第十章 10.1.4 概率的基本性质-（课件PPT+Word教案）【步步高】2024-2025学年高一数学必修第二册教师用书（人教A版2019）

10.1.4 第十章 <<< 概率的基本性质 1.理解概率的基本性质.(重点) 2.掌握利用互斥事件和对立事件的概率公式解决与古典概型有关的问题.(难点) 学习目标 一般而言，给出了一个数学对象的定义，就可以从定义出发研究这个数学对象的性质.学习了概率的定义后，从哪些方面来研究概率的性质呢？本节课就来学习一下！ 导 语 一、概率的基本性质 二、互斥事件与对立事件概率公式的应用 课时对点练 三、概率性质的综合应用 随堂演练 内容索引 概率的基本性质 一 提示　P(A)=1，P(B)=0，P(C)=. 任意事件的概率取值范围为[0，1]. 在一次掷骰子试验中，设事件A=“点数小于7”，事件B=“点数大于7”，事件C=“点数大于1”.以上事件的概率是多少？你认为任意事件的概率取值范围是多少？ 问题1 提示　事件D与E互斥.P(D)=，P(E)=，P(F)=.P(D)+P(E)=P(F). 在一次掷骰子试验中，设事件D=“出现1点”，事件E=“出现2点”，事件F=“出现的点数小于3”.事件D与E有什么关系？事件D，E，F的概率分别是多少呢？它们的概率又有怎样的关系？ 问题2 提示　事件H与事件I是对立事件.P(H)=，P(I)=，P(H)+P(I)=1. 在一次掷骰子试验中，设事件H=“出现的点数为奇数”，事件I=“出现的点数为偶数”，事件H与事件I是什么关系呢？它们的概率有什么关系呢？ 问题3 提示　M⊆F.P(M)<P(F). 在一次掷骰子试验中，设事件M=“出现的点数小于2”与事件F=“出现的点数小于3”是什么关系呢？它们的概率有什么关系呢？ 问题4 性质1　对任意的事件A，都有P(A) 0. 性质2　必然事件的概率为 ，不可能事件的概率为 ，即P(Ω)= ，P(∅)= . 性质3　如果事件A与事件B互斥，那么P(A∪B)= . 如果事件A1，A2，…，Am两两互斥，那么事件A1∪A2∪…∪Am发生的概率等于这m个事件分别发生的概率之 ，即P(A1∪A2∪…∪Am)= . ≥ 1 0 1 0 P(A)+P(B) 和 P(A1)+P(A2)+…+P(Am) 知识梳理 性质4　如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(B)= ，P(A)= . 性质5　如果A⊆B，那么 . 性质6　设A，B是一个随机试验中的两个事件，我们有P(A∪B)=_______ . 1-P(A) 1-P(B) P(A)≤P(B) P(A)+ P(B)-P(A∩B) (1)(多选)下列说法正确的有 A.必然事件的概率等于1 B.某事件的概率等于1.1 C.某事件的概率是0 D.若A，B为两个事件，则P(A∪B)=P(A)+P(B) 例 1 √ √ 12 必然事件一定发生，故其概率是1，故A正确； 必然事件的概率是1，故概率为1.1的事件不存在，故B错误； 不可能事件的概率是0，故C正确； 对于随机试验中的两个事件，P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)，故D错误. 13 (2)投掷一枚骰子(质地均匀的正方体)，设事件A为“掷得偶数点”，事件B为“掷得的点数是2”，则P(A)与P(B)的大小关系为 A.P(A)>P(B) B.P(A)=P(B) C.P(A)<P(B) D.不确定 √ 因为n(A)=3，n(B)=1，所以P(A)==，P(B)=，故P(A)>P(B). 14 (1)由于事件的样本点数总是小于或等于试验的样本空间包含的样本点数，所以任何事件的概率都在0~1之间，即0≤P(A)≤1. (2)利用概率性质进行判断，要注意每一条性质使用的条件，不能断章取义. 反 思 感 悟 15 　　　　　若A，B为互斥事件，则 A.P(A)+P(B)<1　　 B.P(A)+P(B)>1 C.P(A)+P(B)=1 D.P(A)+P(B)≤1 跟踪训练 1 √ 因为A，B为互斥事件，所以A∪B是随机事件或必然事件，则P(A∪B) =P(A)+P(B)≤1，当A，B为对立事件时，P(A)+P(B)=1. 16 二 互斥事件与对立事件概率公式的应用 　　　一名射击运动员在一次射击中射中10环、9环、8环、7环、7环以下的概率分别为0.24，0.28，0.19，0.16，0.13.计算这名射击运动员在一次射击中： (1)射中10环或9环的概率； 例 2 18 设“射中10环”“射中9环”“射中8环”“射中7环”“射中7环以下”分别为事件A，B，C，D，E，可知它们彼此之间互斥，且P(A)=0.24，P(B)=0.28，P(C)=0.19，P(D)=0.16，P(E)=0.13. (1)设“射中10环或9环”为事件F，则P(F)=P(A∪B)=P(A)+P(B)=0.24+0.28=0.52，所以射中10环或9环的概率为0.52. 19 (2)求射中环数小于8环的概率. 设“射中环数小于8环”为事件H， 则P(H)=P(D∪E)=P(D)+P(E) =0.16+0.13=0.29. 20 反 思 感 悟 (1)互斥事件的概率加法公式为P(A∪B)=P(A)+P(B)，运用该公式解题时，首先要分清事件间是否互斥，同时要学会把一个事件拆分为几个互斥事件，然后求出各事件的概率，用概率加法公式得出结果. (2)当直接计算符合条件的事件个数比较烦琐时，可先计算出对立事件的概率，然后利用对立事件的概率加法公式P(A)+P(B)=1，求出符合条件的事件的概率. 互斥事件、对立事件的概率公式的应用 　　　　　在数学考试中，小明的成绩不低于90分的概率是0.18，在80~89分内(包括89分)的概率是0.51，在70~79分内(包括79分)的概率是0.15，在60~69分内(包括69分)的概率是0.09，在60分以下的概率是0.07，计算： (1)小明在数学考试中成绩不低于70分的概率； 跟踪训练 2 22 分别记小明的成绩“不低于90分”“在80~89分内”“在70~79分内”“在60~69分内”为事件B，C，D，E，这四个事件彼此互斥. 小明的成绩不低于70分的概率是 P(B∪C∪D)=P(B)+P(C)+P(D) =0.18+0.51+0.15=0.84. 23 (2)小明数学考试及格(60分及以上)的概率. 