2.课时跟踪检测练 44 第10章 四十四 有限样本空间与随机事件(Word版+PPT版)-【满分思维】2025-2026学年高中数学必修第二册（人教A版）

第十章　概率 四十四　有限样本空间与随机事件 (时间:45分钟　分值:100分) 【基础全面练】 1.(5分)(2025·石家庄高一检测)下列事件中,属于随机事件的是(　　) A.若正方形边长为a,则正方形的面积为a2 B.在没有任何辅助情况下,人在真空中也可以生存 C.在一个标准大气压下,温度达到80 ℃时水会沸腾 D.抛掷一枚硬币,反面向上 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 选题清单 【解析】选D.对于A,若正方形边长为a,由面积公式可知其面积为a2,这是必然事件,故A不符合题意; 对于B,在没有任何辅助情况下,人不能在真空中生存,这是不可能事件,故B不符合题意; 对于C,在一个标准大气压下,只有温度达到100 ℃,水才会沸腾,当温度是80 ℃时,水不会沸腾,这是不可能事件,故C不符合题意; 对于D,抛掷一枚硬币时,结果可能是正面向上,也可能是反面向上,这是随机事件,故D符合题意. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 选题清单 2.(5分)抛掷两枚质地均匀的骰子,所得向上点数之和记为X,那么X=4表示的随机试验结果是 (　　) A.一枚是3点,一枚是1点 B.一枚是3点,一枚是1点或两枚都是2点 C.两枚都是4点 D.两枚都是2点 【解析】选B.抛掷两枚质地均匀的骰子,所得向上点数之和记为X,那么X=4表示的随机试验结果是“一枚是3点,一枚是1点或两枚都是2点”. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 选题清单 3.(5分)(2025·上海高一检测)有两个事件,事件A:367人中至少有2人生日相同;事件B:抛掷一枚质地均匀的骰子,朝上的面点数为偶数.下列说法正确的是 (　　) A.事件A,B都是必然事件 B.事件A,B都是随机事件 C.事件A是随机事件,事件B是必然事件 D.事件A是必然事件,事件B是随机事件 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 选题清单 【解析】选D.事件A:一年最多有366天,所以367人中至少有2人生日相同,是必然事件; 事件B:抛掷一枚质地均匀的骰子,朝上的面点数为1,2,3,4,5,6,共6种情况, 点数为偶数是随机事件. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 选题清单 4.(5分)先后抛掷两枚质地均匀的硬币,观察它们落地时朝上的面的情况,该试验的样本空间中样本点的个数为 (　　) A.1 B.2 C.4 D.8 【解析】选C.先后抛掷两枚质地均匀的硬币,有先后顺序,则此试验的样本空间为{(正面,正面),(正面,反面),(反面,正面),(反面,反面)}. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 选题清单 5.(5分)下列判断错误的是 (　　) A.“三个球全部放入两个盒子,其中必有一个盒子有一个以上的球”是必然事件 B.“当x为某一实数时,可使x2<0”是不可能事件 C.“明天兰州要下雨”是必然事件 D.“从100个灯泡中取出5个,5个都是次品”是随机事件 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 选题清单 【解析】选C. 选项 原因 正误 A 三个球全部放入两个盒子,有两种情况,1+2和3+0,所以必有一个盒子有一个以上的球,是必然事件 √ B “当x为某一实数时,可使x2<0”不可能发生,没有哪个实数的平方小于0,是不可能事件 √ C 明天兰州可能晴天,可能下雨,所以“明天兰州要下雨”是随机事件 × D “从100个灯泡中取出5个,5个都是次品”有可能发生,有可能不发生,是随机事件 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 选题清单 6.(5分)(多选)下列事件是随机事件的是 (　　) A.函数f(x)=x2-2x+a的图象关于直线x=1对称 B.某人给其朋友打电话,却忘记了朋友电话号码的最后一个数字,就随意拨了一个数字,恰巧是朋友的电话号码 C.直线y=kx+6是定义在R上的增函数 D.某人购买福利彩票一注,中奖500万元 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 选题清单 【解析】选BCD.A.