2.课时跟踪检测练 58 专题突破课七 空间中的垂直关系(Word版+PPT版)-【满分思维】2025-2026学年高中数学必修第二册（人教A版）

专题突破练七 (时间:45分钟　分值:60分) 1.(5分)设l,m,n表示不同的直线,α,β,γ表示不同的平面,下列命题正确的是 (　　) A.若m∥l,且m⊥α,则l⊥α B.若α⊥β,m∥α,n⊥β,则m⊥n C.若α⊥β,γ⊥β,则α∥γ D.如果m⊥n,m⊥α,n∥β,则α⊥β √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 选题清单 【解析】选A.A:若m∥l,且m⊥α,则l⊥α,正确,两平行线中的一条垂直于一个平面,另一条也垂直于这个平面; B:若α⊥β,m∥α,n⊥β,则m⊥n,错误,当m和n平行或相交(不垂直)时,也可能满足前边的条件; C:若α⊥β,γ⊥β,则α∥γ,错误,垂直于同一个平面的两个平面也可以相交; D:如果m⊥n,m⊥α,n∥β,则α⊥β,错误,平面β和α可以相交或平行. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 选题清单 2.(5分)在二面角α-l-β中,A∈l,B∈l,AC⊂α,BD⊂β,且AC⊥l,BD⊥l,若AB=1,AC=BD=2,CD=,则二面角α-l-β的余弦值为(　　) A. B.- C. D.- √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 选题清单 【解析】选A.根据题意画出图形:在平面β内,过A作AE∥BD,过点D作DE∥l,交AE于点E,连接CE. 因为BD⊥l,所以AE⊥l,又AC⊥l, 所以∠CAE是二面角α-l-β的平面角. 易得四边形ABDE为矩形,所以EA=2,ED=1. 因为l⊥AC,l⊥AE,AC∩AE=A,AC,AE⊂平面ACE,所以l⊥平面ACE, 又因为ED∥l,所以ED⊥平面ACE,又因为CE⊂平面ACE,所以ED⊥CE, 在Rt△CED中,由勾股定理得CE==2. 所以△ACE是等边三角形,所以∠CAE=60°,所以cos ∠CAE=. 所以二面角α-l-β的余弦值为. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 选题清单 3.(5分)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,P,M,N分别为AB,BB1,DD1的中点,则与平面MNP垂直的直线可以是 (　　) A.A1B B.A1D C.AC1 D.A1C √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 选题清单 【解析】选D.连接AB1,B1D1,AD1,A1C1,A1C,如图所示: 因为P,M,N分别为AB,BB1,DD1的中点, 所以MP∥AB1,B1D1∥MN,又MP⊄平面AB1D1, AB1⊂平面AB1D1,故MP∥平面AB1D1, 又MN⊄平面AB1D1,B1D1⊂平面AB1D1,故MN∥平面AB1D1, 又MP∩MN=M,MP,MN⊂平面MNP,故平面MNP∥平面AB1D1, 则垂直于平面MNP的直线一定垂直于平面AB1D1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 选题清单 显然CC1⊥平面A1B1C1D1,B1D1⊂平面A1B1C1D1, 故B1D1⊥CC1,又B1D1⊥A1C1,A1C1∩CC1=C1,A1C1,CC1⊂平面A1C1C, 故B1D1⊥平面A1C1C,又A1C⊂平面A1C1C,故A1C⊥B1D1. 同理可得A1C⊥AB1,又AB1∩B1D1=B1,AB1,B1D1⊂平面AB1D1, 故A1C⊥平面AB1D1,即A1C⊥平面MNP; 若其他选项的直线垂直于平面MNP, 则要与A1C平行,显然都不平行. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 选题清单 4.(5分)(多选)如图,等边三角形ABC的边长为1,BC边上的高为AD,沿AD把三角形ABC折起来,则 (　　) A.在折起的过程中始终有AD⊥平面DB'C B.三棱锥A-DB'C的体积的最大值为 C.