2.课时跟踪检测练 36 第8章 三十六 平面与平面垂直(2)(Word版+PPT版)-【满分思维】2025-2026学年高中数学必修第二册（人教A版）

三十六　平面与平面垂直(2) (时间:45分钟　分值:100分) 【基础全面练】 1.(5分)设平面α与平面β的交线为l,则“α内存在直线m⊥l”是“α⊥β”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【解析】选B.由题意可得α∩β=l,m⊂α, ①若m⊥l,则α⊥β或α与β相交不垂直, 所以充分性不成立; ②若α⊥β,由面面垂直的性质定理可得,α内存在直线m⊥l,所以必要性成立, 故“α内存在直线m⊥l”是“α⊥β”的必要不充分条件. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 2.(5分)如图所示,平面α⊥平面β,α∩β=l,点A∈平面α,AB⊥l,垂足为B, 点C∈平面β,若AB=3,BC=4,则AC= (　　) A.3 B.4 C.5 D.无法确定 【解析】选C.由面面垂直的性质得,AB⊥平面β,又BC⊂平面β, 所以AB⊥BC,由勾股定理,得AC=5. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 3.(5分)(多选)已知直线a和平面α,β有如下关系:①α⊥β,②α∥β,③a⊥β,④a∥α,则 下列命题为假命题的是 (　　) A.①③⇒④ B.①④⇒③ C.③④⇒① D.②③⇒④ 【解析】选ABD.对于A,由α⊥β,a⊥β,可得a∥α或a⊂α,故A为假命题; 对于B,由α⊥β,a∥α,可得a⊂β或a∥β或a与β相交,故B为假命题; 对于C,由a∥α,过a作平面γ与α相交,交线为b,则a∥b,因为a⊥β,所以b⊥β,而b⊂α, 可得α⊥β,故C为真命题; 对于D,由α∥β,a⊥β,可得a⊥α,故D为假命题. √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 4.(5分)在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,若平面AA1C1C⊥平面ABCD, 且AB=BC,AD=CD,则BD与CC1的位置关系为 (　　) A.平行 B.共面 C.垂直 D.不垂直 【解析】选C.如图所示,在四边形ABCD中, 因为AB=BC,AD=CD,所以BD⊥AC. 因为平面AA1C1C⊥平面ABCD,平面AA1C1C∩平面ABCD=AC, BD⊂平面ABCD,所以BD⊥平面AA1C1C. 又CC1⊂平面AA1C1C,所以BD⊥CC1. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 5.(5分)(多选)如图,在四面体ABCD中,AB=AC,BC⊥BD, 平面ABC⊥平面BCD,O为线段BC的中点,则下列判断正确的是 (　　) A.AC⊥BD B.BD⊥平面ABC C.AB⊥CD D.AO⊥平面BCD √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 【解析】选ABD.因为平面ABC⊥平面BCD,平面ABC∩平面BCD =BC,BC⊥BD, 所以BD⊥平面ABC,即B正确; 因为AC⊂平面ABC,所以BD⊥AC,即A正确; 因为AB=AC,O为线段BC的中点, 所以BC⊥AO,同理可得AO⊥平面BCD,即D正确; 因为BD⊥平面ABC,AB⊂平面ABC, 所以BD⊥AB,BD∩CD=D,BD,CD⊂平面BCD,若AB⊥CD,则AB⊥平面BCD, 显然B,O不重合,即C错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 6.(5分)如图,在四面体ABCD中,已知AB⊥AC,BD⊥AC,那么点D在平面ABC内的 射影点H必在 (　　) A.