方法一　小明数学考试及格的概率是 P(B∪C∪D∪E)=P(B)+P(C)+P(D)+P(E)=0.18+0.51+0.15+0.09=0.93. 方法二　小明数学考试不及格的概率是0.07，所以小明数学考试及格的概率是1-0.07=0.93. 24 概率性质的综合应用 三 　某商场有奖销售活动中，购满100元商品得1张奖券，多购多得.1 000张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个.设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖分别为事件A，B，C，求： (1)P(A)，P(B)，P(C)； 例 3 由题意知，P(A)=， P(B)==，P(C)==. 26 (2)1张奖券中奖的概率； 1张奖券中奖包含中特等奖、一等奖、二等奖，设“1张奖券中奖”为事件M， 则M=A∪B∪C. 因为A，B，C两两互斥， 所以P(M)=P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)=++=. 故1张奖券中奖的概率为. 27 (3)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率. 设“1张奖券不中特等奖且不中一等奖”为事件N，则事件N与“1张奖券中特等奖或中一等奖”为对立事件，所以P(N)=1-P(A∪B)=1- =. 故1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为. 28 反 思 感 悟 实际生活中的概率问题，在阅读理解的基础上，利用互斥事件分类，有时还借助对立事件寻求间接求解问题的捷径，这类问题重在考查学生思维的灵活性和解决实际问题的能力. 　　　　　某公司三个分厂的职工情况为：第一分厂有男职工4 000人，女职工1 600人；第二分厂有男职工3 000人，女职工1 400人；第三分厂有男职工800人，女职工500人.如果从该公司职工中随机抽取1人，求该职工为女职工或第三分厂职工的概率. 跟踪训练 3 30 记事件A为“抽取的1人为女职工”，记事件B为“抽取的1人为第三分厂的职工”，则A∩B表示“抽取的1人为第三分厂的女职工”，A∪B表示“抽取的1人为女职工或第三分厂的职工”，则有 P(A)==， P(B)==， P(A∩B)==， 所以P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)=+-=. 31 1.知识清单： (1)概率的基本性质. (2)互斥事件概率公式的应用. (3)对立事件概率公式的应用. 2.方法归纳：转化法、间接法、树状图法. 3.常见误区：将事件拆分成若干个互斥的事件，易重复和遗漏. 课堂小结 随堂演练 四 1.口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出1个球，摸出红球的概率是0.42，摸出白球的概率是0.28，那么摸出黑球的概率是 A.0.42 B.0.28 C.0.3 D.0.7 ∵摸出黑球是摸出红球或摸出白球的对立事件，∴摸出黑球的概率是1-0.42-0.28=0.3. √ 1 2 3 4 2.若A，B是互斥事件，P(A)=0.2，P(A∪B)=0.5，则P(B)等于 A.0.3 B.0.2 C.0.1 D.1 ∵A，B是互斥事件， ∴P(A∪B)=P(A)+P(B)=0.5. ∵P(A)=0.2， ∴P(B)=0.5-0.2=0.3. √ 1 2 3 4 3.袋中有形状、大小都相同的4个球，其中1个白球，1个红球，2个黄球. 从中一次随机摸出2个球，则这2个球颜色不同的概率为　　 .  1 2 3 4 由题意知摸出的2个球的颜色相同的概率为，故所求概率P=1-=. 4.已知射手甲射击一次，命中9环以上(含9环)的概率为0.5，命中8环的概率为0.2，命中7环的概率为0.1，则甲射击一次，命中6环以下(含6环)的概率为　　　　.  1 2 3 4 0.2 设“命中9环以上(含9环)”为事件A，“命中8环”为事件B，“命中7环”为事件C，“命中6环以下(含6环)”为事件D，则D与A∪B∪C互为对立事件. 因为P(A)=0.5，P(B)=0.2，P(C)=0.1，且A，B，C两两互斥，所以P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)=0.8，所以P(D)=1-0.8=0.2. 1 2 3 4 课时对点练 五 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D A A BD BD C 题号 11 12 13 14 15 答案 B A AD 120 AC 对一对 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9. (1)因为一年内需要维修1次的占15%，需要维修2次的占6%，需要维修3次的占4%， 所以P(A0)=1-(0.15+0.06+0.04)=0.75， P(A1)=0.15，P(A2)=0.06，P(A3)=0.04. 事件 A0 A1 A2 A3 概率 0.75 0.15 0.06 0.04 事件A0，A1，A2，A3满足两两互斥，不满足等可能性. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9. (2)①P(A)=P(A1+A2+A3) =P(A1)+P(A2)+P(A3)=0.25； ②P(B)=P(A0)=0.75； ③P(C)=P(A0+A1)=P(A0)+P(A1)=0.9. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10. 记事件A表示“考生选择生物学科”； 事件B表示“考生选择物理但不选择生物学科”； 事件C表示“考生至少选择生物、物理两门学科中的1门学科”； 事件D表示“考生选择生物但不选择物理学科”； 事件E表示“考生同时选择生物、物理两门学科”. (1)P(A)=0.5，P(B)=0.2，C=A∪B，A∩B=∅，P(C)=P(A∪B)=P(A)+P(B)=0.7. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10. (2)由某校高二年级的400名学生中，选择生物但不选择物理的人数为140，可知P(D)=0.35， 因为D∪E=A，且D，E为互斥事件，所以P(E)=P(A)-P(D)=0.5-0.35=0.15. