2.课时跟踪检测练 41 第9章 四十一 总体百分位数的估计(Word版+PPT版)-【满分思维】2025-2026学年高中数学必修第二册（人教A版）

四十一　总体百分位数的估计 (时间:45分钟　分值:70分) 【基础全面练】 1.(5分)(2025·南阳高一检测)将10个数据按照从小到大的顺序排列如 下:7,8,13,15,17,18,18,a,25,27,若该组数据的70%分位数是19,则a=(　　) A.20 B.21 C.23 D.24 【解析】选A.因为10×70%=7,所以该组数据的70%分位数是第7个数据和 第8个数据的平均数,所以=19,解得a=20. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 选题清单 2.(5分)(2025·菏泽高一检测)某地铁1号线的开通运营极大地方便了市民的 出行.某时刻从A站驶往B站的过程中,10个车站上车的人数统计如 下:70,50,60,55,60,45,35,30,30,10.这组数据的90%分位数为 (　　) A.50 B.55 C.60 D.65 【解析】选D.数据从小到大排序为10,30,30,35,45,50,55,60,60,70, 而10×90%=9,故90%分位数为=65. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 选题清单 3.(5分)某市2025年深入实施创新驱动发展战略,新产业新产品增势良好.调 研统计了8家企业,得到了他们的科技创新月平均新增收益如 下:7.8,7.9,8.1,8.1,8.3,8.5,8.7,8.9(单位:百万元),则其第60百分位数是 (　　) A.8.1 B.8.2 C.8.3 D.8.4 【解析】选C.因为8×0.6=4.8, 所以7.8,7.9,8.1,8.1,8.3,8.5,8.7,8.9从小到大排列取第5个数为8.3. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 选题清单 4.(5分)(2025·杭州高一检测)据报道2024年,中国大陆居民的幸福感指数高达79%, 持续领跑全球,幸福感指数常用区间[0,100]内的一个数来表示,数字越接近100表 示满意度越高.现随机抽取10位学生,他们的幸福感指数为 73,74,75,75,76,76,77,78,79,80.则这组数据的70%分位数是 (　　) A.77.5 B.77 C.78 D.76.5 【解析】选A.将这组数据从小到大进行排序,排序后依然为73,74,75,75,76,76,77,78,79,80.数据个数n=10,p%=70%,则n×p%=10×0.7=7. 因为n×p%=7是整数,所以70%分位数是第7个数和第8个数的平均数, 第7个数是77,第8个数是78,则70%分位数为==77.5. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 选题清单 5.(5分)某车间10名工人生产某产品的数量(单位:件)分别为 32,35,38,39,40,42,44,44,45,x,若所给数据的第50百分位数与第25百分位数 的差为2,且x∈N,则x=_______.  【解析】已知数据有10个,所以第50百分位数为第5个和第6个数据的平均 数,第25百分位数为第3个数据, 若x<35,则这组数据的第50百分位数与第25百分位数分别为=39.5和 35,则39.5-35=4.5,不符合题意; 　40　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 选题清单 若35≤x<38,则这组数据的第50百分位数与第25百分位数分别为=39.5和x, 则39.5-x=2,解得x=37.5,不符合题意; 若38≤x<39,则这组数据的第50百分位数与第25百分位数分别为=39.5和38, 则39.5-38=1.5,不符合题意; 若39≤x<40,则这组数据的第50百分位数与第25百分位数分别为和38, 则-38=2,解得x=40,不符合题意; 若40≤x<42,则这组数据的第50百分位数与第25百分位数分别为和38, 则-38=2,解得x=40,符合题意; 若x≥42,则这组数据的第50百分位数与第25百分位数分别为41和38,它们的差为3,不符合题意. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 选题清单 6.