2.课时跟踪检测练 32 第8章 三十二 直线与直线垂直(Word版+PPT版)-【满分思维】2025-2026学年高中数学必修第二册（人教A版）

三十二　直线与直线垂直 (时间:45分钟　分值:100分) 【基础全面练】 1.(5分)在三棱锥A-BCD中,E,F,G分别是AB,AC,BD的中点,若直线AD与直线 BC所成的角为60°,则∠FEG为(　　) A.30° B.60° C.120° D.60°或120° 【解析】选D.如图: 因为E,F,G分别是AB,AC,BD的中点,所以EG∥AD,EF∥BC, 由于AD与BC是异面直线,根据异面直线所成角的定义可知, ∠FEG为异面直线AD与BC所成的角或其补角, 因为AD与BC所成的角为60°,所以∠FEG为60°或120°. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 2.(5分)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,与对角线A1B成45°的棱的条数为 (　　) A.4 B.6 C.8 D.12 【解析】选C.如图所示, 在正方形ABB1A1中,AA1,AB,BB1,A1B1与A1B均成45°角, 根据线线角的定义知,DD1,CC1,DC,D1C1都与A1B成45°角, 所以满足条件的棱有8条. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 3.(5分)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,异面直线AD1与BD所成的角为 (　　) A.30° B.45° C.60° D.90° 【解析】选C.由题意,作正方体ABCD-A1B1C1D1,如图所示: 连接BC1,DC1,因为AD1∥BC1, 所以异面直线AD1与BD所成的角为∠DBC1. 由题可得△DBC1为等边三角形,所以∠DBC1=60°. 所以异面直线AD1与BD所成的角为60°. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 4.(5分)如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=8,AD=6,异面直线BD与AC1所 成角的余弦值为,则CC1=(　　) A. B.2 C.2 D.3 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 【解析】选C.连接AC,交DB于点O,取CC1的中点E,连接OE,BE. 易得AC1∥OE,所以直线BD与AC1所成的角为∠BOE(或其补角). 令EC=x,在Rt△ABD中,由AB=8,AD=6,得BD=10,所以OB=5. 又OE=,BE=,cos∠BOE=, 由余弦定理得=, 即=,解得x=(负值舍去),所以CC1=2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 5.(5分)(多选)设a,b,c是三条直线,且c⊥a,c⊥b,则a和b的位置关系为 (　　) A.平行 B.相交 C.异面 D.无法判断 【解析】选ABC.如图,若DD1=c,D1C1=a,A1D1=b,则a和b相交; 若DD1=c,D1C1=a,AD=b,则a和b异面; 若DD1=c,D1C1=a,DC=b,则a和b平行, 所以空间中垂直于同一条直线的两条直线可能平行、相交或异面. √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 6.(5分)(多选)如图,在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是AB1,BC1的中点,则以 下结论中正确的是 (　　) A.EF与BB1垂直 B.EF与BD垂直 C.EF与CD异面 D.EF与A1C1异面 【解析】选ABC.如图所示,连接A1B,由几何关系可得点E为A1B的中点,且 BF=FC1,由三角形中位线的性质可得:EF∥A1C1,即EF与A1C1不是异面直线.很明 显,EF与CD异面,故C正确,D不正确;由几何关系可得: A1C1⊥BB1,A1C1⊥BD,则EF⊥BB1,EF⊥BD,故A,B正确. √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 7.(5分)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥AB,AA1⊥AC.若AB=AC=AA1=1, BC=,则异面直线A1C与B1C1所成的角为________.  【解析】依题意,得BC∥B1C1,故异面直线A1C与B1C1所 成的角即直线BC与A1C所成的角. 连接A1B,在△A1BC中,BC=A1C=A1B=,故∠A1CB=60°, 即异面直线A1C与B1C1所成的角为60°. 　60°　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 8.