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16. (1)依题意，从这些氧原子中随机选取1个，这个氧原子是17O的概率 P1=，则有1-=，解得n=1. (2)记3个16O分别为a，b，c，2个17O分别为x，y，1个18O为m，从中随机选取2个，所有的情况为(a，b)，(a，c)，(a，x)，(a，y)，(a，m)，(b，c)，(b，x)，(b，y)，(b，m)，(c，x)，(c，y)，(c，m)，(x，y)，(x，m)，(y，m)，共15种，它们等可能的，其中这2个氧原子是同一种同位素的情况有(a，b)，(a，c)，(b，c)，(x，y)，共4种，其 概率为P2=，所以这2个氧原子是同一种同位素的概率是. 1.某超市收银台排队等候付款的人数及其相应概率如下： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础巩固 答案 则至少有两人排队的概率为 A.0.16 B.0.26 C.0.56 D.0.74 排队人数X 0 1 2 3 4 ≥5 概率 0.1 0.16 0.3 0.3 0.1 0.04 √ 由题意得至少有两人排队的概率P=1-P(X=0)-P(X=1)=1-0.1-0.16=0.74. 2.抛掷一枚质地均匀的骰子的试验，事件A表示“出现小于5的偶数点”，事件B表示“出现不小于5的点数”，则一次试验中，事件A或事件B至少有一个发生的概率为 A. B. C. D. 由题意知小于5的偶数点有2和4，不小于5的点数有5和6， ∴P(A)==，P(B)==. 且事件A和事件B为互斥事件.则一次试验中，事件A或事件B至少有一 个发生的概率为P(A∪B)=P(A)+P(B)=+=. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 3.若事件A和事件B是互斥事件，且P(A)=0.1，则P(B)的取值范围是 A.[0，0.9] B.[0.1，0.9] C.(0，0.9] D.[0，1] 由于事件A和事件B是互斥事件， 则P(A∪B)=P(A)+P(B)=0.1+P(B)， 又0≤P(A∪B)≤1， 所以0≤0.1+P(B)≤1， 又0≤P(B)≤1，所以0≤P(B)≤0.9. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 4.(多选)下列说法正确的是 A.甲、乙、丙三位同学争着去参加一个公益活动，抽签决定谁去，则先 　抽的概率大些 B.若事件A发生的概率为P(A)，则0≤P(A)≤1 C.如果事件A与事件B互斥，那么一定有P(A)+P(B)=1 D.已知事件A发生的概率P(A)=0.3，则它的对立事件发生的概率 　P()=0.7 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 √ 对于A，甲、乙、丙三位同学抽签决定谁去，则每位同学被抽到的概 率都是，故A错误； 对于B，由概率的性质可知，0≤P(A)≤1，故B正确； 对于C，如果事件A与事件B对立，那么一定有P(A)+P(B)=1，但互斥事件不一定对立，故C错误； 对于D，因为事件A发生的概率P(A)=0.3，所以它的对立事件发生的概率P()=1-0.3=0.7，故D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 5.(多选)在一次随机试验中，三个事件A1，A2，A3发生的概率分别是0.2，0.3，0.5，则下列说法正确的是 A.A1∪A2与A3是互斥事件，也是对立事件 B.A1∪A2∪A3不一定是必然事件 C.P(A2∪A3)=0.8 D.P(A1∪A2)≤0.5 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 √ 因为A1，A2，A3不一定是互斥事件，所以A不正确，B正确；P(A2∪A3)≤0.8，P(A1∪A2)≤0.5，所以C不正确，D正确. 6.围棋盒子中有多粒黑子和白子，已知从中取出2粒都是黑子的概率为，都是白子的概率是，则从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是 A. B. C. D.1 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 由题意知，围棋盒子中有多粒黑子和白子，从中取出2粒都是黑子的概率为，由互斥事件概率的加法公式，可得从中任意取出2粒恰好是同一色的概率P=+=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 7.张三和李四下棋，张三获胜的概率是，和棋的概率是，则张三不输的概率为　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 由题意得，张三不输的情况有和棋或者获胜，所以张三不输的概率 P=+=. 8.事件A，B互斥，它们都不发生的概率为，且P(A)=2P(B)，则P(A)=　　 .  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 因为事件A，B互斥，它们都不发生的概率为，所以P(A)+P(B)=1-=. 又因为P(A)=2P(B)， 所以P(A)+P(A)=，所以P(A)=. 9.某品牌计算机售后保修期为1年，根据大量的维修记录资料，这种品牌的计算机在使用一年内需要维修1次的占15%，需要维修2次的占6%，需要维修3次的占4%. (1)某人购买了一台这个品牌的计算机，设Ak=“一年内需要维修k次”，k=0，1，2，3，请填写下表： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 事件A0，A1，A2，A3是否满足两两互斥？是否满足等可能性？ 事件 A0 A1 A2 A3 概率         因为一年内需要维修1次的占15%，需要维修2次的占6%，需要维修3次的占4%， 所以P(A0)=1-(0.15+0.06+0.04)=0.75， P(A1)=0.15，P(A2)=0.06，P(A3)=0.04. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 事件 A0 A1 A2 A3 概率 0.75 0.15 0.06 0.04 事件A0，A1，A2，A3满足两两互斥，不满足等可能性. 57 (2)求下列事件的概率： ①A=“在1年内需要维修”； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 P(A)=P(A1+A2+A3) =P(A1)+P(A2)+P(A3)=0.25； 事件 A0 A1 A2 A3 概率 0.75 0.15 0.06 0.04 ②B=“在1年内不需要维修”； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 P(B)=P(A0)=0.75； 事件 A0 A1 A2 A3 概率 0.75 0.15 0.06 0.04 ③C=“在1年内维修不超过1次”. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 P(C)=P(A0+A1)=P(A0)+P(A1)=0.9. 事件 A0 A1 A2 A3 概率 0.75 0.15 0.06 0.04 10.根据某省的高考改革方案，考生应在3门理科学科(物理、化学、生物)和3门文科学科(历史、政治、地理)的6门学科中选择3门学科参加考试.根据以往统计资料，1位同学选择生物的概率为0.5，选择物理但不选择生物的概率为0.2，考生选择各门学科是互不影响的. (1)求1位考生至少选择生物、物理两门学科中的1门的概率； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 记事件A表示“考生选择生物学科”； 事件B表示“考生选择物理但不选择生物学科”； 事件C表示“考生至少选择生物、物理两门学科中的1门学科”； 事件D表示“考生选择生物但不选择物理学科”； 事件E表示“考生同时选择生物、物理两门学科”. P(A)=0.5，P(B)=0.2，C=A∪B，A∩B=∅，P(C)=P(A∪B)=P(A)+P(B)=0.7. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 62 (2)某校高二年级的400名学生中，选择生物但不选择物理的人数为140，求1位考生同时选择生物、物理两门学科的概率. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 由某校高二年级的400名学生中，选择生物但不选择物理的人数为140，可知P(D)=0.35， 因为D∪E=A，且D，E为互斥事件，所以P(E)=P(A)-P(D)=0.5-0.35= 0.15. 11.袋中有大小相同的黄、红、白球各一个，每次任取一个，有放回地取3次，则下列事件的概率为的是 A.颜色全相同 B.颜色不全相同 C.颜色全不同 D.无红球 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 综合运用 答案 有放回地取球3次，共27种可能结果，其中颜色全相同的结果有3种， 其概率为=； 颜色不全相同的结果有24种，其概率为=； 颜色全不同的结果有6种，其概率为=； 无红球的结果有8种，其概率为. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 12.已知a∈{0，1，2}，b∈{-1，1，3，5}，则函数f(x)=ax2-2bx在区间(1，+∞)上单调递增的概率是 A. B. C. D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 ∵a∈{0，1，2}，b∈{-1，1，3，5}， ∴共含有12个样本点. 函数f(x)=ax2-2bx在区间(1，+∞)上单调递增， ①当a=0时，f(x)=-2bx，需要满足-2b>0，即b<0，符合条件的只有(0，-1)，即a=0，b=-1，共1个样本点； ②当a≠0时，a>0，需要满足≤1，即b≤a，符合条件的有(1，-1)， (1，1)，(2，-1)，(2，1)，共4个样本点. ∴函数f(x)=ax2-2bx在区间(1，+∞)上单调递增的概率P=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 13.(多选)黄种人群中各种血型的人所占的比例见下表： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 已知同种血型的人可以互相输血，O型血可以给任何一种血型的人输血，任何血型的人都可以给AB血型的人输血，其他不同血型的人不能互相输血.下列结论正确的是 A.任找一个人，其血可以输给B型血的人的概率是0.64 B.任找一个人，B型血的人能为其输血的概率是0.29 C.任找一个人，其血可以输给O型血的人的概率为1 D.任找一个人，其血可以输给AB型血的人的概率为1 血型 A B AB O 该血型的人所占比例 0.28 0.29 0.08 0.35 √ √ 任找一个人，记其血型为A，B，AB，O型血分别为事件A'，B'，C'，D'，它们两两互斥.由已知，有P(A')=0.28，P(B')=0.29，P(C')=0.08，P(D')=0.35.因为B，O型血可以输给B型血的人，所以“可以输给B型血的人”为事件B'∪D'，根据概率的加法公式，得P(B'∪D')=P(B')+P(D')=0.29+0.35=0.64，故A正确； B型血的人能为B，AB型血的人输血，其概率为0.29+0.08=0.37，B错误； 由O型血只能接受O型血的人输血知，C错误； 由任何血型的人都可以输血给AB型血的人知，D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 14.在一次教师联欢会上，到场的女教师比男教师多12人，从这些教师中随机挑选一人表演节目，若选中男教师的概率为，则参加联欢会的教师共有　　　　人.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 120 可设参加联欢会的教师共有n人，由于从这些教师中选一人，“选中男教师”和“选中女教师”两个事件是对立事件，所以选中女教师 的概率为1-=. 