第九章 9.1.2 分层随机抽样 9.1.3 获取数据的途径-（课件PPT+Word教案）【步步高】2024-2025学年高一数学必修第二册教师用书（人教A版2019）

9.1.2　分层随机抽样 9.1.3　获取数据的途径 ［学习目标］　1.理解分层随机抽样的概念.2.掌握用分层随机抽样的方法从总体中抽取样本.(重点)3.掌握简单随机抽样与分层随机抽样的区别与联系，并会选择适当方法进行抽样.(难点)4.知道并能设计获取数据的基本途径. 导语 上节课，我们学习了简单随机抽样.知道样本的代表性越好，对于总体情况的反映就越好，所以抽样调查最核心的问题是样本的代表性.简单随机抽样是使总体中每一个个体都有相等的机会被抽中，但因为抽样的随机性，有可能会出现比较“极端”的样本.例如，在对树人中学高一年级学生身高的调查中，可能出现样本中50个个体大部分来自高个子或矮个子的情形.这种“极端”样本的平均数会大幅度地偏离总体平均数，从而使得估计出现较大的误差.能否利用总体中的一些额外信息对抽样方法进行改进呢？ 统计学是通过收集数据和分析数据来认识未知现象的，因此，如何收集数据是统计学研究的重要内容.在实践中，获取数据的途径多种多样，常见的有统计报表和年鉴、社会调查、普查和抽样、互联网、试验设计等. 一、分层随机抽样的定义 问题1　在树人中学高一年级的712名学生中，男生有326名，女生有386名，若要抽取50名学生的身高作为样本，能否利用这个辅助信息改进简单随机抽样方法，减少“极端”样本的出现，从而提高对整个年级平均身高的估计效果呢？ 提示　能.可以将男生和女生看作两个群体，分别进行简单随机抽样，然后汇总作为总体的一个样本，即采用分层随机抽样的方法. n男=×50≈23，n女=×50≈27. 知识梳理 1.分层随机抽样：一般地，按一个或多个变量把总体划分成若干个子总体，每个个体属于且仅属于一个子总体，在每个子总体中独立地进行简单随机抽样，再把所有子总体中抽取的样本合在一起作为总样本，这样的抽样方法称为分层随机抽样，每一个子总体称为层. 2.比例分配：在分层随机抽样中，如果每层样本量都与层的大小成比例，那么称这种样本量的分配方式为比例分配. 3.分层随机抽样的特点： (1)从分层随机抽样的定义可看出，分层随机抽样适用于总体由差异明显的几个部分组成的情况. (2)分层随机抽样是等可能抽样.用分层随机抽样从个体数为N的总体中抽取一个容量为n的样本时，在整个抽样过程中，每个个体被抽到的可能性相等，都等于. (3)分层随机抽样是建立在简单随机抽样的基础之上的，由于它充分利用了已知信息，因此利用它获取的样本更具有代表性，更能充分反映总体的情况，在实践中的应用也更广泛. 例1　某中学有老年教师20人，中年教师65人，青年教师95人，为了调查他们的健康状况，需从他们中抽取一个容量为36的样本，则合适的抽样方法是(　　) A.抽签法 B.随机数法 C.分层随机抽样 D.其他抽样方法 答案　C 解析　由于老年教师、中年教师和青年教师的身体情况会有明显的差异，所以要用分层随机抽样. 反思感悟　使用分层随机抽样的前提条件是总体可以分层、层与层之间有明显区别，而层内个体间差异较小. 跟踪训练1　某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物有所增加，为调查该地区某种野生动物的数量，将其分成面积相近的200个地块，计划从这些地块中抽取20个作为样本，根据现有的统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大，为了让样本具有代表性，以获得该地区这种野生动物数量准确的估计，在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是(　　) A.普查 B.分层随机抽样 C.简单随机抽样 D.非以上三种抽样方法 答案　B 解析　因为所研究的总体中差异很大，为了让样本具有代表性，最合理的抽样方法是分层随机抽样. 二、分层随机抽样的应用 知识梳理 比例分配的分层随机抽样的实施步骤： 第一步，按某种特征将总体分成若干部分(层)； 第二步，计算各层所占比例.所占比例=； 第三步，计算各层抽取的个体数，各层抽取的个体数=总样本量×各层所占比例； 第四步，按简单随机抽样从各层抽取样本； 第五步，综合每层抽样，组成样本. 注意点： 在分层随机抽样中，各层分别抽取样本时仍需采用简单随机抽样的方法进行. 例2　一个单位有职工500人，其中不到35岁的有125人，35岁至49岁的有280人，50岁及50岁以上的有95人.为了了解这个单位职工与身体状态有关的某项指标，要从中抽取100名职工作为样本，职工年龄与这项指标有关，用比例分配的分层随机抽样应该怎样抽取？ 解　用比例分配的分层随机抽样法来抽取样本，步骤如下： (1)分层.按年龄将500名职工分成三层：不到35岁的职工；35岁至49岁的职工；50岁及50岁以上的职工. (2)确定每层抽取个体的个数. 抽样比为=，则在不到35岁的职工中抽取125×=25(人)； 在35岁至49岁的职工中抽取280×=56(人)； 在50岁及50岁以上的职工中抽取95×=19(人). (3)在各层中分别按简单随机抽样的方法抽取样本. (4)汇总每层抽取的样本，组成总体的样本. 反思感悟　在比例分配的分层随机抽样的过程中，为了保证每个个体被抽到的可能性是相同的，这就要求各层所抽取的个体数与该层所包含的个体数之比等于样本量与总体容量之比. 跟踪训练2　交通管理部门为了解机动车驾驶员(简称驾驶员)对某新法规的知晓情况，对甲、乙、丙、丁四个社区做比例分配的分层随机抽样调查，假设四个社区驾驶员的总人数为N，其中甲社区有驾驶员96人.若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为12，21，25，43，则这四个社区驾驶员的总人数N为(　　) A.101 B.808 C.1 212 D.2 012 答案　B 解析　因为甲社区有驾驶员96人，并且在甲社区抽取的驾驶员的人数为12， 所以抽取驾驶员的抽样比为=， 所以这四个社区驾驶员的总人数N=(12+21+25+43)÷=808. 三、用分层随机抽样的样本平均数估计总体平均数 问题2　在分层随机抽样中，如果层数分为2层，第1层和第2层包含的个体数分别为M和N，抽取的样本量分别为m和n，我们用X1，X2，…，XM表示第1层各个个体的变量值，用x1，x2，…，xm表示第1层样本的各个个体的变量值；用Y1，Y2，…，YN表示第2层各个个体的变量值，用y1，y2，…，yn表示第2层样本的各个个体的变量值，则第1层的总体平均数和样本平均数与第2层的总体平均数和样本平均数，该如何计算？ 提示　==Xi， ==xi， ==Yi， ==yi. 知识梳理 如果总体分为2层，两层包含的个体数分别为M，N，两层抽取的样本量分别为m，n，两层的样本平均数分别为，，两层的总体平均数分别为，，总体平均数为，样本平均数为，则=+，=+.