2.课时跟踪检测练 52 专题突破课一 平面向量中的最值与范围问题(Word版+PPT版)-【满分思维】2025-2026学年高中数学必修第二册（人教A版）

专题突破练一 (时间:45分钟　分值:55分) 1.(5分)已知向量a=(1,0),b=(cos θ,sin θ),θ∈[-,],则|a+b|的取值范围是(　　) A.[0,] B.(1,] C.[1,2] D.[,2] 【解析】选D.因为a=(1,0),b=(cos θ,sin θ),则a+b=(1+cos θ,sin θ), 可得|a+b|==, 因为θ∈[-,],则cos θ∈[0,1],可得∈[,2], 所以|a+b|的取值范围是[,2]. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 选题清单 2.(5分)如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,AB=3,CD=2,AD=,∠BAD=90°.若P为线段AB上一动点,则 · 的最大值为(　　) A.2 B.3 C.6 D.7 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 选题清单 【解析】选C.以A为原点,AB,AD所在直线分别为x,y轴建立平面直角坐标系(图略), 则A(0,0),B(3,0),C(2,),D(0,), 设P(x,0),其中0≤x≤3, 则 =(x-2,-), =(x,-),所以 · =x(x-2)+3=x2-2x+3=(x-1)2+2, 当x=3时, · 有最大值6. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 选题清单 3.(5分)(2025·广州高一检测)如图所示,在△ABC中,点O是BC的中点,过点O 的直线分别交直线AB,AC于不同的两点M,N,若 =m , =n (m,n>0), 则+的最小值为(　　) A.5 B.9 C. D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 选题清单 【解析】选D.连接AO,因为O是BC的中点,则 =( + )= + , 因为M,O,N三点共线,所以+=1,所以+=(+)(+)=++≥+2=, 当且仅当=,即n=2m=时,等号成立. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 选题清单 4.(5分)已知非零不共线向量a,b满足|a|=2|b|,|a-b|=2,则a·b的取值范围为 (　　) A.(-,8) B.(-,8) C.(-1,8) D.(-,8) 【解析】选D.设|b|=m,m>0,则|a|=2m,由|a-b|=2两边平方得,|a|2-2a·b+|b|2=4,整理得,a·b=m2-2,因为a,b是非零不共线向量,所以|a|-|b|<|a-b|<|a|+|b|,即m<2<3m,解得<m<2,此时函数f(m)=m2-2单调递增,故 -<f(m)<8,即a·b的取值范围为(-,8). √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 选题清单 5.(5分)如图扇形AOB,其中∠AOB=120°,OA=2OC=2,点E在上,则 · 的最小值是(　　) A.-1 B.1 C.-3 D.3 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 选题清单 【解析】选C.以O为原点,OB为x轴,建立平面直角坐标系,则A(-1,),B(2,0),设E(cos θ,sin θ),0°≤θ≤120°, · =(-1-cos θ,-sin θ)·(2-cos θ,-sin θ) =(-1-cos θ)·(2-cos θ)-(-sin θ)·sin θ =-sin θ-cos θ-1=-2sin (θ+30°)-1, 所以当θ=60°时, · 取得最小值-2-1=-3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 选题清单 6.