2.课时跟踪检测练 46 第10章 四十六 古典概型(1)(Word版+PPT版)-【满分思维】2025-2026学年高中数学必修第二册（人教A版）

四十六　古典概型(1) (时间:45分钟　分值:100分) 【基础全面练】 1.(5分)从含有三件正品和一件次品的产品中任取两件,则取出的两件中恰有一件次品的概率是 (　　) A. B. C. D. 【解析】选D.从有三件正品(用1,2,3表示)和一件次品(用0表示)的产品中任取两件的样本空间Ω={(0,1),(0,2),(0,3),(1,2),(1,3),(2,3)},恰有一件次品A={(0,1),(0,2),(0,3)}, 由古典概型概率公式得P(A)==. 2.(5分)(2025·西安高一检测)中国古代数学著作主要有《周髀算经》《九章算术》《海岛算经》《四元玉鉴》《张丘建算经》,若从上述5部书籍中任意抽取2部,则抽到《周髀算经》的概率为 (　　) A. B. C. D. 【解析】选D.将这5部书籍依次记为a,b,c,d,e, 则从这5部书籍中任意抽取2部的样本空间Ω={ab,ac,ad,ae,bc,bd,be,cd,ce,de},共有10个样本点, 其中抽到《周髀算经》的样本点为ab,ac,ad,ae,共有4个, 所以抽到《周髀算经》的概率P==. 3.(5分)袋中有2个红球,2个白球,2个黑球,从里面任意摸2个小球,不是基本事件的为 (　　) A.{正好2个红球} B.{正好2个黑球} C.{正好2个白球} D.{至少1个红球} 【解析】选D.袋中有2个红球,2个白球,2个黑球,从中任意摸2个,样本空间Ω={2个红球,2个白球,2个黑球,1红1白,1红1黑,1白1黑},而至少1个红球中包含1红1白,1红1黑,2个红球三个样本点,故D选项符合题意. 4.(5分)从放有两个红球、一个白球的袋子中一次任意取出两个球,两个红球分别标记为A,B,白球标记为C,则它的一个样本空间可以是 (　　) A.{AB,BC} B.{AB,AC,BC} C.{AB,BA,BC,CB} D.{AB,BA,AC,CA,CB} 【解析】选B.从放有两个红球、一个白球的袋子中一次任意取出两个球的所有可能结果为AB,AC,BC,所以它的一个样本空间为{AB,AC,BC}. 5.(5分)某居委会从5名志愿者中随机选出3名参加周末的社区服务工作,则甲被选上,且乙和丙恰有一人被选上的概率为 (　　) A. B. C. D. 【解析】选A.设这5名志愿者为甲,乙,丙,a,b,从5名志愿者中随机选出3名,共有10种可能的结果: (甲,乙,丙),(甲,乙,a),(甲,乙,b),(甲,丙,a),(甲,丙,b),(甲,a,b),(乙,丙,a),(乙,丙,b),(乙,a,b),(丙,a,b), 其中甲被选上,且乙和丙恰有一人被选上包含4种情况,其概率为=. 6.(5分)(多选)下列试验中是古典概型的是 (　　) A.抛一枚质地均匀的骰子,观察向上的点数出现的情况 B.口袋里有2个白球和2个黑球,这4个球除颜色外完全相同,从中任取1个球 C.向一个圆面内随机地投一个点,该点落在圆内任意一点 D.射击运动员向一靶心进行射击,观察其环数 【解析】选AB.选项A,向上的点数可以为1,2,3,4,5,6,每种情况出现的概率相等,是古典概型; 选项B,每个球被抽到的概率相等,是古典概型; 选项C,样本点有无限个,不是古典概型; 选项D,命中10环,9环,…,0环的概率不相等,不是古典概型. 7.(5分)(多选)已知甲罐中有四个相同的小球,标号为1,2,3,4;乙罐中有五个相同的小球,标号为1,2,3,5,6,现从甲罐、乙罐中分别随机抽取1个小球,记事件A=“抽取的两个小球标号之和大于5”,事件B=“抽取的两个小球标号之积大于8”,则(　　) A.事件A与事件B的样本点数分别为12,8 B.事件A∪B发生的概率为 C.事件A,B间的关系为A⊆B D.事件A∩B发生的概率为 【名师点拨】计算出所有结果数,分别列举出事件A,B的结果情况,即可判断选项A,B;根据古典概型的概率计算公式即可判断选项C,D. 【解析】选BD.由题用(a,b)表示甲罐、乙罐中取小球标号的情况,则所有的情况有:(1,1),(1,2),(1,3),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,5),(2,6),(3,1),(3,2),(3,3),(3,5),(3,6),(4,1),(4,2),(4,3),(4,5),(4,6),共20种, 其中满足事件A的结果有:(1,5),(1,6),(2,5),(2,6),(3,3),(3,5),(3,6),(4,2),(4,3),(4,5),(4,6),共11种,其中满足事件B的结果有:(2,5),(2,6),(3,3),(3,5),(3,6),(4,3),(4,5),(4,6),共8种,故选项A错误;因为A∪B=A,所以A∪B的结果数为11,所以P(A∪B)=,故选项B正确;因为事件B的结果均在事件A中包含,即B⊆A,故选项C错误;因为A∩B=B,所以A∩B的结果数为8,故P(A∩B)==,故选项D正确. 8.