2.课时跟踪检测练 53 专题突破课二 三角形“四心”的向量表示及极化恒等式(Word版+PPT版)-【满分思维】2025-2026学年高中数学必修第二册（人教A版）

专题突破练二 (时间:45分钟　分值:55分) 1.(5分)O是△ABC内一点,若满足++=0,则O是△ABC的 (　　) A.内心 B.外心 C.重心 D.垂心 【解析】选C.设D为BC边上的中点, 由++=0,得=-(+)=-2,所以OA∥OD, 又点O为公共端点,所以A,O,D三点共线,即点O在BC边上的中线AD上,且AO=AD, 所以O是△ABC的重心. 2.(5分)已知点G是边长为2的正三角形ABC的重心,则·= (　　) A.1 B. C.2 D.2 【解析】选C.如图所示,以线段BC的中点O为坐标原点,以线段BC所在的直线为x轴,线段BC的垂直平分线为y轴,建立平面直角坐标系, 因为△ABC的边长为2,所以A(0,),B(-1,0),C(1,0), 又因为G为△ABC的重心,可得G(0,),所以=(0,-),=(-1,-), 则·=0×(-1)+(-)×(-)=2. 3.(5分)O是平面上一定点,A,B,C是平面上不共线的三个点,动点P满足=+λ(+),λ∈[0,+∞),则点P的轨迹一定通过△ABC的 (　　) A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心 【解析】选B.因为-=,所以=λ(+).令+=, 则是以A为起点,向量与为邻边的菱形的对角线对应的向量,即 在∠BAC的平分线上,因为=λ,所以,共线,故点P的轨迹一定通过 △ABC的内心. 4.(5分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且b=6,c=4,点O为外心,则·= (　　) A.-20 B.-10 C.10 D.20 【解析】选C.记BC的中点为D,连接AO,OD,AD,如图, 因为点O为△ABC的外心,D为BC的中点,所以OD⊥BC,则·=0,所以 ·=(-)·=·-·=·=(+)·(-) =(-)=(b2-c2)=×(36-16)=10. 5.(5分)(多选)已知点M是△ABC的重心,点A(1,2),B(2,3),C(-2,5),点D是BC上靠近点B的三等分点,则 (　　) A.M(,) B.D(,) C.<,>= D.|3-|=2 【解析】选AB.对于A:因为点M是△ABC的重心,点A(1,2),B(2,3),C(-2,5), 设点M(x,y),则,即M(,),故A正确; 对于B:因为点D是BC上靠近点B的三等分点,则3=,设D(a,b), 则3(a-2,b-3)=(-4,2),即,解得 即D(,),故B正确; 对于C:因为=(,),=(-3,3),则cos<,>===0, 故⊥,即<,>≠,故C错误; 对于D:因为3-=3(,)-(-3,3)=(4,-2),所以|3-|==2,故D错误. 6.(5分)如图,已知正方形ABCD的边长为4,若动点P在以AB为直径的半圆上(正方形ABCD内部,含边界),则·的取值范围为 (　　) A.(0,16) B.[0,16] C.(0,4) D.[0,4] 【解析】选B.取CD的中点E,连接PE,如图所示,易知PE的取值范围是[2,2], 因为·=(+)·(+)=-=PE2-4,所以·∈[0,16]. 7.(5分)点O是△ABC所在平面内的一点,满足·=·=·,则点O是△ABC的 　垂　心.  【解析】因为·=·,所以(-)·=0,即·=0,所以OB⊥AC, 同理可得:OA⊥BC,OC⊥AB,所以点O为△ABC的垂心. 8.(5分)已知正三角形ABC内接于半径为2的圆O,点P是圆O上的一个动点,则·的取值范围是　[-2,6]　.  【解析】在△OAB中,OA=OB=2,∠OAB=30°,所以AB=2,OM=1. 4·=(+)2-(-)2=-=4-12. 因为点P在圆上运动,当P位于C处时,有最大值,最大值为|CM|2=9. 当P位于Q处时,有最小值,最小值为|MQ|2=1. ∈[1,9],4·∈[-8,24].所以·∈[-2,6]. 9.(5分)已知点M是边长为2的正方形ABCD内部(包括边界)的一动点,点P是边CD的中点,则||-||的最大值是　　;·(+)的最小值是　-2　.  【解析】||-||≤|-|=||=,当点M与点B重合时等号成立; 如图所示,取AB的中点Q,连接PQ,取PQ的中点N,连接MN, 则·=(+)·(+)=||2-||2. 因为点M为正方形ABCD内部(包括边界)一动点, 所以·(+)=2· =2(||2-||2)=2(||2-1)≥-2, 当点M与点N重合时,取得最小值-2. 10.(10分)(1)在△ABC中,若A(1,1),B(3,5),C(2,6),求△ABC的重心G的坐标; 【解析】(1)若记坐标原点为O,由G是△ABC的重心,有++=0, 从而(-)+(-)+(-)=0,整理得=(++)=(2,4). (2)如图所示,在非等腰的锐角△ABC中,已知点H是△ABC的垂心,点O是△ABC的外心.若M是BC的中点,求证:OMAH. 【解析】(2)因为AH⊥BC,OM⊥BC,所以AH∥OM, 因为=(+), 设=λ(+),由BH⊥AC可得·=0,所以(-)·=0, 所以[λ(+)-(-)]·(-)=0, 因为=,从而(λ-1)(·-·+-·)=0, 即(λ-1)[(·-·)+(-·)]=0,所以(λ-1)·=0, 易知·=0不成立,故λ-1=0,即λ=1, 此时=+=2,即OMAH. - 6 - 学科网（北京）股份有限公司 $专题突破练二 (时间:45分钟　分值:55分) 1.(5分)O是△ABC内一点,若满足 + + =0,则O是△ABC的(　　) A.内心 B.外心 C.重心 D.垂心 【解析】选C.设D为BC边上的中点, 由 + + =0,得 =-( + )=-2 , 所以OA∥OD, 又点O为公共端点,所以A,O,D三点共线, 即点O在BC边上的中线AD上,且AO=AD, 所以O是△ABC的重心. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 选题清单 2.(5分)已知点G是边长为2的正三角形ABC的重心,则 · =(　　) A.1 B. C.2 D.2 【解析】选C.