2.课时跟踪检测练 47 第10章 四十七 古典概型(2)(Word版+PPT版)-【满分思维】2025-2026学年高中数学必修第二册（人教A版）

四十七　古典概型(2) (时间:45分钟　分值:75分) 【基础全面练】 1.(5分)(2025·济南高一检测)某公司现有员工120人,在荣获“优秀员工”称号的85人中,有75人是高级工程师.既没有荣获“优秀员工”称号又不是高级工程师的员工共有14人,公司将随机选择一名员工接受电视新闻节目的采访,被选中的员工是高级工程师的概率为 (　　) A. B. C. D. 【解析】选C.由题意得,没有荣获“优秀员工”称号的高级工程师的人数为120-85-14=21, 则公司共有高级工程师的人数为75+21=96, 故被选中的员工是高级工程师的概率为=. 2.(5分)在信息论中,设某随机事件发生的概率为p,称log2为该随机事件的自信息.若随机抛一枚质地均匀的硬币1次,则“正面朝上”这一事件的自信息为 (　　) A.0 B. C.1 D.2 【解析】选C.随机抛一枚质地均匀的硬币1次,则“正面朝上”的概率p=,所以log2=log2=log22=1,故“正面朝上”这一事件的自信息为1. 3.(5分)已知正六边形ABCDEF的边长为1,现从六个顶点中任取三个顶点构成一个三角形,记A为“这个三角形面积恰好为”,则P(A)= (　　) A. B. C. D. 【解析】选A.因为正六边形ABCDEF的边长为1,则AC=CE=EA=,则△ACE为等边三角形,S△ACE==,同理S△BDF=. 故“这个三角形面积恰好为”的情况有2种,从六个顶点中任取三个顶点构成一个三角形共有20种, 故P(A)==. 4.(5分)(多选)某人决定就近打车前往目的地.前方开来三辆车,且车况分别为“好”“中”“差”.他决定按如下两种方案打车.方案一:不乘第一辆车,若第二辆车好于第一辆车就乘此车,否则直接乘坐第三辆车;方案二:直接乘坐第一辆车.记方案一和方案二坐到车况为“好”的车的概率分别为P1,P2,则下列判断不正确的是 (　　) A.P1=P2= B.P1=P2= C.P1=,P2= D.P1=,P2= 【解析】选ABD.记“车况好、中、差”分别为A,B,C,方案一包含的样本点数为n1,方案二包含的样本点数为n2,列表如下.由表中所列事件数可知,P1==,P2==,所以选项C正确,不符合题意. 1 2 3 n1 n2 A B C √ A C B √ B A C √ B C A √ C A B √ C B A 5.(5分)(多选)一个袋子中装有3件正品和1件次品,按以下要求抽取2件产品,其中结论正确的是 (　　) A.任取2件,则取出的2件中恰有1件次品的概率是 B.每次抽取1件,不放回地抽取两次,样本点总数为16 C.每次抽取1件,不放回地抽取两次,则取出的2件中恰有1件次品的概率是 D.每次抽取1件,有放回地抽取两次,样本点总数为16 【解析】选ACD.记4件产品分别为1,2,3,a,其中a表示次品. 在A中,样本空间Ω={(1,2),(1,3),(1,a),(2,3),(2,a),(3,a)},共6个样本点,且每个样本点出现的可能性相等,“恰有一件次品”的样本点为(1,a),(2,a),(3,a),因此其概率P==,A正确; 每次抽取1件,不放回地抽取两次,样本空间Ω={(1,2),(1,3),(1,a),(2,1),(2,3),(2,a),(3,1),(3,2),(3,a),(a,1),(a,2),(a,3)},因此n(Ω)=12,“取出的两件中恰有一件次品”的样本点数为6,其概率为,B错误,C正确; 在D中,每次抽取1件,有放回地抽取两次,样本空间Ω={(1,1),(1,2),(1,3),(1,a),(2,1),(2,2),(2,3),(2,a),(3,1),(3,2),(3,3),(3,a),(a,1),(a,2),(a,3),(a,a)},因此n(Ω)=16,D正确. 6.(5分)一个三位自然数百位、十位、个位上的数字依次为a,b,c,当且仅当有两个数字的和等于第三个数字时称为“有缘数”(如213,134等),若a,b,c∈{1,2,3,4},且a,b,c互不相同,则这个三位数为“有缘数”的概率是　　.  【解析】由1,2,3组成的三位自然数为123,132,213,231,312,321,共6个;同理,由1,2,4组成的三位自然数为6个,由1,3,4组成的三位自然数为6个,由2,3,4组成的三位自然数为6个,共有24个样本点,这24个样本点出现的可能性是相等的.