(5分)为科普航天知识,某校组织学生参与航天知识竞答活动,某班8位学 生的成绩如下:7,6,8,9,8,7,10,m,若去掉m,该组数据的第25百分位数保持不 变,则整数m(1≤m≤10)的值可以是___________________________(写出一 个满足条件的m值即可).  【解析】7位学生的成绩从小到大的顺序如下:6,7,7,8,8,9,10,其第25百分位 数为第二个数据7, 要使第25百分位数保持不变,m不小于7就可以. 所以7,8,9,10均符合题意. 　7(8,9,10均可,答案不唯一)　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 选题清单 7.(5分)某校从高一年级中随机抽取部分学生,将他们的期末数学测试成绩 分成6组:[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100],得到如图所示的频 率分布直方图.据此统计,期末数学测试成绩不少于60%分位数的分数至少 为_______分.  【解析】因为(0.005+0.015+0.03)×10=0.5<0.6,0.5+0.025×10=0.75>0.6, 所以60%分位数应位于[70,80)内. 由70+10×=74,得期末数学测试成绩不少于60%分位数的分数至少 为74分. 　74　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 选题清单 8.(10分)(2025·北京高一检测)某学校高一500名学生参加某次测评,根据男女学生人数比例,使用分层随机抽样的方法从中随机抽取了100名学生,记录他们的分数,将数据分成7组:[20,30),[30,40),…,[80,90],并整理得到频率分布直方图如图所示. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 选题清单 (1)从总体的500名学生中随机抽取一人,估计其分数小于60的概率(写出计 算过程); 【解析】(1)由题频率分布直方图可得分数不小于60的频率为 (0.02+0.04+0.02)×10=0.8, 则分数小于60的频率为1-0.8=0.2,故从总体的500名学生中随机抽取一人, 其分数小于60的概率估计为0.2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 选题清单 (2)已知样本中分数小于40的学生有5人,试估计总体中分数在区间[40,50) 内的人数(写出计算过程); 【解析】(2)由题频率分布直方图可得分数不小于50的频率为 (0.01+0.02+0.04+0.02)×10=0.9, 则分数在区间[40,50)内的人数为100-100×0.9-5=5. 则总体中分数在区间[40,50)内的人数为500×=25. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 选题清单 (3)估计测评成绩的75%分位数(写出计算过程). 【解析】(3)由题频率分布直方图可得分数小于70的频率为0.4,分数小于80 的频率为0.8,则测评成绩的75%分位数落在区间[70,80)上,则测评成绩的 75%分位数为70+10×=78.75. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 选题清单 【综合应用练】 9.(5分)(多选)已知某省2025年各地市地区生产总值的占比如图所示,则根据图中关 于该省2025年各地市地区生产总值占比的统计情况,下列结论正确的是(　　) A.A市2025年地区生产总值比B市2025年地区生产总值多 B.图中11个地市2025年地区生产总值占比的40%分位数 为5.92% C.图中11个地市2025年地区生产总值占比的70%分位数 为4.58% D.若该省2026年各地市地区生产总值的增长率相等,则该省2026年各地市地区生产 总值的占比不变 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 选题清单 【解析】选ABD.由题图中统计数据,可得A市2025年地区生产总值比B市2025年地区生产总值多,故A正确;因为11×40%=4.4,所以题图中11个地市2025年地区生产总值占比的40%分位数为5.92%,故B正确;因为11×70%=7.7,所以题图中11个地市2025年地区生产总值占比的70%分位数为10.10%,故C错误;若该省2026年各地市地区生产总值的增长率相等,则该省2026年各地市地区生产总值的占比不变,D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 选题清单 10.