因此，在比例分配的分层随机抽样中，我们可以直接用样本平均数估计总体平均数. 例3　高二年级有男生490人，女生510人，张华按男生、女生进行分层，通过分层随机抽样的方法，得到男生、女生的平均身高分别为170.2 cm和160.8 cm. (1)如果张华按比例分配的分层随机抽样的方法抽取样本，总样本量为100，那么在男生、女生中分别抽取了多少名？在这种情况下，请估计高二年级全体学生的平均身高； (2)如果张华从男生、女生中抽取的样本量分别为30和70，那么在这种情况下，如何估计高二年级全体学生的平均身高更合理？ 解　(1)抽取男生人数为×100=49，抽取女生人数为×100=51. 高二年级全体学生的平均身高估计为×170.2+×160.8=165.406≈165.4(cm). (2)仍按(1)方式进行估计，即×170.2+×160.8≈165.4(cm). 反思感悟　进行比例分配的分层随机抽样的相关计算时，常用到的3个关系如下： (1)=； (2)总体中某两层的个体数之比等于样本中这两层抽取的个体数之比； (3)样本的平均数和各层的样本平均数的关系为=+=+. 跟踪训练3　某校高二有重点班学生400人，普通班学生800人，为调查总体学生数学成绩的平均数，用比例分配的分层随机抽样方法，从重点班抽出20人，从普通班抽出40人，通过计算重点班平均成绩为125分，普通班平均成绩为95分，则高二总体学生数学成绩的平均分为(　　) A.110分 B.125分 C.95分 D.105分 答案　D 解析　高二总体学生数学成绩的平均分为=105(分). 四、获取数据的基本途径 问题3　我们日常中有哪些获取数据的方法和途径呢？ 提示　通过调查获取数据，通过试验获取数据，通过观察获取数据，通过查询获得数据等. 知识梳理 获取数据的基本途径 获取数据的基本途径　 适用类型 注意问题 通过调查获取数据 对于有限总体问题，一般通过抽样调查或普查的方法获取数据 要充分有效地利用背景信息选择或创建更好的抽样方法，并有效避免抽样过程中的人为错误 通过试验获取数据 没有现存的数据可以查询 严格控制试验环境，通过精心的设计安排试验，以提高数据质量 通过观察获取数据 自然现象 借助专业测量设备通过长久的持续观察获取数据 通过查询获得数据 众多专家研究过，其收集的数据有所存储 必须根据问题背景知识“清洗”数据，去伪存真 例4　(1)粮食安全是每一个国家必须高度关注的问题，在现有条件下，降雨量对粮食生产的影响是非常巨大的.某次降雨之后该地气象台播报说本次降雨量是该地有气象记录以来最大的一次，气象台获取这些数据的途径是(　　) A.通过调查获取数据 B.通过试验获取数据 C.通过观察获取数据 D.通过查询获得数据 答案　C 解析　该地的气象记录和本次的降雨量数据都是通过观察获取的. (2)为了研究近年来我国高等教育发展的状况，小明需要获取近年来我国大学生入学人数的相关数据，他获取这些数据的途径最好是(　　) A.通过调查获取数据 B.通过试验获取数据 C.通过观察获取数据 D.通过查询获得数据 答案　D 解析　因为近年来我国大学生入学人数的相关数据有所存储，所以小明获取这些数据的途径最好是通过查询获得数据. 反思感悟　选择获取数据的途径的依据 选择获取数据的途径主要是根据所要研究问题的类型，以及获取数据的难易程度.有的数据可以有多种获取途径，有的数据只能通过一种途径获取，选择合适的方法和途径能够更好地提高数据的可靠性. 跟踪训练4　(1)“中国天眼”为500米口径球面射电望远镜(Five⁃hundred⁃meter Aperture Spherical radio Telescope，简称“FAST”)，是具有我国自主知识产权、世界最大单口径、最灵敏的射电望远镜.建造“中国天眼”的目的是(　　) A.通过调查获取数据 B.通过试验获取数据 C.通过观察获取数据 D.通过查询获得数据 答案　C 解析　“中国天眼”主要是通过观察获取数据. (2)要得到某乡镇的贫困人口数据，应采取的方法是(　　) A.通过调查获取数据 B.通过试验获取数据 C.通过观察获取数据 D.通过查询获得数据 答案　A 解析　某乡镇的贫困人口数据属于有限总体问题，所以可以通过调查获取数据. 五、获取数据途径的方法的设计 例5　为了缓解城市的交通拥堵情况，某市准备出台限制私家车出行的政策，为此要进行民意调查.某个调查小组调查了一些拥有私家车的市民，你认为这样的调查结果能很好地反映该市市民的意愿吗？说明理由. 解　不能.理由如下： 调查时，如果只对拥有私家车的市民进行调查，结果一定是片面的，不能代表所有市民的意愿.因此，在调查时，要对生活在该城市的所有市民进行随机地抽样调查，不要只关注到拥有私家车的市民. 反思感悟　在统计活动中，尤其是大型的统计活动，为避免一些外界因素的干扰，通常需要确定调查的对象、调查的方法与策略，需要精心设计前期的准备工作和收集数据的方法，然后对数据进行分析，得出统计推断. 跟踪训练5　某公司想调查一下本公司员工对某项规章制度的意见，由于本公司车间工人工作任务繁重，负责该项事务的公司办公室人员向本公司的50名中层及以上领导干部派发了问卷，统计后便得到了调查意见，公司办公室人员获得数据的途径是什么？你认为该调查结果具有代表性吗？为什么？ 解　通过调查获取数据，该调查结果不具有代表性，因为只对中层及以上领导干部调查，结果一定是片面的. 1.知识清单： (1)分层随机抽样的定义. (2)分层随机抽样的应用. (3)用分层随机抽样的样本平均数估计总体平均数. (4)获取数据的基本途径. (5)获取数据途径的方法的设计. 2.方法归纳：(1)数据分析法. (2)获取数据有四种基本途径：①调查；②试验；③观察；④查询. 3.常见误区：(1)在分层随机抽样中，要想每个个体被抽到的可能性相等，需进行比例分配. (2)对获取数据的背景缺乏了解，采用不合适的方法获取数据. 1.影响获取数据可靠程度的因素不包括(　　) A.获取数据方法的设计 B.所用专业测量设备的精度 C.调查人员的认真程度 D.数据的大小 答案　D 解析　数据的大小不影响获取数据的可靠程度. 2.某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为120件，80件，60件.为了解它们的产品质量是否存在显著差异，用比例分配的分层随机抽样方法抽取了一个容量为n的样本进行调查，其中从丙车间的产品中抽取了3件，则n等于(　　) A.9 B.10 C.12 D.13 答案　D 解析　∵=，∴n=13. 3.(多选)某中学高一年级有20个班，每班50人；高二年级有30个班，每班45人，甲就读高一，乙就读高二.学校计划从这两个年级中共抽取235人进行视力调查，下列说法中正确的有(　　) A.应该采用分层随机抽样 B.若用比例分配的分层随机抽样，则高一、高二年级应分别抽取100人和135人 C.乙被抽到的可能性比甲大 D.