(5分)已知某运动员每次投篮命中的概率都为40%,现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率:先由计算机产生0到9之间的整数随机数,指定1,2,3,4表示命中,5,6,7,8,9,0表示不命中;再以三个随机数为一组,代表三次投篮的结果,经随机模拟产生了如下12组随机数:137　960　197　925　271　815　952　683　829　436　730　257,据此估计,该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为　　.  【解析】这12组随机数中,表示该运动员三次投篮恰有两次命中的有:137,271,436,共3组, 故估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为=. 9.(5分)从1,2,3,…,10中任意选一个数,这个试验的样本空间为　{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}　,满足“它是偶数”样本点的个数为　5　. 【解析】由题意可知:样本空间Ω={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}; 其中满足“它是偶数”样本点有:2,4,6,8,10,共有5个. 10.(10分)(2025·茂名高一检测)2023年11月首届全国学生(青年)运动会在广西举行,10月31日学青会火炬传递在桂林举行.广西师范大学有5名教师参与了此次传递,其中男教师2名,女教师3名.现需要从这5名教师中任选2名教师去参加活动. (1)写出试验“从这5名教师中任选2名教师”的样本空间; 【解析】(1)将2名男教师记为a1,a2,3名女教师记为b1,b2,b3,则样本空间Ω={(a1,a2),(a1,b1),(a1,b2),(a1,b3),(a2,b1),(a2,b2),(a2,b3),(b1,b2),(b1,b3),(b2,b3)}, 共有10个样本点. (2)求选出的2名教师中至少有1名女教师的概率. 【解析】(2)设事件A表示“选出的2名教师中至少有1名女教师”,则A={(a1,b1),(a1,b2),(a1,b3),(a2,b1),(a2,b2),(a2,b3),(b1,b2),(b1,b3),(b2,b3)},A中包含9个样本点,故P(A)=. 【综合应用练】 11.(5分)甲、乙两人在一座7层大楼的第一层进入电梯,假设每人从第二层开始在每一层离开电梯是等可能的,则甲、乙两人离开电梯的楼层数的和是8的概率是 (　　) A. B. C. D. 【解析】选C.记事件“A=甲、乙两人离开电梯的楼层数的和是8”,由题意,总的样本空间为:两个人各有6种不同的下法,故共有36种结果, 则事件A包含两人分别从2楼和6楼下,3楼和5楼下,均从4楼下, 共有2+2+1=5种不同下法, 所以事件A的概率为P(A)=. 12.(5分)(多选)已知关于x的二次函数f(x)=ax2-bx+1(a≠0),设集合P={1,2,3},Q={-1,1,2,3,4},分别从集合P和Q中随机取一个数a和b得到数对(a,b),则 (　　) A.所有的数对(a,b)共有30种情况 B.函数y=f(x)有零点的概率为 C.使函数y=f(x)在区间[1,+∞)上单调递增的数对(a,b)共有13种情况 D.使函数y=f(x)在区间[1,+∞)上单调递增的概率为 【解析】选BC.对于A,(a,b)有 (1,-1),(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,-1),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,-1),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),共15种情况,故A错误;对于B,函数y=f(x)有零点等价于Δ=b2-4a≥0,有(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4),共6种情况,所以函数y=f(x)有零点的概率为=,故B正确; 对于C,D,因为a>0,函数y=f(x)图象的对称轴为直线x=,且在区间[1,+∞)上单调递增,所以有≤1.所以满足条件的数对有 (1,-1),(1,1),(1,2),(2,-1),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,-1),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),共13种情况, 所以函数y=f(x)在区间[1,+∞)上单调递增的概率为,故C正确,D错误. 13.(5分)甲、乙两人玩猜数字游戏,先由甲心中任想一个数字,记为a,再由乙猜甲刚才想的数字,把乙猜的数字记为b,且a,b∈{0,1,2,3,…,9},若|a-b|≤1,则称甲、乙“心有灵犀”.现任意找两个人玩这个游戏,得出他们“心有灵犀”的概率为　　.  【解析】由题意知本题是一个古典概型,试验发生的所有事件是从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9十个数中任取两个,共有10×10=100种不同的结果,则|a-b|≤1的情况有(0,0),(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6),(7,7),(8,8),(9,9),(0,1),(1,0),(1,2),(2,1),(2,3),(3,2),(3,4),(4,3),(4,5),(5,4),(5,6),(6,5),(6,7),(7,6),(7,8),(8,7),(8,9),(9,8),共28种情况, 所以他们“心有灵犀”的概率为P==. 