(5分)海水养殖场对某水产品的网箱养殖方法的产量进行调查,收获时随 机抽取了100个网箱,测量各网箱水产品的产量(单位:kg)后制成频率分布 直方图如图所示.估计网箱养殖方法的箱产量数据的第61百分位数为 __________.  　49.75　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 选题清单 【解析】由题可知,组距在[25,30)的频率为P1=0.06,在[30,35)的频率为P2=0.07,在[35,40)的频率为P3=0.12,在[40,45)的频率为P4=0.17,在[45,50)的频率为P5=0.2, 因为P1+P2+P3+P4=0.42,P1+P2+P3+P4+P5=0.62>0.61,则45+×5=49.75,所以估计网箱养殖方法的箱产量数据的第61百分位数为49.75. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 选题清单 11.(10分)近年来,“直播带货”受到越来越多人的喜爱,目前已经成为推动消费的一种流行营销形式,某直播平台有1 000个直播商家,对其进行调查统计,发现所售商品多为小吃、衣帽、生鲜、玩具、饰品类等,各类直播商家所占比例如图①所示,为了更好地服务买卖双方,该直播平台打算用分层随机抽样的方式抽取80个直播商家进行问询交流. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 选题清单 (1)应抽取小吃类商家多少家? 【解析】(1)根据分层随机抽样知:应抽取小吃类商家80×(1-30%-15%-10%-5%-5%)=28(家). (2)在了解直播商家的利润状况时,工作人员对抽取的80个商家的平均日利润进行了统计 (单位:元),所得频率分布直方图如图所示.估计该直播平台商家平均日利润的第75百分位数; 【解析】(2)根据题意可得(0.002×3+2a+0.006)×50=1,解得a=0.004, 设第75百分位数为x, 因为(0.002+0.004+0.006)×50=0.6<0.75,(0.002+0.004+0.006+0.004)×50=0.8>0.75, 所以(x-450)×0.004+0.6=0.75,解得x=487.5,所以该直播平台商家平均日利润的第75百分位 数为487.5. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 选题清单 (3)若将平均日利润超过480元的商家称为“优质商家”,估计该直播平台“优 质商家”的个数. 【解析】(3)(×0.004+0.002+0.002)×50×1 000=280, 所以估计该直播平台“优秀商家”的个数为280. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 选题清单 【创新拓展练】 12.(5分)某校为了宣传青少年身心健康的重要性,随机抽查了高一、高二、高三的100名同学进行了跑步测试,按照最终测试成绩的分数进行分组,得到如图所示的频率分布直方图,估计该100名同学测试得分的上四分位数为(　　) A.82.5 B.8 C.80 D.79.5 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 选题清单 【解析】选A.因为(0.01+0.025+0.035)×10=0.7<0.75, (0.01+0.025+0.035+0.02)×10=0.9>0.75, 所以上四分位数位于[80,90)内,且设其为x, 故(0.01+0.025+0.035)×10+0.02(x-80)=0.75,解得x=82.5. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 选题清单 $ 四十一　总体百分位数的估计 (时间:45分钟　分值:70分) 【基础全面练】 1.(5分)(2025·南阳高一检测)将10个数据按照从小到大的顺序排列如下:7,8,13,15,17,18,18,a,25,27,若该组数据的70%分位数是19,则a= (　　) A.20 B.21 C.23 D.24 【解析】选A.因为10×70%=7,所以该组数据的70%分位数是第7个数据和第8个数据的平均数,所以=19,解得a=20. 2.(5分)(2025·菏泽高一检测)某地铁1号线的开通运营极大地方便了市民的出行.某时刻从A站驶往B站的过程中,10个车站上车的人数统计如下:70,50,60,55,60,45,35,30,30,10.