直线AB上 B.直线BC上 C.直线AC上 D.△ABC内部 【解析】选A.在四面体ABCD中,因为AB⊥AC,BD⊥AC,AB∩BD=B, AB,BD⊂平面ABD, 所以AC⊥平面ABD,又AC⊂平面ABC, 所以平面ABC⊥平面ABD,平面ABC∩平面ABD=AB,点D在平面ABC内的射影H必 在AB上. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 7.(5分)已知在长方体ABCD-A1B1C1D1中,在平面ABB1A1上任取一点M, 作ME⊥AB于E,则ME与平面ABCD的位置关系为____________________.  【解析】如图, 因为M∈平面ABB1A1,E∈AB,即E∈平面ABB1A1,所以ME⊂平面ABB1A1, 又平面ABB1A1⊥平面ABCD,平面ABB1A1∩平面ABCD=AB,ME⊥AB, 所以ME⊥平面ABCD. 　ME⊥平面ABCD　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 8.(5分)如图,P是△ABC所在平面外一点,平面PAC⊥平面ABC, 且∠PAC=90°,PA=1,AB=2,则PB=________.  【解析】因为平面PAC⊥平面ABC,平面PAC∩平面ABC=AC, ∠PAC=90°, 所以PA⊥AC,PA⊂平面PAC, 所以PA⊥平面ABC,又AB⊂平面ABC,所以PA⊥AB, 所以PB===. 　　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 9.(5分)将正方形ABCD沿对角线AC折起,并使得平面ABC垂直于平面ACD, 直线AB与CD所成的角为________.  　60°　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 因为平面ABC⊥平面ACD,BO⊥AC,平面ABC∩平面ACD=AC, BO⊂平面ABC, 所以BO⊥平面ACD,又因为OD⊂平面ACD,所以BO⊥OD. 设正方形边长为2,OB=OD=,所以BD=2,则OM=BD=1. 所以ON=MN=OM=1.所以△OMN是等边三角形,∠ONM=60°. 所以直线AB与CD所成的角为60°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 10.(10分)已知平面α,β,γ,且α⊥γ,β∥α,求证:β⊥γ. 【证明】如图,设α∩γ=l.在平面α内作直线a⊥l. 因为α⊥γ,根据面面垂直的性质,所以a⊥γ. 过a作一个平面δ与平面β相交于直线b, 由β∥α,得b∥a,所以b⊥γ. 又b⊂β,所以β⊥γ. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 【综合应用练】 11.(5分)(多选)下列命题中正确的是(　　) A.如果平面α⊥平面β,那么平面α内一定存在直线平行于平面β B.如果平面α不垂直于平面β,那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β C.如果平面α⊥平面γ,平面β⊥平面γ,α∩β=l,那么l⊥平面γ D.如果平面α⊥平面β,那么平面α内所有直线都垂直于平面β √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 【解析】选ABC.