根据二次函数y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=-,可得f(x)=x2-2x+a的图象关于直线x=1对称,是必然事件; B.因为忘记最后一个数字,随意拨了一个数字,是随机事件; C.因为k值不确定,所以不一定是增函数,是随机事件; D.彩票有很多张,买了一注中奖,是随机事件; 所以A为必然事件;B,C,D为随机事件. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 选题清单 7.(5分)(多选)以下事件不是随机事件的是 (　　) A.在相同的条件下抛掷一枚质地均匀的硬币两次,正反两面都出现 B.同种电荷相互排斥 C.明天下雨 D.平面四边形的内角和是360° 【解析】选BD.根据随机事件的概念可知,A,C是随机事件,B,D是必然事件. √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 选题清单 8.(5分)投掷两枚质地均匀的硬币,用ai表示“第i枚硬币正面朝上”,bi表示 “第i枚硬币反面朝上”(i=1,2),则该试验的样本空间Ω= ___________________________.  【解析】样本空间:{(a1a2),(a1b2),(b1a2),(b1b2)}. 　{(a1a2),(a1b2),(b1a2),(b1b2)} 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 选题清单 9.(5分)如图,由A,B两个元件组成并联电路,观察两个元件正常或失效的情况,则事件M=“电路是通路”包含的样本点个数为______.  【解析】设元件正常为1,失效为0, 由A,B两个元件组成并联电路, 则至少有一个元件正常, 故事件M包含的样本点为(1,1),(1,0),(0,1),共3个. 　3　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 选题清单 10.(10分)转动如图所示的两个转盘,记转盘①得到的数为x,转盘②得到的数为y,结果为(x,y). (1)写出这个试验的样本空间; 【解析】(1)样本空间 Ω={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1), (4,2),(4,3),(4,4)}. (2)求这个试验的样本点的总数; 【解析】(2)由(1)知,样本点的总数为16. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 选题清单 (3)“x+y=5”这一事件包含哪几个样本点?“x<3且y>1”呢? 【解析】(3)由(1)知,事件“x+y=5”包含以下4个样本点:(1,4),(2,3),(3,2),(4,1); 事件“x<3且y>1”包含以下6个样本点:(1,2),(1,3),(1,4),(2,2),(2,3),(2,4). (4)“xy=4”这一事件包含哪几个样本点?“x=y”呢? 【解析】(4)由(1)知,事件“xy=4”包含以下3个样本点:(1,4),(2,2),(4,1); 事件“x=y”包含以下4个样本点:(1,1),(2,2),(3,3),(4,4). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 选题清单 【综合应用练】 11.(5分)一个不透明的袋子中装有8个红球,2个白球,除颜色外,球的大小、质地完全相同,采用不放回的方式从中摸出3个球.下列事件为不可能事件的是(　　) A.3个都是白球 B.3个都是红球 C.至少1个红球 D.至多2个白球 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 选题清单 【解析】选A.对于A:袋子中装有8个红球,2个白球,摸出的3个球都是白球是不可能发生的,故3个都是白球为不可能事件,故选项A符合题意; 对于B:摸出的3个球都是红球为随机事件,故选项B不符合题意; 对于C:袋子中只有2个白球,摸出3个球至少1个红球为必然事件,故选项C不符合题意; 对于D:摸出的球至多2个白球是必然事件,故选项D不符合题意. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 选题清单 12.(5分)(多选)下列事件是随机事件的是 (　　) A.小明上学路上通过的5个路口都遇到绿灯 B.地球每天都在自转 C.太阳从西边升起 D.明天会刮风 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 选题清单 【解析】选AD.