当∠B'DC=60°时,点A到B'C的距离为 D.当∠B'DC=90°时,点C到平面ADB'的距离为 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 选题清单 【解析】选ABC.因为AD⊥DC,AD⊥DB',且DC∩DB'=D,DC,DB'⊂平面DB'C,所以AD⊥平面DB'C,故A正确; 当DB'⊥DC时,△DB'C的面积最大,此时三棱锥A-DB'C的体积也最大,最大值为=,故B正确; 当∠B'DC=60°时,△DB'C是等边三角形,设B'C的中点为E,连接AE,则AE⊥B'C,即AE为点A到B'C的距离,AE==,故C正确; 当∠B'DC=90°时,CD⊥DB',CD⊥AD,故CD⊥平面ADB',则CD就是点C到平面ADB'的距离,则CD=,故D不正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 选题清单 5.(5分)如图所示,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面是以∠ABC为直角的等腰 直角三角形,AC=2a,BB1=3a,D是A1C1的中点,点E在棱AA1上,要使CE⊥平面 B1DE,则AE的值为__________.  　a或2a　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 选题清单 【解析】由已知,得A1B1=B1C1,因为D是A1C1的中点,所以B1D⊥A1C1, 因为侧棱AA1⊥底面ABC,侧棱AA1⊥平面A1B1C1,B1D⊂平面A1B1C1, 所以AA1⊥B1D,因为AA1∩A1C1=A1,AA1,A1C1⊂平面AA1C1C, 所以B1D⊥平面AA1C1C,又CE⊂平面AA1C1C,所以B1D⊥CE, 若CE⊥平面B1DE,则CE⊥DE. 设AE=x(0<x<3a),则CE2=x2+4a2,DE2=a2+(3a-x)2, 又CD2=a2+9a2=10a2, 所以10a2=x2+4a2+a2+(3a-x)2,解得x=a或2a. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 选题清单 6.(5分)如图,一张矩形白纸的长、宽分别为2a,2a,且A,B,C,D分别是其四条边的中点.现将其沿图中虚线折起,使得P1,P2,P3,P4四点重合为一点P,得到一个多面体.下列关于该多面体的命题,正确的是___________.(写出所有正确命题的序号)  ①该多面体是三棱锥; ②平面BAD⊥平面BCD; ③平面BAC⊥平面ACD. 　①②③　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 选题清单 【解析】由题意得该多面体是一个三棱锥,故①正确; 因为AP⊥BP,AP⊥CP,BP∩CP=P,所以AP⊥平面BCD, 又因为AP⊂平面ABD,所以平面BAD⊥平面BCD,故②正确; 同理可证平面BAC⊥平面ACD,故③正确. 综上,正确命题的序号为①②③. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 选题清单 7.(10分)(2025·上海高一检测)如图,底面是正方形的直棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AB=3,AA1=4. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 选题清单 (1)求直线D1B与平面ABCD所成角的正切值; 【解析】(1)因为DD1⊥平面ABCD, 所以∠D1BD为直线D1B与平面ABCD所成的角, 在Rt△BDD1中,tan∠D1BD====, 所以直线D1B与平面ABCD所成角的正切值为. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 选题清单 (2)求证:AC⊥D1B. 【解析】(2)因为DD1⊥平面ABCD,AC⊂平面ABCD,所以DD1⊥AC, 又四边形ABCD为正方形,则BD⊥AC, 因为DD1∩BD=D,DD1,BD⊂平面BDD1B1, 所以AC⊥平面BDD1B1, 因为D1B⊂平面BDD1B1,所以AC⊥D1B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 选题清单 8.