(5分)(多选)如图所示,在边长为3的等边三角形ABC中, = ,且点P在 以AD的中点O为圆心,OA长为半径的半圆上,若 =x +y ,则(　　) A. = + B.x+y的最大值为1+ C. · 的最大值为9 D . · = √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 选题清单 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 选题清单 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 选题清单 7.(5分)已知e1,e2是单位向量,且e1·e2=0,设向量a=λe1+μe2,当λ=μ=1时, <a,e1>=______;当λ+μ=2时,|a-e1|的最小值为_______.  【解析】当λ=μ=1时,a=e1+e2,|a|2=+2e1·e2+=2,即|a|=, cos<a,e1>====. 因为<a,e1>∈[0,π],所以<a,e1>=. 当λ+μ=2时,a-e1=(λ-1)e1+μe2=(λ-1)e1+(2-λ)e2, 则=(λ-1)2+(2-λ)2=2+,当λ=时,|a-e1|的最小值为. 　　 　　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 选题清单 8.(5分)正方形ABCD的棱长为4,E为BC的中点,F为线段CD边上一点(不包 括C,D),若 =λ +μ ,则λ+μ的取值范围为_________.  　(1,)　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 选题清单 【解析】如图,以A为坐标原点,建立平面直角坐标系, 则A(0,0),E(4,2),C(4,4),设F(a,4),a∈(0,4),则 =(4,4), =(4,2), =(a,4), 若 =λ +μ =(4λ+aμ,2λ+4μ),则, 解得,可得λ+μ=+=2-, 因为a∈(0,4),则8-a∈(4,8),所以λ+μ=2-∈(1,),即λ+μ的取值范围为(1,). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 选题清单 9.(5分)(2025·芜湖高一检测)在△ABC中, = , = ,点P在直线 ST上,若△ABC的面积为4,则 · + 的最小值是________.  　　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 选题清单 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 选题清单 10.(10分)如图,在直角梯形OABC中,OA∥CB,OA⊥OC,OA=2BC=2OC=2,M为AB上靠近B的三等分点,OM交AC于D,P为线段BC上的一个动点. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 选题清单 (1)用 和 表示 ; 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 选题清单 (2)以O为原点, 和 方向为x,y轴的正方向建立平面直角坐标系, 当P为BC的中点时,写出点M,P,D的坐标; 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 选题清单 (3)设 =λ +μ ,求λ·μ的取值范围. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 选题清单 【解析】选ACD.因为=,AD的中点为O,所以OA=OD=DC=AC=1, 则=+=+=+(-)=+,故A正确; =+=+=+(-)=+, =-=+-(+)=-, 则·=(-)·(+) =--·=2-1-×3×3×=,故D正确; 如图,以点O为原点建立平面直角坐标系, 则A(-1,0),B(,),C(2,0),因为点P在以AD的中点O为圆心, OA长为半径的半圆上,且在x轴的下半部分,所以设P(cos α,sin α),α∈[π,2π], 则=(cos α-,sin α-),=(,-),=(-,-), 所以·=cos α--sin α+=3cos(α+)+6, 因为α∈[π,2π],所以α+∈[,],所以当α+=2π时,·取得最大值9,故C正确; 因为=x+y,所以(cos α-,sin α-)=x(-,-)+y(,-), 即(cos α-,sin α-)=(-(x-y),-(x+y)),所以sin α-=-(x+y), 所以x+y=-sin α+1,因为α∈[π,2π],所以当α=时,x+y取得最大值+1,故B项错误. 