该问题中的总体是高一、高二年级的全体学生的视力 答案　ABD 解析　由于各年级的年龄段不一样，因此应采用分层随机抽样，A正确；由于比例为=，因此若用比例分配的分层随机抽样，则应从高一年级1 000人中抽取100人，高二年级1 350人中抽取135人，B正确；甲、乙被抽到的可能性都是，C不正确；显然D正确. 4.某校高二年级化生史组合只有2个班，且每班50人，在一次数学测试中，从两个班各抽取了20名学生的数学成绩进行分析，统计得在该次测试中，两班中各抽取的20名学生的平均成绩分别为110分和106分，则该组合学生的平均成绩约为　　　　分.  答案　108 解析　样本中40名学生的平均分为×110+×106=108(分)，所以该组合学生的平均成绩约为108分. 　　　　 课时对点练　［分值：100分］ 　　　　　　　　　　　　　　　　 单选题每小题5分，共30分；多选题每小题6分，共24分 1.下列数据一般需要通过试验获取的是(　　) A.某最新研制的子弹的射程 B.某学校的男女生比例 C.某品牌手机的市场占有率 D.期中考试的班级数学成绩 答案　A 解析　选项A，某最新研制的子弹的射程没有现存数据可以查询，因而需要通过试验获取；选项B，某学校的男女生比例可以通过查询获取，不需要通过试验获取；选项C，某品牌手机的市场占有率可以通过调查获取，不需要通过试验获取；选项D，期中考试的班级数学成绩可以通过查询获取，不需要通过试验获取. 2.某公司在职员工有1 200人，其中销售人员有400人，研发人员有600人，现采用比例分配的分层随机抽样的方法抽取120人进行调研，则被抽到的研发人员人数比销售人员人数多(　　) A.20 B.30 C.40 D.50 答案　A 解析　由题意可得被抽到的研发人员有600×=60(人)， 销售人员有400×=40(人)， 则被抽到的研发人员人数比销售人员人数多60-40=20. 3.某校有老师200人，男学生1 200人，女学生1 000人，现用比例分配的分层随机抽样的方法从所有师生中抽取一个容量为n的样本.已知从女生中抽取80人，则n等于(　　) A.80 B.100 C.192 D.200 答案　C 解析　因为80∶1 000=8∶100，所以n∶(200+1 200+1 000)=8∶100，所以n=192. 4.共享单车为人们提供了一种新的出行方式，有关部门对使用共享单车人群的年龄分布进行了统计，得到的数据如表所示： 年龄 12~20岁 20~30岁 30~40岁 40岁及以上 比例 14% 45.5% 34.5% 6% 为调查共享单车使用满意率情况，现采用比例分配的分层随机抽样的方法从中抽取容量为200的样本进行调查，那么应抽取20~30岁的人数为(　　) A.12 B.28 C.69 D.91 答案　D 解析　由比例分配的分层随机抽样的定义得应抽取20~30岁的人数为200×45.5%=91. 5.(多选)下列问题中，适合用分层随机抽样抽取样本的是(　　) A.从10名同学中抽取3人参加座谈会 B.某社区有500户家庭，其中高收入的家庭125户，中等收入的家庭280户，低收入的家庭95户，为了了解生活购买力的某项指标，要从中抽取一个样本容量为100的样本 C.某学校有男、女学生各500名，为了解学生的身高情况从全体学生中抽取100名学生进行调查 D.青岛啤酒厂质检员从生产流水线上抽取样本检查产品质量 答案　BC 解析　A中总体所含个体无差异且个数较少，适合用简单随机抽样；D中总体所含个体无差异，不适合用分层随机抽样；BC中总体所含个体差异明显，并且知道每一类个体在总体中所占的百分比，适合用分层随机抽样. 6.(多选)某运动队由足球运动员12人，篮球运动员18人，乒乓球运动员6人组成(每人只参加一项)，现从这些运动员中抽取一个容量为n的样本，若采用比例分配的分层随机抽样的方法，且不用删除个体，则样本量n的取值不可能是(　　) A.24 B.20 C.6 D.5 答案　BD 解析　由题意得12∶18∶6=2∶3∶1，则n要为6的倍数，故B，D不满足要求. 7.(5分)某集团有老年职工270人，中年职工540人，青年职工810人.为了更好地调查他们的健康情况，需从所有职工中抽取一个容量为36的样本，应采用的抽样方法是　　　　.(用“简单随机抽样”或“分层随机抽样”填空)  答案　分层随机抽样 解析　由于所有职工由三类不同年龄段的人群构成，所以存在着较为明显的差异，故选择分层随机抽样. 8.(5分)《九章算术》第三章“衰分”中有如下问题：“今有甲持钱五百六十，乙持钱三百五十，丙持钱一百八十，凡三人俱出关，关税百钱，欲以钱数多少衰出之，问各几何？”其意为：“今有甲带了560钱，乙带了350钱，丙带了180钱，三人一起出关，共需要交关税100钱，依照钱的多少按比例出钱”，则丙应出 　　　　钱.(结果保留整数)  答案　17 解析　依照钱的多少按比例出钱，则丙应出×100≈17(钱). 9.(10分)某高级中学共有学生3 000名，各年级男、女生的人数如表： 高一年级 高二年级 高三年级 女生 487 x y 男生 513 560 z 已知高二年级女生比高一年级女生多53人. (1)问高二年级有多少名女生？(3分) (2)现对各年级用比例分配的分层随机抽样的方法从全校抽取300名学生，问应从高三年级抽取多少名学生？(7分) 解　(1)由x-487=53得x=540，所以高二年级有540名女生. (2)高三年级人数为y+z=3 000-(487+513+540+560)=900，所以×300=90，故应从高三年级抽取90名学生. 10.(10分)某学校有在职人员160人，其中行政人员有16人，教师有112人，后勤人员有32人.教育部门为了了解在职人员对学校机构改革的意见，要从中抽取一个容量为20的样本，请利用比例分配的分层随机抽样的方法抽取，写出抽样过程. 解　抽样过程如下： 第一步，确定抽样比，样本容量与总体容量的比为=. 第二步，确定分别从三类人员中抽取的人数，从行政人员中抽取16×=2(人)；从教师中抽取112×=14(人)；从后勤人员中抽取32×=4(人). 第三步，采用简单随机抽样的方法，抽取行政人员2人，教师14人，后勤人员4人. 第四步，把抽取的个体组合在一起构成所需样本. 11.某学校高一、高二、高三学生分别有1 200名、1 000名、800名，现在让学生对餐厅服务进行评价，高一、高二、高三年级的好评率分别为75%，80%，85%，那么学生对餐厅的好评率约是(　　) A.78% B.79% C.80% D.81% 答案　B 解析　由分层随机抽样的平均数可知，学生对餐厅的好评率约为75%×+80%×+85%×≈79%. 12.(多选)某高校大一新生中，来自东部地区的学生有2 400人、中部地区的学生有1 600人、西部地区的学生有1 000人.从中选取100人作样本调研饮食习惯，为保证调研结果相对准确，下列判断正确的有(　　) A.用比例分配的分层随机抽样的方法分别抽取东部地区学生48人、中部地区学生32人、西部地区学生20人 B.用比例分配的分层随机抽样的方法从新生中抽取100人最适合 C.