这组数据的90%分位数为 (　　) A.50 B.55 C.60 D.65 【解析】选D.数据从小到大排序为10,30,30,35,45,50,55,60,60,70, 而10×90%=9,故90%分位数为=65. 3.(5分)某市2025年深入实施创新驱动发展战略,新产业新产品增势良好.调研统计了8家企业,得到了他们的科技创新月平均新增收益如下:7.8,7.9,8.1,8.1,8.3,8.5,8.7,8.9(单位:百万元),则其第60百分位数是 (　　) A.8.1 B.8.2 C.8.3 D.8.4 【解析】选C.因为8×0.6=4.8, 所以7.8,7.9,8.1,8.1,8.3,8.5,8.7,8.9从小到大排列取第5个数为8.3. 4.(5分)(2025·杭州高一检测)据报道2024年,中国大陆居民的幸福感指数高达79%,持续领跑全球,幸福感指数常用区间[0,100]内的一个数来表示,数字越接近100表示满意度越高.现随机抽取10位学生,他们的幸福感指数为73,74,75,75,76,76,77,78,79,80.则这组数据的70%分位数是 (　　) A.77.5 B.77 C.78 D.76.5 【解析】选A.将这组数据从小到大进行排序,排序后依然为73,74,75,75,76,76,77,78,79,80.数据个数n=10,p%=70%,则n×p%=10×0.7=7. 因为n×p%=7是整数,所以70%分位数是第7个数和第8个数的平均数, 第7个数是77,第8个数是78,则70%分位数为==77.5. 5.(5分)某车间10名工人生产某产品的数量(单位:件)分别为32,35,38,39,40,42,44,44,45,x,若所给数据的第50百分位数与第25百分位数的差为2,且x∈N,则x=　40　.  【解析】已知数据有10个,所以第50百分位数为第5个和第6个数据的平均数,第25百分位数为第3个数据, 若x<35,则这组数据的第50百分位数与第25百分位数分别为=39.5和35, 则39.5-35=4.5,不符合题意; 若35≤x<38,则这组数据的第50百分位数与第25百分位数分别为=39.5和x, 则39.5-x=2,解得x=37.5,不符合题意; 若38≤x<39,则这组数据的第50百分位数与第25百分位数分别为=39.5和38, 则39.5-38=1.5,不符合题意; 若39≤x<40,则这组数据的第50百分位数与第25百分位数分别为和38, 则-38=2,解得x=40,不符合题意; 若40≤x<42,则这组数据的第50百分位数与第25百分位数分别为和38, 则-38=2,解得x=40,符合题意; 若x≥42,则这组数据的第50百分位数与第25百分位数分别为41和38,它们的差为3,不符合题意. 6.(5分)为科普航天知识,某校组织学生参与航天知识竞答活动,某班8位学生的成绩如下:7,6,8,9,8,7,10,m,若去掉m,该组数据的第25百分位数保持不变,则整数m(1≤m≤10)的值可以是　7(8,9,10均可,答案不唯一)　(写出一个满足条件的m值即可).  【解析】7位学生的成绩从小到大的顺序如下:6,7,7,8,8,9,10,其第25百分位数为第二个数据7, 要使第25百分位数保持不变,m不小于7就可以. 所以7,8,9,10均符合题意. 7.(5分)某校从高一年级中随机抽取部分学生,将他们的期末数学测试成绩分成6组:[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100],得到如图所示的频率分布直方图.据此统计,期末数学测试成绩不少于60%分位数的分数至少为　74　分.  【解析】因为(0.005+0.015+0.03)×10=0.5<0.6,0.5+0.025×10=0.75>0.6, 所以60%分位数应位于[70,80)内. 由70+10×=74,得期末数学测试成绩不少于60%分位数的分数至少为74分. 8.(10分)(2025·北京高一检测)某学校高一500名学生参加某次测评,根据男女学生人数比例,使用分层随机抽样的方法从中随机抽取了100名学生,记录他们的分数,将数据分成7组:[20,30),[30,40),…,[80,90],并整理得到频率分布直方图如图所示. (1)从总体的500名学生中随机抽取一人,估计其分数小于60的概率(写出计算过程); 【解析】(1)由题频率分布直方图可得分数不小于60的频率为(0.02+0.04+0.02)×10=0.8, 则分数小于60的频率为1-0.8=0.2,故从总体的500名学生中随机抽取一人,其分数小于60的概率估计为0.2. (2)已知样本中分数小于40的学生有5人,试估计总体中分数在区间[40,50)内的人数(写出计算过程); 【解析】(2)由题频率分布直方图可得分数不小于50的频率为(0.01+0.02+0.04+0.02)×10=0.9, 则分数在区间[40,50)内的人数为100-100×0.9-5=5. 