(10分)如图,在三棱锥P-ABC中,PC⊥底面ABC,AB=BC,D,F分别为AC,PC的中点,DE⊥AP于点E. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 选题清单 (1)求证:AP⊥平面BDE; 【解析】(1)因为PC⊥底面ABC,BD⊂平面ABC,所以PC⊥BD. 因为AB=BC,D为AC的中点,所以BD⊥AC. 又PC∩AC=C,PC,AC⊂平面PAC, 所以BD⊥平面PAC. 又AP⊂平面PAC,所以BD⊥AP. 又DE⊥AP,DE∩BD=D,DE,BD⊂平面BDE, 所以AP⊥平面BDE. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 选题清单 (2)求证:平面BDE⊥平面BDF; 【解析】(2)因为D,F分别为AC,PC的中点, 所以DF∥AP. 又AP⊥平面BDE, 所以DF⊥平面BDE,又DF⊂平面BDF, 所以平面BDE⊥平面BDF. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 选题清单 (3)若AE∶EP=1∶2,求截面BEF分三棱锥P-ABC所成上、下两部分的体积比. 【解析】(3)设点E和点A到平面PBC的距离分别为h1和h2, 则h1∶h2=EP∶AP=2∶3,又F为PC的中点,所以=2, 所以= ===. 故截面BEF分三棱锥P-ABC所成上、下两部分的体积之比为1∶2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 选题清单 9.(10分)直三棱柱ABC-A1B1C1中,点D为棱AC的中点,AC=BC=CC1=2, AC⊥BC1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 选题清单 (1)求证:AB1∥平面C1BD; 【解析】(1)连接B1C交BC1于点E,连接DE, 在三棱柱ABC-A1B1C1中,BB1∥CC1且BB1=CC1, 故四边形BB1C1C为平行四边形, 因为B1C∩BC1=E,则E为B1C的中点, 又因为D为AC的中点,故AB1∥DE, 因为AB1⊄平面C1BD,DE⊂平面C1BD, 所以AB1∥平面C1BD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 选题清单 (2)求证:BC⊥平面ACC1A1; 【解析】(2)因为CC1⊥平面ABC,BC,AC⊂平面ABC, 所以AC⊥CC1,BC⊥CC1, 因为AC⊥BC1,BC1∩CC1=C1,BC1,CC1⊂平面BB1C1C, 所以AC⊥平面BB1C1C, 因为BC⊂平面BB1C1C,所以AC⊥BC, 又因为AC∩CC1=C,AC,CC1⊂平面AA1C1C, 所以BC⊥平面AA1C1C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 选题清单 (3)判断是否存在经过BC的平面α满足AB1⊥α,并说明理由. 【解析】(3)假设存在经过BC的平面α满足AB1⊥α, 因为BC⊂平面α,则BC⊥AB1,因为BB1⊥平面ABC,BC⊂平面ABC, 所以BC⊥BB1,因为AB1∩BB1=B1,AB1,BB1⊂平面AA1B1B, 所以BC⊥平面AA1B1B,因为AB⊂平面AA1B1B,所以BC⊥AB, 事实上,AC⊥BC,AC=BC=2,故△ABC为等腰直角三角形, 且∠ABC=45°,矛盾. 因此,不存在经过BC的平面α满足AB1⊥α. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 选题清单 $ 专题突破练七 (时间:45分钟　分值:60分) 1.(5分)设l,m,n表示不同的直线,α,β,γ表示不同的平面,下列命题正确的是 (　　) A.若m∥l,且m⊥α,则l⊥α B.若α⊥β,m∥α,n⊥β,则m⊥n C.若α⊥β,γ⊥β,则α∥γ D.