由1,2,3或1,3,4组成的三位自然数为“有缘数”,共12个样本点,所以三位数为“有缘数”的概率为=. 7.(10分)(2025·常州高一检测)某中学为了解大数据提供的个性化作业质量情况,随机访问50名学生,根据这50名学生对个性化作业的评分,绘制频率分布直方图(如图所示),其中样本数据分组区间为[40,50),[50,60),…,[80,90),[90,100]. (1)求频率分布直方图中a的值,并估计该中学学生对个性化作业评分不低于70的概率; 【解析】(1)由题意得:10×(0.004+a+0.022+0.028+0.022+0.018)=1, 解得a=0.006, 由频率分布直方图知,不低于70的三组频率之和为0.28+0.22+0.18=0.68, 因此估计该中学学生对个性化作业评分不低于70的概率为0.68. (2)从评分在[40,60)的受访学生中,随机抽取2人,求2人评分都在[50,60)的概率; 【解析】(2)评分在[40,50)的人数为2,设为A,B,评分在[50,60)的人数为3,设为b,c,d,从这5人中随机抽取2人,共10个等可能的样本点, 分别为(A,B),(A,b),(A,c),(A,d),(B,b),(B,c),(B,d),(b,c),(b,d),(c,d), 记事件M为“2人评分都在[50,60)”,M包含3个样本点,分别为(b,c),(b,d),(c,d), 所以P(M)=, 因此2人评分都在[50,60)的概率为. (3)估计这50名学生对个性化作业评分的平均数.(同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表) 【解析】(3)这50名学生对个性化作业评分的平均数为 45×0.04+55×0.06+65×0.22+75×0.28+85×0.22+95×0.18=76.2. 【综合应用练】 8.(5分)(多选)有4把钥匙,其中2把能打开门,如果随机取一把试着开门,把不能打开门的钥匙扔掉,记第二次才能打开门的概率为P1;如果试过的钥匙又混进去,记第二次才能打开门的概率为P2,则 (　　) A.P1= B.P1= C.P2= D.P2= 【解析】选AD.根据题意,P1==,P2==. 9.(5分)一个盒子中装有4张卡片,卡片上分别写有数字1,2,3,4,现从盒子中随机抽取卡片,若第一次抽取一张卡片,放回后再抽取1张卡片,则两次抽取的卡片数字之和不大于6的概率是 　　.  【解析】两次抽取的试验的样本空间Ω={11,12,13,14,21,22,23,24,31,32,33,34,41,42,43,44},共16个, 两次抽取的卡片数字之和大于6的事件A={34,43,44},共3个, 所以两次抽取的卡片数字之和大于6的概率是P(A)=, 则不大于6的概率为1-=. 10.(10分)从1~30这30个整数中随机选择一个数,设事件A表示选到的数能被3整除,事件B表示选到的数能被5整除,求下列事件的概率. (1)这个数既能被3整除也能被5整除; 【解析】(1)事件AB表示既能被3整除也能被5整除,包含元素{15,30}, 所以P(AB)==, 所以既能被3整除又能被5整除的概率为. (2)这个数能被3整除或能被5整除; 【解析】(2)事件A+B表示能被3整除或能被5整除,包含{3,5,6,9,10,12,15,18,20,21,24,25,27,30}, 所以P(A+B)==, 所以能被3整除或能被5整除的概率为. (3)这个数既不能被3整除也不能被5整除. 【解析】(3)事件表示既不能被3整除也不能被5整除,共有30-14=16个元素, 所以P()==, 所以既不能被3整除也不能被5整除的概率为. 11.(10分)(2025·福州高一检测)一城市的某爱心机构建议市民应合理使用手机,可以尝试设定使用时间限制,多参加户外活动,与人面对面交流,让生活更加丰富多彩,为了更好地做好该项宣传工作,做到宣传的全面有效,该机构随机选择了100位市民进行宣传,这些市民年龄的样本数据的频率分布直方图如图: (1)请估计这100位市民的平均年龄,结果请保留整数(同组数据用区间的中点值代替); 【解析】(1)这100位市民的平均年龄为 5×0.01+15×0.02+25×0.12+35×0.17+45×0.23+55×0.2+65×0.17+75×0.06+85×0.02=47.9≈48, 即这100位市民的平均年龄约为48岁. (2)请估计该市市民中的一位市民年龄位于区间[40,60)的概率; 【解析】(2)这100位市民的年龄位于区间[40,60)的频率为(0.023+0.02)×10=0.43, 故估计该市市民中的一位市民年龄位于区间[40,60)的概率为0.43. (3)从100位市民里年龄在[20,30)和[70,80)的两组中用按比例分配的分层随机抽样方法抽取6人,再从这6人中不放回地随机抽取2人进行电话回访,若抽取的2人的年龄差大于10,则代表该机构宣传工作做得全面,获得好评,求该机构宣传工作获得好评的概率. 