14.(10分)甲、乙两人参加普法知识竞赛,共有4道不同的题目,其中选择题2道,判断题2道,甲、乙两人各抽一道(不重复). (1)甲抽到选择题且乙抽到判断题的概率是多少? 【解析】(1)记“甲抽到选择题,乙抽到判断题”为事件A,记两道选择题分别为a1,a2,两道判断题分别为b1,b2,所有的样本点有: (a1,a2),(a1,b1),(a1,b2),(a2,a1),(a2,b1),(a2,b2),(b1,a1),(b1,a2),(b1,b2),(b2,a1),(b2,a2),(b2,b1),共12种, 其中事件A包含的样本点有:(a1,b1),(a1,b2),(a2,b1),(a2,b2),共4种, 由古典概型的概率公式可得P(A)==. (2)甲、乙二人中至少有一人抽到选择题的概率是多少? 【解析】(2)记事件B:甲、乙二人中至少有一人抽到选择题, 则事件B包含的样本点有:(a1,b1),(a1,b2),(a2,b1),(a2,b2),(b1,a1),(b1,a2),(a1,a2),(b2,a1),(b2,a2),(a2,a1),共10种, 由古典概型的概率公式可得P(B)==. 15.(10分)一个盒子中装有4个编号依次为1,2,3,4的球,这4个球除号码外完全相同,采用有放回方式取球,先从盒子中随机取一个球,该球的编号为X,将球放回袋中,然后再从袋中随机取一个球,该球的编号为Y. (1)写出试验的样本空间; 【解析】(1)由题意可知所有可能的结果共有16种,样本空间为{(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4)}. (2)设事件A=“两次取出球的编号之和小于4”,事件B=“编号X<Y”,分别求事件A,B,AB发生的概率P(A),P(B),P(AB). 【解析】(2)由题意可知事件A={(1,1),(2,1),(1,2)},共3个结果,故P(A)=, 事件B={(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)},共6个结果,故P(B)==, 事件AB包含的结果有(1,2),只有1个结果,故P(AB)=. 【创新拓展练】 16.(5分)(2025·南通高一检测)抛掷一枚质地均匀的骰子两次,得到的点数分别为m,n.设平面向量a=(4,2),b=(m,n),则向量a,b不能作为平面内的一个基底的概率为 (　　) A. B. C. D. 【解析】选A.a=(4,2),b=(m,n)且a,b不能作为基底,则4n=2m,即m=2n, 当m=2时,n=1;当m=4时,n=2;当m=6时,n=3; 两次抛掷得到点数的总可能性为6×6=36种, 所以所求的概率P==. 17.(5分)(多选)如图,从1开始出发,一次移动是指:从某一格开始只能移动到邻近的一格,并且总是向右或右上或右下移动,而一条移动路线由若干次移动构成,如从1移动到9,1→2→3→5→7→8→9就是一条移动路线.从1移动到数字n(n=2,3,…,9)的不同路线条数记为rn,从1移动到9的事件中,跳过数字n(n=2,3,…,8)的概率记为pn,则下列结论正确的是 (　　) A.r6=8 B.rn+1>rn C.p5= D.p7>p8 【解析】选ABC.画出树状图,如图所示, 结合树状图可知:r2=1,r3=2,r4=3,r5=5,r6=8,r7=13,r8=21,r9=34, 对于选项A:可知r6=8,故A正确; 对于选项B:均有rn+1>rn,故B正确; 对于选项C:因为r9=34,不经过数字5的路线有9条,所以p5=,故C正确; 对于选项D:因为p7=,p8=,所以p7<p8,故D错误. - 1 - 学科网（北京）股份有限公司 $四十六　古典概型(1) (时间:45分钟　分值:100分) 【基础全面练】 1.(5分)从含有三件正品和一件次品的产品中任取两件,则取出的两件中恰有一件次品的概率是(　　) A. B. C. D. 【解析】选D.从有三件正品(用1,2,3表示)和一件次品(用0表示)的产品中任取两件的样本空间Ω={(0,1),(0,2),(0,3),(1,2),(1,3),(2,3)},恰有一件次品A={(0,1),(0,2),(0,3)},由古典概型概率公式得P(A)==. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 2.(5分)(2025·西安高一检测)中国古代数学著作主要有《周髀算经》《九章算术》《海岛算经》《四元玉鉴》《张丘建算经》,若从上述5部书籍中任意抽取2部,则抽到《周髀算经》的概率为 (　　) A. B. C. D. 【解析】选D.将这5部书籍依次记为a,b,c,d,e,则从这5部书籍中任意抽取2部的样本空间Ω={ab,ac,ad,ae,bc,bd,be,cd,ce,de},共有10个样本点, 其中抽到《周髀算经》的样本点为ab,ac,ad,ae,共有4个, 所以抽到《周髀算经》的概率P==. