2.课时跟踪检测练 50 第10章 五十 事件的相互独立性(2)(Word版+PPT版)-【满分思维】2025-2026学年高中数学必修第二册（人教A版）

五十　事件的相互独立性(2) (时间:45分钟　分值:80分) 【基础全面练】 1.(5分)小明与其父时常进行围棋对弈.在单局博弈中,其父获胜、双方平局以及小明获胜的概率分别为0.7,0.2与0.1.双方约定每局胜者积10分,平局各积5分,败者积0分.各局对弈结果相互独立.当进行两局对弈时,小明累计积分为10分的概率为 (　　) A.0.14 B.0.18 C.0.04 D.0.08 【解析】选B.记小明第一局得分为A1,第二局得分为A2,总得分为A, 则P(A=10)=P(A1=10,A2=0)+P(A1=5,A2=5)+P(A1=0,A2=10)=0.1×0.7+0.2×0.2+0.7×0.1=0.18. 2.(5分)北京时间2025年4月30日,神舟十九号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆.某校以此为契机开展航天科普知识竞答,甲、乙两人组成“启航队”.每轮竞答由甲、乙各答一题,已知甲每轮答对的概率为,乙每轮答对的概率为.在每轮竞答中,甲和乙答对与否互不影响,各轮结果也互不影响,则“启航队”在两轮竞答中答对3道题目的概率为 (　　) A. B. C. D. 【解析】选B.设A1,A2分别表示事件甲两轮答对1道、2道题目,B1,B2分别表示事件乙两轮答对1道、2道题目, 则P(A1)=×(1-)+(1-)×=, P(A2)==, P(B1)=×(1-)+(1-)×=,P(B2)==, 设A=“两轮活动‘启航队’答对3道题目”,则A=A1B2∪A2B1,因为A1B2与A2B1互斥,A1与B2,A2与B1分别相互独立, 所以P(A)=P(A1B2)+P(A2B1)=P(A1)P(B2)+P(A2)P(B1)=+=,因此,“启航队”在两轮竞答中答对3道题目的概率为. 3.(5分)已知P(A∪B)=,P()=,P(B)=,则事件A与B的关系是 (　　) A.A与B互斥不对立 B.A与B对立 C.A与B相互独立 D.A与B既互斥又相互独立 【解析】选C.因为P()=,所以P(A)=1-=. 因为P(A∪B)=≠P(A)+P(B)=+=,所以A与B不互斥,不对立,则A,B,D错误; 又P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)=⇒P(AB)=. 因为P(AB)==,所以事件A与B相互独立,则C正确. 4.(5分)某大学的“书法”“篮球”“轮滑”三个社团考核挑选新社员.已知某大一新生对这三个社团都很感兴趣,决定三个考核都参加,假设他通过“书法”“篮球”“轮滑”三个社团考核的概率依次为m,,n,且他是否通过每个考核相互独立,若三个社团考核他都能通过的概率为,至少通过一个社团考核的概率为,则m+n= (　　) A. B. C. D. 【解析】选B.因为至少通过一个社团考核的概率为,则三个社团都没有通过的概率为, 依题意得 即解得m+n=. 5.(5分)(多选)已知事件A,B发生的概率分别为P(A)=,P(B)=,则 (　　) A.若A与B互斥,则P(A∪B)= B.若A与B相互独立,则P(AB)= C.若A与B相互独立,则P(A)= D.若A与B相互独立,则P(A∪B)= 【解析】选ACD.对于A,若A与B互斥,则P(A∪B)=P(A)+P(B)=,A正确; 对于B,若A与B相互独立,则P(AB)=P(A)P(B)=,B错误; 对于C,若A与B相互独立,则A与相互独立,则P(A)=P(A)P()=,C正确; 对于D,若A与B相互独立,则P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)=P(A)+P(B)-P(A)P(B)=,D正确. 6.(5分)(2025·武汉高一检测)甲、乙两人下围棋,若甲执黑子先下,则甲胜的概率为;若乙执黑子先下,则乙胜的概率为.假定每局之间相互独立且无平局,第二局由上一局负者执黑子先下,若甲、乙比赛两局,第一局甲执黑子先下,则甲、乙各胜一局的概率为　　.  【解析】第一局甲胜,第二局乙胜:甲胜第一局的概率为,第二局乙执黑子先下,则乙胜的概率为, 因此第一局甲胜,第二局乙胜的概率为p1==; 第一局乙胜,第二局甲胜:乙胜第一局的概率为,第二局甲执黑子先下,则甲胜的概率为, 因此第一局乙胜,第二局甲胜的概率为p2==;所以甲、乙各胜一局的概率为+=. 7.(5分)(2025·张家口高一检测)如图,JA,JB两个开关串联再与开关JC并联,在某段时间内JA,JB每个开关能够闭合的概率都是0.5,JC能够闭合的概率为0.7,则在这段时间内线路正常工作的概率为　0.775　.  