如图所示,以线段BC的中点O为坐标原点,以线段BC所在的直线为x轴,线段BC的垂直平分线为y轴,建立平面直角坐标系, 因为△ABC的边长为2,所以A(0,),B(-1,0),C(1,0), 又因为G为△ABC的重心,可得G(0,), 所以 =(0,-), =(-1,-), 则 · =0×(-1)+(-)×(-)=2. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 选题清单 3.(5分)O是平面上一定点,A,B,C是平面上不共线的三个点,动点P满足 = +λ( + ),λ∈[0,+∞),则点P的轨迹一定通过△ABC的(　　) A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 选题清单 4.(5分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且b=6,c=4,点O为外心, 则 · =(　　) A.-20 B.-10 C.10 D.20 【解析】选C.记BC的中点为D,连接AO,OD,AD,如图, √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 选题清单 5.(5分)(多选)已知点M是△ABC的重心,点A(1,2),B(2,3),C(-2,5),点D是BC上靠近点B的三等分点,则 (　　) A.M(,) B.D(,) C.< , >= D.|3 - |=2 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 选题清单 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 选题清单 6.(5分)如图,已知正方形ABCD的边长为4,若动点P在以AB为直径的半圆上(正方形ABCD内部,含边界),则 · 的取值范围为(　　) A.(0,16) B.[0,16] C.(0,4) D.[0,4] √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 选题清单 【解析】选B.取CD的中点E,连接PE,如图所示,易知PE的取值范围是[2,2], 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 选题清单 7.(5分)点O是△ABC所在平面内的一点,满足 · = · = · ,则 点O是△ABC的_______心.  　垂　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 选题清单 8.(5分)已知正三角形ABC内接于半径为2的圆O,点P是圆O上的一个动点, 则 · 的取值范围是__________.  【解析】在△OAB中,OA=OB=2,∠OAB=30°, 所以AB=2,OM=1. 　[-2,6]　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 选题清单 9.(5分)已知点M是边长为2的正方形ABCD内部(包括边界)的一动点,点P是 边CD的中点,则| |-| |的最大值是______; ·( + )的最小值 是______.  -2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 选题清单 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 选题清单 10.(10分)(1)在△ABC中,若A(1,1),B(3,5),C(2,6),求△ABC的重心G的坐标; 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 选题清单 (2)如图所示,在非等腰的锐角△ABC中,已知点H是△ABC的垂心,点O是△ABC的外心.若M是BC的中点,求证:OM AH. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 选题清单 【解析】选B.因为-=,所以=λ(+).令+=, 则是以A为起点,向量与为邻边的菱形的对角线对应的向量,即 在∠BAC的平分线上,因为=λ,所以,共线,故点P的轨迹一定通过 △ABC的内心. 因为点O为△ABC的外心,D为BC的中点,所以OD⊥BC,则·=0,所以 ·=(-)·=·-·=·=(+)·(-) =(-)=(b2-c2)=×(36-16)=10. 【解析】选AB.对于A:因为点M是△ABC的重心,点A(1,2),B(2,3),C(-2,5), 设点M(x,y),则,即M(,),故A正确; 对于B:因为点D是BC上靠近点B的三等分点,则3=,设D(a,b), 则3(a-2,b-3)=(-4,2),即,解得 即D(,),故B正确; 对于C:因为=(,),=(-3,3),则cos<,>===0, 故⊥,即<,>≠,故C错误; 对于D:因为3-=3(,)-(-3,3)=(4,-2),所以|3-|==2,故D错误. 因为·=(+)·(+)=-=PE2-4,所以·∈[0,16]. 【解析】因为·=·,所以(-)·=0,即·=0,所以OB⊥AC, 同理可得:OA⊥BC,OC⊥AB,所以点O为△ABC的垂心. 4·=(+)2-(-)2=-=4-12. 因为点P在圆上运动,当P位于C处时,有最大值,最大值为|CM|2=9. 当P位于Q处时,有最小值,最小值为|MQ|2=1. ∈[1,9],4·∈[-8,24].所以·∈[-2,6]. 【解析】||-||≤|-|=||=,当点M与点B重合时等号成立; 如图所示,取AB的中点Q,连接PQ,取PQ的中点N,连接MN, 则·=(+)·(+)=||2-||2. 因为点M为正方形ABCD内部(包括边界)一动点, 所以·(+)=2· =2(||2-||2)=2(||2-1)≥-2, 当点M与点N重合时,取得最小值-2. 【解析】(1)若记坐标原点为O,由G是△ABC的重心,有++=0, 从而(-)+(-)+(-)=0,整理得=(++)=(2,4). 【解析】(2)因为AH⊥BC,OM⊥BC,所以AH∥OM, 因为=(+), 设=λ(+),由BH⊥AC可得·=0,所以(-)·=0, 所以[λ(+)-(-)]·(-)=0, 因为=,从而(λ-1)(·-·+-·)=0, 即(λ-1)[(·-·)+(-·)]=0,所以(λ-1)·=0, 易知·=0不成立,故λ-1=0,即λ=1, 此时=+=2,即OMAH. $