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 3.(5分)袋中有2个红球,2个白球,2个黑球,从里面任意摸2个小球,不是基本事件的为 (　　) A.{正好2个红球} B.{正好2个黑球} C.{正好2个白球} D.{至少1个红球} 【解析】选D.袋中有2个红球,2个白球,2个黑球,从中任意摸2个,样本空间Ω={2个红球,2个白球,2个黑球,1红1白,1红1黑,1白1黑},而至少1个红球中包含1红1白,1红1黑,2个红球三个样本点,故D选项符合题意. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 4.(5分)从放有两个红球、一个白球的袋子中一次任意取出两个球,两个红球分别标记为A,B,白球标记为C,则它的一个样本空间可以是 (　　) A.{AB,BC} B.{AB,AC,BC} C.{AB,BA,BC,CB} D.{AB,BA,AC,CA,CB} 【解析】选B.从放有两个红球、一个白球的袋子中一次任意取出两个球的所有可能结果为AB,AC,BC,所以它的一个样本空间为{AB,AC,BC}. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 5.(5分)某居委会从5名志愿者中随机选出3名参加周末的社区服务工作,则甲被选上,且乙和丙恰有一人被选上的概率为 (　　) A. B. C. D. 【解析】选A.设这5名志愿者为甲,乙,丙,a,b,从5名志愿者中随机选出3名,共有10种可能的结果:(甲,乙,丙),(甲,乙,a),(甲,乙,b),(甲,丙,a),(甲,丙,b), (甲,a,b),(乙,丙,a),(乙,丙,b),(乙,a,b),(丙,a,b),其中甲被选上,且乙和丙恰有一人被选上包含4种情况,其概率为=. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 6.(5分)(多选)下列试验中是古典概型的是 (　　) A.抛一枚质地均匀的骰子,观察向上的点数出现的情况 B.口袋里有2个白球和2个黑球,这4个球除颜色外完全相同,从中任取1个球 C.向一个圆面内随机地投一个点,该点落在圆内任意一点 D.射击运动员向一靶心进行射击,观察其环数 【解析】选AB.选项A,向上的点数可以为1,2,3,4,5,6,每种情况出现的概率相等,是古典概型;选项B,每个球被抽到的概率相等,是古典概型;选项C,样本点有无限个,不是古典概型;选项D,命中10环,9环,…,0环的概率不相等,不是古典概型. √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 7.(5分)(多选)已知甲罐中有四个相同的小球,标号为1,2,3,4;乙罐中有五个相同的小球,标号为1,2,3,5,6,现从甲罐、乙罐中分别随机抽取1个小球,记事件A=“抽取的两个小球标号之和大于5”,事件B=“抽取的两个小球标号之积大于8”,则(　　) A.事件A与事件B的样本点数分别为12,8 B.事件A∪B发生的概率为 C.事件A,B间的关系为A⊆B D.事件A∩B发生的概率为 【名师点拨】计算出所有结果数,分别列举出事件A,B的结果情况,即可判断选项A,B;根据古典概型的概率计算公式即可判断选项C,D. √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 【解析】选BD.由题用(a,b)表示甲罐、乙罐中取小球标号的情况,则所有的情况有:(1,1),(1,2),(1,3),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,5),(2,6),(3,1),(3,2), (3,3),(3,5),(3,6),(4,1),(4,2),(4,3),(4,5),(4,6),共20种,其中满足事件A的结果有:(1,5),(1,6),(2,5),(2,6),(3,3),(3,5),(3,6),(4,2),(4,3),(4,5),(4,6),共11种,其中满足事件B的结果有:(2,5),(2,6),(3,3),(3,5),(3,6),(4,3),(4,5),(4,6),共8种,故选项A错误;因为A∪B=A,所以A∪B的结果数为11,所以P(A∪B)=,故选项B正确;因为事件B的结果均在事件A中包含,即B⊆A,故选项C错误;因为A∩B=B,所以A∩B的结果数为8,故P(A∩B)==,故选项D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 8.(5分)已知某运动员每次投篮命中的概率都为40%,现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率:先由计算机产生0到9之间的整数随机数,指定1,2,3,4表示命中,5,6,7,8,9,0表示不命中;再以三个随机数为一组,代表三次投篮的结果,经随机模拟产生了如下12组随机数:137　960　197　925　271　815　952　683　829　436　730　257,据此估计,该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为______.  