【解析】由题意,开关JA,JB在这段时间均正常工作的概率P1=0.5×0.5=0.25, 开关JC在这段时间正常工作的概率P2=0.7, 这段时间内线路正常工作的概率P=1-(1-P1)(1-P2)=1-0.75×0.3=0.775. 8.(10分)某市决定在一个乡镇投资农产品加工、绿色蔬菜种植和水果种植三个项目,据预测,三个项目成功的概率分别为,,,且三个项目是否成功互相独立. (1)求恰有两个项目成功的概率; 【解析】(1)只有农产品加工和绿色蔬菜种植两个项目成功的概率为×(1-)=, 只有农产品加工和水果种植两个项目成功的概率为×(1-)×=, 只有绿色蔬菜种植和水果种植两个项目成功的概率为(1-)×=, 所以恰有两个项目成功的概率为++=. (2)求至少有一个项目成功的概率. 【解析】(2)三个项目全部失败的概率为(1-)×(1-)×(1-)=, 所以至少有一个项目成功的概率为1-=. 【综合应用练】 9.(5分)如图,已知电路中4个开关每个闭合的概率都是,且是相互独立的,则灯亮的概率为 　　.  【解析】灯不亮包括4个开关都断开,或开关C和D都断开且开关A和B中有一个断开,这两种情况是互斥的,每一种情况中的事件是相互独立的, 所以灯不亮的概率为++=. 因为灯亮与灯不亮是对立事件, 所以灯亮的概率是1-=. 10.(10分)(2025·重庆高一检测)某中学为提升学生的数学素养,激发大家学习数学的兴趣,举办了一场“数学文化素养知识大赛”,分为初赛和复赛两个环节,全校学生参加了初赛,现从参加初赛的全体学生中随机抽取300人的成绩作为样本,得到如下频率分布直方图,根据图形,请回答下列问题: (1)求频率分布直方图中a的值. 【解析】(1)由题意可知(0.01+0.015+0.015+a+0.025+0.005)×10=1,解得a=0.03. (2)若从成绩不低于70分的学生中,按分层随机抽样方法抽取24人的成绩,求24人中成绩不低于90分的人数. 【解析】(2)成绩位于[70,80),[80,90),[90,100]的频率之比为0.03∶0.025∶0.005=6∶5∶1, 故24人中成绩不低于90分的人数为×24=2. (3)用样本估计总体,估计该校学生数学文化素养知识初赛成绩的中位数.(保留小数点后两位) 【解析】(3)由于(0.01+0.015+0.015)×10=0.4<0.5, (0.01+0.015+0.015+0.03)×10=0.7>0.5, 故中位数位于[70,80)内, 设中位数为m,则(m-70)×0.03=0.1,解得m≈73.33. (4)若甲、乙两位同学均进入复赛,已知甲复赛获一等奖的概率为,乙复赛获一等奖的概率为,甲、乙是否获一等奖互不影响,求至少有一位同学复赛获一等奖的概率. 【解析】(4)甲、乙两人复赛都未获一等奖的概率为(1-)(1-)=,故至少有一位同学复赛获一等奖的概率为1-=. 11.(10分)(2025·甘肃高一检测)甲、乙、丙、丁4名棋手进行围棋比赛,赛程如框图所示,其中编号为i的方框表示第i场比赛,方框中是进行该场比赛的两名棋手,第i场比赛的胜者称为“胜者i”,负者称为“负者i”,第6场为决赛,获胜的人是冠军,已知甲每场比赛获胜的概率均为,而乙、丙、丁相互之间胜负的可能性相同. (1)求乙仅参加两场比赛且连负两场的概率; 【解析】(1)乙连负两场,即乙在第1场、第4场均负, 所以乙连负两场的概率为P1==; (2)求甲获得冠军的概率. 【解析】(2)甲获得冠军,则甲参加的比赛结果有三种情况:1胜3胜6胜;1负4胜5胜6胜;1胜3负5胜6胜, 所以甲获得冠军的概率为P2=+2×=. 【创新拓展练】 12.(5分)高尔顿板的实验是当单个粒子(如小钢珠)从贮存室落下时,它会与钉阵中的铁钉发生随机碰撞.由于碰撞的随机性,粒子落到底部哪一条狭槽是完全不确定的.图中线条均表示通道,一钢珠从入口E处自上而下沿通道自由落下,则其落到B处的概率是　　.  【解析】首先分清从E处出发到达B处的具体途径,然后继续求解. 钢珠从E处落下,①有的概率落到EF,经FH后有的概率落到HJ,经JM后有的概率落到MN,最后落到B处,即P1==; ②有的概率落到EF,经FH后有的概率落到HK,经KO后有的概率落到ON,最后落到B处,即P2==; ③有的概率落到EG,经GI后有的概率落到IK,经KO后有的概率落到ON,最后落到B处,即P3==.所以P=P1+P2+P3=. 13.(5分)(2025·济南高一检测)如图,图中共有10个交会点:A,B,C,D,E,F,G,H,P,Q.已知质点甲在点P处,质点乙在点Q处,若每经过一次移动,两质点都将等可能地随机移动到与之相邻的任意一个交会点,则同时经过两次移动后,两质点移动到同一个交会点的概率为　　.  