若用比例分配的分层随机抽样的方法抽取，西部地区学生小刘被抽中的可能性为 D.若用比例分配的分层随机抽样的方法抽取，中部地区学生小张被抽中的可能性为 答案　ABC 解析　由题设可得用比例分配的分层随机抽样的方法抽取，东部地区、中部地区、西部地区的学生的抽样比为12∶8∶5，故抽取100人时东部地区、中部地区、西部地区的学生分别为100×=48(人)，100×=32(人)，100×=20(人)，故A正确； 总体容量较大，且各部分差异明显，用比例分配的分层随机抽样的方法从新生中抽取100人最适合，故B正确； 由比例分配的分层随机抽样的性质可得无论哪一个地区的学生，被抽取到的概率均为=，故C正确，D错误. 13.(多选)珠江源位于云南东部曲靖市以北47公里处，整个景区由马雄山珠江源、花山湖和城区部分景点组成，总面积为50平方公里.珠江源风景区是森林公园、省级风景名胜区、国际水利风景名胜区.景区森林茂密，溪流淙淙，有“一水滴三江，一脉隔双盘”的奇异景观.其美景吸引着大批的游客前往参观，某旅行社分年龄段统计了前往珠江源的老、中、青年旅客的人数比为5∶2∶3，现使用比例分配的分层随机抽样的方法从这些旅客中随机抽取n名，若青年旅客抽到90人，则下列说法正确的是(　　) A.被抽到的老年旅客和中年旅客人数之和超过200 B.n=300 C.中年旅客抽到40人 D.老年旅客抽到150人 答案　ABD 解析　由题意从这些旅客中随机抽取n名，青年旅客抽到90人，则×n=90，所以n=300，故B正确；则中年旅客抽到×300=60(人)，故C错误；老年旅客抽到×300=150(人)，故D正确；被抽到的老年旅客和中年旅客人数之和为150+60=210，超过200，故A正确. 14.(5分)某房地产公司为了解小区业主对户型结构——平层与复式结构的满意度，采取比例分配的分层随机抽样的方式对某小区的业主进行问卷调查.20位已购买平层户型的业主满意度平均分为8，30位已购买复式户型的业主满意度平均分为9，用样本平均数估计该小区业主对户型结构满意度的平均分为　　　　.  答案　8.6 解析　估计小区业主对户型结构满意度的平均分为×8+×9=8.6. 15.在传染病学中，通常把从致病刺激物侵入机体或者对机体发生作用起，到机体出现反应或开始呈现相应的症状时止的这一阶段称为潜伏期.一研究团队统计了某地区1 000名患者的相关信息，得到如下表格： 潜伏期 (单位：天) ［0，2］ (2，4］ (4，6］ (6，8］ (8，10］ (10，12］ (12，14］ 人数 85 205 310 250 130 15 5 已知该传染病的潜伏期受诸多因素的影响，为研究潜伏期与患者年龄的关系，以潜伏期是否超过6天为标准进行比例分配的分层随机抽样，若从上述1 000名患者中抽取200人，得到如下表格. 潜伏期≤6天 潜伏期>6天 合计 50岁以上(含50岁) ① ② 100 50岁以下 55 ③ 100 则表格中的位置分别应填入的数字是(　　) A.①35；②65；③45 B.①45；②45；③45 C.①65；②35；③45 D.①70；②30；③45 答案　C 解析　由比例分配的分层随机抽样可知，从上述1 000名患者中抽取200人，其中潜伏期≤6天抽取的人数为200×=120， 所以①处应填的数字为120-55=65，②处应填的数字为100-65=35，③处应填的数字为100-55=45. 16.(11分)某批零件共160个，其中一级品有48个，二级品有64个，三级品有32个，等外品有16个.从中抽取一个容量为20的样本.试简要叙述用简单随机抽样、分层随机抽样法进行抽样都是等可能抽样. 解　(1)简单随机抽样法：可采用抽签法，将160个零件按1~160编号， 相应地制作1~160号的160个号签，从中随机抽20个即可. 每个个体被抽到的概率为=，每个个体被抽到的可能性相同. (2)分层随机抽样法：按比例=，分别在一级品、二级品、三级品、等外品中抽取48×=6(个)，64×=8(个)，32×=4(个)，16×=2(个)， 每个个体被抽到的概率分别为，，，，即都是，每个个体被抽到的可能性相同. 综上所述，无论采取哪种抽样方式，总体中每个个体被抽到的概率都是. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第九章 <<< 9.1.2　分层随机抽样 9.1.3　获取数据的途径 1.理解分层随机抽样的概念. 2.掌握用分层随机抽样的方法从总体中抽取样本.(重点) 3.掌握简单随机抽样与分层随机抽样的区别与联系，并会选择适当方法进行抽样.(难点) 4.知道并能设计获取数据的基本途径. 学习目标 上节课，我们学习了简单随机抽样.知道样本的代表性越好，对于总体情况的反映就越好，所以抽样调查最核心的问题是样本的代表性.简单随机抽样是使总体中每一个个体都有相等的机会被抽中，但因为抽样的随机性，有可能会出现比较“极端”的样本.例如，在对树人中学高一年级学生身高的调查中，可能出现样本中50个个体大部分来自高个子或矮个子的情形.这种“极端”样本的平均数会大幅度地偏离总体平均数，从而使得估计出现较大的误差.能否利用总体中的一些额外信息对抽样方法进行改进呢？ 统计学是通过收集数据和分析数据来认识未知现象的，因此，如何收集数据是统计学研究的重要内容.在实践中，获取数据的途径多种多样，常见的有统计报表和年鉴、社会调查、普查和抽样、互联网、试验设计等. 导 语 一、分层随机抽样的定义 二、分层随机抽样的应用 课时对点练 三、用分层随机抽样的样本平均数估计总体平均数 随堂演练 内容索引 四、获取数据的基本途径 五、获取数据途径的方法的设计 分层随机抽样的定义 一 提示　能.可以将男生和女生看作两个群体，分别进行简单随机抽样，然后汇总作为总体的一个样本，即采用分层随机抽样的方法. n男=×50≈23，n女=×50≈27. 在树人中学高一年级的712名学生中，男生有326名，女生有386名，若要抽取50名学生的身高作为样本，能否利用这个辅助信息改进简单随机抽样方法，减少“极端”样本的出现，从而提高对整个年级平均身高的估计效果呢？ 问题1 1.分层随机抽样：一般地，按一个或多个变量把总体划分成若干个子总体，每个个体属于且仅属于一个子总体，在每个子总体中　　　　进行简单随机抽样，再把所有子总体中抽取的样本　　　　　作为总样本，这样的抽样方法称为分层随机抽样，每一个子总体称为　　. 2.比例分配：在分层随机抽样中，如果每层样本量都与层的大小成　　 ，那么称这种样本量的分配方式为比例分配. 独立地 合在一起 层 比例 知识梳理 3.分层随机抽样的特点： (1)从分层随机抽样的定义可看出，分层随机抽样适用于总体由差异明显的几个部分组成的情况. (2)分层随机抽样是等可能抽样.用分层随机抽样从个体数为N的总体中抽取一个容量为n的样本时，在整个抽样过程中，每个个体被抽到的可能性 相等，都等于. (3)分层随机抽样是建立在简单随机抽样的基础之上的，由于它充分利用了已知信息，因此利用它获取的样本更具有代表性，更能充分反映总体的情况，在实践中的应用也更广泛. 　　　