【解析】这12组随机数中,表示该运动员三次投篮恰有两次命中的有:137,271,436,共3组, 篮恰有两次命中的概率为=. 　　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 9.(5分)从1,2,3,…,10中任意选一个数,这个试验的样本空间为 ______________________,满足“它是偶数”样本点的个数为______. 【解析】由题意可知:样本空间Ω={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}; 其中满足“它是偶数”样本点有:2,4,6,8,10,共有5个. 　{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}　 　5　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 10.(10分)(2025·茂名高一检测)2023年11月首届全国学生(青年)运动会在广西举行,10月31日学青会火炬传递在桂林举行.广西师范大学有5名教师参与了此次传递,其中男教师2名,女教师3名.现需要从这5名教师中任选2名教师去参加活动. (1)写出试验“从这5名教师中任选2名教师”的样本空间; 【解析】(1)将2名男教师记为a1,a2,3名女教师记为b1,b2,b3,则样本空间Ω={(a1,a2),(a1,b1),(a1,b2),(a1,b3),(a2,b1),(a2,b2),(a2,b3),(b1,b2),(b1,b3),(b2,b3)}, 共有10个样本点. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 (2)求选出的2名教师中至少有1名女教师的概率. 【解析】(2)设事件A表示“选出的2名教师中至少有1名女教师”,则A={(a1,b1),(a1,b2),(a1,b3),(a2,b1),(a2,b2),(a2,b3),(b1,b2),(b1,b3),(b2,b3)},A中包含9个样本点,故P(A)=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 【综合应用练】 11.(5分)甲、乙两人在一座7层大楼的第一层进入电梯,假设每人从第二层开始在每一层离开电梯是等可能的,则甲、乙两人离开电梯的楼层数的和是8的概率是(　　) A. B. C. D. 【解析】选C.记事件“A=甲、乙两人离开电梯的楼层数的和是8”,由题意,总的样本空间为:两个人各有6种不同的下法,故共有36种结果,则事件A包含两人分别从2楼和6楼下,3楼和5楼下,均从4楼下,共有2+2+1=5种不同下法,所以事件A的概率为P(A)=. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 12.(5分)(多选)已知关于x的二次函数f(x)=ax2-bx+1(a≠0),设集合P={1,2,3},Q={-1,1,2,3,4},分别从集合P和Q中随机取一个数a和b得到数对(a,b),则 (　　) A.所有的数对(a,b)共有30种情况 B.函数y=f(x)有零点的概率为 C.使函数y=f(x)在区间[1,+∞)上单调递增的数对(a,b)共有13种情况 D.使函数y=f(x)在区间[1,+∞)上单调递增的概率为 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 【解析】选BC.对于A,(a,b)有(1,-1),(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,-1),(2,1),(2,2), (2,3),(2,4),(3,-1),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),共15种情况,故A错误;对于B,函数y=f(x)有零点等价于Δ=b2-4a≥0,有(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4),共6种情况,所以函数y=f(x)有零点的概率为=,故B正确;对于C,D,因为a>0,函数y=f(x)图象的对称轴为直线x=,且在区间[1,+∞)上单调递增,所以有≤1.所以满足条件的数对有(1,-1),(1,1),(1,2),(2,-1),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,-1), (3,1),(3,2),(3,3),(3,4),共13种情况,所以函数y=f(x)在区间[1,+∞)上单调递增的概率为,故C正确,D错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 13.(5分)甲、乙两人玩猜数字游戏,先由甲心中任想一个数字,记为a,再由乙猜甲刚才想的数字,把乙猜的数字记为b,且a,b∈{0,1,2,3,…,9},若|a-b|≤1,则称甲、乙“心有灵犀”.现任意找两个人玩这个游戏,得出他们“心有灵犀”的概率为_______.  