2.课时跟踪检测练 39 第9章 三十九 总体取值规律的估计(Word版+PPT版)-【满分思维】2025-2026学年高中数学必修第二册（人教A版）

三十九　总体取值规律的估计 (时间:45分钟　分值:65分) 【基础全面练】 1.(5分)在频率分布直方图中,小长方形的面积等于 (　　) A.组距 B.频率 C.组数 D.频数 【解析】选B.由频率分布直方图中小长方形的宽为组距,高为频率与组距的比值, 知小长方形的面积等于频率. 2.(5分)王老师对本班40名学生报名参与课外兴趣小组(每位学生限报一个项目)的情况进行了统计,列出如下的统计表,则本班报名参加科技小组的人数是 (　　) 组别 数学 小组 写作 小组 体育 小组 音乐 小组 科技 小组 频率 0.1 0.2 0.3 0.15 0.25 A.10 B.9 C.8 D.7 【解析】选A.参加科技小组的频率为0.25,则本班报名参加科技小组的人数是0.25×40=10. 3.(5分)乒乓球运动在中国有着很高的关注度,在某场比赛结束后,调查小组随机抽取了若干名球迷对乒乓球“喜爱度”进行调查评分,把喜爱程度较高的按年龄分成5组,其中第一组:[20,25),第二组:[25,30),第三组:[30,35),第四组:[35,40),第五组:[40,45],得到如图所示的频率分布直方图,已知第四组与第五组共有150人,第二组中女性球迷有75人,则第二组中男性球迷的人数为 (　　) A.140 B.120 C.100 D.80 【解析】选C.由题意结合频率分布直方图可得,第四组与第五组的频率之和为(0.04+0.02)×5=0.3,第二组的频率为0.07×5=0.35. 因为第四组与第五组共有150人,所以样本容量n==500, 所以第二组的人数为500×0.35=175,所以第二组中男性球迷的人数为175-75=100. 4.(5分)在抽查产品尺寸的过程中,将其尺寸分成若干组,[a,b)是其中的一组,该组的频率为m,在频率分布直方图中,该组的小长方形的高为h,则|a-b|等于 (　　) A.hm B. C. D.h+m 【解析】选B.=h,故|a-b|=组距==. 5.(5分)随机抽查了某校100名高三学生的视力情况,得到的频率分布直方图如图所示.由于不慎将部分数据丢失,但知道后5组的频数之和为64.设这100名学生中视力在4.6到4.8之间的学生人数为a,各组中频率最大的为0.34,则a的值为 (　　) A.64 B.54 C.48 D.27 【解析】选B.前两组的频数之和为100×0.1×(0.5+1.1)=16,第四组的频数为100×0.34=34. 又后五组的频数之和为64,所以前三组的频数之和为100-64=36,故第三组的频数为36-16=20,因此a=20+34=54. 6.(5分)(多选)(2025·武汉高一检测)供电部门对某社区100位居民6月份人均用电情况进行统计后,按人均用电量分为[0,10),[10,20),[20,30),[30,40),[40,50]五组,整理得到如图所示的频率分布直方图,则有关这100位居民,下列说法正确的是 (　　) A.6月份人均用电量最多的一组有40人 B.6月份人均用电量在[30,40)内的有30人 C.6月份人均用电量不低于20 kW·h的有50人 D.在这100位居民中用比例分配的分层随机抽样方法抽取10位居民协助收费,抽到的居民用电量在[20,30)一组的人数为3 【解析】选ACD.A:根据题频率分布直方图知,6月份人均用电量最多的一组是[10,20), 有100×0.04×10=40(人),故A正确; B:6月份人均用电量在[30,40)内的人数为100×0.01×10=10,故B错误; C:6月份人均用电量不低于20 kW·h的频率是(0.03+0.01+0.01)×10=0.5, 有100×0.5=50(人),故C正确; D:用电量在[20,30)内的有0.03×10×100=30(人),所以在这100位居民中用比例分配的分层随机抽样方法抽取10位居民协助收费, 抽到的居民用电量在[20,30)一组的人数为×10=3,故D正确. 7.(5分)为了了解某校学生的体重情况,采用随机抽样的方法调查.将样本体重数据整理后,得到的频率分布直方图如图所示.已知图中从左到右前三个矩形面积之比为1∶2∶3,第二小组频数为12,则全校共抽取人数为　48　.  【解析】由题图可知:第四、五小组的频率之和为(0.037 5+0.012 5)×5=0.25, 所以前三组的频率和为1-0.25=0.75, 故第二小组的频率为0.75×=0.25, 故总人数为=48. 8.(10分)为了了解高一年级学生的体能情况,某校抽取部分学生进行一分钟跳绳次数测试,将所得数据整理后,画出频率分布直方图如图所示,图中从左到右各小矩形的面积之比为2∶4∶17∶15∶9∶3,第二小组的频数为12. (1)第二小组的频率是多少?样本容量是多少? 