【解析】由题意可得同时经过两次移动后,两质点都移动到交会点A的概率为=, 易得同时经过两次移动后,两质点都移动到交会点A,B,G,H的概率相等. 同时经过两次移动后,两质点都移动到交会点C的概率为(+)×=, 易得同时经过两次移动后,两质点都移动到交会点C,D,E,F的概率相等. 故同时经过两次移动后,两质点移动到同一个交会点的概率为×4+×4=. - 1 - 学科网（北京）股份有限公司 $五十　事件的相互独立性(2) (时间:45分钟　分值:80分) 【基础全面练】 1.(5分)小明与其父时常进行围棋对弈.在单局博弈中,其父获胜、双方平局以及小明获胜的概率分别为0.7,0.2与0.1.双方约定每局胜者积10分,平局各积5分,败者积0分.各局对弈结果相互独立.当进行两局对弈时,小明累计积分为10分的概率为(　　) A.0.14 B.0.18 C.0.04 D.0.08 【解析】选B.记小明第一局得分为A1,第二局得分为A2,总得分为A, 则P(A=10)=P(A1=10,A2=0)+P(A1=5,A2=5)+P(A1=0,A2=10)=0.1×0.7+ 0.2×0.2+0.7×0.1=0.18. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 选题清单 2.(5分)北京时间2025年4月30日,神舟十九号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆.某校以此为契机开展航天科普知识竞答,甲、乙两人组成“启航队”.每轮竞答由甲、乙各答一题,已知甲每轮答对的概率为,乙每轮答对的概率为.在每轮竞答中,甲和乙答对与否互不影响,各轮结果也互不影响,则“启航队”在两轮竞答中答对3道题目的概率为(　　) A. B. C. D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 选题清单 【解析】选B.设A1,A2分别表示事件甲两轮答对1道、2道题目,B1,B2分别表示事件乙两轮答对1道、2道题目,则P(A1)=×(1-)+(1-)×=, P(A2)==,P(B1)=×(1-)+(1-)×=,P(B2)==, 设A=“两轮活动‘启航队’答对3道题目”,则A=A1B2∪A2B1,因为A1B2与A2B1互斥,A1与B2,A2与B1分别相互独立, 所以P(A)=P(A1B2)+P(A2B1)=P(A1)P(B2)+P(A2)P(B1)=+=, 因此,“启航队”在两轮竞答中答对3道题目的概率为. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 选题清单 3.(5分)已知P(A∪B)=,P()=,P(B)=,则事件A与B的关系是(　　) A.A与B互斥不对立 B.A与B对立 C.A与B相互独立 D.A与B既互斥又相互独立 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 选题清单 【解析】选C.因为P()=,所以P(A)=1-=. 因为P(A∪B)=≠P(A)+P(B)=+=,所以A与B不互斥,不对立,则A,B,D错误; 又P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)=⇒P(AB)=. 因为P(AB)==,所以事件A与B相互独立,则C正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 选题清单 4.(5分)某大学的“书法”“篮球”“轮滑”三个社团考核挑选新社员.已知某大一新生对这三个社团都很感兴趣,决定三个考核都参加,假设他通过“书法”“篮球”“轮滑”三个社团考核的概率依次为m,,n,且他是否通过每个考核相互独立,若三个社团考核他都能通过的概率为,至少通过一个社团考核的概率为,则m+n=(　　) A. B. C. D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 选题清单 【解析】选B.因为至少通过一个社团考核的概率为,则三个社团都没有通过的概率为, 依题意得 即解得m+n=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 选题清单 5.(5分)(多选)已知事件A,B发生的概率分别为P(A)=,P(B)=,则(　　) A.若A与B互斥,则P(A∪B)= B.若A与B相互独立,则P(AB)= C.若A与B相互独立,则P(A)= D.