再由题意，知n-n=12，解得n=120. 拓广探究 15.(多选)1990年9月，CraigF.Whitaker给《Parade》杂志“AskMarilyn”专栏提了一个问题(著名的蒙提霍尔问题，也称三门问题)，在蒙提霍尔游戏节目中，事先在三扇关着的门背后放置好奖品，然后让游戏参与者在三扇关着的门中选择一扇门并赢得所选门后的奖品，游戏参与者知道其中一扇门背后是豪车，其余两扇门背后是山羊，作为游戏参与者当然希望选中并赢得豪车，主持人知道豪车在哪扇门背后.假定你初次选择的是1号门，接着主持人会从2，3号门中打开一道背后是山羊的门，询问你是否改选为另一扇没有打开的门， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 拓广探究 则下列说法正确的是 A.若保持原选择，你获得豪车的概率为 B.若保持原选择，你获得豪车的概率为 C.若你改选号码，则改选号码获得豪车的概率为 D.若你改选号码，则改选号码和保持原选择获得豪车的概率相等 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 √ 如题意所述，游戏参与者初次选择了1号门，因为在做选择的时候不知道豪车在哪个门后，故不影响豪车在三个门后的概率分配，所以 获得豪车的概率仍然为，即A正确，B错误； 在选择了1号门的前提下，有以下几种可能的情况： 豪车在1号门后，主持人打开2，3号门的其中一扇门，此时更改号码，则没有获得豪车； 豪车在2号门后，主持人只能打开3号门，此时更改号码，则获得豪车； 豪车在3号门后，主持人只能打开2号门，此时更改号码，则获得豪车； 综上所述，若选择更改号码，则获得豪车的概率为>，即C正确，D错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 16.科学家在1927年至1929年间发现自然界中的氧含有三种同位素，分别为16O，17O，18O，根据1940年比较精确的质谱测定，自然界中这三种同位素的含量比为16O占99.759%，17O占0.037%，18O占0.204%.现有3个16O，2个17O，n个18O，若从中随机选取1个氧原子，这个氧原子不是17O的概率为. (1)求n； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 依题意，从这些氧原子中随机选取1个，这个氧原子是17O的概率P1= ，则有1-=，解得n=1. (2)若从中随机选取2个氧原子，求这2个氧原子是同一种同位素的概率. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 记3个16O分别为a，b，c，2个17O分别为x，y，1个18O为m，从中随机选取2个，所有的情况为(a，b)，(a，c)，(a，x)，(a，y)，(a，m)，(b，c)，(b，x)，(b，y)，(b，m)，(c，x)，(c，y)，(c，m)，(x，y)，(x，m)，(y，m)，共15种，它们等可能的，其中这2个氧原子是同一种同位素的情况有(a，b)，(a，c)，(b，c)，(x，y)，共4种，其概率为P2= ，所以这2个氧原子是同一种同位素的概率是. 第一章 <<< $$ 10.1.4　概率的基本性质 ［学习目标］　1.理解概率的基本性质.(重点)2.掌握利用互斥事件和对立事件的概率公式解决与古典概型有关的问题.(难点) 导语　 一般而言，给出了一个数学对象的定义，就可以从定义出发研究这个数学对象的性质.学习了概率的定义后，从哪些方面来研究概率的性质呢？本节课就来学习一下！ 一、概率的基本性质 问题1　在一次掷骰子试验中，设事件A=“点数小于7”，事件B=“点数大于7”，事件C=“点数大于1”.以上事件的概率是多少？你认为任意事件的概率取值范围是多少？ 提示　P(A)=1，P(B)=0，P(C)=.任意事件的概率取值范围为［0，1］. 问题2　在一次掷骰子试验中，设事件D=“出现1点”，事件E=“出现2点”，事件F=“出现的点数小于3”.事件D与E有什么关系？事件D，E，F的概率分别是多少呢？它们的概率又有怎样的关系？ 提示　事件D与E互斥.P(D)=，P(E)=，P(F)=.P(D)+P(E)=P(F). 问题3　在一次掷骰子试验中，设事件H=“出现的点数为奇数”，事件I=“出现的点数为偶数”，事件H与事件I是什么关系呢？它们的概率有什么关系呢？ 提示　事件H与事件I是对立事件.P(H)=，P(I)=，P(H)+P(I)=1. 问题4　在一次掷骰子试验中，设事件M=“出现的点数小于2”与事件F=“出现的点数小于3”是什么关系呢？它们的概率有什么关系呢？ 提示　M⊆F.P(M)<P(F). 知识梳理 性质1　对任意的事件A，都有P(A)≥0. 性质2　必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即P(Ω)=1，P(∅)=0. 性质3　如果事件A与事件B互斥，那么P(A∪B)=P(A)+P(B). 如果事件A1，A2，…，Am两两互斥，那么事件A1∪A2∪…∪Am发生的概率等于这m个事件分别发生的概率之和，即P(A1∪A2∪…∪Am)=P(A1)+P(A2)+…+P(Am). 性质4　如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(B)=1-P(A)，P(A)=1-P(B). 性质5　如果A⊆B，那么P(A)≤P(B). 性质6　设A，B是一个随机试验中的两个事件，我们有P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B). 例1　(1)(多选)下列说法正确的有(　　) A.必然事件的概率等于1 B.某事件的概率等于1.1 C.某事件的概率是0 D.若A，B为两个事件，则P(A∪B)=P(A)+P(B) 答案　AC 解析　必然事件一定发生，故其概率是1，故A正确；必然事件的概率是1，故概率为1.1的事件不存在，故B错误； 不可能事件的概率是0，故C正确； 对于随机试验中的两个事件，P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)，故D错误. (2)投掷一枚骰子(质地均匀的正方体)，设事件A为“掷得偶数点”，事件B为“掷得的点数是2”，则P(A)与P(B)的大小关系为(　　) A.P(A)>P(B) B.P(A)=P(B) C.P(A)<P(B) D.