如果m⊥n,m⊥α,n∥β,则α⊥β 【解析】选A.A:若m∥l,且m⊥α,则l⊥α,正确,两平行线中的一条垂直于一个平面,另一条也垂直于这个平面; B:若α⊥β,m∥α,n⊥β,则m⊥n,错误,当m和n平行或相交(不垂直)时,也可能满足前边的条件; C:若α⊥β,γ⊥β,则α∥γ,错误,垂直于同一个平面的两个平面也可以相交; D:如果m⊥n,m⊥α,n∥β,则α⊥β,错误,平面β和α可以相交或平行. 2.(5分)在二面角α-l-β中,A∈l,B∈l,AC⊂α,BD⊂β,且AC⊥l,BD⊥l,若AB=1,AC=BD=2,CD=,则二面角α-l-β的余弦值为 (　　) A. B.- C. D.- 【解析】选A.根据题意画出图形:在平面β内,过A作AE∥BD,过点D作DE∥l,交AE于点E,连接CE. 因为BD⊥l,所以AE⊥l,又AC⊥l,所以∠CAE是二面角α-l-β的平面角. 易得四边形ABDE为矩形,所以EA=2,ED=1. 因为l⊥AC,l⊥AE,AC∩AE=A,AC,AE⊂平面ACE,所以l⊥平面ACE, 又因为ED∥l,所以ED⊥平面ACE,又因为CE⊂平面ACE,所以ED⊥CE, 在Rt△CED中,由勾股定理得CE==2. 所以△ACE是等边三角形,所以∠CAE=60°,所以cos ∠CAE=. 所以二面角α-l-β的余弦值为. 3.(5分)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,P,M,N分别为AB,BB1,DD1的中点,则与平面MNP垂直的直线可以是 (　　) A.A1B B.A1D C.AC1 D.A1C 【解析】选D.连接AB1,B1D1,AD1,A1C1,A1C,如图所示: 因为P,M,N分别为AB,BB1,DD1的中点,所以MP∥AB1,B1D1∥MN,又MP⊄平面AB1D1,AB1⊂平面AB1D1,故MP∥平面AB1D1, 又MN⊄平面AB1D1,B1D1⊂平面AB1D1,故MN∥平面AB1D1, 又MP∩MN=M,MP,MN⊂平面MNP,故平面MNP∥平面AB1D1, 则垂直于平面MNP的直线一定垂直于平面AB1D1. 显然CC1⊥平面A1B1C1D1,B1D1⊂平面A1B1C1D1,故B1D1⊥CC1,又B1D1⊥A1C1,A1C1∩CC1=C1,A1C1,CC1⊂平面A1C1C, 故B1D1⊥平面A1C1C,又A1C⊂平面A1C1C,故A1C⊥B1D1. 同理可得A1C⊥AB1,又AB1∩B1D1=B1,AB1,B1D1⊂平面AB1D1,故A1C⊥平面AB1D1,即A1C⊥平面MNP; 若其他选项的直线垂直于平面MNP,则要与A1C平行,显然都不平行. 4.(5分)(多选)如图,等边三角形ABC的边长为1,BC边上的高为AD,沿AD把三角形ABC折起来,则 (　　) A.在折起的过程中始终有AD⊥平面DB'C B.三棱锥A-DB'C的体积的最大值为 C.当∠B'DC=60°时,点A到B'C的距离为 D.当∠B'DC=90°时,点C到平面ADB'的距离为 【解析】选ABC.因为AD⊥DC,AD⊥DB', 且DC∩DB'=D,DC,DB'⊂平面DB'C, 所以AD⊥平面DB'C,故A正确; 当DB'⊥DC时,△DB'C的面积最大,此时三棱锥A-DB'C的体积也最大,最大值为=,故B正确; 当∠B'DC=60°时,△DB'C是等边三角形, 设B'C的中点为E,连接AE,则AE⊥B'C, 即AE为点A到B'C的距离,AE==,故C正确; 当∠B'DC=90°时,CD⊥DB',CD⊥AD, 故CD⊥平面ADB',则CD就是点C到平面ADB'的距离,则CD=,故D不正确. 5.(5分)如图所示,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面是以∠ABC为直角的等腰直角三角形,AC=2a,BB1=3a,D是A1C1的中点,点E在棱AA1上,要使CE⊥平面B1DE,则AE的值为 　a或2a　.  【解析】由已知,得A1B1=B1C1,因为D是A1C1的中点,所以B1D⊥A1C1, 因为侧棱AA1⊥底面ABC,侧棱AA1⊥平面A1B1C1,B1D⊂平面A1B1C1, 所以AA1⊥B1D,因为AA1∩A1C1=A1,AA1,A1C1⊂平面AA1C1C, 所以B1D⊥平面AA1C1C,又CE⊂平面AA1C1C,所以B1D⊥CE, 若CE⊥平面B1DE,则CE⊥DE. 