若A与B相互独立,则P(A∪B)= √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 选题清单 【解析】选ACD.对于A,若A与B互斥,则P(A∪B)=P(A)+P(B)=,A正确; 对于B,若A与B相互独立,则P(AB)=P(A)P(B)=,B错误; 对于C,若A与B相互独立,则A与相互独立,则P(A)=P(A)P()=,C正确; 对于D,若A与B相互独立,则P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)=P(A)+P(B)-P(A)P(B)=,D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 选题清单 6.(5分)(2025·武汉高一检测)甲、乙两人下围棋,若甲执黑子先下,则甲胜的 概率为;若乙执黑子先下,则乙胜的概率为.假定每局之间相互独立且无平 局,第二局由上一局负者执黑子先下,若甲、乙比赛两局,第一局甲执黑子 先下,则甲、乙各胜一局的概率为______.  　　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 选题清单 【解析】第一局甲胜,第二局乙胜:甲胜第一局的概率为,第二局乙执黑子先下,则乙胜的概率为,因此第一局甲胜,第二局乙胜的概率为p1==; 第一局乙胜,第二局甲胜:乙胜第一局的概率为,第二局甲执黑子先下,则甲胜的概率为,因此第一局乙胜,第二局甲胜的概率为p2==;所以甲、乙各胜一局的概率为+=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 选题清单 7.(5分)(2025·张家口高一检测)如图,JA,JB两个开关串联再与开关JC并联,在 某段时间内JA,JB每个开关能够闭合的概率都是0.5,JC能够闭合的概率为0.7, 则在这段时间内线路正常工作的概率为__________.  　0.775　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 选题清单 【解析】由题意,开关JA,JB在这段时间均正常工作的概率 P1=0.5×0.5=0.25, 开关JC在这段时间正常工作的概率P2=0.7, 这段时间内线路正常工作的概率 P=1-(1-P1)(1-P2)=1-0.75×0.3=0.775. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 选题清单 8.(10分)某市决定在一个乡镇投资农产品加工、绿色蔬菜种植和水果种植三个项目,据预测,三个项目成功的概率分别为,,,且三个项目是否成功互相独立. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 选题清单 (1)求恰有两个项目成功的概率; 【解析】(1)只有农产品加工和绿色蔬菜种植两个项目成功的概率为×(1-)=, 只有农产品加工和水果种植两个项目成功的概率为×(1-)×=, 只有绿色蔬菜种植和水果种植两个项目成功的概率为(1-)×=, 所以恰有两个项目成功的概率为++=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 选题清单 (2)求至少有一个项目成功的概率. 【解析】(2)三个项目全部失败的概率为(1-)×(1-)×(1-)=, 所以至少有一个项目成功的概率为1-=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 选题清单 【综合应用练】 9.(5分)如图,已知电路中4个开关每个闭合的概率都是,且是相互独立的, 则灯亮的概率为_______ . 　　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 选题清单 【解析】灯不亮包括4个开关都断开,或开关C和D都断开且开关A和B中有一个断开,这两种情况是互斥的,每一种情况中的事件是相互独立的, 所以灯不亮的概率为++=. 因为灯亮与灯不亮是对立事件, 所以灯亮的概率是1-=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 选题清单 10.(10分)(2025·重庆高一检测)某中学为提升学生的数学素养,激发大家学习数学的兴趣,举办了一场“数学文化素养知识大赛”,分为初赛和复赛两个环节,全校学生参加了初赛,现从参加初赛的全体学生中随机抽取300人的成绩作为样本,得到如下频率分布直方图,根据图形,请回答下列问题: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 选题清单 (1)求频率分布直方图中a的值. 