则总体中分数在区间[40,50)内的人数为500×=25. (3)估计测评成绩的75%分位数(写出计算过程). 【解析】(3)由题频率分布直方图可得分数小于70的频率为0.4,分数小于80的频率为0.8,则测评成绩的75%分位数落在区间[70,80)上,则测评成绩的75%分位数为70+10×=78.75. 【综合应用练】 9.(5分)(多选)已知某省2025年各地市地区生产总值的占比如图所示,则根据图中关于该省2025年各地市地区生产总值占比的统计情况,下列结论正确的是 (　　) A.A市2025年地区生产总值比B市2025年地区生产总值多 B.图中11个地市2025年地区生产总值占比的40%分位数为5.92% C.图中11个地市2025年地区生产总值占比的70%分位数为4.58% D.若该省2026年各地市地区生产总值的增长率相等,则该省2026年各地市地区生产总值的占比不变 【解析】选ABD.由题图中统计数据,可得A市2025年地区生产总值比B市2025年地区生产总值多,故A正确;因为11×40%=4.4,所以题图中11个地市2025年地区生产总值占比的40%分位数为5.92%,故B正确;因为11×70%=7.7,所以题图中11个地市2025年地区生产总值占比的70%分位数为10.10%,故C错误;若该省2026年各地市地区生产总值的增长率相等,则该省2026年各地市地区生产总值的占比不变,D正确. 10.(5分)海水养殖场对某水产品的网箱养殖方法的产量进行调查,收获时随机抽取了100个网箱,测量各网箱水产品的产量(单位:kg)后制成频率分布直方图如图所示.估计网箱养殖方法的箱产量数据的第61百分位数为　49.75　.  【解析】由题可知,组距在[25,30)的频率为P1=0.06,在[30,35)的频率为P2=0.07,在[35,40)的频率为P3=0.12,在[40,45)的频率为P4=0.17,在[45,50)的频率为P5=0.2, 因为P1+P2+P3+P4=0.42,P1+P2+P3+P4+P5=0.62>0.61,则45+×5=49.75,所以估计网箱养殖方法的箱产量数据的第61百分位数为49.75. 11.(10分)近年来,“直播带货”受到越来越多人的喜爱,目前已经成为推动消费的一种流行营销形式,某直播平台有1 000个直播商家,对其进行调查统计,发现所售商品多为小吃、衣帽、生鲜、玩具、饰品类等,各类直播商家所占比例如图①所示,为了更好地服务买卖双方,该直播平台打算用分层随机抽样的方式抽取80个直播商家进行问询交流. (1)应抽取小吃类商家多少家? 【解析】(1)根据分层随机抽样知:应抽取小吃类商家80×(1-30%-15%-10%-5%-5%)=28(家). (2)在了解直播商家的利润状况时,工作人员对抽取的80个商家的平均日利润进行了统计(单位:元),所得频率分布直方图如图所示.估计该直播平台商家平均日利润的第75百分位数; 【解析】(2)根据题意可得(0.002×3+2a+0.006)×50=1,解得a=0.004, 设第75百分位数为x, 因为(0.002+0.004+0.006)×50=0.6<0.75,(0.002+0.004+0.006+0.004)×50=0.8>0.75,所以(x-450)×0.004+0.6=0.75,解得x=487.5,所以该直播平台商家平均日利润的第75百分位数为487.5. (3)若将平均日利润超过480元的商家称为“优质商家”,估计该直播平台“优质商家”的个数. 【解析】(3)(×0.004+0.002+0.002)×50×1 000=280, 所以估计该直播平台“优秀商家”的个数为280. 【创新拓展练】 12.(5分)某校为了宣传青少年身心健康的重要性,随机抽查了高一、高二、高三的100名同学进行了跑步测试,按照最终测试成绩的分数进行分组,得到如图所示的频率分布直方图,估计该100名同学测试得分的上四分位数为 (　　) A.82.5 B.8 C.80 D.79.5 【解析】选A.因为(0.01+0.025+0.035)×10=0.7<0.75, (0.01+0.025+0.035+0.02)×10=0.9>0.75, 所以上四分位数位于[80,90)内,且设其为x, 故(0.01+0.025+0.035)×10+0.02(x-80)=0.75,解得x=82.5. - 1 - 学科网（北京）股份有限公司 $