2.课时跟踪检测练 49 第10章 四十九 事件的相互独立性(1)(Word版+PPT版)-【满分思维】2025-2026学年高中数学必修第二册（人教A版）

四十九　事件的相互独立性(1) (时间:45分钟　分值:80分) 【基础全面练】 1.(5分)(2025·上海高一检测)抛掷一枚质地均匀的骰子一次,记事件A=“出现偶数点”,事件B=“出现3点或4点”,则事件A与事件B的关系为 (　　) A.是相互独立事件,不是互斥事件 B.是互斥事件,不是相互独立事件 C.既是相互独立事件又是互斥事件 D.既不是互斥事件也不是相互独立事件 【解析】选A.因为A={2,4,6},B={3,4},所以A∩B={4},所以P(A)=,P(B)=,P(AB)=,所以P(AB)=P(A)P(B),所以事件A与事件B是相互独立事件,不是互斥事件. 2.(5分)(2025·南京高一检测)若P(AB)=,P()=,P(B)=,则事件A与B的关系是 (　　) A.事件A与B互斥但不对立 B.事件A与B对立 C.事件A与B相互独立 D.事件A与B既互斥又相互独立 【解析】选C.因为P(AB)=,P()=,P(B)=,所以P(A)=1-=, 所以P(AB)=P(A)P(B)==, 所以事件A与B相互独立. 3.(5分)一个质地均匀的正四面体,四个面上分别标有数字1,2,3,4.任意掷一次该四面体,观察它与地面接触面上的数字,得到样本空间Ω={1,2,3,4},记事件A={1,2},事件B={1,3},事件C={1,4},则 (　　) A.事件A,B,C两两独立,事件A,B,C相互独立 B.事件A,B,C两两独立,事件A,B,C不相互独立 C.事件A,B,C不两两独立,事件A,B,C相互独立 D.事件A,B,C不两两独立,事件A,B,C不相互独立 【解析】选B.由题知:P(A)==,P(B)==,P(C)==, P(AB)=,P(AC)=,P(BC)=,P(ABC)=. 因为P(AB)==P(A)P(B),P(AC)==P(A)P(C),P(BC)==P(B)P(C), 所以事件A,B,C两两独立; 但P(ABC)=≠P(A)P(B)P(C)=,所以事件A,B,C不相互独立. 4.(5分)甲、乙两位同学去参加某高校科研项目面试.已知他们通过面试的概率都是,且两人的面试结果相互之间没有影响,则甲、乙两人中仅有一人通过面试的概率为 (　　) A. B. C. D. 【解析】选D.由题意可得:甲、乙两人中仅有一人通过面试的概率P=2××(1-)=. 5.(5分)(2025·郑州高一检测)已知甲同学在学校组织的荒山绿化活动中,种植了A,B,C不同种类的树各一棵,若A,B,C三种树成活的概率分别为,,,三种树成活与否互不影响,则该同学种植的3棵树都成活的概率为 (　　) A. B. C. D. 【解析】选C.依题意,该同学种植的3棵树都成活的概率为=. 6.(5分)有四张大小相同标有数字的卡片,如图所示.从这四张卡片中随机抽一张,令事件Ai:“抽到卡片上有数字i”,i=1,2,3,则P(A1)=　　;已知命题p:事件A2与A3相互独立,则p为 　真　(填“真”或“假”)命题.  【解析】事件Ai:“抽到卡片上有数字i”,i=1,2,3, 则P(A1)=;P(A2)==,P(A3)==,P(A2A3)=, 因为P(A2A3)=P(A2)P(A3), 所以命题p:事件A2与A3相互独立是真命题. 7.(5分)(2025·杭州高一检测)甲、乙两名同学参加一项射击比赛游戏,若甲、乙两人射击的命中率分别为和,假设两人射击互不影响.则两人各射击一次,都没有命中目标的概率为　　.  【解析】因为甲、乙两人射击的命中率分别为和,所以甲、乙两人射击一次不能命中目标的概率分别为和,则两人各射击一次,都没有命中目标的概率为=. 8.(10分)张三参加某闯关比赛,比赛分为三关,每关都需要闯,且在同一天内完成三关的闯关,不能弃权.比赛规则如下:第一天三关都闯关失败者被淘汰;第一天只有一关闯关成功者获得纪念奖并结束闯关;第一天三关都闯关成功者获得蓝牙耳机一副,并结束闯关;第一天只有两关闯关成功者第二天可以重新参与闯关,若该闯关者第二天三关都闯关成功,则获得蓝牙耳机一副,否则获得纪念奖,并结束闯关.已知张三每关闯关成功的概率均为,且前面各关闯关成功与否对后面的闯关没有影响. (1)求张三被淘汰的概率; 【解析】(1)记张三第一、二、三关闯关成功分别为事件A,B,C,则A,B,C相互独立,且P(A)=P(B)=P(C)=.张三被淘汰是指第一天三关都闯关失败. 记事件M=“张三被淘汰”,则P(M)=P( )=P()P()P()==. (2)求张三第一天获得蓝牙耳机的概率. 【解析】(2)记事件N=“张三第一天获得蓝牙耳机”,则P(N)=P(ABC)==. 【综合应用练】 9.