(5分)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,若AE与A1B1所成的角的大小为 25°,则异面直线AE与B1C1所成的角的大小为________.  【解析】因为A1B1∥AB,所以∠BAE=25°, 因为B1C1∥BC, 所以异面直线AE与B1C1所成的角是∠AEB=90°-25°=65°. 　65°　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 9.(5分)如图,在圆柱OO1中,底面半径为1,OA⊥O1B,异面直线AB与OO1所成 角的正切值为,则圆柱的高为______.  　4　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 【解析】如图,过点B作OO1的平行线交底面圆O于点H,连接OH,AH, 则∠ABH即为异面直线AB与OO1所成的角, tan∠ABH=, 易知OH∥O1B且OH=O1B, 由OA⊥O1B可知,OA⊥OH, 所以AH==,又tan∠ABH=, 所以圆柱OO1的高BH==4. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 10.(10分)如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中. (1)求A1C1与B1C所成角的大小; 【解析】(1)连接AC,AB1. 由正方体ABCD-A1B1C1D1知, 四边形AA1C1C为平行四边形, 所以AC∥A1C1,从而B1C与AC所成的角就是A1C1与B1C所成的角. 在△AB1C中,由AB1=AC=B1C,可知∠B1CA=60°,即A1C1与B1C所成的角为60°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 (2)若E,F分别为AB,AD的中点,求证:EF⊥A1C1. 【解析】(2)连接BD.由(1)知AC∥A1C1,所以AC与EF所成的角就是A1C1与EF所成的角. 因为EF是△ABD的中位线,所以EF∥BD. 又因为AC⊥BD,所以AC⊥EF,所以EF⊥A1C1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 【综合应用练】 11.(5分)(多选)如图,在四面体ABCD中,E,F分别为AB,CD的中点,若BD,AC所成的角为60°,且BD=AC=4,则EF的长可以为(　　) A.2 B.4 C.2 D.4 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 【解析】选AC.取线段AD的中点G,连接EG,FG, 因为E,G分别为AB,AD的中点, 则EG∥BD且EG=BD=×4=2, 同理可得FG∥AC且FG=AC=×4=2, 所以异面直线BD,AC所成的角为∠EGF或其补角, ①若∠EGF=60°,则△EGF是边长为2的等边三角形,故EF=2; ②若∠EGF=120°,因为EG=FG=2,则△EGF为等腰三角形,且∠GEF=∠GFE=30°, 取EF的中点H,连接GH,则GH⊥EF,且EF=2EH=2EGcos 30°=4×=2. 综上所述,EF=2或2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 12.(5分)在矩形ABCD中,AB=4,AD=2,P为边AB的中点,现将△DAP绕直线DP翻转 至△DA'P处,如图所示,若M为线段A'C的中点,则异面直线BM与PA'所成角的正切 值为(　　) A. B.2 C. D.4 【解析】选A.取A'D的中点N,连接PN,MN. 因为M是A'C的中点,所以MN∥CD∥PB,且MN=PB,所以四边形PBMN为平行四 边形,所以MB∥PN,所以∠A'PN为异面直线BM与PA'所成的角. 在Rt△NA'P中,tan∠A'PN==. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 13.(5分)如图,等腰梯形ABCD沿对角线AC翻折,得到空间四边形D1ABC,若 BC=CD=DA=AB=1,则直线AD1与BC所成角的大小可能为__________ ______________________________________.(写出一个值即可)  　90°(只需 写出[60°,90°]内的角度即可,答案不唯一)　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 【解析】由题意,补全等腰梯形ABCD为正三角形ABE,则直线AD1与BC所成角的大 小为直线AE与BC所成角, 易得当等腰梯形ABCD沿对角线AC翻折时,AE的轨迹为以A为顶点, AC为高的圆锥侧面, 设∠BCF=90°,在CF上取G使得EG∥BC, 则直线AD1与BC所成的角即∠AEG, 故cos∠AEG=,因为AE=2,EG∈[0,1], 故cos∠AEG∈[0,],故∠AEG∈[60°,90°], 故只需写出[60°,90°]内的角度即可,如90°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 14.