2.课时跟踪检测练 57 专题突破课六 空间中的平行关系(Word版+PPT版)-【满分思维】2025-2026学年高中数学必修第二册（人教A版）

专题突破练六 (时间:45分钟　分值:60分) 1.(5分)过平行六面体ABCD-A1B1C1D1任意两条棱的中点作直线,其中与平面DBB1D1平行的直线共有 (　　) A.4条 B.6条 C.8条 D.12条 【解析】选D.如图,过平行六面体ABCD-A1B1C1D1任意两条棱的中点作直线,其中与平面DBB1D1平行的直线有12条. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 选题清单 2.(5分)如图,已知平面α∥平面β,点P为α,β外一点,直线PB,PD分别与α,β相交于A,B和C,D,则AC与BD的位置关系为 (　　) A.平行 B.相交 C.异面 D.平行或异面 【解析】选A.由题意知:P,A,B,C,D在同一平面内,且平面PBD∩平面α=AC,平面PBD∩平面β=BD,因为平面α∥平面β,所以AC∥BD. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 选题清单 3.(5分)如图,在多面体ACBDE中,BD∥AE,且BD=2,AE=1,F在CD上,要使AC∥平面EFB,则的值为(　　) A.3 B.2 C.1 D. 【解析】选B.连接AD,EB相交于点O,连接OF, 因为BD∥AE,且BD=2,AE=1,所以==2.因为AC∥平面EFB, AC⊂平面ACD,平面ACD∩平面EFB=OF,所以AC∥OF, 所以==2. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 选题清单 4.(5分)如图甲,在梯形ABCD中,AB∥CD,CD=2AB,E,F分别为AD,CD的中点,以AF为折痕把△ADF折起,使点D不落在平面ABCF内(如图乙),那么在以下3个结论中,正确结论的个数是 (　　) ①AF∥平面BCD;②BE∥平面CDF;③CD∥平面BEF. A.0 B.1 C.2 D.3 【解析】选C.在梯形ABCD中,AB∥CD,CD=2AB, E,F分别为AD,CD的中点,以AF为折痕把△ADF折起, 使点D不落在平面ABCF内,对于①,由题意得AB CF, 所以四边形ABCF是平行四边形,所以AF∥BC, √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 选题清单 因为AF⊄平面BCD,BC⊂平面BCD,所以AF∥平面BCD,故①正确; 对于②,取DF中点G,连接EG,CG,因为E是AD中点,所以EG BC, 所以BE与CG相交,所以BE与平面CDF相交,故②错误; 对于③,连接AC,BD交于点O,连接OE, 因为四边形ABCF是平行四边形,所以O是AC中点,所以OE∥CD, 因为OE⊂平面BEF,CD⊄平面BEF,所以CD∥平面BEF,故③正确. 综上,正确结论的个数是2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 选题清单 5.(5分)如图是正方体的表面展开图,E,F,G,H分别是棱的中点,则EF与GH 在原正方体中的位置关系为_________.  　平行　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 选题清单 【解析】由题意,将正方体的表面展开图还原构造成正方体,如图所示: 分别取AB,AA1的中点Q,P,连接EP,FQ,PQ,A1B,由正方体的结构特征 可得EF∥PQ, 又因为点Q,P,H,G分别是AB,AA1,A1B1,BB1的中点,故PQ∥A1B,HG∥A1B, 故PQ∥HG,所以EF∥GH. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 选题清单 6.(5分)如图,在棱长为4的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是AB,DD1的中 点,点P是DD1上一点,且PB∥平面CEF,则四棱锥P-ABCD外接球的表面积 为________.  　41π　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 选题清单 【解析】连接BD交CE于点O,连接OF,则==,因为PB∥平面CEF, PB⊂平面PBD,平面PBD∩平面CEF=OF, 所以BP∥OF,==. 因为F是DD1的中点,DD1=4,所以DP=3, 所以三棱锥P-ABCD外接球直径为=, 所以所求表面积为41π. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 选题清单 7.(10分)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,D,E,F分别为BC,AC,A1C1的中点,AB=BC.求证: (1)A1B1∥平面DEC1; 【证明】(1)因为在三棱柱ABC-A1B1C1中, D,E分别为BC,AC的中点, 所以DE∥AB,AB∥A1B1,所以DE∥A1B1, 因为DE⊂平面DEC1,A1B1⊄平面DEC1, 所以A1B1∥平面DEC1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 选题清单 (2)平面ABF∥平面DEC1. 