【解析】在△ABC中,=,=,所以ST∥BC,取BC的中点M, 连接PM,过点P作PN⊥BC于N,AH是△ABC的高, 由△ABC的面积为4,得BC·AH=4, 所以AH=,由ST∥BC,可得=,所以PN=AH=, 由题意得=+,=+, 所以·=(+)·(+)=-, 所以·+=-+=+≥+ =+||2=+||2≥2=, 当且仅当=||2,即||=且M与N重合时取等号. 所以·+的最小值是. 【解析】(1)依题意=,=, 所以=(-)=(+)-=+-=-, 所以=+=+(-)=+. 【解析】(2)如图,建立平面直角坐标系,则A(2,0),B(1,1),C(0,1), 由=+=(2,0)+(0,1)=(,),得M(,), 又P是BC的中点,可得P(,1). =k=k+k,因为A,C,D三点共线,所以k+k=1, 解得k=,所以==(,)=(1,),则D(1,). 【解析】(3)因为=(2,-1),=(1,1),设P(a,1),则=(a,1)(0≤a≤1), 因为=λ+μ,所以(1,1)=(2λ+aμ,-λ+μ), 即,解得,因为0≤a≤1,所以1≤μ≤. λ·μ=μ(μ-1)=-,在μ∈[1,]上单调递增,所以当μ=1时,(λ·μ)min=0; 当μ=时,(λ·μ)max=. 故λ·μ的取值范围是[0,]. $ 专题突破练一 (时间:45分钟　分值:55分) 1.(5分)已知向量a=(1,0),b=(cos θ,sin θ),θ∈[-,],则|a+b|的取值范围是 (　　) A.[0,] B.(1,] C.[1,2] D.[,2] 【解析】选D.因为a=(1,0),b=(cos θ,sin θ),则a+b=(1+cos θ,sin θ), 可得|a+b|==, 因为θ∈[-,],则cos θ∈[0,1],可得∈[,2], 所以|a+b|的取值范围是[,2]. 2.(5分)如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,AB=3,CD=2,AD=,∠BAD=90°.若P为线段AB上一动点,则·的最大值为 (　　) A.2 B.3 C.6 D.7 【解析】选C.以A为原点,AB,AD所在直线分别为x,y轴建立平面直角坐标系(图略), 则A(0,0),B(3,0),C(2,),D(0,), 设P(x,0),其中0≤x≤3, 则=(x-2,-),=(x,-),所以·=x(x-2)+3=x2-2x+3=(x-1)2+2, 当x=3时,·有最大值6. 3.(5分)(2025·广州高一检测)如图所示,在△ABC中,点O是BC的中点,过点O的直线分别交直线AB,AC于不同的两点M,N,若=m,=n(m,n>0),则+的最小值为 (　　) A.5 B.9 C. D. 【解析】选D.连接AO,因为O是BC的中点,则=(+)=+, 因为M,O,N三点共线,所以+=1,所以+=(+)(+)=++≥+2=,当且仅当=,即n=2m=时,等号成立. 4.(5分)已知非零不共线向量a,b满足|a|=2|b|,|a-b|=2,则a·b的取值范围为 (　　) A.(-,8) B.(-,8) C.(-1,8) D.(-,8) 【解析】选D.设|b|=m,m>0,则|a|=2m,由|a-b|=2两边平方得,|a|2-2a·b+|b|2=4,整理得,a·b=m2-2,因为a,b是非零不共线向量,所以|a|-|b|<|a-b|<|a|+|b|,即m<2<3m,解得<m<2,此时函数f(m)=m2-2单调递增,故-<f(m)<8,即a·b的取值范围为(-,8). 5.(5分)如图扇形AOB,其中∠AOB=120°,OA=2OC=2,点E在上,则·的最小值是 (　　) A.-1 B.1 C.-3 D.3 【解析】选C.以O为原点,OB为x轴,建立平面直角坐标系,则A(-1,),B(2,0),设E(cos θ,sin θ),0°≤θ≤120°,·=(-1-cos θ,-sin θ)·(2-cos θ,-sin θ) =(-1-cos θ)·(2-cos θ)-(-sin θ)·sin θ =-sin θ-cos θ-1=-2sin (θ+30°)-1, 所以当θ=60°时,·取得最小值-2-1=-3. 