【解析】(3)参与调查的100为市民中年龄在区间[20,30)内的人数为0.012×10×100=12, 年龄在区间[70,80)内的人数为0.006×10×100=6, 按照分层随机抽样的方法抽取6人, 则年龄在区间[20,30)内的应抽取×6=4人,设为1,2,3,4; 年龄在区间[70,80)内的应抽取×6=2人,设为a,b. 从6人中按照不放回抽样抽取2人,所有可能出现的情况如下: {1,2},{1,3},{1,4},{1,a},{1,b},{2,3},{2,4},{2,a},{2,b},{3,4},{3,a},{3,b},{4,a},{4,b},{a,b},共15种;2人的年龄差大于10的有{1,a},{1,b},{2,a},{2,b},{3,a},{3,b},{4,a},{4,b},共8种,则获得好评的概率为. 【创新拓展练】 12.(5分)(2025·苏州高一检测)一场数字游戏在两个非常聪明的学生甲、乙之间进行,老师在黑板上写出2,3,4,…,2 024,共2 023个正整数,然后随意擦去一个数,接下来由乙、甲两人轮流擦去其中一个数(即乙先擦去其中一个数,然后甲再擦去一个数),如此下去,若最后剩下的两个数互为质数(如2和3),则判甲胜;否则(如2和4),判乙胜,按照这种游戏规则,甲获胜的概率是 (　　) A. B. C. D. 【思路点拨】先根据老师擦去的是奇数还是偶数分类考虑,分析得出若擦去的是奇数,则乙一定获胜;若擦去的是偶数,则甲一定获胜,由此根据古典概型概率公式计算即得. 【解析】选B.甲、乙获胜的关键是要看老师擦去哪个数, 注意2,3,4,…,2 024中,有1 011个奇数,1 012个偶数. (1)若老师擦去的是奇数,则乙一定获胜. 理由如下:乙不管甲擦去什么数,只要还有奇数,就擦去奇数,这样最后剩下两个数一定都是偶数, 从而所剩两数不互质,故乙胜. (2)若老师擦去的是偶数,则甲一定获胜. 理由如下:设老师擦去的是2m,则将余下的数配成1 011对,每对数由一奇一偶的相邻两数组成: (2,3),(4,5),…,(2m-2,2m-1),(2m+1,2m+2),…,(2 023,2 024). 这样,不管乙擦去什么数,甲只要擦去所配对中的另一个数,最后剩下两个相邻的整数,它们互质,故甲必获胜. 所以甲获胜的概率为. - 1 - 学科网（北京）股份有限公司 $四十七　古典概型(2) (时间:45分钟　分值:75分) 【基础全面练】 1.(5分)(2025·济南高一检测)某公司现有员工120人,在荣获“优秀员工”称号的85人中,有75人是高级工程师.既没有荣获“优秀员工”称号又不是高级工程师的员工共有14人,公司将随机选择一名员工接受电视新闻节目的采访,被选中的员工是高级工程师的概率为(　　) A. B. C. D. 【解析】选C.由题意得,没有荣获“优秀员工”称号的高级工程师的人数为120-85-14=21,则公司共有高级工程师的人数为75+21=96, 故被选中的员工是高级工程师的概率为=. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 选题清单 2.(5分)在信息论中,设某随机事件发生的概率为p,称log2为该随机事件的自信息.若随机抛一枚质地均匀的硬币1次,则“正面朝上”这一事件的自信息为(　　) A.0 B. C.1 D.2 【解析】选C.随机抛一枚质地均匀的硬币1次,则“正面朝上”的概率p=,所以log2=log2=log22=1,故“正面朝上”这一事件的自信息为1. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 选题清单 3.(5分)已知正六边形ABCDEF的边长为1,现从六个顶点中任取三个顶点构成一个三角形,记A为“这个三角形面积恰好为”,则P(A)=(　　) A. B. C. D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 选题清单 【解析】选A.