【证明】(2)因为AB∥DE,AB⊄平面DEC1,DE⊂平面DEC1, 所以AB∥平面DEC1. 因为F,E分别为A1C1,AC的中点,A1C1∥AC,所以FC1∥AE,且FC1=AE, 所以四边形FC1EA是平行四边形,所以AF∥EC1. 又EC1⊂平面DEC1,AF⊄平面DEC1,所以AF∥平面DEC1. 又AB,AF⊂平面ABF,AB∩AF=A,所以平面ABF∥平面DEC1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 选题清单 8.(10分)在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是菱形,E为侧棱PD(不含端点)上的动点. (1)是否存在一点E,使得PB∥平面AEC?若存在,请说明点E的位置,并证明你的结论;若不存在,请说明理由. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 选题清单 【解析】(1)当E为PD的中点时,PB∥平面AEC.证明如下: 如图,连接BD, 设AC∩BD=O,则O为BD的中点. 连接EO,由E,O分别为PD,BD的中点,知EO为△PBD的中位线,所以EO∥PB. 又EO⊂平面AEC,PB⊄平面AEC,所以PB∥平面AEC. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 选题清单 (2)若点F在CD上,且PE∶ED=CF∶FD,在棱PA(不含端点)上是否存在点G,使得平面BCG∥平面AEF?若存在,请证明你的结论;若不存在,请说明理由. 【解析】(2)不存在符合题意的点G. 理由如下:假设存在点G满足题意. 如图,因为平面BCG∩平面ABCD=BC, 平面AEF∩平面ABCD=AF, 又平面BCG∥平面AEF,所以BC∥AF. 又在菱形ABCD中,BC∥AD,所以在平面ABCD内,过A点有两条直线AF,AD同时平行于BC,矛盾,所以在棱PA(不含端点)上不存在点G,使得平面BCG∥平面AEF. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 选题清单 9.(10分)如图,在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,点M是线段B1D1上的一个动点,E,F分别是BC,CM的中点. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 选题清单 (1)求证:EF∥平面BDD1B1; 【证明】(1)在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,连接BM,如图, 因为E,F分别是BC,CM的中点, 则有EF∥BM, 又因为EF⊄平面BDD1B1,BM⊂平面BDD1B1, 所以EF∥平面BDD1B1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 选题清单 (2)设G为棱CD上的中点,求证:平面GEF∥平面BDD1B1. 【证明】(2)取CD的中点G,连接EG,FG,如图, 由E是BC的中点,于是得EG∥BD, 而EG⊄平面BDD1B1,BD⊂平面BDD1B1, 从而得EG∥平面BDD1B1, 由(1)知EF∥平面BDD1B1, EF∩EG=E,且EF,EG⊂平面GEF, 所以平面GEF∥平面BDD1B1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 选题清单 $ 专题突破练六 (时间:45分钟　分值:60分) 1.(5分)过平行六面体ABCD-A1B1C1D1任意两条棱的中点作直线,其中与平面DBB1D1平行的直线共有 (　　) A.4条 B.6条 C.8条 D.12条 【解析】选D.如图,过平行六面体ABCD-A1B1C1D1任意两条棱的中点作直线,其中与平面DBB1D1平行的直线有12条. 2.(5分)如图,已知平面α∥平面β,点P为α,β外一点,直线PB,PD分别与α,β相交于A,B和C,D,则AC与BD的位置关系为 (　　) A.平行 B.相交 C.异面 D.平行或异面 【解析】选A.由题意知:P,A,B,C,D在同一平面内,且平面PBD∩平面α=AC,平面PBD∩平面β=BD,因为平面α∥平面β,所以AC∥BD. 3.(5分)如图,在多面体ACBDE中,BD∥AE,且BD=2,AE=1,F在CD上,要使AC∥平面EFB,则的值为 (　　) A.3 B.2 C.1 D. 【解析】选B.连接AD,EB相交于点O,连接OF, 因为BD∥AE,且BD=2,AE=1,所以==2.因为AC∥平面EFB,AC⊂平面ACD,平面ACD∩平面EFB=OF,所以AC∥OF, 所以==2. 4.(5分)如图甲,在梯形ABCD中,AB∥CD,CD=2AB,E,F分别为AD,CD的中点,以AF为折痕把△ADF折起,使点D不落在平面ABCF内(如图乙),那么在以下3个结论中,正确结论的个数是 (　　) ①AF∥平面BCD;②BE∥平面CDF;③CD∥平面BEF. A.0 B.1 C.2 D.3 【解析】选C.