某中学有老年教师20人，中年教师65人，青年教师95人，为了调查他们的健康状况，需从他们中抽取一个容量为36的样本，则合适的抽样方法是 A.抽签法 B.随机数法 C.分层随机抽样 D.其他抽样方法 例 1 √ 由于老年教师、中年教师和青年教师的身体情况会有明显的差异，所以要用分层随机抽样. 9 使用分层随机抽样的前提条件是总体可以分层、层与层之间有明显区别，而层内个体间差异较小. 反 思 感 悟 10 　　　　　某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物有所增加，为调查该地区某种野生动物的数量，将其分成面积相近的200个地块，计划从这些地块中抽取20个作为样本，根据现有的统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大，为了让样本具有代表性，以获得该地区这种野生动物数量准确的估计，在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是 A.普查 B.分层随机抽样 C.简单随机抽样 D.非以上三种抽样方法 跟踪训练 1 √ 11 因为所研究的总体中差异很大，为了让样本具有代表性，最合理的抽样方法是分层随机抽样. 12 二 分层随机抽样的应用 比例分配的分层随机抽样的实施步骤： 第一步，按某种特征将总体分成若干部分(层)； 第二步，计算各层所占比例.所占比例= ； 第三步，计算各层抽取的个体数，各层抽取的个体数=________________ ； 第四步，按简单随机抽样从各层抽取样本； 第五步，综合每层抽样，组成样本. 总样本量×各层所 占比例 知识梳理 14 在分层随机抽样中，各层分别抽取样本时仍需采用简单随机抽样的方法进行. 注 意 点 <<< 15 一个单位有职工500人，其中不到35岁的有125人，35岁至49岁的有280人，50岁及50岁以上的有95人.为了了解这个单位职工与身体状态有关的某项指标，要从中抽取100名职工作为样本，职工年龄与这项指标有关，用比例分配的分层随机抽样应该怎样抽取？ 例 2 16 用比例分配的分层随机抽样法来抽取样本，步骤如下： (1)分层.按年龄将500名职工分成三层：不到35岁的职工；35岁至49岁的职工；50岁及50岁以上的职工. (2)确定每层抽取个体的个数. 抽样比为=，则在不到35岁的职工中抽取125×=25(人)； 在35岁至49岁的职工中抽取280×=56(人)； 在50岁及50岁以上的职工中抽取95×=19(人). (3)在各层中分别按简单随机抽样的方法抽取样本. (4)汇总每层抽取的样本，组成总体的样本. 17 反 思 感 悟 在比例分配的分层随机抽样的过程中，为了保证每个个体被抽到的可能性是相同的，这就要求各层所抽取的个体数与该层所包含的个体数之比等于样本量与总体容量之比. 　　　　　交通管理部门为了解机动车驾驶员(简称驾驶员)对某新法规的知晓情况，对甲、乙、丙、丁四个社区做比例分配的分层随机抽样调查，假设四个社区驾驶员的总人数为N，其中甲社区有驾驶员96人.若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为12，21，25，43，则这四个社区驾驶员的总人数N为 A.101 B.808 C.1 212 D.2 012 跟踪训练 2 √ 19 因为甲社区有驾驶员96人，并且在甲社区抽取的驾驶员的人数为12， 所以抽取驾驶员的抽样比为=， 所以这四个社区驾驶员的总人数N=(12+21+25+43)÷=808. 20 用分层随机抽样的样本平均数估计总体平均数 三 在分层随机抽样中，如果层数分为2层，第1层和第2层包含的个体数分别为M和N，抽取的样本量分别为m和n，我们用X1，X2，…，XM表示第1层各个个体的变量值，用x1，x2，…，xm表示第1层样本的各个个体的变量值；用Y1，Y2，…，YN表示第2层各个个体的变量值，用y1，y2，…，yn表示第2层样本的各个个体的变量值，则第1层的总体平均数和样本平均数与第2层的总体平均数和样本平均数，该如何计算？ 问题2 22 提示　==Xi， ==xi， ==Yi， ==yi. 23 如果总体分为2层，两层包含的个体数分别为M，N，两层抽取的样本量分别为m，n，两层的样本平均数分别为，，两层的总体平均数分别为，，总体平均数为，样本平均数为，则=+，= .因此，在比例分配的分层随机抽样中，我们可以直接用样本平均数估计总体平均数. + 知识梳理 24 　高二年级有男生490人，女生510人，张华按男生、女生进行分层，通过分层随机抽样的方法，得到男生、女生的平均身高分别为170.2 cm和160.8 cm. (1)如果张华按比例分配的分层随机抽样的方法抽取样本，总样本量为100，那么在男生、女生中分别抽取了多少名？在这种情况下，请估计高二年级全体学生的平均身高； 例 3 25 抽取男生人数为×100=49，抽取女生人数为×100=51. 高二年级全体学生的平均身高估计为×170.2+×160.8=165.406 ≈165.4(cm). 26 (2)如果张华从男生、女生中抽取的样本量分别为30和70，那么在这种情况下，如何估计高二年级全体学生的平均身高更合理？ 仍按(1)方式进行估计，即×170.2+×160.8≈165.4(cm). 27 反 思 感 悟 进行比例分配的分层随机抽样的相关计算时，常用到的3个关系如下： (1)=； (2)总体中某两层的个体数之比等于样本中这两层抽取的个体数之比； (3)样本的平均数和各层的样本平均数的关系为=+ =+. 　　　　　某校高二有重点班学生400人，普通班学生800人，为调查总体学生数学成绩的平均数，用比例分配的分层随机抽样方法，从重点班抽出20人，从普通班抽出40人，通过计算重点班平均成绩为125分，普通班平均成绩为95分，则高二总体学生数学成绩的平均分为 A.110分 B.125分 C.95分 D.105分 跟踪训练 3 √ 高二总体学生数学成绩的平均分为=105(分). 29 获取数据的基本途径 四 我们日常中有哪些获取数据的方法和途径呢？ 提示　通过调查获取数据，通过试验获取数据，通过观察获取数据，通过查询获得数据等. 问题3 31 获取数据的基本途径 获取数据的基本途径　 适用类型 注意问题 通过调查获取数据 对于　　　总体问题，一般通过抽样调查或普查的方法获取数据 要充分有效地利用背景信息选择或创建更好的抽样方法，并有效避免抽样过程中的人为错误 通过试验获取数据 没有　　　 数据可以查询 严格控制试验环境，通过精心的设计安排试验，以提高数据质量 有限 现存的 知识梳理 32 获取数据的基本途径　 适用类型 注意问题 通过观察获取数据 自然现象 借助专业测量设备通过长久的持续观察获取数据 通过查询获得数据 众多专家研究过，其收集的数据有所存储 必须根据问题背景知识“清洗”数据，去伪存真 33 　 (1)粮食安全是每一个国家必须高度关注的问题，在现有条件下，降雨量对粮食生产的影响是非常巨大的.