对于A,小明上学路上通过的5个路口都遇到绿灯,这件事可能发生,也可能不会发生,是随机事件,故A符合题意; 对于B,地球每天都在自转从而使得昼夜更替,这是必然事件,故B不符合题意; 对于C,客观事实是太阳从东边升起,所以太阳从西边升起是不可能事件,故C不符合题意; 对于D,明天有可能会刮风,也可能不会刮风,所以明天会刮风是随机事件,故D符合题意. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 选题清单 13.(5分)甲、乙两支足球队比赛,若实力相当,则“甲队胜”是_________事件; 若甲队比乙队实力强,则“甲队胜”是_________事件.  【解析】两支足球队比赛,无论实力相当,还是某队实力强,两支足球队均 有可能获胜,故“甲队胜”是随机事件. 　随机　 　随机　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 选题清单 14.(10分)指出下列事件是必然事件、不可能事件,还是随机事件. (1)如果a,b都是实数,那么a+b=b+a. (2)从分别标有号数1,2,3,4,5,6,7,8,9,10的10张号签中任取一张,得到4号签. (3)没有水分,种子发芽. (4)某电话总机在60秒内接到至少15次呼叫. 【解析】因为必然事件为一定会发生的事件,不可能事件为一定不会发生的事件,而随机事件为可能发生也可能不发生的事件, 所以(1)是必然事件;(3)是不可能事件;(2)(4)是随机事件. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 选题清单 15.(10分)设有一列北上的火车,已知停靠的站由南至北分别为S1,S2,…,S10站.若甲在S3站买票,乙在S6站买票,设样本空间Ω表示乘客所有可能到达的站,令A表示甲可能到达的站的集合,B表示乙可能到达的站的集合. (1)写出样本空间Ω. 【解析】(1)由题意,停靠的站由南至北分别为S1,S2,…,S10站, 所以样本空间Ω表示乘客所有可能到达的站, 则Ω={S2,S3,S4,S5,S6,S7,S8,S9,S10}. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 选题清单 (2)分别用集合表示事件A、事件B. 【解析】(2)由题意,甲在S3站买票,乙在S6站买票,则事件A可用集合表示为 {S4,S5,S6,S7,S8,S9,S10},事件B可用集合表示为{S7,S8,S9,S10}. (3)铁路局需为该列车准备多少种北上的车票? 【解析】(3)铁路局需要准备从S1站发车的车票共计9种,从S2站发车的车票共计8种,…, 从S9站发车的车票1种,共计9+8+…+2+1=45(种). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 选题清单 【创新拓展练】 16.(10分)我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中做出了重大贡献.哥德巴赫猜想是“任一大于2的偶数都可写成两个质数的和”,如32=13+19.在不超过32的质数中,随机选取两个不同的数. (1)求试验的样本空间中样本点总数; 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 选题清单 【解析】(1)不超过32的质数有2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,共11个,随机取两个不同的数,可分类如下: 取2,如图,共有10个样本点; 取3,共有9个样本点; 取5,共有8个样本点; … 取29,共有1个样本点, 所以共有1+2+3+…+9+10=5×(10+1)=55(个). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 选题清单 (2)用集合表示事件C=“两数之和为30”. 【解析】(2)C={(7,23),(11,19),(13,17)}. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 选题清单 $ 第十章　概率 四十四　有限样本空间与随机事件 (时间:45分钟　分值:100分) 【基础全面练】 1.(5分)(2025·石家庄高一检测)下列事件中,属于随机事件的是 (　　) A.若正方形边长为a,则正方形的面积为a2 B.在没有任何辅助情况下,人在真空中也可以生存 C.在一个标准大气压下,温度达到80 ℃时水会沸腾 D.抛掷一枚硬币,反面向上 【解析】选D.