不确定 答案　A 解析　因为n(A)=3，n(B)=1，所以P(A)==，P(B)=，故P(A)>P(B). 反思感悟　(1)由于事件的样本点数总是小于或等于试验的样本空间包含的样本点数，所以任何事件的概率都在0~1之间，即0≤P(A)≤1. (2)利用概率性质进行判断，要注意每一条性质使用的条件，不能断章取义. 跟踪训练1　若A，B为互斥事件，则(　　) A.P(A)+P(B)<1　　 B.P(A)+P(B)>1 C.P(A)+P(B)=1 D.P(A)+P(B)≤1 答案　D 解析　因为A，B为互斥事件，所以A∪B是随机事件或必然事件，则P(A∪B)=P(A)+P(B)≤1，当A，B为对立事件时，P(A)+P(B)=1. 　　　　　　　　　　　　　　　　 二、互斥事件与对立事件概率公式的应用 例2　一名射击运动员在一次射击中射中10环、9环、8环、7环、7环以下的概率分别为0.24，0.28，0.19，0.16，0.13.计算这名射击运动员在一次射击中： (1)射中10环或9环的概率； (2)求射中环数小于8环的概率. 解　设“射中10环”“射中9环”“射中8环”“射中7环”“射中7环以下”分别为事件A，B，C，D，E，可知它们彼此之间互斥，且P(A)=0.24，P(B)=0.28，P(C)=0.19，P(D)=0.16，P(E)=0.13. (1)设“射中10环或9环”为事件F，则P(F)=P(A∪B)=P(A)+P(B)=0.24+0.28=0.52，所以射中10环或9环的概率为0.52. (2)设“射中环数小于8环”为事件H， 则P(H)=P(D∪E)=P(D)+P(E) =0.16+0.13=0.29. 反思感悟　互斥事件、对立事件的概率公式的应用 (1)互斥事件的概率加法公式为P(A∪B)=P(A)+P(B)，运用该公式解题时，首先要分清事件间是否互斥，同时要学会把一个事件拆分为几个互斥事件，然后求出各事件的概率，用概率加法公式得出结果. (2)当直接计算符合条件的事件个数比较烦琐时，可先计算出对立事件的概率，然后利用对立事件的概率加法公式P(A)+P(B)=1，求出符合条件的事件的概率. 跟踪训练2　在数学考试中，小明的成绩不低于90分的概率是0.18，在80~89分内(包括89分)的概率是0.51，在70~79分内(包括79分)的概率是0.15，在60~69分内(包括69分)的概率是0.09，在60分以下的概率是0.07，计算： (1)小明在数学考试中成绩不低于70分的概率； (2)小明数学考试及格(60分及以上)的概率. 解　分别记小明的成绩“不低于90分”“在80~89分内”“在70~79分内”“在60~69分内”为事件B，C，D，E，这四个事件彼此互斥. (1)小明的成绩不低于70分的概率是 P(B∪C∪D)=P(B)+P(C)+P(D) =0.18+0.51+0.15=0.84. (2)方法一　小明数学考试及格的概率是 P(B∪C∪D∪E)=P(B)+P(C)+P(D)+P(E)=0.18+0.51+0.15+0.09=0.93. 方法二　小明数学考试不及格的概率是0.07，所以小明数学考试及格的概率是1-0.07=0.93. 三、概率性质的综合应用 例3　某商场有奖销售活动中，购满100元商品得1张奖券，多购多得.1 000张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个.设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖分别为事件A，B，C，求： (1)P(A)，P(B)，P(C)； (2)1张奖券中奖的概率； (3)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率. 解　(1)由题意知，P(A)=， P(B)==，P(C)==. (2)1张奖券中奖包含中特等奖、一等奖、二等奖，设“1张奖券中奖”为事件M， 则M=A∪B∪C. 因为A，B，C两两互斥， 所以P(M)=P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)=++=. 故1张奖券中奖的概率为. (3)设“1张奖券不中特等奖且不中一等奖”为事件N，则事件N与“1张奖券中特等奖或中一等奖”为对立事件，所以P(N)=1-P(A∪B)=1-=.故1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为. 反思感悟　实际生活中的概率问题，在阅读理解的基础上，利用互斥事件分类，有时还借助对立事件寻求间接求解问题的捷径，这类问题重在考查学生思维的灵活性和解决实际问题的能力. 跟踪训练3　某公司三个分厂的职工情况为：第一分厂有男职工4 000人，女职工1 600人；第二分厂有男职工3 000人，女职工1 400人；第三分厂有男职工800人，女职工500人.如果从该公司职工中随机抽取1人，求该职工为女职工或第三分厂职工的概率. 解　记事件A为“抽取的1人为女职工”，记事件B为“抽取的1人为第三分厂的职工”，则A∩B表示“抽取的1人为第三分厂的女职工”，A∪B表示“抽取的1人为女职工或第三分厂的职工”，则有 P(A)==， P(B)==， P(A∩B)==， 所以P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)=+-=. 1.知识清单： (1)概率的基本性质. (2)互斥事件概率公式的应用. (3)对立事件概率公式的应用. 2.方法归纳：转化法、间接法、树状图法. 3.常见误区：将事件拆分成若干个互斥的事件，易重复和遗漏. 1.口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出1个球，摸出红球的概率是0.42，摸出白球的概率是0.28，那么摸出黑球的概率是(　　) A.0.42 B.0.28 C.0.3 D.0.7 答案　C 解析　∵摸出黑球是摸出红球或摸出白球的对立事件，∴摸出黑球的概率是1-0.42-0.28=0.3. 2.若A，B是互斥事件，P(A)=0.2，P(A∪B)=0.5，则P(B)等于(　　) A.0.3 B.0.2 C.0.1 D.1 答案　A 解析　∵A，B是互斥事件， ∴P(A∪B)=P(A)+P(B)=0.5. ∵P(A)=0.2， ∴P(B)=0.5-0.2=0.3. 