某次降雨之后该地气象台播报说本次降雨量是该地有气象记录以来最大的一次，气象台获取这些数据的途径是 A.通过调查获取数据 B.通过试验获取数据 C.通过观察获取数据 D.通过查询获得数据 例 4 √ 该地的气象记录和本次的降雨量数据都是通过观察获取的. 34 (2)为了研究近年来我国高等教育发展的状况，小明需要获取近年来我国大学生入学人数的相关数据，他获取这些数据的途径最好是 A.通过调查获取数据 B.通过试验获取数据 C.通过观察获取数据 D.通过查询获得数据 √ 因为近年来我国大学生入学人数的相关数据有所存储，所以小明获取这些数据的途径最好是通过查询获得数据. 35 反 思 感 悟 选择获取数据的途径主要是根据所要研究问题的类型，以及获取数据的难易程度.有的数据可以有多种获取途径，有的数据只能通过一种途径获取，选择合适的方法和途径能够更好地提高数据的可靠性. 选择获取数据的途径的依据 (1)“中国天眼”为500米口径球面射电望远镜(Five⁃hundred⁃ meter Aperture Spherical radio Telescope，简称“FAST”)，是具有我国自主知识产权、世界最大单口径、最灵敏的射电望远镜.建造“中国天眼”的目的是 A.通过调查获取数据 B.通过试验获取数据 C.通过观察获取数据 D.通过查询获得数据 跟踪训练 4 √ “中国天眼”主要是通过观察获取数据. 37 (2)要得到某乡镇的贫困人口数据，应采取的方法是 A.通过调查获取数据 B.通过试验获取数据 C.通过观察获取数据 D.通过查询获得数据 √ 某乡镇的贫困人口数据属于有限总体问题，所以可以通过调查获取数据. 38 获取数据途径的方法的设计 五 　为了缓解城市的交通拥堵情况，某市准备出台限制私家车出行的政策，为此要进行民意调查.某个调查小组调查了一些拥有私家车的市民，你认为这样的调查结果能很好地反映该市市民的意愿吗？说明理由. 例 5 不能.理由如下： 调查时，如果只对拥有私家车的市民进行调查，结果一定是片面的，不能代表所有市民的意愿. 因此，在调查时，要对生活在该城市的所有市民进行随机地抽样调查，不要只关注到拥有私家车的市民. 40 反 思 感 悟 在统计活动中，尤其是大型的统计活动，为避免一些外界因素的干扰，通常需要确定调查的对象、调查的方法与策略，需要精心设计前期的准备工作和收集数据的方法，然后对数据进行分析，得出统计推断. 　　　　　某公司想调查一下本公司员工对某项规章制度的意见，由于本公司车间工人工作任务繁重，负责该项事务的公司办公室人员向本公司的50名中层及以上领导干部派发了问卷，统计后便得到了调查意见，公司办公室人员获得数据的途径是什么？你认为该调查结果具有代表性吗？为什么？ 跟踪训练 5 通过调查获取数据，该调查结果不具有代表性，因为只对中层及以上领导干部调查，结果一定是片面的. 42 1.知识清单： (1)分层随机抽样的定义. (2)分层随机抽样的应用. (3)用分层随机抽样的样本平均数估计总体平均数. (4)获取数据的基本途径. (5)获取数据途径的方法的设计. 2.方法归纳：(1)数据分析法. (2)获取数据有四种基本途径：①调查；②试验；③观察；④查询. 3.常见误区：(1)在分层随机抽样中，要想每个个体被抽到的可能性相等，需进行比例分配. (2)对获取数据的背景缺乏了解，采用不合适的方法获取数据. 课堂小结 随堂演练 六 1.影响获取数据可靠程度的因素不包括 A.获取数据方法的设计 B.所用专业测量设备的精度 C.调查人员的认真程度 D.数据的大小 数据的大小不影响获取数据的可靠程度. √ 1 2 3 4 2.某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为120件，80件，60件.为了解它们的产品质量是否存在显著差异，用比例分配的分层随机抽样方法抽取了一个容量为n的样本进行调查，其中从丙车间的产品中抽取了3件，则n等于 A.9 B.10 C.12 D.13 ∵=，∴n=13. √ 1 2 3 4 3.(多选)某中学高一年级有20个班，每班50人；高二年级有30个班，每班45人，甲就读高一，乙就读高二.学校计划从这两个年级中共抽取235人进行视力调查，下列说法中正确的有 A.应该采用分层随机抽样 B.若用比例分配的分层随机抽样，则高一、高二年级应分别抽取100人和 　135人 C.乙被抽到的可能性比甲大 D.该问题中的总体是高一、高二年级的全体学生的视力 √ 1 2 3 4 √ √ 1 2 3 4 由于各年级的年龄段不一样，因此应采用分层随机抽样，A正确； 由于比例为=，因此若用比例分配的分层随机抽样，则 应从高一年级1 000人中抽取100人，高二年级1 350人中抽取135人，B正确； 甲、乙被抽到的可能性都是，C不正确； 显然D正确. 4.某校高二年级化生史组合只有2个班，且每班50人，在一次数学测试中，从两个班各抽取了20名学生的数学成绩进行分析，统计得在该次测试中，两班中各抽取的20名学生的平均成绩分别为110分和106分，则该组合学生的平均成绩约为　　　　分.  1 2 3 4 108 样本中40名学生的平均分为×110+×106=108(分)，所以该组合学生的平均成绩约为108分. 课时对点练 七 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 题号 1 2 3 4 5 6 7 答案 A A C D BC BD 分层随机抽样 题号 8 11 12 13 14 15 答案 17 B ABC ABD 8.6 C 对一对 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9. (1)由x-487=53得x=540， 所以高二年级有540名女生. (2)高三年级人数为y+z=3 000-(487+513+540+560)=900， 所以×300=90，故应从高三年级抽取90名学生. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10. 抽样过程如下： 第一步，确定抽样比，样本容量与总体容量的比为=. 第二步，确定分别从三类人员中抽取的人数，从行政人员中抽取 16×=2(人)；从教师中抽取112×=14(人)；从后勤人员中抽取32×=4(人). 第三步，采用简单随机抽样的方法，抽取行政人员2人，教师14人，后勤人员4人. 第四步，把抽取的个体组合在一起构成所需样本. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16. (1)简单随机抽样法：可采用抽签法，将160个零件按1~160编号， 相应地制作1~160号的160个号签，从中随机抽20个即可. 