对于A,设平面α∩平面β=直线a,设直线b⊂α,直线b⊄平面β, 且b∥a,根据线面平行的判定定理可得直线b∥β,A正确; 对于B,如果α内存在直线与β垂直,则由面面垂直的判定定理可知平面 α⊥平面β,与已知矛盾,B正确; 对于C,设平面α∩平面γ=a,平面β∩平面γ=b,在γ内作直线m⊥a,n⊥b,由面面 垂直的性质定理可得m⊥α,n⊥β,又因为直线l⊂α,l⊂β,所以m⊥l,n⊥l,又因为 α∩β=l,所以m,n为相交直线,又因为m,n⊂平面γ,所以l⊥平面γ,C正确; 平面α⊥平面β,设平面α∩平面β=a,在平面α内与a平行的直线都不与平面β 垂直,D错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 12.(5分)如图所示,三棱锥P-ABC的底面在平面α内,且AC⊥PC, 平面PAC⊥平面PBC,点P,A,B是定点,则动点C的轨迹是 (　　) A.一条线段 B.一条直线 C.一个圆 D.一个圆,但要去掉两个点 【解析】选D.因为平面PAC⊥平面PBC,AC⊥PC, 平面PAC∩平面PBC=PC,AC⊂平面PAC,所以AC⊥平面PBC. 又因为BC⊂平面PBC,所以AC⊥BC,所以∠ACB=90°. 所以动点C的轨迹是以AB为直径的圆,除去A和B两点. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 13.(5分)在矩形ABCD中,AB=2AD=4,点E为CD的中点(如图1),沿AE将△ADE 折起到△APE处,使得平面PAE⊥平面ABCE(如图2),则直线PC与平面ABCE 所成角的正切值为_______.  　　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 【解析】取AE的中点F,连接CF,PF, 因为PA=PE且F为AE的中点,所以PF⊥AE, 又因为平面PAE⊥平面ABCE,平面PAE∩平面ABCE=AE,PF⊂平面PAE, 所以PF⊥平面ABCE, 则直线PC与平面ABCE所成的角为∠PCF, AE==2,PF=EF=, CF2=EF2+CE2-2EF·CE·cos∠CEF=10,即CF=,所以tan∠PCF==. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 14.(10分)如图所示的几何体中,四边形ABCD为正方形.若AP=BP=AB, 平面PAB⊥平面ABCD,F为PB的中点,求证:AF⊥PC. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 【证明】因为AP=BP=AB,所以△ABP为等边三角形,如图,连接AF, 因为F为PB的中点,所以AF⊥BP, 因为平面PAB⊥平面ABCD,平面PAB∩平面ABCD=AB, CB⊥AB,CB⊂平面ABCD, 所以CB⊥平面PAB,又AF⊂平面PAB, 所以CB⊥AF,又AF⊥PB,CB∩PB=B,CB,PB⊂平面PBC,所以AF⊥平面PBC,又PC⊂平面PBC,所以AF⊥PC. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 15.(10分)如图所示,在斜三棱柱ABC-A1B1C1中,底面是等腰三角形, AB=AC,D是BC的中点,侧面BB1C1C⊥底面ABC. (1)求证:AD⊥CC1; 【解析】(1)因为AB=AC,D是BC的中点, 所以AD⊥BC.因为底面ABC⊥平面BB1C1C, 底面ABC∩平面BB1C1C=BC,所以AD⊥平面BB1C1C. 又CC1⊂平面BB1C1C,所以AD⊥CC1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 (2)过侧面BB1C1C的对角线BC1的平面交侧棱于点M,若AM=MA1,求证: 截面MBC1⊥侧面BB1C1C; 【解析】(2)如图,延长B1A1,BM交于点N,连接C1N. 因为AM=MA1,所以NA1=A1B1. 因为A1C1=A1N=A1B1,所以C1N⊥B1C1, 所以C1N⊥侧面BB1C1C. 又C1N⊂平面BNC1, 所以截面C1NB⊥侧面BB1C1C. 