2.课时跟踪检测练 16 第7章 十六 数系的扩充和复数的概念(Word版+PPT版)-【满分思维】2025-2026学年高中数学必修第二册（人教A版）

第七章　复数 十六　数系的扩充和复数的概念 (时间:45分钟　分值:100分) 【基础全面练】 1.(5分)下列命题中是假命题的是 (　　) A.自然数集是非负整数集 B.实数集与复数集的交集为实数集 C.实数集与虚数集的交集是{0} D.纯虚数集与实数集的交集为空集 【解析】选C.A是真命题;复数可分为实数和虚数两大部分,虚数中含有纯虚数,因此,实数集与纯虚数集没有公共元素,B,D是真命题,C是假命题. 2.(5分)复数z=-3+i2的实部为 (　　) A.-3 B.1 C.0 D.-4 【解析】选D.因为z=-3+i2=-3+(-1)=-4,所以实部为-4. 3.(5分)a,b为实数,设z1=2+bi,z2=a-i,当z1=z2时,复数a+bi= (　　) A.-1+2i B.2+i C.3 D.2-i 【解析】选D.因为z1=2+bi,z2=a-i,所以当z1=z2时,a=2,b=-1,所以a+bi=2-i. 4.(5分)“a=0”是“复数a+bi(a,b∈R)为纯虚数”的 (　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【解析】选B.当a=0,b≠0时,复数a+bi(a,b∈R)为纯虚数,故a=0,不能推出复数a+bi(a,b∈R)为纯虚数;复数a+bi(a,b∈R)为纯虚数,则a=0,b≠0,故复数a+bi(a,b∈R)为纯虚数可推出a=0,故“a=0”是“复数a+bi(a,b∈R)为纯虚数”的必要不充分条件. 5.(5分)(多选)若复数z=(m+2)+(m2-9)i是实数,则实数m的值为 (　　) A.-3 B.-2 C.2 D.3 【解析】选AD.由题知,(m2-9)=0,解得m=3或-3. 6.(5分)(多选)在复数范围内,下列四个命题是真命题的为 (　　) A.1+i2=0 B.若a,b∈R,且a>b,则a+i>b+i C.若x2+y2=0,则x=y=0 D.两个虚数不能比较大小 【解析】选AD.对于A,因为i2=-1,所以1+i2=0,故A为真命题; 对于C,当x=1,y=i时,x2+y2=0,故C为假命题; 按照复数的定义,两个虚数不能比较大小,故B为假命题,D为真命题. 7.(5分)复数i-2的虚部是　1　.  【解析】因为i-2=-2+i,因此虚部是1. 8.(5分)(2025·临沂高一检测)若2 025+2 026i=a-bi,则a+b=　-1　.  【解析】因为2 025+2 026i=a-bi, 所以a=2 025,b=-2 026,所以a+b=-1. 9.(5分)已知z1=-4a+1+(2a2+3a)i,z2=2a+(a2+a)i,其中a∈R,z1>z2,则a的值为　0　.  【解析】由z1>z2,得, 即,解得a=0. 10.(10分)设复数z=(a2+a-2)+(a2-7a+6)i,其中a∈R,当a取何值时, (1)z∈R; 【解析】(1)若z∈R,则a2-7a+6=0, 解得a=1或a=6. (2)z是纯虚数; 【解析】(2)若z是纯虚数,则,解得a=-2. (3)z是零. 【解析】(3)若z是零,则,解得a=1. 【综合应用练】 11.(5分)规定运算=ad-bc,若=1-5i,设i为虚数单位,则ab的值为 (　　) A.- B.- C. D. 【解析】选B.由题意, =ai-(-3b)=3b+ai=1-5i, 所以a=-5,b=,ab=-. 12.(5分)(多选)已知复数z1=m2-1+(m+1)i,z2=cos 2θ+isin θ,下列说法正确的是 (　　) A.若z1为纯虚数,则m=1 B.若z2为实数,则θ=kπ,k∈Z C.若z1=z2,则m=0或m=- D.若z1≥0,则m的取值范围是(-∞,-1]∪[1,+∞) 【解析】选ABC.对于A,复数z1=m2-1+(m+1)i是纯虚数,则,所以m=1,A正确; 对于B,若z2=cos 2θ+isin θ为实数,则sin θ=0,则θ=kπ,k∈Z,B正确; 对于C,若z1=z2,则,则m2-1=1-2(m+1)2,解得m=0或m=-,C正确; 对于D,若z1≥0,则m2-1≥0,且m+1=0,则m=-1,D错误. 13.(5分)若复数z=(m+1)+(m2-9)i<0,则实数m的值等于　-3　.  【解析】因为z<0,所以z为实数,有解得m=-3. 14.(10分)当实数m为何值时,复数z=+(m2-2m)i为 (1)实数; 【解析】(1)当,即m=2时,复数z是实数. (2)虚数; 【解析】(2)当,即m∈(-∞,0)∪(0,2)∪(2,+∞)时,复数z是虚数. (3)纯虚数; 【解析】(3)当,即m=-3时,复数z是纯虚数. (4)零. 【解析】(4)当且m2-2m=0时,z=0,解得m=2. 