(10分)如图,在正三棱柱ABC-A'B'C'中,E为棱AC的中点,AB=BB'=2.求 证:BE⊥AC'. 【证明】如图,取CC'的中点F,连接EF,BF, 因为E为AC的中点,F为CC'的中点, 所以EF∥AC',所以BE和EF所成的角为∠BEF, 即为异面直线BE与AC'所成的角,且EF=AC'. 在正三棱柱ABC-A'B'C'中,AC'=2,EF=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 在等边三角形ABC中,BE==, 在Rt△BCF中,BF==. 在△BEF中,因为BE2+EF2=BF2, 所以∠BEF=90°, 所以BE⊥EF,所以BE⊥AC'. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 15.(10分)已知E,F,G,H依次为空间四边形ABCD各边的中点. (1)求证:E,F,G,H四点共面; 【解析】(1)如图所示,因为E,F,G,H依次为空间四边形ABCD各边的中点, 所以EF=AC,GH=AC,且EF∥AC,GH∥AC,所以EF∥GH且EF=GH, 所以四边形EFGH为平行四边形. 所以E,F,G,H四点共面. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 (2)若AC与BD相互垂直,BD=2,AC=4,求EG2+HF2; 【解析】(2)因为AC=4,所以EF=2,同理可得:EH=1. 又AC⊥BD,所以EF⊥EH, 可得四边形EFGH为矩形. 所以EG2+HF2=2×(22+12)=10. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 (3)若EG=,BD=2,AC=4,求直线BD与AC的夹角. 【解析】(3)由(1)可知:∠EFG或其补角为直线BD与AC的夹角. cos∠EFG==-, 所以直线BD与AC的夹角为60°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 【创新拓展练】 16.(5分)在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,P为底面ABCD内(包括边界) 的动点,满足直线D1P与直线CC1所成角的大小为,则线段DP扫过的面积的 大小为(　　) A. B. C. D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 【解析】选A.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,易得DD1∥CC1,要使直线D1P与 直线CC1所成角的大小为,只需DD1与直线D1P所成角的大小为,所以D1P 绕DD1以为夹角旋转,形成锥体的一部分,如图所示: 所以tan∠DD1P==,即DP=, 所以点P的轨迹是以D为圆心,r=为半径的四分之一圆,故线段DP扫过的 面积的大小为πr2=π×()2=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 17.(5分)平面α过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A,α∥平面CB1D1, α∩平面ABCD=m,α∩平面ABB1A1=n,则m,n所成角的正弦值为_______.  【解析】如图所示,设平面CB1D1∩平面ABCD=m1, 因为α∥平面CB1D1,则m1∥m,又因为平面ABCD∥平面A1B1C1D1, 平面CB1D1∩平面A1B1C1D1=B1D1,所以B1D1∥m1,所以B1D1∥m, 同理可得CD1∥n.故m,n所成角的大小与B1D1,CD1所成角的大小相等, 即为∠CD1B1. 又因为B1C=B1D1=CD1(均为面对角线),所以∠CD1B1=,得sin∠CD1B1=. 　　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 $ 三十二　直线与直线垂直 (时间:45分钟　分值:100分) 【基础全面练】 1.(5分)在三棱锥A-BCD中,E,F,G分别是AB,AC,BD的中点,若直线AD与直线BC所成的角为60°,则∠FEG为 (　　) A.30° B.60° C.120° D.60°或120° 【解析】选D.如图: 因为E,F,G分别是AB,AC,BD的中点,所以EG∥AD,EF∥BC, 由于AD与BC是异面直线,根据异面直线所成角的定义可知,∠FEG为异面直线AD与BC所成的角或其补角, 因为AD与BC所成的角为60°,所以∠FEG为60°或120°. 2.(5分)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,与对角线A1B成45°的棱的条数为 (　　) A.4 B.6 C.8 D.12 【解析】选C.