因为正六边形ABCDEF的边长为1,则AC=CE=EA=,则△ACE为等边三角形,S△ACE==,同理S△BDF=. 故“这个三角形面积恰好为”的情况有2种, 从六个顶点中任取三个顶点构成一个三角形共 有20种,故P(A)==. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 选题清单 4.(5分)(多选)某人决定就近打车前往目的地.前方开来三辆车,且车况分别为“好”“中”“差”.他决定按如下两种方案打车.方案一:不乘第一辆车,若第二辆车好于第一辆车就乘此车,否则直接乘坐第三辆车;方案二:直接乘坐第一辆车.记方案一和方案二坐到车况为“好”的车的概率分别为P1,P2,则下列判断不正确的是 (　　) A.P1=P2= B.P1=P2= C.P1=,P2= D.P1=,P2= √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 选题清单 【解析】选ABD.记“车况好、中、差”分别为A,B,C,方案一包含的样本点数为n1,方案二包含的样本点数为n2,列表如下.由表中所列事件数可知,P1==,P2==,所以选项C正确,不符合题意. 1 2 3 n1 n2 A B C   √ A C B   √ B A C √   B C A √   C A B √   C B A     1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 选题清单 5.(5分)(多选)一个袋子中装有3件正品和1件次品,按以下要求抽取2件产品,其中结论正确的是 (　　) A.任取2件,则取出的2件中恰有1件次品的概率是 B.每次抽取1件,不放回地抽取两次,样本点总数为16 C.每次抽取1件,不放回地抽取两次,则取出的2件中恰有1件次品的概率是 D.每次抽取1件,有放回地抽取两次,样本点总数为16 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 选题清单 【解析】选ACD.记4件产品分别为1,2,3,a,其中a表示次品.在A中,样本空间Ω={(1,2),(1,3),(1,a),(2,3),(2,a),(3,a)},共6个样本点,且每个样本点出现的可能性相等,“恰有一件次品”的样本点为(1,a),(2,a),(3,a),因此其概率P==,A正确;每次抽取1件,不放回地抽取两次,样本空间Ω={(1,2),(1,3),(1,a),(2,1), (2,3),(2,a),(3,1),(3,2),(3,a),(a,1),(a,2),(a,3)},因此n(Ω)=12,“取出的两件中恰有一件次品”的样本点数为6,其概率为,B错误,C正确;在D中,每次抽取1件,有放回地抽取两次,样本空间Ω={(1,1),(1,2),(1,3),(1,a),(2,1),(2,2),(2,3),(2,a), (3,1),(3,2),(3,3),(3,a),(a,1),(a,2),(a,3),(a,a)},因此n(Ω)=16,D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 选题清单 6.(5分)一个三位自然数百位、十位、个位上的数字依次为a,b,c,当且仅 当有两个数字的和等于第三个数字时称为“有缘数”(如213,134等),若 a,b,c∈{1,2,3,4},且a,b,c互不相同,则这个三位数为“有缘数”的概率是______.  【解析】由1,2,3组成的三位自然数为123,132,213,231,312,321,共6个;同理, 由1,2,4组成的三位自然数为6个,由1,3,4组成的三位自然数为6个,由2,3,4组 成的三位自然数为6个,共有24个样本点,这24个样本点出现的可能性是相 等的.由1,2,3或1,3,4组成的三位自然数为“有缘数”,共12个样本点,所以三位 数为“有缘数”的概率为=. 　　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 选题清单 7.(10分)(2025·常州高一检测)某中学为了解大数据提供的个性化作业质量情况,随机访问50名学生,根据这50名学生对个性化作业的评分,绘制频率分布直方图(如图所示),其中样本数据分组区间为[40,50),[50,60),…, [80,90),[90,100]. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 选题清单 (1)求频率分布直方图中a的值,并估计该中学学生对个性化作业评分不低于70的概率; 【解析】(1)由题意得:10×(0.004+a+0.022+0.028+0.022+0.018)=1, 解得a=0.006, 由频率分布直方图知,不低于70的三组频率之和为0.28+0.22+0.18=0.68, 因此估计该中学学生对个性化作业评分不低于70的概率为0.68. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 选题清单 (2)从评分在[40,60)的受访学生中,随机抽取2人,求2人评分都在[50,60)的概率; 【解析】(2)评分在[40,50)的人数为2,设为A,B,评分在[50,60)的人数为3,设为b,c,d,从这5人中随机抽取2人,共10个等可能的样本点, 分别为(A,B),(A,b),(A,c),(A,d),(B,b),(B,c),(B,d),(b,c),(b,d),(c,d), 记事件M为“2人评分都在[50,60)”,M包含3个样本点,分别为(b,c),(b,d),(c,d), 所以P(M)=, 因此2人评分都在[50,60)的概率为. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 选题清单 (3)估计这50名学生对个性化作业评分的平均数.(同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表) 【解析】(3)这50名学生对个性化作业评分的平均数为 45×0.04+55×0.06+65×0.22+75×0.28+85×0.22+95×0.18=76.2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 选题清单 【综合应用练】 8.(5分)(多选)有4把钥匙,其中2把能打开门,如果随机取一把试着开门,把不能打开门的钥匙扔掉,记第二次才能打开门的概率为P1;如果试过的钥匙又混进去,记第二次才能打开门的概率为P2,则(　　) A.P1= B.P1= C.P2= D.P2= 【解析】选AD.根据题意,P1==,P2==. √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 选题清单 9.(5分)一个盒子中装有4张卡片,卡片上分别写有数字1,2,3,4,现从盒子中随 机抽取卡片,若第一次抽取一张卡片,放回后再抽取1张卡片,则两次抽取的 卡片数字之和不大于6的概率是_______.  【解析】两次抽取的试验的样本空间 Ω={11,12,13,14,21,22,23,24,31,32,33,34,41,42,43,44},共16个,两次抽取的卡 片数字之和大于6的事件A={34,43,44},共3个,所以两次抽取的卡片数字之 和大于6的概率是P(A)=,则不大于6的概率为1-=. 　　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 选题清单 10.(10分)从1~30这30个整数中随机选择一个数,设事件A表示选到的数能被3整除,事件B表示选到的数能被5整除,求下列事件的概率. (1)这个数既能被3整除也能被5整除; 【解析】(1)事件AB表示既能被3整除也能被5整除,包含元素{15,30}, 所以P(AB)==, 所以既能被3整除又能被5整除的概率为. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 选题清单 (2)这个数能被3整除或能被5整除; 【解析】(2)事件A+B表示能被3整除或能被5整除,包含 {3,5,6,9,10,12,15,18,20,21,24,25,27,30},所以P(A+B)==, 所以能被3整除或能被5整除的概率为. (3)这个数既不能被3整除也不能被5整除. 【解析】(3)事件表示既不能被3整除也不能被5整除,共有30-14=16个元素,所以P()==,所以既不能被3整除也不能被5整除的概率为. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 选题清单 11.