所以截面MBC1⊥侧面BB1C1C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 (3)若截面MBC1⊥平面BB1C1C,则AM=MA1吗?请叙述你的判断理由. 【解析】(3)AM=MA1.证明如下:过M作ME⊥BC1于点E,连接DE,因为截面 MBC1⊥侧面BB1C1C,所以ME⊥侧面BB1C1C. 又AD⊥侧面BB1C1C,所以ME∥AD,所以M,E,D,A四点共面. 因为MA∥侧面BB1C1C,面MADE∩面BB1C1C=DE,所以AM∥DE. 所以四边形AMED是平行四边形,AM=DE, 又AM∥CC1,所以DE∥CC1. 因为BD=CD,所以DE=CC1,所以AM=CC1=AA1,所以AM=MA1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 【创新拓展练】 16.(5分)如图,五边形由一个长方形和等腰三角形构成,其中AB=EF=2, AF=BE=CE=CF=,D是AB的中点,将△ADF,△BDE,△CEF折起,使A,B,C三 点重合于点P,则DP与平面DEF所成角的正弦值为(　　) A. B. C. D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 【解析】选D.由题意可知形成三棱锥P-DEF,如图:取EF的中点M, 连接PM,DM,过点P作PO⊥DM于点O, 因为DE=DF,PE=PF,所以PM⊥EF,DM⊥EF,PM∩DM=M, PM,DM⊂平面PDM,所以EF⊥平面PDM,因为EF⊂平面DEF, 所以平面PDM⊥平面DEF, 又平面PDM∩平面DEF=DM,PO⊥DM,PO⊂平面PDM,所以PO⊥平面DEF, 故∠PDO为DP与平面DEF所成的角. 又DP⊥PE,DP⊥PF,PE∩PF=P,PE,PF⊂平面PEF,所以DP⊥平面PEF, 又PM⊂平面PEF,所以DP⊥PM,且∠PDO=∠PDM, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 因为AF=BE=CE=CF=,所以DM=,PD=1,又PE=PF=,EF=2, 所以PM==,在直角三角形DPM中,sin∠PDM===, 所以DP与平面DEF所成角的正弦值为. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 17.(5分)将一副斜边长相等的直角三角板拼接成如图所示的空间图形,其中 AD=BD=,∠BAC=30°,若它们的斜边AB重合,让三角板ABD以AB为轴转 动,则下列说法正确的是_________(填序号).  ①当平面ABD⊥平面ABC时,C,D两点间的距离为; ②在三角板ABD转动过程中,总有AB⊥CD; ③在三角板ABD转动过程中,三棱锥D-ABC体积的最大值为. 　①③　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 【解析】①取AB的中点O,连接DO,CO, 因为AD=BD=,所以DO=1,AB=2,OC=1, 因为平面ABD⊥平面ABC,平面ABD∩平面ABC=AB,DO⊥AB, 所以DO⊥平面ABC,又OC⊂平面ABC,所以DO⊥OC,所以DC=,①正确; ②若AB⊥CD,则AB⊥平面CDO,AB⊥OC,因为O为中点, 所以AC=BC,∠BAC=45°与∠BAC=30°矛盾,②错误; ③当DO⊥平面ABC时,三棱锥的高最大, 此时V三棱锥=AC·BC·DO=×1×1=,③正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 【解析】如图,取AC,BD,AD的中点,分别记为O,M,N, 则ONCD,MNAB, 所以∠ONM或其补角即为所求的角. $ 三十六　平面与平面垂直(2) (时间:45分钟　分值:100分) 【基础全面练】 1.