6.(5分)(多选)如图所示,在边长为3的等边三角形ABC中,=,且点P在以AD的中点O为圆心,OA长为半径的半圆上,若=x+y,则 (　　) A.=+ B.x+y的最大值为1+ C.·的最大值为9 D.·= 【解析】选ACD.因为=,AD的中点为O,所以OA=OD=DC=AC=1, 则=+=+=+(-)=+,故A正确; =+=+=+(-)=+, =-=+-(+)=-, 则·=(-)·(+) =--·=2-1-×3×3×=,故D正确; 如图,以点O为原点建立平面直角坐标系, 则A(-1,0),B(,),C(2,0),因为点P在以AD的中点O为圆心, OA长为半径的半圆上,且在x轴的下半部分,所以设P(cos α,sin α),α∈[π,2π], 则=(cos α-,sin α-),=(,-),=(-,-), 所以·=cos α--sin α+=3cos(α+)+6, 因为α∈[π,2π],所以α+∈[,],所以当α+=2π时,·取得最大值9,故C正确; 因为=x+y,所以(cos α-,sin α-)=x(-,-)+y(,-), 即(cos α-,sin α-)=(-(x-y),-(x+y)),所以sin α-=-(x+y), 所以x+y=-sin α+1,因为α∈[π,2π],所以当α=时,x+y取得最大值+1,故B项错误. 7.(5分)已知e1,e2是单位向量,且e1·e2=0,设向量a=λe1+μe2,当λ=μ=1时,<a,e1>=　　;当λ+μ=2时,|a-e1|的最小值为　　.  【解析】当λ=μ=1时,a=e1+e2,|a|2=+2e1·e2+=2,即|a|=, cos<a,e1>====. 因为<a,e1>∈[0,π],所以<a,e1>=. 当λ+μ=2时,a-e1=(λ-1)e1+μe2=(λ-1)e1+(2-λ)e2, 则=(λ-1)2+(2-λ)2=2+,当λ=时,|a-e1|的最小值为. 8.(5分)正方形ABCD的棱长为4,E为BC的中点,F为线段CD边上一点(不包括C,D),若=λ+μ,则λ+μ的取值范围为　(1,)　.  【解析】如图,以A为坐标原点,建立平面直角坐标系, 则A(0,0),E(4,2),C(4,4),设F(a,4),a∈(0,4),则=(4,4),=(4,2),=(a,4), 若=λ+μ=(4λ+aμ,2λ+4μ),则,解得, 可得λ+μ=+=2-, 因为a∈(0,4),则8-a∈(4,8),所以λ+μ=2-∈(1,),即λ+μ的取值范围为(1,). 9.(5分)(2025·芜湖高一检测)在△ABC中,=,=,点P在直线ST上,若△ABC的面积为4,则·+的最小值是　　.  【解析】在△ABC中,=,=,所以ST∥BC,取BC的中点M, 连接PM,过点P作PN⊥BC于N,AH是△ABC的高, 由△ABC的面积为4,得BC·AH=4, 所以AH=,由ST∥BC,可得=,所以PN=AH=, 由题意得=+,=+, 所以·=(+)·(+)=-, 所以·+=-+=+≥+ =+||2=+||2≥2=, 当且仅当=||2,即||=且M与N重合时取等号. 所以·+的最小值是. 10.(10分)如图,在直角梯形OABC中,OA∥CB,OA⊥OC,OA=2BC=2OC=2,M为AB上靠近B的三等分点,OM交AC于D,P为线段BC上的一个动点. (1)用和表示; 【解析】(1)依题意=,=, 所以=(-)=(+)-=+-=-, 所以=+=+(-)=+. (2)以O为原点,和方向为x,y轴的正方向建立平面直角坐标系, 当P为BC的中点时,写出点M,P,D的坐标; 【解析】(2)如图,建立平面直角坐标系,则A(2,0),B(1,1),C(0,1), 由=+=(2,0)+(0,1)=(,),得M(,), 又P是BC的中点,可得P(,1). =k=k+k,因为A,C,D三点共线,所以k+k=1, 解得k=,所以==(,)=(1,),则D(1,). (3)设=λ+μ,求λ·μ的取值范围. 【解析】(3)因为=(2,-1),=(1,1),设P(a,1),则=(a,1)(0≤a≤1), 因为=λ+μ,所以(1,1)=(2λ+aμ,-λ+μ), 即,解得,因为0≤a≤1,所以1≤μ≤. λ·μ=μ(μ-1)=-,在μ∈[1,]上单调递增,所以当μ=1时,(λ·μ)min=0; 当μ=时,(λ·μ)max=. 故λ·μ的取值范围是[0,]. - 1 - 学科网（北京）股份有限公司 $