在梯形ABCD中,AB∥CD,CD=2AB,E,F分别为AD,CD的中点, 以AF为折痕把△ADF折起,使点D不落在平面ABCF内, 对于①,由题意得ABCF,所以四边形ABCF是平行四边形,所以AF∥BC,因为AF⊄平面BCD,BC⊂平面BCD,所以AF∥平面BCD,故①正确; 对于②,取DF中点G,连接EG,CG,因为E是AD中点,所以EGBC,所以BE与CG相交,所以BE与平面CDF相交,故②错误; 对于③,连接AC,BD交于点O,连接OE, 因为四边形ABCF是平行四边形,所以O是AC中点,所以OE∥CD,因为OE⊂平面BEF,CD⊄平面BEF,所以CD∥平面BEF,故③正确. 综上,正确结论的个数是2. 5.(5分)如图是正方体的表面展开图,E,F,G,H分别是棱的中点,则EF与GH在原正方体中的位置关系为　平行　.  【解析】由题意,将正方体的表面展开图还原构造成正方体,如图所示: 分别取AB,AA1的中点Q,P,连接EP,FQ,PQ,A1B,由正方体的结构特征可得EF∥PQ, 又因为点Q,P,H,G分别是AB,AA1,A1B1,BB1的中点,故PQ∥A1B,HG∥A1B, 故PQ∥HG,所以EF∥GH. 6.(5分)如图,在棱长为4的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是AB,DD1的中点,点P是DD1上一点,且PB∥平面CEF,则四棱锥P-ABCD外接球的表面积为　41π　.  【解析】连接BD交CE于点O,连接OF,则==,因为PB∥平面CEF,PB⊂平面PBD,平面PBD∩平面CEF=OF, 所以BP∥OF,==. 因为F是DD1的中点,DD1=4,所以DP=3, 所以三棱锥P-ABCD外接球直径为=,所以所求表面积为41π. 7.(10分)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,D,E,F分别为BC,AC,A1C1的中点,AB=BC.求证: (1)A1B1∥平面DEC1; 【证明】(1)因为在三棱柱ABC-A1B1C1中,D,E分别为BC,AC的中点, 所以DE∥AB,AB∥A1B1,所以DE∥A1B1, 因为DE⊂平面DEC1,A1B1⊄平面DEC1, 所以A1B1∥平面DEC1. (2)平面ABF∥平面DEC1. 【证明】(2)因为AB∥DE,AB⊄平面DEC1,DE⊂平面DEC1,所以AB∥平面DEC1. 因为F,E分别为A1C1,AC的中点,A1C1∥AC, 所以FC1∥AE,且FC1=AE, 所以四边形FC1EA是平行四边形, 所以AF∥EC1. 又EC1⊂平面DEC1,AF⊄平面DEC1, 所以AF∥平面DEC1. 又AB,AF⊂平面ABF,AB∩AF=A, 所以平面ABF∥平面DEC1. 8.(10分)在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是菱形,E为侧棱PD(不含端点)上的动点. (1)是否存在一点E,使得PB∥平面AEC?若存在,请说明点E的位置,并证明你的结论;若不存在,请说明理由. 【解析】(1)当E为PD的中点时,PB∥平面AEC.证明如下: 如图,连接BD, 设AC∩BD=O,则O为BD的中点. 连接EO,由E,O分别为PD,BD的中点,知EO为△PBD的中位线,所以EO∥PB. 又EO⊂平面AEC,PB⊄平面AEC,所以PB∥平面AEC. (2)若点F在CD上,且PE∶ED=CF∶FD,在棱PA(不含端点)上是否存在点G,使得平面BCG∥平面AEF?若存在,请证明你的结论;若不存在,请说明理由. 【解析】(2)不存在符合题意的点G. 理由如下:假设存在点G满足题意. 如图,因为平面BCG∩平面ABCD=BC,平面AEF∩平面ABCD=AF, 又平面BCG∥平面AEF,所以BC∥AF. 又在菱形ABCD中,BC∥AD, 所以在平面ABCD内,过A点有两条直线AF,AD同时平行于BC,矛盾, 所以在棱PA(不含端点)上不存在点G,使得平面BCG∥平面AEF. 9.(10分)如图,在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,点M是线段B1D1上的一个动点,E,F分别是BC,CM的中点. (1)求证:EF∥平面BDD1B1; 【证明】(1)在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,连接BM,如图, 因为E,F分别是BC,CM的中点, 则有EF∥BM, 又因为EF⊄平面BDD1B1,BM⊂平面BDD1B1, 所以EF∥平面BDD1B1. (2)设G为棱CD上的中点,求证:平面GEF∥平面BDD1B1. 【证明】(2)取CD的中点G,连接EG,FG,如图, 由E是BC的中点,于是得EG∥BD, 而EG⊄平面BDD1B1,BD⊂平面BDD1B1, 从而得EG∥平面BDD1B1, 由(1)知EF∥平面BDD1B1, EF∩EG=E,且EF,EG⊂平面GEF, 所以平面GEF∥平面BDD1B1. - 3 - 学科网（北京）股份有限公司 $