(5分)设平面α与平面β的交线为l,则“α内存在直线m⊥l”是“α⊥β”的 (　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【解析】选B.由题意可得α∩β=l,m⊂α, ①若m⊥l,则α⊥β或α与β相交不垂直, 所以充分性不成立; ②若α⊥β,由面面垂直的性质定理可得,α内存在直线m⊥l,所以必要性成立,故“α内存在直线m⊥l”是“α⊥β”的必要不充分条件. 2.(5分)如图所示,平面α⊥平面β,α∩β=l,点A∈平面α,AB⊥l,垂足为B,点C∈平面β,若AB=3,BC=4,则AC= (　　) A.3 B.4 C.5 D.无法确定 【解析】选C.由面面垂直的性质得,AB⊥平面β,又BC⊂平面β,所以AB⊥BC,由勾股定理,得AC=5. 3.(5分)(多选)已知直线a和平面α,β有如下关系:①α⊥β,②α∥β,③a⊥β,④a∥α,则下列命题为假命题的是 (　　) A.①③⇒④ B.①④⇒③ C.③④⇒① D.②③⇒④ 【解析】选ABD.对于A,由α⊥β,a⊥β,可得a∥α或a⊂α,故A为假命题; 对于B,由α⊥β,a∥α,可得a⊂β或a∥β或a与β相交,故B为假命题; 对于C,由a∥α,过a作平面γ与α相交,交线为b,则a∥b,因为a⊥β,所以b⊥β,而b⊂α,可得α⊥β,故C为真命题; 对于D,由α∥β,a⊥β,可得a⊥α,故D为假命题. 4.(5分)在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,若平面AA1C1C⊥平面ABCD,且AB=BC,AD=CD,则BD与CC1的位置关系为 (　　) A.平行 B.共面 C.垂直 D.不垂直 【解析】选C.如图所示,在四边形ABCD中, 因为AB=BC,AD=CD,所以BD⊥AC. 因为平面AA1C1C⊥平面ABCD,平面AA1C1C∩平面ABCD=AC,BD⊂平面ABCD, 所以BD⊥平面AA1C1C. 又CC1⊂平面AA1C1C,所以BD⊥CC1. 5.(5分)(多选)如图,在四面体ABCD中,AB=AC,BC⊥BD,平面ABC⊥平面BCD,O为线段BC的中点,则下列判断正确的是 (　　) A.AC⊥BD B.BD⊥平面ABC C.AB⊥CD D.AO⊥平面BCD 【解析】选ABD.因为平面ABC⊥平面BCD,平面ABC∩平面BCD=BC,BC⊥BD, 所以BD⊥平面ABC,即B正确; 因为AC⊂平面ABC,所以BD⊥AC,即A正确; 因为AB=AC,O为线段BC的中点, 所以BC⊥AO,同理可得AO⊥平面BCD,即D正确; 因为BD⊥平面ABC,AB⊂平面ABC, 所以BD⊥AB,BD∩CD=D,BD,CD⊂平面BCD,若AB⊥CD,则AB⊥平面BCD,显然B,O不重合,即C错误. 6.(5分)如图,在四面体ABCD中,已知AB⊥AC,BD⊥AC,那么点D在平面ABC内的射影点H必在 (　　) A.直线AB上 B.直线BC上 C.直线AC上 D.△ABC内部 【解析】选A.在四面体ABCD中,因为AB⊥AC,BD⊥AC,AB∩BD=B,AB,BD⊂平面ABD, 所以AC⊥平面ABD,又AC⊂平面ABC, 所以平面ABC⊥平面ABD,平面ABC∩平面ABD=AB,点D在平面ABC内的射影H必在AB上. 7.(5分)已知在长方体ABCD-A1B1C1D1中,在平面ABB1A1上任取一点M,作ME⊥AB于E,则ME与平面ABCD的位置关系为　ME⊥平面ABCD　.  【解析】如图, 因为M∈平面ABB1A1,E∈AB,即E∈平面ABB1A1,所以ME⊂平面ABB1A1, 又平面ABB1A1⊥平面ABCD,平面ABB1A1∩平面ABCD=AB,ME⊥AB, 所以ME⊥平面ABCD. 8.(5分)如图,P是△ABC所在平面外一点,平面PAC⊥平面ABC,且∠PAC=90°,PA=1,AB=2,则PB=　　.  