对于A,若正方形边长为a,由面积公式可知其面积为a2,这是必然事件,故A不符合题意; 对于B,在没有任何辅助情况下,人不能在真空中生存,这是不可能事件,故B不符合题意; 对于C,在一个标准大气压下,只有温度达到100 ℃,水才会沸腾,当温度是80 ℃时,水不会沸腾,这是不可能事件,故C不符合题意; 对于D,抛掷一枚硬币时,结果可能是正面向上,也可能是反面向上,这是随机事件,故D符合题意. 2.(5分)抛掷两枚质地均匀的骰子,所得向上点数之和记为X,那么X=4表示的随机试验结果是 (　　) A.一枚是3点,一枚是1点 B.一枚是3点,一枚是1点或两枚都是2点 C.两枚都是4点 D.两枚都是2点 【解析】选B.抛掷两枚质地均匀的骰子,所得向上点数之和记为X,那么X=4表示的随机试验结果是“一枚是3点,一枚是1点或两枚都是2点”. 3.(5分)(2025·上海高一检测)有两个事件,事件A:367人中至少有2人生日相同;事件B:抛掷一枚质地均匀的骰子,朝上的面点数为偶数.下列说法正确的是 (　　) A.事件A,B都是必然事件 B.事件A,B都是随机事件 C.事件A是随机事件,事件B是必然事件 D.事件A是必然事件,事件B是随机事件 【解析】选D.事件A:一年最多有366天,所以367人中至少有2人生日相同,是必然事件; 事件B:抛掷一枚质地均匀的骰子,朝上的面点数为1,2,3,4,5,6,共6种情况, 点数为偶数是随机事件. 4.(5分)先后抛掷两枚质地均匀的硬币,观察它们落地时朝上的面的情况,该试验的样本空间中样本点的个数为 (　　) A.1 B.2 C.4 D.8 【解析】选C.先后抛掷两枚质地均匀的硬币,有先后顺序,则此试验的样本空间为{(正面,正面),(正面,反面),(反面,正面),(反面,反面)}. 5.(5分)下列判断错误的是 (　　) A.“三个球全部放入两个盒子,其中必有一个盒子有一个以上的球”是必然事件 B.“当x为某一实数时,可使x2<0”是不可能事件 C.“明天兰州要下雨”是必然事件 D.“从100个灯泡中取出5个,5个都是次品”是随机事件 【解析】选C. 选项 原因 正误 A 三个球全部放入两个盒子,有两种情况,1+2和3+0,所以必有一个盒子有一个以上的球,是必然事件 √ B “当x为某一实数时,可使x2<0”不可能发生,没有哪个实数的平方小于0,是不可能事件 √ C 明天兰州可能晴天,可能下雨,所以“明天兰州要下雨”是随机事件 × D “从100个灯泡中取出5个,5个都是次品”有可能发生,有可能不发生,是随机事件 √ 6.(5分)(多选)下列事件是随机事件的是 (　　) A.函数f(x)=x2-2x+a的图象关于直线x=1对称 B.某人给其朋友打电话,却忘记了朋友电话号码的最后一个数字,就随意拨了一个数字,恰巧是朋友的电话号码 C.直线y=kx+6是定义在R上的增函数 D.某人购买福利彩票一注,中奖500万元 【解析】选BCD.A.根据二次函数y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=-,可得f(x)=x2-2x+a的图象关于直线x=1对称,是必然事件; B.因为忘记最后一个数字,随意拨了一个数字,是随机事件; C.因为k值不确定,所以不一定是增函数,是随机事件; D.彩票有很多张,买了一注中奖,是随机事件; 所以A为必然事件;B,C,D为随机事件. 7.(5分)(多选)以下事件不是随机事件的是 (　　) A.在相同的条件下抛掷一枚质地均匀的硬币两次,正反两面都出现 B.同种电荷相互排斥 C.明天下雨 D.平面四边形的内角和是360° 【解析】选BD.根据随机事件的概念可知,A,C是随机事件,B,D是必然事件. 8.(5分)投掷两枚质地均匀的硬币,用ai表示“第i枚硬币正面朝上”,bi表示“第i枚硬币反面朝上”(i=1,2),则该试验的样本空间Ω=　{(a1a2),(a1b2),(b1a2),(b1b2)}　.  【解析】样本空间:{(a1a2),(a1b2),(b1a2),(b1b2)}. 9.(5分)如图,由A,B两个元件组成并联电路,观察两个元件正常或失效的情况,则事件M=“电路是通路”包含的样本点个数为　3　.  【解析】设元件正常为1,失效为0, 由A,B两个元件组成并联电路, 则至少有一个元件正常, 故事件M包含的样本点为(1,1),(1,0),(0,1),共3个. 10.(10分)转动如图所示的两个转盘,记转盘①得到的数为x,转盘②得到的数为y,结果为(x,y). (1)写出这个试验的样本空间; 【解析】(1)样本空间 Ω={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4)}. (2)求这个试验的样本点的总数; 【解析】(2)由(1)知,样本点的总数为16. (3)“x+y=5”这一事件包含哪几个样本点?