每个个体被抽到的概率为=，每个个体被抽到的可能性相同. (2)分层随机抽样法：按比例=，分别在一级品、二级品、三级品、等外品中抽取48×=6(个)，64×=8(个)，32×=4(个)，16×=2(个)， 每个个体被抽到的概率分别为，每个个体被抽到的可能性相同. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16. 综上所述，无论采取哪种抽样方式，总体中每个个体被抽到的概率都是. 1.下列数据一般需要通过试验获取的是 A.某最新研制的子弹的射程 B.某学校的男女生比例 C.某品牌手机的市场占有率 D.期中考试的班级数学成绩 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础巩固 答案 选项A，某最新研制的子弹的射程没有现存数据可以查询，因而需要通过试验获取； 选项B，某学校的男女生比例可以通过查询获取，不需要通过试验获取； 选项C，某品牌手机的市场占有率可以通过调查获取，不需要通过试验获取； 选项D，期中考试的班级数学成绩可以通过查询获取，不需要通过试验获取. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 57 2.某公司在职员工有1 200人，其中销售人员有400人，研发人员有600人，现采用比例分配的分层随机抽样的方法抽取120人进行调研，则被抽到的研发人员人数比销售人员人数多 A.20 B.30 C.40 D.50 由题意可得被抽到的研发人员有600×=60(人)， 销售人员有400×=40(人)， 则被抽到的研发人员人数比销售人员人数多60-40=20. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 3.某校有老师200人，男学生1 200人，女学生1 000人，现用比例分配的分层随机抽样的方法从所有师生中抽取一个容量为n的样本.已知从女生中抽取80人，则n等于 A.80 B.100 C.192 D.200 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 因为80∶1 000=8∶100，所以n∶(200+1 200+1 000)=8∶100，所以n=192. 4.共享单车为人们提供了一种新的出行方式，有关部门对使用共享单车人群的年龄分布进行了统计，得到的数据如表所示： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 年龄 12~20岁 20~30岁 30~40岁 40岁及以上 比例 14% 45.5% 34.5% 6% 为调查共享单车使用满意率情况，现采用比例分配的分层随机抽样的方法从中抽取容量为200的样本进行调查，那么应抽取20~30岁的人数为 A.12 B.28 C.69 　　　D.91 √ 由比例分配的分层随机抽样的定义得应抽取20~30岁的人数为200×45.5%=91. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 年龄 12~20岁 20~30岁 30~40岁 40岁及以上 比例 14% 45.5% 34.5% 6% 5.(多选)下列问题中，适合用分层随机抽样抽取样本的是 A.从10名同学中抽取3人参加座谈会 B.某社区有500户家庭，其中高收入的家庭125户，中等收入的家庭280户， 　低收入的家庭95户，为了了解生活购买力的某项指标，要从中抽取一 　个样本容量为100的样本 C.某学校有男、女学生各500名，为了解学生的身高情况从全体学生中抽 　取100名学生进行调查 D.青岛啤酒厂质检员从生产流水线上抽取样本检查产品质量 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 √ A中总体所含个体无差异且个数较少，适合用简单随机抽样； D中总体所含个体无差异，不适合用分层随机抽样； BC中总体所含个体差异明显，并且知道每一类个体在总体中所占的百分比，适合用分层随机抽样. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 6.(多选)某运动队由足球运动员12人，篮球运动员18人，乒乓球运动员6人组成(每人只参加一项)，现从这些运动员中抽取一个容量为n的样本，若采用比例分配的分层随机抽样的方法，且不用删除个体，则样本量n的取值不可能是 A.24 B.20 C.6 D.5 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 √ 由题意得12∶18∶6=2∶3∶1，则n要为6的倍数，故B，D不满足要求. 7.某集团有老年职工270人，中年职工540人，青年职工810人.为了更好地调查他们的健康情况，需从所有职工中抽取一个容量为36的样本，应采用的抽样方法是　　　　　　 　.(用“简单随机抽样”或“分层随机抽样”填空)  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 分层随机抽样 由于所有职工由三类不同年龄段的人群构成，所以存在着较为明显的差异，故选择分层随机抽样. 8.《九章算术》第三章“衰分”中有如下问题：“今有甲持钱五百六十，乙持钱三百五十，丙持钱一百八十，凡三人俱出关，关税百钱，欲以钱数多少衰出之，问各几何？”其意为：“今有甲带了560钱，乙带了350钱，丙带了180钱，三人一起出关，共需要交关税100钱，依照钱的多少按比例出钱”，则丙应出　　　钱.(结果保留整数)  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 17 依照钱的多少按比例出钱，则丙应出×100≈17(钱). 9.某高级中学共有学生3 000名，各年级男、女生的人数如表： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 已知高二年级女生比高一年级女生多53人. (1)问高二年级有多少名女生？ 由x-487=53得x=540，所以高二年级有540名女生.   高一年级 高二年级 高三年级 女生 487 x y 男生 513 560 z (2)现对各年级用比例分配的分层随机抽样的方法从全校抽取300名学生，问应从高三年级抽取多少名学生？ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案   高一年级 高二年级 高三年级 女生 487 x y 男生 513 560 z 高三年级人数为y+z=3 000-(487+513+540+560)=900，所以×300 =90，故应从高三年级抽取90名学生. 10.某学校有在职人员160人，其中行政人员有16人，教师有112人，后勤人员有32人.教育部门为了了解在职人员对学校机构改革的意见，要从中抽取一个容量为20的样本，请利用比例分配的分层随机抽样的方法抽取，写出抽样过程. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 抽样过程如下： 第一步，确定抽样比，样本容量与总体容量的比为=. 第二步，确定分别从三类人员中抽取的人数，从行政人员中抽取 16×=2(人)； 从教师中抽取112×=14(人)； 从后勤人员中抽取32×=4(人). 第三步，采用简单随机抽样的方法，抽取行政人员2人，教师14人，后勤人员4人. 第四步，把抽取的个体组合在一起构成所需样本. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 70 11.某学校高一、高二、高三学生分别有1 200名、1 000名、800名，现在让学生对餐厅服务进行评价，高一、高二、高三年级的好评率分别为75%，80%，85%，那么学生对餐厅的好评率约是 A.78% B.79% C.80% D.81% 由分层随机抽样的平均数可知，学生对餐厅的好评率约为75%× +80%×+85%×≈79%. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 综合运用 答案 12.(多选)某高校大一新生中，来自东部地区的学生有2 400人、中部地区的学生有1 600人、西部地区的学生有1 000人.从中选取100人作样本调研饮食习惯，为保证调研结果相对准确，下列判断正确的有 A.用比例分配的分层随机抽样的方法分别抽取东部地区学生48人、中部地区学 　生32人、西部地区学生20人 B.用比例分配的分层随机抽样的方法从新生中抽取100人最适合 C.若用比例分配的分层随机抽样的方法抽取，西部地区学生小刘被抽中的可能 　性为 D.若用比例分配的分层随机抽样的方法抽取，中部地区学生小张被抽中的可能 　性为 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 √ √ 由题设可得用比例分配的分层随机抽样的方法抽取，东部地区、中部地区、西部地区的学生的抽样比为12∶8∶5，故抽取100人时东部 地区、中部地区、西部地区的学生分别为100×=48(人)，100×= 32(人)，100×=20(人)，故A正确； 总体容量较大，且各部分差异明显，用比例分配的分层随机抽样的方法从新生中抽取100人最适合，故B正确； 由比例分配的分层随机抽样的性质可得无论哪一个地区的学生，被 抽取到的概率均为=，故C正确，D错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 13.(多选)珠江源位于云南东部曲靖市以北47公里处，整个景区由马雄山珠江源、花山湖和城区部分景点组成，总面积为50平方公里.珠江源风景区是森林公园、省级风景名胜区、国际水利风景名胜区.景区森林茂密，溪流淙淙，有“一水滴三江，一脉隔双盘”的奇异景观.其美景吸引着大批的游客前往参观，某旅行社分年龄段统计了前往珠江源的老、中、青年旅客的人数比为5∶2∶3，现使用比例分配的分层随机抽样的方法从这些旅客中随机抽取n名，若青年旅客抽到90人，则下列说法正确的是 A.被抽到的老年旅客和中年旅客人数之和超过200 B.n=300 C.中年旅客抽到40人 D.老年旅客抽到150人 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 √ √ 由题意从这些旅客中随机抽取n名，青年旅客抽到90人，则×n =90，所以n=300，故B正确； 则中年旅客抽到×300=60(人)，故C错误； 老年旅客抽到×300=150(人)，故D正确； 被抽到的老年旅客和中年旅客人数之和为150+60=210，超过200，故A正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 14.某房地产公司为了解小区业主对户型结构——平层与复式结构的满意度，采取比例分配的分层随机抽样的方式对某小区的业主进行问卷调查.20位已购买平层户型的业主满意度平均分为8，30位已购买复式户型的业主满意度平均分为9，用样本平均数估计该小区业主对户型结构满意度的平均分为　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 8.6 估计小区业主对户型结构满意度的平均分为×8+×9=8.6. 拓广探究 15.在传染病学中，通常把从致病刺激物侵入机体或者对机体发生作用起，到机体出现反应或开始呈现相应的症状时止的这一阶段称为潜伏期.一研究团队统计了某地区1 000名患者的相关信息，得到如下表格： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 潜伏期 (单位：天) [0，2] (2，4] (4，6] (6，8] (8，10] (10，12] (12，14] 人数 85 205 310 250 130 15 5 已知该传染病的潜伏期受诸多因素的影响，为研究潜伏期与患者年龄的关系，以潜伏期是否超过6天为标准进行比例分配的分层随机抽样，若从上述1 000名患者中抽取200人，得到如下表格. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案   潜伏期≤6天 潜伏期>6天 合计 50岁以上(含50岁) ① ② 100 50岁以下 55 ③ 100 则表格中的位置分别应填入的数字是 A.①35；②65；③45 B.①45；②45；③45 C.①65；②35；③45 D.①70；②30；③45 √ 由比例分配的分层随机抽样可知，从上述1 000名患者中抽取200人， 其中潜伏期≤6天抽取的人数为200×=120， 所以①处应填的数字为120-55=65，②处应填的数字为100-65=35，③处应填的数字为100-55=45. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 16.某批零件共160个，其中一级品有48个，二级品有64个，三级品有32个，等外品有16个.从中抽取一个容量为20的样本.试简要叙述用简单随机抽样、分层随机抽样法进行抽样都是等可能抽样. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 (1)简单随机抽样法：可采用抽签法，将160个零件按1~160编号， 相应地制作1~160号的160个号签，从中随机抽20个即可. 每个个体被抽到的概率为=，每个个体被抽到的可能性相同. (2)分层随机抽样法：按比例=，分别在一级品、二级品、三级品、等外品中抽取48×=6(个)，64×=8(个)，32×=4(个)，16×=2(个)， 每个个体被抽到的概率分别为，每个个 体被抽到的可能性相同. 综上所述，无论采取哪种抽样方式，总体中每个个体被抽到的概率 都是. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 81 第一章 <<< $$