【解析】由题意知本题是一个古典概型,试验发生的所有事件是从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9十个数中任取两个,共有10×10=100种不同的结果,则|a-b|≤1的情况有(0,0),(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6),(7,7),(8,8),(9,9),(0,1),(1,0), (1,2),(2,1),(2,3),(3,2),(3,4),(4,3),(4,5),(5,4),(5,6),(6,5),(6,7),(7,6),(7,8),(8,7),(8,9),(9,8),共28种情况,所以他们“心有灵犀”的概率为P==. 　　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 14.(10分)甲、乙两人参加普法知识竞赛,共有4道不同的题目,其中选择题2道,判断题2道,甲、乙两人各抽一道(不重复). (1)甲抽到选择题且乙抽到判断题的概率是多少? 【解析】(1)记“甲抽到选择题,乙抽到判断题”为事件A,记两道选择题分别为a1,a2,两道判断题分别为b1,b2,所有的样本点有:(a1,a2),(a1,b1),(a1,b2), (a2,a1),(a2,b1),(a2,b2),(b1,a1),(b1,a2),(b1,b2),(b2,a1),(b2,a2),(b2,b1),共12种, 其中事件A包含的样本点有:(a1,b1),(a1,b2),(a2,b1),(a2,b2),共4种, 由古典概型的概率公式可得P(A)==. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 (2)甲、乙二人中至少有一人抽到选择题的概率是多少? 【解析】(2)记事件B:甲、乙二人中至少有一人抽到选择题, 则事件B包含的样本点有:(a1,b1),(a1,b2),(a2,b1),(a2,b2),(b1,a1),(b1,a2),(a1,a2), (b2,a1),(b2,a2),(a2,a1),共10种,由古典概型的概率公式可得P(B)==. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 15.(10分)一个盒子中装有4个编号依次为1,2,3,4的球,这4个球除号码外完全相同,采用有放回方式取球,先从盒子中随机取一个球,该球的编号为X,将球放回袋中,然后再从袋中随机取一个球,该球的编号为Y. (1)写出试验的样本空间; 【解析】(1)由题意可知所有可能的结果共有16种,样本空间为{(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4)}. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 (2)设事件A=“两次取出球的编号之和小于4”,事件B=“编号X<Y”,分别求事件A,B,AB发生的概率P(A),P(B),P(AB). 【解析】(2)由题意可知事件A={(1,1),(2,1),(1,2)},共3个结果,故P(A)=, 事件B={(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)},共6个结果,故P(B)==, 事件AB包含的结果有(1,2),只有1个结果,故P(AB)=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 【创新拓展练】 16.(5分)(2025·南通高一检测)抛掷一枚质地均匀的骰子两次,得到的点数分别为m,n.设平面向量a=(4,2),b=(m,n),则向量a,b不能作为平面内的一个基底的概率为(　　) A. B. C. D. 【解析】选A.a=(4,2),b=(m,n)且a,b不能作为基底,则4n=2m,即m=2n,当m=2时,n=1;当m=4时,n=2;当m=6时,n=3;两次抛掷得到点数的总可能性为6×6=36种,所以所求的概率P==. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 17.(5分)(多选)如图,从1开始出发,一次移动是指:从某一格开始只能移动到邻近的一格,并且总是向右或右上或右下移动,而一条移动路线由若干次移动构成,如从1移动到9,1→2→3→5→7→8→9就是一条移动路线.从1移动到数字n(n=2,3,…,9)的不同路线条数记为rn,从1移动到9的事件中,跳过数字n(n=2,3,…,8)的概率记为pn,则下列结论正确的是 (　　) A.r6=8 B.rn+1>rn C.p5= D.p7>p8 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 【解析】选ABC.画出树状图,如图所示, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 结合树状图可知:r2=1,r3=2,r4=3,r5=5,r6=8,r7=13,r8=21,r9=34, 对于选项A:可知r6=8,故A正确; 对于选项B:均有rn+1>rn,故B正确; 对于选项C:因为r9=34,不经过数字5的路线有9条,所以p5=,故C正确; 对于选项D:因为p7=,p8=,所以p7<p8,故D错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 $