3.袋中有形状、大小都相同的4个球，其中1个白球，1个红球，2个黄球.从中一次随机摸出2个球，则这2个球颜色不同的概率为　　　　.  答案　 解析　由题意知摸出的2个球的颜色相同的概率为，故所求概率P=1-=. 4.已知射手甲射击一次，命中9环以上(含9环)的概率为0.5，命中8环的概率为0.2，命中7环的概率为0.1，则甲射击一次，命中6环以下(含6环)的概率为　　　　.  答案　0.2 解析　设“命中9环以上(含9环)”为事件A，“命中8环”为事件B，“命中7环”为事件C，“命中6环以下(含6环)”为事件D，则D与A∪B∪C互为对立事件.因为P(A)=0.5，P(B)=0.2，P(C)=0.1，且A，B，C两两互斥，所以P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)=0.8，所以P(D)=1-0.8=0.2. 　　　　 课时对点练　［分值：100分］ 单选题每小题5分，共30分；多选题每小题6分，共24分 1.某超市收银台排队等候付款的人数及其相应概率如下： 排队人数X 0 1 2 3 4 ≥5 概率 0.1 0.16 0.3 0.3 0.1 0.04 则至少有两人排队的概率为(　　) A.0.16 B.0.26 C.0.56 D.0.74 答案　D 解析　由题意得至少有两人排队的概率P=1-P(X=0)-P(X=1)=1-0.1-0.16=0.74. 2.抛掷一枚质地均匀的骰子的试验，事件A表示“出现小于5的偶数点”，事件B表示“出现不小于5的点数”，则一次试验中，事件A或事件B至少有一个发生的概率为(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　由题意知小于5的偶数点有2和4，不小于5的点数有5和6， ∴P(A)==，P(B)==. 且事件A和事件B为互斥事件.则一次试验中，事件A或事件B至少有一个发生的概率为P(A∪B)=P(A)+P(B)=+=. 3.若事件A和事件B是互斥事件，且P(A)=0.1，则P(B)的取值范围是(　　) A.［0，0.9］ B.［0.1，0.9］ C.(0，0.9］ D.［0，1］ 答案　A 解析　由于事件A和事件B是互斥事件， 则P(A∪B)=P(A)+P(B)=0.1+P(B)， 又0≤P(A∪B)≤1， 所以0≤0.1+P(B)≤1， 又0≤P(B)≤1，所以0≤P(B)≤0.9. 4.(多选)下列说法正确的是(　　) A.甲、乙、丙三位同学争着去参加一个公益活动，抽签决定谁去，则先抽的概率大些 B.若事件A发生的概率为P(A)，则0≤P(A)≤1 C.如果事件A与事件B互斥，那么一定有P(A)+P(B)=1 D.已知事件A发生的概率P(A)=0.3，则它的对立事件发生的概率P()=0.7 答案　BD 解析　对于A，甲、乙、丙三位同学抽签决定谁去，则每位同学被抽到的概率都是，故A错误； 对于B，由概率的性质可知，0≤P(A)≤1，故B正确； 对于C，如果事件A与事件B对立，那么一定有P(A)+P(B)=1，但互斥事件不一定对立，故C错误； 对于D，因为事件A发生的概率P(A)=0.3，所以它的对立事件发生的概率P()=1-0.3=0.7，故D正确. 5.(多选)在一次随机试验中，三个事件A1，A2，A3发生的概率分别是0.2，0.3，0.5，则下列说法正确的是(　　) A.A1∪A2与A3是互斥事件，也是对立事件 B.A1∪A2∪A3不一定是必然事件 C.P(A2∪A3)=0.8 D.P(A1∪A2)≤0.5 答案　BD 解析　因为A1，A2，A3不一定是互斥事件，所以A不正确，B正确；P(A2∪A3)≤0.8，P(A1∪A2)≤0.5，所以C不正确，D正确. 6.围棋盒子中有多粒黑子和白子，已知从中取出2粒都是黑子的概率为，都是白子的概率是，则从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是(　　) A. B. C. D.1 答案　C 解析　由题意知，围棋盒子中有多粒黑子和白子，从中取出2粒都是黑子的概率为，都是白子的概率是，由互斥事件概率的加法公式，可得从中任意取出2粒恰好是同一色的概率P=+=. 7.(5分)张三和李四下棋，张三获胜的概率是，和棋的概率是，则张三不输的概率为　　　　.  答案　 解析　由题意得，张三不输的情况有和棋或者获胜，所以张三不输的概率P=+=. 8.(5分)事件A，B互斥，它们都不发生的概率为，且P(A)=2P(B)，则P(A)=　　　　.  答案　 解析　因为事件A，B互斥，它们都不发生的概率为，所以P(A)+P(B)=1-=. 又因为P(A)=2P(B)， 所以P(A)+P(A)=，所以P(A)=. 9.(10分)某品牌计算机售后保修期为1年，根据大量的维修记录资料，这种品牌的计算机在使用一年内需要维修1次的占15%，需要维修2次的占6%，需要维修3次的占4%. (1)某人购买了一台这个品牌的计算机，设Ak=“一年内需要维修k次”，k=0，1，2，3，请填写下表： 事件 A0 A1 A2 A3 概率 事件A0，A1，A2，A3是否满足两两互斥？是否满足等可能性？(4分) (2)求下列事件的概率： ①A=“在1年内需要维修”；(2分) ②B=“在1年内不需要维修”；(2分) ③C=“在1年内维修不超过1次”.(2分) 解　(1)因为一年内需要维修1次的占15%，需要维修2次的占6%，需要维修3次的占4%， 所以P(A0)=1-(0.15+0.06+0.04)=0.75， P(A1)=0.15，P(A2)=0.06，P(A3)=0.04. 事件 A0 A1 A2 A3 概率 0.75 0.15 0.06 0.04 事件A0，A1，A2，A3满足两两互斥，不满足等可能性. (2)①P(A)=P(A1+A2+A3) =P(A1)+P(A2)+P(A3)=0.25； ②P(B)=P(A0)=0.75； ③P(C)=P(A0+A1)=P(A0)+P(A1)=0.9. 10.(10分)根据某省的高考改革方案，考生应在3门理科学科(物理、化学、生物)和3门文科学科(历史、政治、地理)的6门学科中选择3门学科参加考试.根据以往统计资料，1位同学选择生物的概率为0.5，选择物理但不选择生物的概率为0.2，考生选择各门学科是互不影响的. (1)求1位考生至少选择生物、物理两门学科中的1门的概率；(5分) (2)某校高二年级的400名学生中，选择生物但不选择物理的人数为140，求1位考生同时选择生物、物理两门学科的概率.