“x<3且y>1”呢? 【解析】(3)由(1)知,事件“x+y=5”包含以下4个样本点:(1,4),(2,3),(3,2),(4,1); 事件“x<3且y>1”包含以下6个样本点:(1,2),(1,3),(1,4),(2,2),(2,3),(2,4). (4)“xy=4”这一事件包含哪几个样本点?“x=y”呢? 【解析】(4)由(1)知,事件“xy=4”包含以下3个样本点:(1,4),(2,2),(4,1); 事件“x=y”包含以下4个样本点:(1,1),(2,2),(3,3),(4,4). 【综合应用练】 11.(5分)一个不透明的袋子中装有8个红球,2个白球,除颜色外,球的大小、质地完全相同,采用不放回的方式从中摸出3个球.下列事件为不可能事件的是 (　　) A.3个都是白球 B.3个都是红球 C.至少1个红球 D.至多2个白球 【解析】选A.对于A:袋子中装有8个红球,2个白球,摸出的3个球都是白球是不可能发生的,故3个都是白球为不可能事件,故选项A符合题意; 对于B:摸出的3个球都是红球为随机事件,故选项B不符合题意; 对于C:袋子中只有2个白球,摸出3个球至少1个红球为必然事件,故选项C不符合题意; 对于D:摸出的球至多2个白球是必然事件,故选项D不符合题意. 12.(5分)(多选)下列事件是随机事件的是 (　　) A.小明上学路上通过的5个路口都遇到绿灯 B.地球每天都在自转 C.太阳从西边升起 D.明天会刮风 【解析】选AD.对于A,小明上学路上通过的5个路口都遇到绿灯,这件事可能发生,也可能不会发生,是随机事件,故A符合题意; 对于B,地球每天都在自转从而使得昼夜更替,这是必然事件,故B不符合题意; 对于C,客观事实是太阳从东边升起,所以太阳从西边升起是不可能事件,故C不符合题意; 对于D,明天有可能会刮风,也可能不会刮风,所以明天会刮风是随机事件,故D符合题意. 13.(5分)甲、乙两支足球队比赛,若实力相当,则“甲队胜”是　随机　事件;若甲队比乙队实力强,则“甲队胜”是　随机　事件.  【解析】两支足球队比赛,无论实力相当,还是某队实力强,两支足球队均有可能获胜,故“甲队胜”是随机事件. 14.(10分)指出下列事件是必然事件、不可能事件,还是随机事件. (1)如果a,b都是实数,那么a+b=b+a. (2)从分别标有号数1,2,3,4,5,6,7,8,9,10的10张号签中任取一张,得到4号签. (3)没有水分,种子发芽. (4)某电话总机在60秒内接到至少15次呼叫. 【解析】因为必然事件为一定会发生的事件,不可能事件为一定不会发生的事件,而随机事件为可能发生也可能不发生的事件, 所以(1)是必然事件;(3)是不可能事件;(2)(4)是随机事件. 15.(10分)设有一列北上的火车,已知停靠的站由南至北分别为S1,S2,…,S10站.若甲在S3站买票,乙在S6站买票,设样本空间Ω表示乘客所有可能到达的站,令A表示甲可能到达的站的集合,B表示乙可能到达的站的集合. (1)写出样本空间Ω. 【解析】(1)由题意,停靠的站由南至北分别为S1,S2,…,S10站, 所以样本空间Ω表示乘客所有可能到达的站,则Ω={S2,S3,S4,S5,S6,S7,S8,S9,S10}. (2)分别用集合表示事件A、事件B. 【解析】(2)由题意,甲在S3站买票,乙在S6站买票, 则事件A可用集合表示为{S4,S5,S6,S7,S8,S9,S10},事件B可用集合表示为{S7,S8,S9,S10}. (3)铁路局需为该列车准备多少种北上的车票? 【解析】(3)铁路局需要准备从S1站发车的车票共计9种,从S2站发车的车票共计8种,…, 从S9站发车的车票1种, 共计9+8+…+2+1=45(种). 【创新拓展练】 16.(10分)我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中做出了重大贡献.哥德巴赫猜想是“任一大于2的偶数都可写成两个质数的和”,如32=13+19.在不超过32的质数中,随机选取两个不同的数. (1)求试验的样本空间中样本点总数; 【解析】(1)不超过32的质数有2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,共11个,随机取两个不同的数,可分类如下: 取2,如图,共有10个样本点; 取3,共有9个样本点; 取5,共有8个样本点; … 取29,共有1个样本点, 所以共有1+2+3+…+9+10=5×(10+1)=55(个). (2)用集合表示事件C=“两数之和为30”. 【解析】(2)C={(7,23),(11,19),(13,17)}. - 1 - 学科网（北京）股份有限公司 $