【解析】因为平面PAC⊥平面ABC,平面PAC∩平面ABC=AC,∠PAC=90°, 所以PA⊥AC,PA⊂平面PAC, 所以PA⊥平面ABC,又AB⊂平面ABC,所以PA⊥AB,所以PB===. 9.(5分)将正方形ABCD沿对角线AC折起,并使得平面ABC垂直于平面ACD,直线AB与CD所成的角为　60°　.  【解析】如图,取AC,BD,AD的中点,分别记为O,M,N, 则ONCD,MNAB, 所以∠ONM或其补角即为所求的角. 因为平面ABC⊥平面ACD,BO⊥AC,平面ABC∩平面ACD=AC,BO⊂平面ABC, 所以BO⊥平面ACD,又因为OD⊂平面ACD,所以BO⊥OD. 设正方形边长为2,OB=OD=,所以BD=2,则OM=BD=1. 所以ON=MN=OM=1.所以△OMN是等边三角形,∠ONM=60°. 所以直线AB与CD所成的角为60°. 10.(10分)已知平面α,β,γ,且α⊥γ,β∥α,求证:β⊥γ. 【证明】如图,设α∩γ=l.在平面α内作直线a⊥l. 因为α⊥γ,根据面面垂直的性质,所以a⊥γ. 过a作一个平面δ与平面β相交于直线b, 由β∥α,得b∥a,所以b⊥γ. 又b⊂β,所以β⊥γ. 【综合应用练】 11.(5分)(多选)下列命题中正确的是 (　　) A.如果平面α⊥平面β,那么平面α内一定存在直线平行于平面β B.如果平面α不垂直于平面β,那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β C.如果平面α⊥平面γ,平面β⊥平面γ,α∩β=l,那么l⊥平面γ D.如果平面α⊥平面β,那么平面α内所有直线都垂直于平面β 【解析】选ABC.对于A,设平面α∩平面β=直线a,设直线b⊂α,直线b⊄平面β,且b∥a,根据线面平行的判定定理可得直线b∥β,A正确; 对于B,如果α内存在直线与β垂直,则由面面垂直的判定定理可知平面α⊥平面β,与已知矛盾,B正确; 对于C,设平面α∩平面γ=a,平面β∩平面γ=b,在γ内作直线m⊥a,n⊥b,由面面垂直的性质定理可得m⊥α,n⊥β,又因为直线l⊂α,l⊂β,所以m⊥l,n⊥l,又因为α∩β=l,所以m,n为相交直线,又因为m,n⊂平面γ,所以l⊥平面γ,C正确; 平面α⊥平面β,设平面α∩平面β=a,在平面α内与a平行的直线都不与平面β垂直,D错误. 12.(5分)如图所示,三棱锥P-ABC的底面在平面α内,且AC⊥PC,平面PAC⊥平面PBC,点P,A,B是定点,则动点C的轨迹是 (　　) A.一条线段 B.一条直线 C.一个圆 D.一个圆,但要去掉两个点 【解析】选D.因为平面PAC⊥平面PBC,AC⊥PC,平面PAC∩平面PBC=PC,AC⊂平面PAC,所以AC⊥平面PBC. 又因为BC⊂平面PBC,所以AC⊥BC,所以∠ACB=90°. 所以动点C的轨迹是以AB为直径的圆,除去A和B两点. 13.(5分)在矩形ABCD中,AB=2AD=4,点E为CD的中点(如图1),沿AE将△ADE折起到△APE处,使得平面PAE⊥平面ABCE(如图2),则直线PC与平面ABCE所成角的正切值为　　.  【解析】取AE的中点F,连接CF,PF, 因为PA=PE且F为AE的中点,所以PF⊥AE, 又因为平面PAE⊥平面ABCE,平面PAE∩平面ABCE=AE,PF⊂平面PAE, 所以PF⊥平面ABCE, 则直线PC与平面ABCE所成的角为∠PCF, AE==2,PF=EF=, CF2=EF2+CE2-2EF·CE·cos∠CEF=10,即CF=,所以tan∠PCF==. 14.(10分)如图所示的几何体中,四边形ABCD为正方形.若AP=BP=AB,平面PAB⊥平面ABCD,F为PB的中点,求证:AF⊥PC. 【证明】因为AP=BP=AB,所以△ABP为等边三角形,如图,连接AF, 因为F为PB的中点,所以AF⊥BP, 因为平面PAB⊥平面ABCD,平面PAB∩平面ABCD=AB,CB⊥AB,CB⊂平面ABCD, 所以CB⊥平面PAB,又AF⊂平面PAB, 所以CB⊥AF,又AF⊥PB,CB∩PB=B,CB,PB⊂平面PBC,所以AF⊥平面PBC,又PC⊂平面PBC,所以AF⊥PC. 15.