【解析】(1)由题意可知:第二小组的频率为=0.08; 所以样本容量为=150. (2)若次数在110以上(含110次)为达标,则该校全体高一年级学生的达标率是多少? 【解析】(2)由题频率分布直方图可估计该校高一年级学生的达标率为×100%=88%. (3)试求样本中不达标的学生人数; 【解析】(3)由(1)(2)知达标率为88%,样本容量为150,则不达标率为1-88%=12%, 所以样本中不达标的学生人数为150×12%=18. (4)试求样本中次数在130以上(含130次)的学生人数. 【解析】(4)次数在130以上(含130次)的学生人数为×150=36. 【综合应用练】 9.(5分)某样本的频率分布直方图如图,从样本中随机抽取一个数据,若该数据落在[5,10),[10,15),[15,20),[20,25]内的频率之比为7∶10∶8∶5,则b= (　　) A. B. C. D. 【解析】选D.根据数据落在[5,10),[10,15),[15,20),[20,25]内的频率之比为7∶10∶8∶5, 可设这四个小组的频率分别为7x,10x,8x,5x,且频率之和为1,即7x+10x+8x+5x=1, 解得x=,则5b=×10,解得b=. 10.(10分)某市政府为了了解全市居民生活用水量分布情况,通过抽样,获得100户居民月均用水量(单位:m3),将数据按照[0,4),[4,8),…,[32,36]分成9组,制成如图所示的频率分布直方图.为了鼓励居民节约用水,该市政府在本市实行居民生活用水“阶梯水价”:第一阶梯为每户每月用水量不超过20 m3的部分按3元/m3收费,第二阶梯为超过20 m3但不超过28 m3的部分按5元/m3收费,第三阶梯为超过28 m3的部分按8元/ m3收费. (1)求频率分布直方图中a的值; 【解析】(1)由题频率分布直方图可知, (0.010+0.020+a+0.050+0.065+a+0.015+0.010+0.005)×4=1,解得a=0.037 5. (2)已知该市有20万户居民,估计全市居民中月均用水费用不超过60元的用户数; 【解析】(2)当居民用水量为20 m3时,收费为60元, 所以用水费用不超过60元,则用水量小于等于20 m3. 由题频率分布直方图可知,用水量小于等于20 m3的频率为(0.010+0.020+0.037 5+0.050+0.065)×4=0.73,20×0.73=14.6(万户), 所以全市居民中月均用水费用不超过60元的用户数为14.6万户. (3)该市政府希望使至少有95%的用户每月用水量不超过第二阶梯收费标准,请根据样本数据判断,现行收费标准是否符合要求?若不符合,则应该将第二阶梯用水量的上限至少上调到多少? 【解析】(3)抽取的100户居民月均用水量不超过28 m3的频率为(0.010+0.020+0.037 5+0.050+0.065+0.037 5+0.015)×4=0.94, 0.94<0.95,所以现行收费标准不符合要求, 抽取的100户居民月均用水量不超过32 m3的频率为(0.010+0.020+0.037 5+0.050+0.065+0.037 5+0.015+0.010)×4=0.98, ×(32-28)=1, 现行收费标准不符合要求,需将第二阶段用水量的上限至少上调到29 m3. 【创新拓展练】 11.(5分)已知样本容量为200,在样本的频率分布直方图中,共有n个小长方形,若中间一个小长方形的面积等于其余(n-1)个小长方形面积和的,则该组的频数为　50　.  【解析】设除中间一个小长方形外的(n-1)个小长方形面积的和为p,则中间一个小长方形面积为p,p+p=1,p=,则中间一个小长方形的面积等于p=,200×=50,即该组的频数为50. - 1 - 学科网（北京）股份有限公司 $三十九　总体取值规律的估计 (时间:45分钟　分值:65分) 【基础全面练】 1.(5分)在频率分布直方图中,小长方形的面积等于(　　) A.组距 B.频率 C.组数 D.频数 【解析】选B.由频率分布直方图中小长方形的宽为组距,高为频率与组距 的比值,知小长方形的面积等于频率. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 选题清单 2.(5分)王老师对本班40名学生报名参与课外兴趣小组(每位学生限报一个项目) 的情况进行了统计,列出如下的统计表,则本班报名参加科技小组的人数是 (　　) A.10 B.9 C.8 D.7 【解析】选A.参加科技小组的频率为0.25,则本班报名参加科技小组的人数是 0.25×40=10. 组别 数学 小组 写作 小组 体育 小组 音乐 小组 科技 小组 频率 0.1 0.2 0.3 0.15 0.25 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 选题清单 3.