(5分)某商场为了增加客流量,决定举办“购物得奖券”活动,规定购买一定价值的商品的顾客均可获得一张奖券,中奖的概率为0.4,不中奖的概率为0.6.现在两个人各有一张奖券,两张奖券是否中奖相互独立,则两张奖券都中奖的概率为 (　　) A.0.16 B.0.24 C.0.36 D.0.48 【解析】选A.依题意,两张奖券都中奖的概率为0.4×0.4=0.16. 10.(5分)如图所示,电路原件R1,R2,R3正常工作的概率分别为,,,则电路能正常工作的概率为 　　.  【解析】由题意,电路能正常工作的条件是: R3必须正常工作,R1,R2至少有一个正常工作, 所以电路能正常工作的概率为×[1-(1-)×(1-)]==. 11.(10分)(2025·佛山高一检测)甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动,每轮活动由甲、乙各猜一个成语,已知甲每轮猜对的概率为,乙每轮猜对的概率为.在每轮活动中,甲和乙猜对与否互不影响,各轮结果也互不影响. (1)分别求甲在两轮活动中共猜对1个、2个成语的概率; 【解析】(1)设A1,A2分别表示甲在两轮活动中共猜对1个、2个成语的事件, 根据独立事件的性质,可得P(A1)=2×=,P(A2)==, 所以甲在两轮活动中共猜对1个成语的概率为,猜对2个成语的概率为; (2)分别求乙在两轮活动中共猜对1个、2个成语的概率. 【解析】(2)设B1,B2分别表示乙在两轮活动中共猜对1个、2个成语的事件, 根据独立事件的性质,可得P(B1)=2×=,P(B2)==, 所以乙在两轮活动中共猜对1个成语的概率为,猜对2个成语的概率为. 12.(10分)(2025·郴州高一检测)甲、乙、丙三人打台球,约定:第一局由甲、乙对打,丙轮空;每局比赛的胜者与轮空者进行下一局对打,负者下一局轮空,如此循环.设甲、乙、丙三人水平相当,每场比赛双方获胜的概率都为. (1)求甲连续打四局比赛的概率; 【解析】(1)若甲连续打四局,根据比赛规则可知甲前三局都要打胜, 所以甲连续打四局比赛的概率=; (2)求在前四局中甲轮空两局的概率. 【解析】(2)在前四局中甲轮空两局的情况为,第一局甲败,第二局轮空,第三局甲败,第四局轮空, 故在前四局中甲轮空两局的概率(1-)×(1-)=. 【创新拓展练】 13.(5分)在一个抽奖游戏中,主持人从编号为1,2,3的三个外观相同的空箱子中随机选择一个,放入一件奖品,再将三个箱子关闭.主持人知道奖品在哪个箱子里.游戏规则是主持人请抽奖人在三个箱子中选择一个,若奖品在此箱子里,则奖品由抽奖人获得.按照游戏规则当抽奖人选择了一个箱子后,主持人会打开另外两个箱子中的一个空箱子,主持人只打开抽奖人选择之外的空箱子.当抽奖人选择一个箱子后,另外两个都是空箱子时,主持人随机选择其中一个打开.这时,主持人会给抽奖人一次重新选择的机会,抽奖人可以重新选择,也可以坚持原来的选择.甲、乙两人先后参加抽奖游戏,甲在抽奖过程中,当主持人给重新选择的机会时,甲重新选择了另一个箱子,乙在抽奖过程中,主持人给重新选择的机会时,乙坚持原来的选择.那么甲、乙两人都获得奖品的概率为　　.  【解析】首先,甲、乙获奖是相互独立的,设甲获得奖品为事件A,乙获得奖品为事件B,甲、乙都获得奖品为事件C,则P(C)=P(A)·P(B). 对甲:当甲第一次抽奖抽到无奖品的箱子(概率为)时,重新选择必定中奖,所以P(A)=×1=, 对乙:乙因为没有重新选择,所以乙只有在第一次选择时,选中有奖品的箱子,才能获得奖品,所以P(B)=. 所以P(C)=P(A)·P(B)==. - 1 - 学科网（北京）股份有限公司 $四十九　事件的相互独立性(1) (时间:45分钟　分值:80分) 【基础全面练】 1.(5分)(2025·上海高一检测)抛掷一枚质地均匀的骰子一次,记事件A=“出 现偶数点”,事件B=“出现3点或4点”,则事件A与事件B的关系为(　　) A.是相互独立事件,不是互斥事件 B.是互斥事件,不是相互独立事件 C.既是相互独立事件又是互斥事件 D.既不是互斥事件也不是相互独立事件 【解析】选A.因为A={2,4,6},B={3,4},所以A∩B={4},所以 P(A)=,P(B)=,P(AB)=,所以P(AB)=P(A)P(B),所以事件A与事件B是相互 独立事件,不是互斥事件. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 选题清单 2.(5分)(2025·南京高一检测)若P(AB)=,P()=,P(B)=,则事件A与B的关系是(　　) A.事件A与B互斥但不对立 B.事件A与B对立 C.事件A与B相互独立 D.事件A与B既互斥又相互独立 【解析】选C.因为P(AB)=,P()=,P(B)=,所以P(A)=1-=, 所以P(AB)=P(A)P(B)==, 所以事件A与B相互独立. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 选题清单 3.(5分)一个质地均匀的正四面体,四个面上分别标有数字1,2,3,4.任意掷一次该四面体,观察它与地面接触面上的数字,得到样本空间Ω={1,2,3,4},记事件A={1,2},事件B={1,3},事件C={1,4},则 (　　) A.事件A,B,C两两独立,事件A,B,C相互独立 B.事件A,B,C两两独立,事件A,B,C不相互独立 C.事件A,B,C不两两独立,事件A,B,C相互独立 D.事件A,B,C不两两独立,事件A,B,C不相互独立 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 选题清单 【解析】选B.由题知:P(A)==,P(B)==,P(C)==, P(AB)=,P(AC)=,P(BC)=,P(ABC)=. 因为P(AB)==P(A)P(B),P(AC)==P(A)P(C),P(BC)==P(B)P(C), 所以事件A,B,C两两独立; 但P(ABC)=≠P(A)P(B)P(C)=,所以事件A,B,C不相互独立. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 选题清单 4.(5分)甲、乙两位同学去参加某高校科研项目面试.已知他们通过面试的概率都是,且两人的面试结果相互之间没有影响,则甲、乙两人中仅有一人通过面试的概率为(　　) A. B. C. D. 【解析】选D.由题意可得:甲、乙两人中仅有一人通过面试的概率P=2××(1-)=. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 选题清单 5.(5分)(2025·郑州高一检测)已知甲同学在学校组织的荒山绿化活动中,种植了A,B,C不同种类的树各一棵,若A,B,C三种树成活的概率分别为,,,三种树成活与否互不影响,则该同学种植的3棵树都成活的概率为(　　) A. B. C. D. 【解析】选C.依题意,该同学种植的3棵树都成活的概率为=. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 选题清单 6.(5分)有四张大小相同标有数字的卡片,如图所示.从这四张卡片中随机抽 一张,令事件Ai:“抽到卡片上有数字i”,i=1,2,3,则P(A1)=______;已知命题p: 事件A2与A3相互独立,则p为_______(填“真”或“假”)命题.  　　 　真　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 选题清单 【解析】事件Ai:“抽到卡片上有数字i”,i=1,2,3, 则P(A1)=;P(A2)==,P(A3)==,P(A2A3)=, 因为P(A2A3)=P(A2)P(A3), 所以命题p:事件A2与A3相互独立是真命题. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 选题清单 7.(5分)(2025·杭州高一检测)甲、乙两名同学参加一项射击比赛游戏,若甲、 乙两人射击的命中率分别为和,假设两人射击互不影响.则两人各射击一 次,都没有命中目标的概率为_______.  【解析】因为甲、乙两人射击的命中率分别为和,所以甲、乙两人射击 一次不能命中目标的概率分别为和,则两人各射击一次,都没有命中目标 的概率为=. 　　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 选题清单 8.(10分)张三参加某闯关比赛,比赛分为三关,每关都需要闯,且在同一天内完成三关的闯关,不能弃权.比赛规则如下:第一天三关都闯关失败者被淘汰;第一天只有一关闯关成功者获得纪念奖并结束闯关;第一天三关都闯关成功者获得蓝牙耳机一副,并结束闯关;第一天只有两关闯关成功者第二天可以重新参与闯关,若该闯关者第二天三关都闯关成功,则获得蓝牙耳机一副,否则获得纪念奖,并结束闯关.已知张三每关闯关成功的概率均为,且前面各关闯关成功与否对后面的闯关没有影响. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 选题清单 (1)求张三被淘汰的概率; 【解析】(1)记张三第一、二、三关闯关成功分别为事件A,B,C,则A,B,C相互独立,且P(A)=P(B)=P(C)=.张三被淘汰是指第一天三关都闯关失败. 记事件M=“张三被淘汰”,则P(M)=P( )=P()P()P()==. (2)求张三第一天获得蓝牙耳机的概率. 【解析】(2)记事件N=“张三第一天获得蓝牙耳机”,则P(N)=P(ABC)==. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 选题清单 【综合应用练】 9.(5分)某商场为了增加客流量,决定举办“购物得奖券”活动,规定购买一定价值的商品的顾客均可获得一张奖券,中奖的概率为0.4,不中奖的概率为0.6.现在两个人各有一张奖券,两张奖券是否中奖相互独立,则两张奖券都中奖的概率为(　　) A.0.16 B.0.24 C.0.36 D.0.48 【解析】选A.依题意,两张奖券都中奖的概率为0.4×0.4=0.16. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 选题清单 10.(5分)如图所示,电路原件R1,R2,R3正常工作的概率分别为,,,则电路能 正常工作的概率为_______.  【解析】由题意,电路能正常工作的条件是: R3必须正常工作,R1,R2至少有一个正常工作, 所以电路能正常工作的概率为×[1-(1-)×(1-)]==. 　　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 选题清单 11.(10分)(2025·佛山高一检测)甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动,每轮活动由甲、乙各猜一个成语,已知甲每轮猜对的概率为,乙每轮猜对的概率为.在每轮活动中,甲和乙猜对与否互不影响,各轮结果也互不影响. (1)分别求甲在两轮活动中共猜对1个、2个成语的概率; 【解析】(1)设A1,A2分别表示甲在两轮活动中共猜对1个、2个成语的事件, 根据独立事件的性质,可得P(A1)=2×=,P(A2)==, 所以甲在两轮活动中共猜对1个成语的概率为,猜对2个成语的概率为; 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 选题清单 (2)分别求乙在两轮活动中共猜对1个、2个成语的概率. 【解析】(2)设B1,B2分别表示乙在两轮活动中共猜对1个、2个成语的事件, 根据独立事件的性质,可得P(B1)=2×=,P(B2)==, 所以乙在两轮活动中共猜对1个成语的概率为,猜对2个成语的概率为. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 选题清单 12.(10分)(2025·郴州高一检测)甲、乙、丙三人打台球,约定:第一局由甲、乙对打,丙轮空;每局比赛的胜者与轮空者进行下一局对打,负者下一局轮空,如此循环.设甲、乙、丙三人水平相当,每场比赛双方获胜的概率都为. (1)求甲连续打四局比赛的概率; 【解析】(1)若甲连续打四局,根据比赛规则可知甲前三局都要打胜, 所以甲连续打四局比赛的概率=; 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 选题清单 (2)求在前四局中甲轮空两局的概率. 【解析】(2)在前四局中甲轮空两局的情况为,第一局甲败,第二局轮空,第三局甲败,第四局轮空, 故在前四局中甲轮空两局的概率(1-)×(1-)=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 选题清单 【创新拓展练】 13.(5分)在一个抽奖游戏中,主持人从编号为1,2,3的三个外观相同的空箱子中随机选择一个,放入一件奖品,再将三个箱子关闭.主持人知道奖品在哪个箱子里.游戏规则是主持人请抽奖人在三个箱子中选择一个,若奖品在此箱子里,则奖品由抽奖人获得.按照游戏规则当抽奖人选择了一个箱子后,主持人会打开另外两个箱子中的一个空箱子,主持人只打开抽奖人选择之外的空箱子.当抽奖人选择一个箱子后,另外两个都是空箱子时,主持人随机选择其中一个打开.这时,主持人会给抽奖人一次重新选择的机会,抽奖人可以重新选择,也可以坚持原来的选择.甲、乙两人先后参加抽奖游戏,甲在抽奖过程中,当主持人给重新选择的机会时,甲重新选择了另一个箱子, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 选题清单 乙在抽奖过程中,主持人给重新选择的机会时,乙坚持原来的选择.那么甲、 乙两人都获得奖品的概率为______.  【解析】首先,甲、乙获奖是相互独立的,设甲获得奖品为事件A,乙获得奖 品为事件B,甲、乙都获得奖品为事件C,则P(C)=P(A)·P(B). 对甲:当甲第一次抽奖抽到无奖品的箱子(概率为)时,重新选择必定中奖, 所以P(A)=×1=,对乙:乙因为没有重新选择,所以乙只有在第一次选择时, 选中有奖品的箱子,才能获得奖品,所以P(B)=. 所以P(C)=P(A)·P(B)==. 　　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 选题清单 $