(10分)(2025·福州高一检测)一城市的某爱心机构建议市民应合理使用手机,可以尝试设定使用时间限制,多参加户外活动,与人面对面交流,让生活更加丰富多彩,为了更好地做好该项宣传工作,做到宣传的全面有效,该机构随机选择了100位市民进行宣传,这些市民年龄的样本数据的频率分布直方图如图: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 选题清单 (1)请估计这100位市民的平均年龄,结果请保留整数(同组数据用区间的中点值代替); 【解析】(1)这100位市民的平均年龄为 5×0.01+15×0.02+25×0.12+35×0.17+45×0.23+55×0.2+65×0.17+75×0.06+85×0.02=47.9≈48,即这100位市民的平均年龄约为48岁. (2)请估计该市市民中的一位市民年龄位于区间[40,60)的概率; 【解析】(2)这100位市民的年龄位于区间[40,60)的频率为(0.023+0.02)×10=0.43,故估计该市市民中的一位市民年龄位于区间[40,60)的概率为0.43. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 选题清单 (3)从100位市民里年龄在[20,30)和[70,80)的两组中用按比例分配的分层随机抽样方法抽取6人,再从这6人中不放回地随机抽取2人进行电话回访,若抽取的2人的年龄差大于10,则代表该机构宣传工作做得全面,获得好评,求该机构宣传工作获得好评的概率. 【解析】(3)参与调查的100为市民中年龄在区间[20,30)内的人数为0.012×10×100=12, 年龄在区间[70,80)内的人数为0.006×10×100=6, 按照分层随机抽样的方法抽取6人, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 选题清单 则年龄在区间[20,30)内的应抽取×6=4人,设为1,2,3,4; 年龄在区间[70,80)内的应抽取×6=2人,设为a,b. 从6人中按照不放回抽样抽取2人,所有可能出现的情况如下:{1,2},{1,3}, {1,4},{1,a},{1,b},{2,3},{2,4},{2,a},{2,b},{3,4},{3,a},{3,b},{4,a},{4,b},{a,b}, 共15种;2人的年龄差大于10的有{1,a},{1,b},{2,a},{2,b},{3,a},{3,b},{4,a}, {4,b},共8种,则获得好评的概率为. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 选题清单 12.(5分)(2025·苏州高一检测)一场数字游戏在两个非常聪明的学生甲、乙之间进行,老师在黑板上写出2,3,4,…,2 024,共2 023个正整数,然后随意擦去一个数,接下来由乙、甲两人轮流擦去其中一个数(即乙先擦去其中一个数,然后甲再擦去一个数),如此下去,若最后剩下的两个数互为质数(如2和3),则判甲胜;否则(如2和4),判乙胜,按照这种游戏规则,甲获胜的概率是 (　　) A. B. C. D. 【思路点拨】先根据老师擦去的是奇数还是偶数分类考虑,分析得出若擦去的是奇数,则乙一定获胜;若擦去的是偶数,则甲一定获胜,由此根据古典概型概率公式计算即得. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 选题清单 【解析】选B.甲、乙获胜的关键是要看老师擦去哪个数, 注意2,3,4,…,2 024中,有1 011个奇数,1 012个偶数. (1)若老师擦去的是奇数,则乙一定获胜. 理由如下:乙不管甲擦去什么数,只要还有奇数,就擦去奇数,这样最后剩下两个数一定都是偶数, 从而所剩两数不互质,故乙胜. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 选题清单 (2)若老师擦去的是偶数,则甲一定获胜. 理由如下:设老师擦去的是2m,则将余下的数配成1 011对,每对数由一奇一偶的相邻两数组成: (2,3),(4,5),…,(2m-2,2m-1),(2m+1,2m+2),…,(2 023,2 024). 这样,不管乙擦去什么数,甲只要擦去所配对中的另一个数,最后剩下两个相邻的整数,它们互质,故甲必获胜. 所以甲获胜的概率为. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 选题清单 $