(5分)乒乓球运动在中国有着很高的关注度,在某场比赛结束后,调查小组 随机抽取了若干名球迷对乒乓球“喜爱度”进行调查评分,把喜爱程度较高 的按年龄分成5组,其中第一组:[20,25),第二组:[25,30),第三组:[30,35),第四 组:[35,40),第五组:[40,45],得到如图所示的频率分布直方图,已知第四组与 第五组共有150人,第二组中女性球迷有75人,则第二组中男性球迷的人数 为 (　　) A.140 B.120 C.100 D.80 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 选题清单 【解析】选C.由题意结合频率分布直方图可得,第四组与第五组的频率之 和为(0.04+0.02)×5=0.3,第二组的频率为0.07×5=0.35. 因为第四组与第五组共有150人,所以样本容量n==500, 所以第二组的人数为500×0.35=175,所以第二组中男性球迷的人数为 175-75=100. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 选题清单 4.(5分)在抽查产品尺寸的过程中,将其尺寸分成若干组,[a,b)是其中的一组,该组的频率为m,在频率分布直方图中,该组的小长方形的高为h,则|a-b|等于 (　　) A.hm B. C. D.h+m 【解析】选B.=h,故|a-b|=组距==. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 选题清单 5.(5分)随机抽查了某校100名高三学生的视力情况,得到的频率分布直方图 如图所示.由于不慎将部分数据丢失,但知道后5组的频数之和为64.设这 100名学生中视力在4.6到4.8之间的学生人数为a,各组中频率最大的为0.34, 则a的值为 (　　) A.64 B.54 C.48 D.27 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 选题清单 【解析】选B.前两组的频数之和为100×0.1×(0.5+1.1)=16,第四组的频数 为100×0.34=34. 又后五组的频数之和为64,所以前三组的频数之和为100-64=36,故第三组 的频数为36-16=20,因此a=20+34=54. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 选题清单 6.(5分)(多选)(2025·武汉高一检测)供电部门对某社区100位居民6月份人均用电 情况进行统计后,按人均用电量分为[0,10),[10,20),[20,30),[30,40),[40,50]五组,整 理得到如图所示的频率分布直方图,则有关这100位居民,下列说法正确的是 (　　) A.6月份人均用电量最多的一组有40人 B.6月份人均用电量在[30,40)内的有30人 C.6月份人均用电量不低于20 kW·h的有50人 D.在这100位居民中用比例分配的分层随机抽样方法抽取10位居民协助收费,抽 到的居民用电量在[20,30)一组的人数为3 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 选题清单 【解析】选ACD.A:根据题频率分布直方图知,6月份人均用电量最多的一组是[10,20), 有100×0.04×10=40(人),故A正确; B:6月份人均用电量在[30,40)内的人数为100×0.01×10=10,故B错误; C:6月份人均用电量不低于20 kW·h的频率是(0.03+0.01+0.01)×10=0.5, 有100×0.5=50(人),故C正确; D:用电量在[20,30)内的有0.03×10×100=30(人),所以在这100位居民中用比例分配的分层随机抽样方法抽取10位居民协助收费, 抽到的居民用电量在[20,30)一组的人数为×10=3,故D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 选题清单 7.(5分)为了了解某校学生的体重情况,采用随机抽样的方法调查.将样本体 重数据整理后,得到的频率分布直方图如图所示.已知图中从左到右前三个 矩形面积之比为1∶2∶3,第二小组频数为12,则全校共抽取人数为_______. 【解析】由题图可知:第四、五小组的 频率之和为(0.037 5+0.012 5)×5=0.25, 所以前三组的频率和为1-0.25=0.75, 故第二小组的频率为0.75×=0.25, 故总人数为=48. 　48　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 选题清单 8.(10分)为了了解高一年级学生的体能情况,某校抽取部分学生进行一分钟 跳绳次数测试,将所得数据整理后,画出频率分布直方图如图所示,图中从 左到右各小矩形的面积之比为2∶4∶17∶15∶9∶3,第二小组的频数为12. (1)第二小组的频率是多少?样本容量是多少? 【解析】(1)由题意可知:第二小组的频率为 =0.08; 所以样本容量为=150. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 选题清单 (2)若次数在110以上(含110次)为达标,则该校全体高一年级学生的达标率 是多少? 【解析】(2)由题频率分布直方图可估计该校高一年级学生的达标率为 ×100%=88%. (3)试求样本中不达标的学生人数; 【解析】(3)由(1)(2)知达标率为88%,样本容量为150,则不达标率为 1-88%=12%, 所以样本中不达标的学生人数为150×12%=18. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 选题清单 (4)试求样本中次数在130以上(含130次)的学生人数. 【解析】(4)次数在130以上(含130次)的学生人数为 ×150=36. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 选题清单 【综合应用练】 9.(5分)某样本的频率分布直方图如图,从样本中随机抽取一个数据,若该数 据落在[5,10),[10,15),[15,20),[20,25]内的频率之比为7∶10∶8∶5,则 b=(　　) A. B. C. D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 选题清单 【解析】选D.根据数据落在[5,10),[10,15),[15,20),[20,25]内的频率之比为 7∶10∶8∶5, 可设这四个小组的频率分别为7x,10x,8x,5x,且频率之和为1, 即7x+10x+8x+5x=1, 解得x=,则5b=×10,解得b=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 选题清单 10.(10分)某市政府为了了解全市居民生活用水量分布情况,通过抽样,获得100户居民月均用水量(单位:m3),将数据按照[0,4),[4,8),…,[32,36]分成9组,制成如图所示的频率分布直方图.为了鼓励居民节约用水,该市政府在本市实行居民生活用水“阶梯水价”:第一阶梯为每户每月用水量不超过20 m3的部分按3元/m3收费,第二阶梯为超过20 m3但不超过28 m3的部分按5元/m3收费,第三阶梯为超过28 m3的部分按8元/ m3收费. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 选题清单 (1)求频率分布直方图中a的值; 【解析】(1)由题频率分布直方图可知, (0.010+0.020+a+0.050+0.065+a+0.015+0.010+0.005)×4=1,解得a=0.037 5. (2)已知该市有20万户居民,估计全市居民中月均用水费用不超过60元的用户数; 【解析】(2)当居民用水量为20 m3时,收费为60元, 所以用水费用不超过60元,则用水量小于等于20 m3. 由题频率分布直方图可知,用水量小于等于20 m3的频率为 (0.010+0.020+0.037 5+0.050+0.065)×4=0.73,20×0.73=14.6(万户), 所以全市居民中月均用水费用不超过60元的用户数为14.6万户. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 选题清单 (3)该市政府希望使至少有95%的用户每月用水量不超过第二阶梯收费标准,请根 据样本数据判断,现行收费标准是否符合要求?若不符合,则应该将第二阶梯用水量 的上限至少上调到多少? 【解析】(3)抽取的100户居民月均用水量不超过28 m3的频率为(0.010+0.020+0.037 5 +0.050+0.065+0.037 5+0.015)×4=0.94, 0.94<0.95,所以现行收费标准不符合要求, 抽取的100户居民月均用水量不超过32 m3的频率为(0.010+0.020+0.037 5 +0.050+0.065+0.037 5+0.015+0.010)×4=0.98,×(32-28)=1, 现行收费标准不符合要求,需将第二阶段用水量的上限至少上调到29 m3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 选题清单 【创新拓展练】 11.(5分)已知样本容量为200,在样本的频率分布直方图中,共有n个小长方 形,若中间一个小长方形的面积等于其余(n-1)个小长方形面积和的,则该 组的频数为_______.  【解析】设除中间一个小长方形外的(n-1)个小长方形面积的和为p,则中 间一个小长方形面积为p,p+p=1,p=,则中间一个小长方形的面积等于 p=,200×=50,即该组的频数为50. 　50　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 选题清单 $