(,), 即角A的取值范围是(,). √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 选题清单 4.(5分)(2025·六安高一检测)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a=2,A=30°,则△ABC面积的最大值为 (　　) A.3 B.2 C.3+ D.2+ 【解析】选D.由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A=b2+c2-bc=4, 因为4=b2+c2-bc≥2bc-bc=(2-)bc,当且仅当b2=c2=8+4时等号成立,所以bc≤=8+4,故S△ABC=bcsin A=bc≤×(8+4)=2+. 即△ABC面积的最大值为2+. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 选题清单 5.(5分)已知锐角△ABC,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且acos C+ccos A=2bcos B,则的取值范围是(　　) A.(,2) B.(,) C.(,2) D.(,2) √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 选题清单 【解析】选A.由acos C+ccos A=2bcos B及正弦定理得,sin Acos C+sin Ccos A =2sin Bcos B,即sin(A+C)=2sin Bcos B⇒sin B=2sin Bcos B, 又0<B<π,所以sin B≠0,所以cos B=,得B=,所以A+C=, 又===, 即=·+,又△ABC为锐角三角形,所以<A<,所以tan A>, 所以0<<,即<·+<2,所以的取值范围是(,2). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 选题清单 6.(5分)(多选)(2025·莆田高一检测)在△ABC中,BC=4,sin A=m(m为常数), · 的最大值为12,则(　　) A.A为锐角 B.△ABC面积的最大值为8 C.m= D.△ABC周长的最大值为4+4 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 选题清单 【解析】选BD.对于A,由 · =| || |cos A的最大值为12,sin A=m(m为常数)知点A的轨迹为圆(去除B,C两点),且BC不是直径,故A可以为钝角,故A错误;对于B,C,记AB=c,BC=a,CA=b,由余弦定理得b2+c2-2bccos A=16, 即2bccos A=b2+c2-16≥2bc-16,可得(1-cos A)bc≤8, 当且仅当b=c时取等号,于是bc≤,即得 · =bccos A≤, 依题意,=12,解得cos A=,此时sin A=,即m=, △ABC的面积S=bcsin A =bc=bc,故其最大值为:Smax==8,故B正确,C错误; 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 选题清单 对于D,因为△ABC的周长为l=a+b+c=4+b+c,由正弦定理得,==, 可得b=5sin B,c=5sin C=5sin(A+B)=4cos B+3sin B, 于是,l=4+b+c=4+8sin B+4cos B=4+4sin(B+φ),其中,tan φ=, 故当sin(B+φ)=1时,△ABC的周长取得最大值为4+4,故D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 选题清单 7.(5分)(2025·常州高一检测)已知在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c, (a2+b2-c2)=absin C,c=2,则△ABC的面积的最大值为________.  【解析】在△ABC中,由(a2+b2-c2)=absin C及余弦定理, 得2abcos C=absin C,整理得sin C=2cos C,易得C为锐角, 又sin2C+cos2C=1,解得sin C=,cos C=,由c=2及余弦定理, 得4=a2+b2-2abcos C=a2+b2-≥2ab-=,解得ab≤3, 当且仅当a=b=时取等号,因此S△ABC=absin C=ab≤, 所以△ABC的面积的最大值为. 　　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 选题清单 8.(5分)(2025·厦门高一学业水平考试)在锐角△ABC中,角A,B,C的对边分别 为a,b,c,若b2+c2-a2=bc,c=4,则a的取值范围是___________.  　(2,4)　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 选题清单 【解析】在锐角△ABC中,有0<A<,0<B<,0<C<, 由余弦定理得cos A=,把b2+c2-a2=bc代入得,cos A=, 又0<A<,所以A=,则B=π-(A+C)=-C,由,得<C<. 在△ABC中,由正弦定理得=,a===, 因为<C<,所以<sin C<1,2<a<4. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 选题清单 9.(5分)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若C=,a+b=6,则△ABC周 长的最小值为______.  