(5分) 解　记事件A表示“考生选择生物学科”； 事件B表示“考生选择物理但不选择生物学科”； 事件C表示“考生至少选择生物、物理两门学科中的1门学科”； 事件D表示“考生选择生物但不选择物理学科”； 事件E表示“考生同时选择生物、物理两门学科”. (1)P(A)=0.5，P(B)=0.2，C=A∪B，A∩B=∅，P(C)=P(A∪B)=P(A)+P(B)=0.7. (2)由某校高二年级的400名学生中，选择生物但不选择物理的人数为140，可知P(D)=0.35， 因为D∪E=A，且D，E为互斥事件，所以P(E)=P(A)-P(D)=0.5-0.35=0.15. 11.袋中有大小相同的黄、红、白球各一个，每次任取一个，有放回地取3次，则下列事件的概率为的是(　　) A.颜色全相同 B.颜色不全相同 C.颜色全不同 D.无红球 答案　B 解析　有放回地取球3次，共27种可能结果，其中颜色全相同的结果有3种，其概率为=；颜色不全相同的结果有24种，其概率为=；颜色全不同的结果有6种，其概率为=；无红球的结果有8种，其概率为. 12.已知a∈｛0，1，2｝，b∈｛-1，1，3，5｝，则函数f(x)=ax2-2bx在区间(1，+∞)上单调递增的概率是(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　∵a∈｛0，1，2｝，b∈｛-1，1，3，5｝， ∴共含有12个样本点. 函数f(x)=ax2-2bx在区间(1，+∞)上单调递增， ①当a=0时，f(x)=-2bx，需要满足-2b>0，即b<0，符合条件的只有(0，-1)，即a=0，b=-1，共1个样本点； ②当a≠0时，a>0，需要满足≤1，即b≤a，符合条件的有(1，-1)，(1，1)，(2，-1)，(2，1)，共4个样本点. ∴函数f(x)=ax2-2bx在区间(1，+∞)上单调递增的概率P=. 13.(多选)黄种人群中各种血型的人所占的比例见下表： 血型 A B AB O 该血型的人所占比例 0.28 0.29 0.08 0.35 已知同种血型的人可以互相输血，O型血可以给任何一种血型的人输血，任何血型的人都可以给AB血型的人输血，其他不同血型的人不能互相输血.下列结论正确的是(　　) A.任找一个人，其血可以输给B型血的人的概率是0.64 B.任找一个人，B型血的人能为其输血的概率是0.29 C.任找一个人，其血可以输给O型血的人的概率为1 D.任找一个人，其血可以输给AB型血的人的概率为1 答案　AD 解析　任找一个人，记其血型为A，B，AB，O型血分别为事件A'，B'，C'，D'，它们两两互斥.由已知，有P(A')=0.28，P(B')=0.29，P(C')=0.08，P(D')=0.35.因为B，O型血可以输给B型血的人，所以“可以输给B型血的人”为事件B'∪D'，根据概率的加法公式，得P(B'∪D')=P(B')+P(D')=0.29+0.35=0.64，故A正确；B型血的人能为B，AB型血的人输血，其概率为0.29+0.08=0.37，B错误；由O型血只能接受O型血的人输血知，C错误；由任何血型的人都可以输血给AB型血的人知，D正确. 14.(5分)在一次教师联欢会上，到场的女教师比男教师多12人，从这些教师中随机挑选一人表演节目，若选中男教师的概率为，则参加联欢会的教师共有　　　　人.  答案　120 解析　可设参加联欢会的教师共有n人，由于从这些教师中选一人，“选中男教师”和“选中女教师”两个事件是对立事件，所以选中女教师的概率为1-=. 再由题意，知n-n=12，解得n=120. 15.(多选)1990年9月，CraigF.Whitaker给《Parade》杂志“AskMarilyn”专栏提了一个问题(著名的蒙提霍尔问题，也称三门问题)，在蒙提霍尔游戏节目中，事先在三扇关着的门背后放置好奖品，然后让游戏参与者在三扇关着的门中选择一扇门并赢得所选门后的奖品，游戏参与者知道其中一扇门背后是豪车，其余两扇门背后是山羊，作为游戏参与者当然希望选中并赢得豪车，主持人知道豪车在哪扇门背后.假定你初次选择的是1号门，接着主持人会从2，3号门中打开一道背后是山羊的门，询问你是否改选为另一扇没有打开的门，则下列说法正确的是(　　) A.若保持原选择，你获得豪车的概率为 B.若保持原选择，你获得豪车的概率为 C.若你改选号码，则改选号码获得豪车的概率为 D.若你改选号码，则改选号码和保持原选择获得豪车的概率相等 答案　AC 解析　如题意所述，游戏参与者初次选择了1号门，因为在做选择的时候不知道豪车在哪个门后，故不影响豪车在三个门后的概率分配，所以获得豪车的概率仍然为，即A正确，B错误； 在选择了1号门的前提下，有以下几种可能的情况： 豪车在1号门后，主持人打开2，3号门的其中一扇门，此时更改号码，则没有获得豪车； 豪车在2号门后，主持人只能打开3号门，此时更改号码，则获得豪车； 豪车在3号门后，主持人只能打开2号门，此时更改号码，则获得豪车； 综上所述，若选择更改号码，则获得豪车的概率为>，即C正确，D错误. 16.(11分)科学家在1927年至1929年间发现自然界中的氧含有三种同位素，分别为16O，17O，18O，根据1940年比较精确的质谱测定，自然界中这三种同位素的含量比为16O占99.759%，17O占0.037%，18O占0.204%.现有3个16O，2个17O，n个18O，若从中随机选取1个氧原子，这个氧原子不是17O的概率为. (1)求n；(4分) (2)若从中随机选取2个氧原子，求这2个氧原子是同一种同位素的概率.(7分) 解　(1)依题意，从这些氧原子中随机选取1个，这个氧原子是17O的概率P1=，则有1-=，解得n=1. (2)记3个16O分别为a，b，c，2个17O分别为x，y，1个18O为m，从中随机选取2个，所有的情况为(a，b)，(a，c)，(a，x)，(a，y)，(a，m)，(b，c)，(b，x)，(b，y)，(b，m)，(c，x)，(c，y)，(c，m)，(x，y)，(x，m)，(y，m)，共15种，它们等可能的，其中这2个氧原子是同一种同位素的情况有(a，b)，(a，c)，(b，c)，(x，y)，共4种，其概率为P2=，所以这2个氧原子是同一种同位素的概率是. 学科网（北京）股份有限公司 $$