【解析】(1)由题意可知(0.01+0.015+0.015+a+0.025+0.005)×10=1,解得a=0.03. (2)若从成绩不低于70分的学生中,按分层随机抽样方法抽取24人的成绩,求24人中成绩不低于90分的人数. 【解析】(2)成绩位于[70,80),[80,90),[90,100]的频率之比为 0.03∶0.025∶0.005=6∶5∶1, 故24人中成绩不低于90分的人数为×24=2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 选题清单 (3)用样本估计总体,估计该校学生数学文化素养知识初赛成绩的中位数.(保留小数点后两位) 【解析】(3)由于(0.01+0.015+0.015)×10=0.4<0.5, (0.01+0.015+0.015+0.03)×10=0.7>0.5, 故中位数位于[70,80)内, 设中位数为m,则(m-70)×0.03=0.1,解得m≈73.33. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 选题清单 (4)若甲、乙两位同学均进入复赛,已知甲复赛获一等奖的概率为,乙复赛获一等奖的概率为,甲、乙是否获一等奖互不影响,求至少有一位同学复赛获一等奖的概率. 【解析】(4)甲、乙两人复赛都未获一等奖的概率为(1-)(1-)=,故至少有一位同学复赛获一等奖的概率为1-=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 选题清单 11.(10分)(2025·甘肃高一检测)甲、乙、丙、丁4名棋手进行围棋比赛,赛程如框图所示,其中编号为i的方框表示第i场比赛,方框中是进行该场比赛的两名棋手,第i场比赛的胜者称为“胜者i”,负者称为“负者i”,第6场为决赛,获胜的人是冠军,已知甲每场比赛获胜的概率均为,而乙、丙、丁相互之间胜负的可能性相同. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 选题清单 (1)求乙仅参加两场比赛且连负两场的概率; 【解析】(1)乙连负两场,即乙在第1场、第4场均负, 所以乙连负两场的概率为P1==; (2)求甲获得冠军的概率. 【解析】(2)甲获得冠军,则甲参加的比赛结果有三种情况:1胜3胜6胜;1负4胜5胜6胜;1胜3负5胜6胜, 所以甲获得冠军的概率为P2=+2×=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 选题清单 【创新拓展练】 12.(5分)高尔顿板的实验是当单个粒子(如小钢珠)从贮存室落下时,它会与 钉阵中的铁钉发生随机碰撞.由于碰撞的随机性,粒子落到底部哪一条狭槽 是完全不确定的.图中线条均表示通道,一钢珠从入口E处自上而下沿通道 自由落下,则其落到B处的概率是______.  　　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 选题清单 【解析】首先分清从E处出发到达B处的具体途径,然后继续求解. 钢珠从E处落下,①有的概率落到EF,经FH后有的概率落到HJ,经JM后有的概率落到MN,最后落到B处,即P1==; ②有的概率落到EF,经FH后有的概率落到HK,经KO后有的概率落到ON,最后落到B处,即P2==; ③有的概率落到EG,经GI后有的概率落到IK,经KO后有的概率落到ON,最后落到B处,即P3==.所以P=P1+P2+P3=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 选题清单 13.(5分)(2025·济南高一检测)如图,图中共有10个交会点:A,B,C,D,E,F,G,H, P,Q.已知质点甲在点P处,质点乙在点Q处,若每经过一次移动,两质点都将 等可能地随机移动到与之相邻的任意一个交会点,则同时经过两次移动后, 两质点移动到同一个交会点的概率为________.  　　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 选题清单 【解析】由题意可得同时经过两次移动后,两质点都移动到交会点A的概率为=,易得同时经过两次移动后,两质点都移动到交会点A,B,G,H的概率相等. 同时经过两次移动后,两质点都移动到交会点C的概率为(+)×=,易得同时经过两次移动后,两质点都移动到交会点C,D,E,F的概率相等. 故同时经过两次移动后,两质点移动到同一个交会点的概率为×4+×4=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 选题清单 $