【解析】由余弦定理c2=a2+b2-2abcos C得:a2+b2=c2+ab,即(a+b)2=c2+3ab, 又a+b=6,则36-c2=3ab,所以36-c2=3ab≤3×()2=27,即c2≥9, 则c≥3,又因为两边之和大于第三边,即3≤c<a+b=6,所以c的取值范围为[3,6), 所以△ABC周长的最小值为a+b+3=9. 　9　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 选题清单 10.(10分)(2025·烟台高一检测)请在①向量x=(cos C,c-2a),y=(b,cos B),且x⊥y;②(a2-b2)sin A=(b2-c2)sin C这两个条件中任选一个,填入横线上并解答. 在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足　　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 选题清单 (1)求B的大小; 【解析】(1)选择①:因为x⊥y,所以(2a-c)cos B=bcos C, 由正弦定理得(2sin A-sin C)cos B=sin Bcos C, 即2sin Acos B=sin Ccos B+cos Csin B,即2sin Acos B=sin(B+C)=sin A, 因为A∈(0,π),所以sin A>0,所以cos B=,又B∈(0,π),所以B=. 选择②:因为(a2-b2)sin A=(b2-c2)sin C,由正弦定理得,(a2-b2)a=(b2-c2)c, 即a3+c3=ab2+b2c,即(a+c)(a2-ac+c2)=b2(a+c),即a2-ac+c2=b2,即a2+c2-b2=ac, 由余弦定理得,cos B==,又B∈(0,π),所以B=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 选题清单 (2)若b=2,求△ABC周长的取值范围; 【解析】(2)由余弦定理b2=a2+c2-2accos B得,a2+c2-ac=(a+c)2-3ac=4, 即3ac=(a+c)2-4≤(a+c)2,即(a+c)2≤16, 所以2<a+c≤4,得4<a+b+c≤6,当且仅当a=c=2时取等号, 所以△ABC周长的取值范围为(4,6]. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 选题清单 (3)若AC边上的高为1,求△ABC面积的最小值. 【解析】(3)由面积公式S△ABC=b=acsin B,得b=ac, 由余弦定理可得b2=a2+c2-2accos B,即b2=a2+c2-ac,所以(ac)2=a2+c2-ac≥ac,所以ac≥,当且仅当a=c时等号成立 所以S△ABC=acsin B≥, 所以△ABC面积的最小值为. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 选题清单 $ 专题突破练三 (时间:45分钟　分值:55分) 1.(5分)在△ABC中,A,B,C的对边分别是a,b,c,若A=120°,a=1,则b+c的最大值为 (　　) A. B. C.2 D.1 【解析】选B.由A=120°,a=1,代入余弦定理可得: 1=b2+c2+bc=(b+c)2-bc≥(b+c)2-=(b+c)2, 当且仅当b=c=时取等号,所以b+c≤. 2.(5分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若2acos B+c=0,则tan C的最大值是 (　　) A.1 B. C. D. 【解析】选B.由余弦定理,2acos B+c=+c=0,即a2+2c2=b2, 而cos C==≥=, 当且仅当b=a时等号成立, 又0<C<π,则0<C≤,故Cmax=,所以tan C的最大值是. 3.(5分)(2025·福州高一检测)已知在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若c2=a(a+b),∈(,),则角A的取值范围是 (　　) A.(,) B.(,) C.(,) D.(,) 【解析】选B.在△ABC中,由c2=a(a+b),得c2-a2=ab>0,则c>a,0<A<, 由余弦定理得ccos A-acos C=c·-a·==a, 因此=sin A,依题意,sin A∈(,),则A∈(,), 即角A的取值范围是(,). 4.(5分)(2025·六安高一检测)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a=2,A=30°,则△ABC面积的最大值为 (　　) A.3 B.2 C.3+ D.2+ 【解析】选D.由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A=b2+c2-bc=4, 因为4=b2+c2-bc≥2bc-bc=(2-)bc,当且仅当b2=c2=8+4时等号成立, 所以bc≤=8+4,故S△ABC=bcsin A=bc≤×(8+4)=2+. 即△ABC面积的最大值为2+. 5.(5分)已知锐角△ABC,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且acos C+ccos A=2bcos B,则的取值范围是 (　　) A.(,2) B.(,) C.(,2) D.(,2) 【解析】选A.