15.(10分)已知集合M={(a+3)+(b2-1)i,8},集合N={3i,(a2-1)+(b+2)i}满足M∩N≠∅,求整数a,b. 【解析】①(a2-1)+(b+2)i=8时, ,解得,经检验,符合题意. ②(a2-1)+(b+2)i=(a+3)+(b2-1)i时,,无解. ③(a+3)+(b2-1)i=3i时, ,解得,经检验,符合题意. 综上或或. 【创新拓展练】 16.(5分)瑞士数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系,并写下eiθ=cos θ+isin θ,被誉为“数学中的天桥”,据此(cos +isin )6= (　　) A.1　 B.-1　 C.0　 D.-i 【解析】选B.eiθ=cos θ+isin θ, 所以(cos +isin )6=()6=eiπ=cos π+isin π=-1. 17.(5分)已知a,b∈R,若a2-b+(a-b)i>2(i为虚数单位),则a的取值范围是 (　　) A.{a|a>2或a<-1}　 B.{a|a>1或a<-2} C.{a|-1<a<2} D.{a|-2<a<1} 【解析】选A.由题意,a2-b+(a-b)i>2, 故a2-b+(a-b)i为实数,所以, 所以a2-a-2>0,即(a-2)(a+1)>0, 解得a>2或a<-1. - 1 - 学科网（北京）股份有限公司 $第七章　复数 十六　数系的扩充和复数的概念 (时间:45分钟　分值:100分) 【基础全面练】 1.(5分)下列命题中是假命题的是(　　) A.自然数集是非负整数集 B.实数集与复数集的交集为实数集 C.实数集与虚数集的交集是{0} D.纯虚数集与实数集的交集为空集 【解析】选C.A是真命题;复数可分为实数和虚数两大部分,虚数中含有纯 虚数,因此,实数集与纯虚数集没有公共元素,B,D是真命题,C是假命题. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 2.(5分)复数z=-3+i2的实部为 (　　) A.-3 B.1 C.0 D.-4 【解析】选D.因为z=-3+i2=-3+(-1)=-4,所以实部为-4. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 3.(5分)a,b为实数,设z1=2+bi,z2=a-i,当z1=z2时,复数a+bi= (　　) A.-1+2i B.2+i C.3 D.2-i 【解析】选D.因为z1=2+bi,z2=a-i,所以当z1=z2时,a=2,b=-1,所以a+bi=2-i. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 4.(5分)“a=0”是“复数a+bi(a,b∈R)为纯虚数”的 (　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【解析】选B.当a=0,b≠0时,复数a+bi(a,b∈R)为纯虚数,故a=0,不能推出复 数a+bi(a,b∈R)为纯虚数;复数a+bi(a,b∈R)为纯虚数,则a=0,b≠0,故复数 a+bi(a,b∈R)为纯虚数可推出a=0,故“a=0”是“复数a+bi(a,b∈R)为纯虚数” 的必要不充分条件. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 5.(5分)(多选)若复数z=(m+2)+(m2-9)i是实数,则实数m的值为 (　　) A.-3 B.-2 C.2 D.3 【解析】选AD.由题知,(m2-9)=0,解得m=3或-3. √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 6.(5分)(多选)在复数范围内,下列四个命题是真命题的为 (　　) A.1+i2=0 B.若a,b∈R,且a>b,则a+i>b+i C.若x2+y2=0,则x=y=0 D.两个虚数不能比较大小 【解析】选AD.对于A,因为i2=-1,所以1+i2=0,故A为真命题; 对于C,当x=1,y=i时,x2+y2=0,故C为假命题; 按照复数的定义,两个虚数不能比较大小,故B为假命题,D为真命题. √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 7.(5分)复数i-2的虚部是______.  【解析】因为i-2=-2+i,因此虚部是1. 8.(5分)(2025·临沂高一检测)若2 025+2 026i=a-bi,则a+b=_______.  【解析】因为2 025+2 026i=a-bi, 所以a=2 025,b=-2 026,所以a+b=-1. 　1　 　-1　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 9.