如图所示, 在正方形ABB1A1中,AA1,AB,BB1,A1B1与A1B均成45°角,根据线线角的定义知,DD1,CC1,DC,D1C1都与A1B成45°角,所以满足条件的棱有8条. 3.(5分)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,异面直线AD1与BD所成的角为 (　　) A.30° B.45° C.60° D.90° 【解析】选C.由题意,作正方体ABCD-A1B1C1D1,如图所示: 连接BC1,DC1,因为AD1∥BC1, 所以异面直线AD1与BD所成的角为∠DBC1. 由题可得△DBC1为等边三角形,所以∠DBC1=60°. 所以异面直线AD1与BD所成的角为60°. 4.(5分)如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=8,AD=6,异面直线BD与AC1所成角的余弦值为,则CC1= (　　) A. B.2 C.2 D.3 【解析】选C.连接AC,交DB于点O,取CC1的中点E,连接OE,BE. 易得AC1∥OE,所以直线BD与AC1所成的角为∠BOE(或其补角). 令EC=x,在Rt△ABD中,由AB=8,AD=6,得BD=10,所以OB=5. 又OE=,BE=,cos∠BOE=, 由余弦定理得=, 即=, 解得x=(负值舍去), 所以CC1=2. 5.(5分)(多选)设a,b,c是三条直线,且c⊥a,c⊥b,则a和b的位置关系为 (　　) A.平行 B.相交 C.异面 D.无法判断 【解析】选ABC.如图,若DD1=c,D1C1=a,A1D1=b,则a和b相交; 若DD1=c,D1C1=a,AD=b,则a和b异面; 若DD1=c,D1C1=a,DC=b,则a和b平行, 所以空间中垂直于同一条直线的两条直线可能平行、相交或异面. 6.(5分)(多选)如图,在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是AB1,BC1的中点,则以下结论中正确的是 (　　) A.EF与BB1垂直 B.EF与BD垂直 C.EF与CD异面 D.EF与A1C1异面 【解析】选ABC.如图所示,连接A1B,由几何关系可得点E为A1B的中点,且BF=FC1,由三角形中位线的性质可得:EF∥A1C1,即EF与A1C1不是异面直线.很明显,EF与CD异面,故C正确,D不正确;由几何关系可得:A1C1⊥BB1,A1C1⊥BD,则EF⊥BB1,EF⊥BD,故A,B正确. 7.(5分)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥AB,AA1⊥AC.若AB=AC=AA1=1,BC=,则异面直线A1C与B1C1所成的角为　60°　.  【解析】依题意,得BC∥B1C1,故异面直线A1C与B1C1所成的角即直线BC与A1C所成的角. 连接A1B,在△A1BC中,BC=A1C=A1B=,故∠A1CB=60°, 即异面直线A1C与B1C1所成的角为60°. 8.(5分)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,若AE与A1B1所成的角的大小为25°,则异面直线AE与B1C1所成的角的大小为　65°　.  【解析】因为A1B1∥AB,所以∠BAE=25°,因为B1C1∥BC,所以异面直线AE与B1C1所成的角是∠AEB=90°-25°=65°. 9.(5分)如图,在圆柱OO1中,底面半径为1,OA⊥O1B,异面直线AB与OO1所成角的正切值为,则圆柱的高为　4　.  【解析】如图,过点B作OO1的平行线交底面圆O于点H,连接OH,AH, 则∠ABH即为异面直线AB与OO1所成的角, tan∠ABH=, 易知OH∥O1B且OH=O1B, 由OA⊥O1B可知,OA⊥OH, 所以AH==,又tan∠ABH=, 所以圆柱OO1的高BH==4. 10.(10分)如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中. (1)求A1C1与B1C所成角的大小; 【解析】(1)连接AC,AB1.由正方体ABCD-A1B1C1D1知,四边形AA1C1C为平行四边形, 所以AC∥A1C1,从而B1C与AC所成的角就是A1C1与B1C所成的角. 在△AB1C中,由AB1=AC=B1C,可知∠B1CA=60°,即A1C1与B1C所成的角为60°. (2)若E,F分别为AB,AD的中点,求证:EF⊥A1C1. 【解析】(2)连接BD.由(1)知AC∥A1C1,所以AC与EF所成的角就是A1C1与EF所成的角. 因为EF是△ABD的中位线,所以EF∥BD. 又因为AC⊥BD,所以AC⊥EF,所以EF⊥A1C1. 【综合应用练】 11.(5分)(多选)如图,在四面体ABCD中,E,F分别为AB,CD的中点,若BD,AC所成的角为60°,且BD=AC=4,则EF的长可以为 (　　) A.2 B.4 C.2 D.4 【解析】选AC.