由acos C+ccos A=2bcos B及正弦定理得,sin Acos C+sin Ccos A=2sin Bcos B, 即sin(A+C)=2sin Bcos B⇒sin B=2sin Bcos B, 又0<B<π,所以sin B≠0,所以cos B=,得B=,所以A+C=, 又===, 即=·+,又△ABC为锐角三角形,所以<A<,所以tan A>, 所以0<<,即<·+<2, 所以的取值范围是(,2). 6.(5分)(多选)(2025·莆田高一检测)在△ABC中,BC=4,sin A=m(m为常数),·的最大值为12,则 (　　) A.A为锐角 B.△ABC面积的最大值为8 C.m= D.△ABC周长的最大值为4+4 【解析】选BD.对于A,由·=||||cos A的最大值为12,sin A=m(m为常数)知点A的轨迹为圆(去除B,C两点),且BC不是直径,故A可以为钝角,故A错误; 对于B,C,记AB=c,BC=a,CA=b,由余弦定理得b2+c2-2bccos A=16,即2bccos A=b2+c2-16≥2bc-16,可得(1-cos A)bc≤8, 当且仅当b=c时取等号,于是bc≤, 即得·=bccos A≤, 依题意,=12,解得cos A=, 此时sin A=,即m=, △ABC的面积S=bcsin A=bc=bc, 故其最大值为:Smax==8,故B正确,C错误; 对于D,因为△ABC的周长为l=a+b+c=4+b+c,由正弦定理得,==,可得b=5sin B,c=5sin C=5sin(A+B)=4cos B+3sin B, 于是,l=4+b+c=4+8sin B+4cos B=4+4sin(B+φ),其中,tan φ=, 故当sin(B+φ)=1时,△ABC的周长取得最大值为4+4,故D正确. 7.(5分)(2025·常州高一检测)已知在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,(a2+b2-c2)=absin C,c=2,则△ABC的面积的最大值为　　.  【解析】在△ABC中,由(a2+b2-c2)=absin C及余弦定理,得2abcos C=absin C, 整理得sin C=2cos C,易得C为锐角, 又sin2C+cos2C=1,解得sin C=,cos C=, 由c=2及余弦定理,得4=a2+b2-2abcos C=a2+b2-≥2ab-=, 解得ab≤3,当且仅当a=b=时取等号, 因此S△ABC=absin C=ab≤,所以△ABC的面积的最大值为. 8.(5分)(2025·厦门高一学业水平考试)在锐角△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若b2+c2-a2=bc,c=4,则a的取值范围是　(2,4)　.  【解析】在锐角△ABC中,有0<A<,0<B<,0<C<, 由余弦定理得cos A=,把b2+c2-a2=bc代入得,cos A=,又0<A<,所以A=,则B=π-(A+C)=-C,由,得<C<. 在△ABC中,由正弦定理得=,a===, 因为<C<,所以<sin C<1,2<a<4. 9.(5分)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若C=,a+b=6,则△ABC周长的最小值为 　9　.  【解析】由余弦定理c2=a2+b2-2abcos C得:a2+b2=c2+ab,即(a+b)2=c2+3ab,又a+b=6, 则36-c2=3ab,所以36-c2=3ab≤3×()2=27,即c2≥9, 则c≥3,又因为两边之和大于第三边,即3≤c<a+b=6,所以c的取值范围为[3,6),所以△ABC周长的最小值为a+b+3=9. 10.(10分)(2025·烟台高一检测)请在①向量x=(cos C,c-2a),y=(b,cos B),且x⊥y;②(a2-b2)sin A=(b2-c2)sin C这两个条件中任选一个,填入横线上并解答. 在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足　　　　　.  (1)求B的大小; 【解析】(1)选择①:因为x⊥y,所以(2a-c)cos B=bcos C,由正弦定理得(2sin A-sin C)cos B=sin Bcos C,即2sin Acos B=sin Ccos B+cos Csin B,即2sin Acos B=sin(B+C)=sin A, 因为A∈(0,π),所以sin A>0,所以cos B=,又B∈(0,π),所以B=. 选择②:因为(a2-b2)sin A=(b2-c2)sin C,由正弦定理得,(a2-b2)a=(b2-c2)c, 即a3+c3=ab2+b2c,即(a+c)(a2-ac+c2)=b2(a+c), 即a2-ac+c2=b2,即a2+c2-b2=ac, 由余弦定理得,cos B==,又B∈(0,π),所以B=. (2)若b=2,求△ABC周长的取值范围; 【解析】(2)由余弦定理b2=a2+c2-2accos B得,a2+c2-ac=(a+c)2-3ac=4, 即3ac=(a+c)2-4≤(a+c)2,即(a+c)2≤16, 所以2<a+c≤4,得4<a+b+c≤6,当且仅当a=c=2时取等号, 所以△ABC周长的取值范围为(4,6]. (3)若AC边上的高为1,求△ABC面积的最小值. 【解析】(3)由面积公式S△ABC=b=acsin B,得b=ac, 由余弦定理可得b2=a2+c2-2accos B,即b2=a2+c2-ac,所以(ac)2=a2+c2-ac≥ac,所以ac≥,当且仅当a=c时等号成立 所以S△ABC=acsin B≥, 所以△ABC面积的最小值为. - 5 - 学科网（北京）股份有限公司 $