(10分)如图所示,在斜三棱柱ABC-A1B1C1中,底面是等腰三角形,AB=AC,D是BC的中点,侧面BB1C1C⊥底面ABC. (1)求证:AD⊥CC1; 【解析】(1)因为AB=AC,D是BC的中点, 所以AD⊥BC.因为底面ABC⊥平面BB1C1C,底面ABC∩平面BB1C1C=BC,所以AD⊥平面BB1C1C. 又CC1⊂平面BB1C1C,所以AD⊥CC1. (2)过侧面BB1C1C的对角线BC1的平面交侧棱于点M,若AM=MA1,求证:截面MBC1⊥侧面BB1C1C; 【解析】(2)如图,延长B1A1,BM交于点N,连接C1N. 因为AM=MA1,所以NA1=A1B1. 因为A1C1=A1N=A1B1,所以C1N⊥B1C1, 所以C1N⊥侧面BB1C1C. 又C1N⊂平面BNC1, 所以截面C1NB⊥侧面BB1C1C. 所以截面MBC1⊥侧面BB1C1C. (3)若截面MBC1⊥平面BB1C1C,则AM=MA1吗?请叙述你的判断理由. 【解析】(3)AM=MA1.证明如下:过M作ME⊥BC1于点E,连接DE,因为截面MBC1⊥侧面BB1C1C,所以ME⊥侧面BB1C1C. 又AD⊥侧面BB1C1C,所以ME∥AD, 所以M,E,D,A四点共面. 因为MA∥侧面BB1C1C,面MADE∩面BB1C1C=DE,所以AM∥DE. 所以四边形AMED是平行四边形,AM=DE, 又AM∥CC1,所以DE∥CC1. 因为BD=CD,所以DE=CC1, 所以AM=CC1=AA1,所以AM=MA1. 【创新拓展练】 16.(5分)如图,五边形由一个长方形和等腰三角形构成,其中AB=EF=2,AF=BE=CE=CF=,D是AB的中点,将△ADF,△BDE,△CEF折起,使A,B,C三点重合于点P,则DP与平面DEF所成角的正弦值为 (　　) A. B. C. D. 【解析】选D.由题意可知形成三棱锥P-DEF,如图:取EF的中点M,连接PM,DM,过点P作PO⊥DM于点O, 因为DE=DF,PE=PF,所以PM⊥EF,DM⊥EF,PM∩DM=M,PM,DM⊂平面PDM,所以EF⊥平面PDM,因为EF⊂平面DEF,所以平面PDM⊥平面DEF, 又平面PDM∩平面DEF=DM,PO⊥DM,PO⊂平面PDM,所以PO⊥平面DEF, 故∠PDO为DP与平面DEF所成的角. 又DP⊥PE,DP⊥PF,PE∩PF=P,PE,PF⊂平面PEF,所以DP⊥平面PEF,又PM⊂平面PEF,所以DP⊥PM,且∠PDO=∠PDM, 因为AF=BE=CE=CF=,所以DM=,PD=1,又PE=PF=,EF=2, 所以PM==,在直角三角形DPM中,sin∠PDM===, 所以DP与平面DEF所成角的正弦值为. 17.(5分)将一副斜边长相等的直角三角板拼接成如图所示的空间图形,其中AD=BD=, ∠BAC=30°,若它们的斜边AB重合,让三角板ABD以AB为轴转动,则下列说法正确的是 　①③　(填序号).  ①当平面ABD⊥平面ABC时,C,D两点间的距离为; ②在三角板ABD转动过程中,总有AB⊥CD; ③在三角板ABD转动过程中,三棱锥D-ABC体积的最大值为. 【解析】①取AB的中点O,连接DO,CO, 因为AD=BD=,所以DO=1,AB=2,OC=1, 因为平面ABD⊥平面ABC,平面ABD∩平面ABC=AB,DO⊥AB, 所以DO⊥平面ABC,又OC⊂平面ABC,所以DO⊥OC,所以DC=,①正确; ②若AB⊥CD,则AB⊥平面CDO,AB⊥OC,因为O为中点,所以AC=BC,∠BAC=45°与∠BAC=30°矛盾,②错误; ③当DO⊥平面ABC时,三棱锥的高最大, 此时V三棱锥=AC·BC·DO=×1×1=,③正确. - 1 - 学科网（北京）股份有限公司 $