设AE=x(0<x<3a),则CE2=x2+4a2,DE2=a2+(3a-x)2,又CD2=a2+9a2=10a2, 所以10a2=x2+4a2+a2+(3a-x)2,解得x=a或2a. 6.(5分)如图,一张矩形白纸的长、宽分别为2a,2a,且A,B,C,D分别是其四条边的中点.现将其沿图中虚线折起,使得P1,P2,P3,P4四点重合为一点P,得到一个多面体.下列关于该多面体的命题,正确的是　①②③　.(写出所有正确命题的序号)  ①该多面体是三棱锥; ②平面BAD⊥平面BCD; ③平面BAC⊥平面ACD. 【解析】由题意得该多面体是一个三棱锥,故①正确; 因为AP⊥BP,AP⊥CP,BP∩CP=P,所以AP⊥平面BCD, 又因为AP⊂平面ABD,所以平面BAD⊥平面BCD,故②正确; 同理可证平面BAC⊥平面ACD,故③正确. 综上,正确命题的序号为①②③. 7.(10分)(2025·上海高一检测)如图,底面是正方形的直棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AB=3,AA1=4. (1)求直线D1B与平面ABCD所成角的正切值; 【解析】(1)因为DD1⊥平面ABCD, 所以∠D1BD为直线D1B与平面ABCD所成的角, 在Rt△BDD1中,tan∠D1BD====, 所以直线D1B与平面ABCD所成角的正切值为. (2)求证:AC⊥D1B. 【解析】(2)因为DD1⊥平面ABCD,AC⊂平面ABCD,所以DD1⊥AC, 又四边形ABCD为正方形,则BD⊥AC, 因为DD1∩BD=D,DD1,BD⊂平面BDD1B1, 所以AC⊥平面BDD1B1, 因为D1B⊂平面BDD1B1,所以AC⊥D1B. 8.(10分)如图,在三棱锥P-ABC中,PC⊥底面ABC,AB=BC,D,F分别为AC,PC的中点,DE⊥AP于点E. (1)求证:AP⊥平面BDE; 【解析】(1)因为PC⊥底面ABC,BD⊂平面ABC,所以PC⊥BD. 因为AB=BC,D为AC的中点,所以BD⊥AC. 又PC∩AC=C,PC,AC⊂平面PAC,所以BD⊥平面PAC. 又AP⊂平面PAC,所以BD⊥AP. 又DE⊥AP,DE∩BD=D,DE,BD⊂平面BDE,所以AP⊥平面BDE. (2)求证:平面BDE⊥平面BDF; 【解析】(2)因为D,F分别为AC,PC的中点, 所以DF∥AP. 又AP⊥平面BDE, 所以DF⊥平面BDE,又DF⊂平面BDF, 所以平面BDE⊥平面BDF. (3)若AE∶EP=1∶2,求截面BEF分三棱锥P-ABC所成上、下两部分的体积比. 【解析】(3)设点E和点A到平面PBC的距离分别为h1和h2,则h1∶h2=EP∶AP=2∶3, 又F为PC的中点,所以=2,所以= ===. 故截面BEF分三棱锥P-ABC所成上、下两部分的体积之比为1∶2. 9.(10分)直三棱柱ABC-A1B1C1中,点D为棱AC的中点,AC=BC=CC1=2,AC⊥BC1. (1)求证:AB1∥平面C1BD; 【解析】(1)连接B1C交BC1于点E,连接DE, 在三棱柱ABC-A1B1C1中,BB1∥CC1且BB1=CC1, 故四边形BB1C1C为平行四边形, 因为B1C∩BC1=E,则E为B1C的中点, 又因为D为AC的中点,故AB1∥DE, 因为AB1⊄平面C1BD,DE⊂平面C1BD, 所以AB1∥平面C1BD. (2)求证:BC⊥平面ACC1A1; 【解析】(2)因为CC1⊥平面ABC,BC,AC⊂平面ABC, 所以AC⊥CC1,BC⊥CC1, 因为AC⊥BC1,BC1∩CC1=C1,BC1,CC1⊂平面BB1C1C,所以AC⊥平面BB1C1C, 因为BC⊂平面BB1C1C,所以AC⊥BC, 又因为AC∩CC1=C,AC,CC1⊂平面AA1C1C, 所以BC⊥平面AA1C1C. (3)判断是否存在经过BC的平面α满足AB1⊥α,并说明理由. 【解析】(3)假设存在经过BC的平面α满足AB1⊥α,因为BC⊂平面α,则BC⊥AB1, 因为BB1⊥平面ABC,BC⊂平面ABC, 所以BC⊥BB1, 因为AB1∩BB1=B1,AB1,BB1⊂平面AA1B1B, 所以BC⊥平面AA1B1B, 因为AB⊂平面AA1B1B,所以BC⊥AB, 事实上,AC⊥BC,AC=BC=2,故△ABC为等腰直角三角形,且∠ABC=45°,矛盾. 因此,不存在经过BC的平面α满足AB1⊥α. - 8 - 学科网（北京）股份有限公司 $