(5分)已知z1=-4a+1+(2a2+3a)i,z2=2a+(a2+a)i,其中a∈R,z1>z2,则a的值为 ______.  【解析】由z1>z2,得, 即,解得a=0. 　0　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 10.(10分)设复数z=(a2+a-2)+(a2-7a+6)i,其中a∈R,当a取何值时, (1)z∈R; 【解析】(1)若z∈R,则a2-7a+6=0, 解得a=1或a=6. (2)z是纯虚数; 【解析】(2)若z是纯虚数,则,解得a=-2. (3)z是零. 【解析】(3)若z是零,则,解得a=1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 12.(5分)(多选)已知复数z1=m2-1+(m+1)i,z2=cos 2θ+isin θ,下列说法正确的是 (　　) A.若z1为纯虚数,则m=1 B.若z2为实数,则θ=kπ,k∈Z C.若z1=z2,则m=0或m=- D.若z1≥0,则m的取值范围是(-∞,-1]∪[1,+∞) √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 【解析】选ABC.对于A,复数z1=m2-1+(m+1)i是纯虚数,则, 所以m=1,A正确; 对于B,若z2=cos 2θ+isin θ为实数,则sin θ=0,则θ=kπ,k∈Z,B正确; 对于C,若z1=z2,则,则m2-1=1-2(m+1)2,解得m=0或m=-,C正 确; 对于D,若z1≥0,则m2-1≥0,且m+1=0,则m=-1,D错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 13.(5分)若复数z=(m+1)+(m2-9)i<0,则实数m的值等于_______.  【解析】因为z<0,所以z为实数,有解得m=-3. 　-3　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 14.(10分)当实数m为何值时,复数z=+(m2-2m)i为 (1)实数; 【解析】(1)当,即m=2时,复数z是实数. (2)虚数; 【解析】(2)当,即m∈(-∞,0)∪(0,2)∪(2,+∞)时,复数z是虚数. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 (3)纯虚数; 【解析】(3)当,即m=-3时,复数z是纯虚数. (4)零. 【解析】(4)当且m2-2m=0时,z=0,解得m=2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 15.(10分)已知集合M={(a+3)+(b2-1)i,8},集合N={3i,(a2-1)+(b+2)i}满足 M∩N≠∅,求整数a,b. 【解析】①(a2-1)+(b+2)i=8时, ,解得,经检验,符合题意. ②(a2-1)+(b+2)i=(a+3)+(b2-1)i时,,无解. ③(a+3)+(b2-1)i=3i时, ,解得,经检验,符合题意.综上或或. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 【创新拓展练】 16.(5分)瑞士数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系,并写下 eiθ=cos θ+isin θ,被誉为“数学中的天桥”,据此(cos +isin )6=(　　) A.1　 B.-1　 C.0　 D.-i 【解析】选B.eiθ=cos θ+isin θ, 所以(cos +isin )6=()6=eiπ=cos π+isin π=-1. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 17.(5分)已知a,b∈R,若a2-b+(a-b)i>2(i为虚数单位),则a的取值范围是 (　　) A.{a|a>2或a<-1}　 B.{a|a>1或a<-2} C.{a|-1<a<2} D.{a|-2<a<1} 【解析】选A.由题意,a2-b+(a-b)i>2, 故a2-b+(a-b)i为实数,所以, 所以a2-a-2>0,即(a-2)(a+1)>0, 解得a>2或a<-1. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 【综合应用练】 11.(5分)规定运算=ad-bc,若=1-5i,设i为虚数单位,则ab的值为 (　　) A.- B.- C. D. 【解析】选B.由题意, =ai-(-3b)=3b+ai=1-5i, 所以a=-5,b=,ab=-. $