取线段AD的中点G,连接EG,FG, 因为E,G分别为AB,AD的中点, 则EG∥BD且EG=BD=×4=2, 同理可得FG∥AC且FG=AC=×4=2, 所以异面直线BD,AC所成的角为∠EGF或其补角, ①若∠EGF=60°,则△EGF是边长为2的等边三角形,故EF=2; ②若∠EGF=120°,因为EG=FG=2,则△EGF为等腰三角形,且∠GEF=∠GFE=30°, 取EF的中点H,连接GH,则GH⊥EF,且EF=2EH=2EGcos 30°=4×=2. 综上所述,EF=2或2. 12.(5分)在矩形ABCD中,AB=4,AD=2,P为边AB的中点,现将△DAP绕直线DP翻转至△DA'P处,如图所示,若M为线段A'C的中点,则异面直线BM与PA'所成角的正切值为(　　) A. B.2 C. D.4 【解析】选A.取A'D的中点N,连接PN,MN. 因为M是A'C的中点,所以MN∥CD∥PB,且MN=PB,所以四边形PBMN为平行四边形,所以MB∥PN,所以∠A'PN为异面直线BM与PA'所成的角. 在Rt△NA'P中,tan∠A'PN==. 13.(5分)如图,等腰梯形ABCD沿对角线AC翻折,得到空间四边形D1ABC,若BC=CD=DA=AB=1,则直线AD1与BC所成角的大小可能为　90°(只需写出[60°,90°]内的角度即可,答案不唯一)　.(写出一个值即可)  【解析】由题意,补全等腰梯形ABCD为正三角形ABE,则直线AD1与BC所成角的大小为直线AE与BC所成角, 易得当等腰梯形ABCD沿对角线AC翻折时,AE的轨迹为以A为顶点,AC为高的圆锥侧面, 设∠BCF=90°,在CF上取G使得EG∥BC, 则直线AD1与BC所成的角即∠AEG, 故cos∠AEG=,因为AE=2,EG∈[0,1], 故cos∠AEG∈[0,],故∠AEG∈[60°,90°], 故只需写出[60°,90°]内的角度即可,如90°. 14.(10分)如图,在正三棱柱ABC-A'B'C'中,E为棱AC的中点,AB=BB'=2.求证:BE⊥AC'. 【证明】如图,取CC'的中点F,连接EF,BF, 因为E为AC的中点,F为CC'的中点, 所以EF∥AC',所以BE和EF所成的角为∠BEF,即为异面直线BE与AC'所成的角,且EF=AC'. 在正三棱柱ABC-A'B'C'中,AC'=2,EF=. 在等边三角形ABC中,BE==, 在Rt△BCF中,BF==. 在△BEF中,因为BE2+EF2=BF2, 所以∠BEF=90°, 所以BE⊥EF,所以BE⊥AC'. 15.(10分)已知E,F,G,H依次为空间四边形ABCD各边的中点. (1)求证:E,F,G,H四点共面; 【解析】(1)如图所示,因为E,F,G,H依次为空间四边形ABCD各边的中点, 所以EF=AC,GH=AC,且EF∥AC,GH∥AC,所以EF∥GH且EF=GH, 所以四边形EFGH为平行四边形. 所以E,F,G,H四点共面. (2)若AC与BD相互垂直,BD=2,AC=4,求EG2+HF2; 【解析】(2)因为AC=4,所以EF=2,同理可得:EH=1. 又AC⊥BD,所以EF⊥EH, 可得四边形EFGH为矩形. 所以EG2+HF2=2×(22+12)=10. (3)若EG=,BD=2,AC=4,求直线BD与AC的夹角. 【解析】(3)由(1)可知:∠EFG或其补角为直线BD与AC的夹角. cos∠EFG==-, 所以直线BD与AC的夹角为60°. 【创新拓展练】 16.(5分)在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,P为底面ABCD内(包括边界)的动点,满足直线D1P与直线CC1所成角的大小为,则线段DP扫过的面积的大小为 (　　) A. B. C. D. 【解析】选A.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,易得DD1∥CC1,要使直线D1P与直线CC1所成角的大小为,只需DD1与直线D1P所成角的大小为,所以D1P绕DD1以为夹角旋转,形成锥体的一部分,如图所示: 所以tan∠DD1P==,即DP=, 所以点P的轨迹是以D为圆心,r=为半径的四分之一圆,故线段DP扫过的面积的大小为πr2=π×()2=. 17.(5分)平面α过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A,α∥平面CB1D1,α∩平面ABCD=m,α∩平面ABB1A1=n,则m,n所成角的正弦值为　　.  【解析】如图所示,设平面CB1D1∩平面ABCD=m1, 因为α∥平面CB1D1,则m1∥m,又因为平面ABCD∥平面A1B1C1D1,平面CB1D1∩平面A1B1C1D1=B1D1,所以B1D1∥m1,所以B1D1∥m,同理可得CD1∥n.故m,n所成角的大小与B1D1,CD1所成角的大小相等,即为∠CD1B1. 又因为B1C=B1D1=CD1(均为面对角线),所以∠CD1B1=,得sin∠CD1B1=. - 1 - 学科网（北京）股份有限公司 $