2.课时跟踪检测练 31 第8章 三十一 平面与平面平行的性质定理(Word版+PPT版)-【满分思维】2025-2026学年高中数学必修第二册（人教A版）

三十一　平面与平面平行的性质定理 (时间:45分钟　分值:100分) 【基础全面练】 1.(5分)已知平面α∥平面β,过平面α内的一条直线a的平面γ,与平面β相交,交 线为直线b,则a,b的位置关系是(　　) A.平行 B.相交 C.异面 D.不确定 【解析】选A.两平行平面α,β被第三个平面γ所截,则交线a,b平行. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 2.(5分)(多选)已知平面α∥平面β,直线m⊂α,直线n⊂β,下列结论中正确的是 (　　) A.m∥β B.n∥α C.m∥n D.m与n不相交 【解析】选ABD.因为平面α∥平面β,直线m⊂α,直线n⊂β,则m∥β,n∥α,m与 n无公共点,即m与n不相交.故ABD选项正确,C选项错误. √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 3.(5分)两个平行平面与另两个平行平面相交所得四条直线的位置关系是 (　　) A.两两相互平行 B.两两相交于一点 C.两两相交但不一定交于同一点 D.两两相互平行或交于同一点 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 【解析】选A.根据题意,作图如下:α∥β,γ∥φ,α∩γ=m,β∩γ=n, 根据两个平面平行的性质定理可得,m∥n.同理可得其他几条交线相互平行,故两个平行平面与另两个平行平面相交所得四条直线相互平行. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 4.(5分)如图,不同在一个平面内的三条平行直线和两个平行平面相交,两个 平面内以交点为顶点的两个三角形是 (　　) A.相似但不全等的三角形 B.全等三角形 C.面积相等的不全等三角形 D.以上结论都不对 【解析】选B.由题意知AA'∥BB'∥CC',α∥β,由面面平行的性质定理,得 AC∥A'C',则四边形ACC'A'为平行四边形,所以AC=A'C'. 同理BC=B'C',AB=A'B',所以△ABC≌△A'B'C'. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 5.(5分)(多选)如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为3,点E在A1B1上, 且B1E=1,平面α∥平面BC1E,若平面α∩平面AA1B1B=A1F,则 (　　) A.A1F∥BE B.四边形A1FBE为梯形 C.AF=1 D.A1F= 【解析】选AC.平面α∥平面BC1E, 平面α∩平面ABB1A1=A1F,平面BC1E∩平面ABB1A1=BE,所以A1F∥BE, 又A1E∥FB,所以四边形A1FBE为平行四边形,所以FB=A1E=3-1=2, 所以AF=1,A1F=. √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 6.(5分)如图,在多面体ABC-DEFG中,平面ABC∥平面DEFG,EF∥DG, 且AB=DE,DG=2EF,则 (　　) A.BF∥平面ACGD B.CF∥平面ABED C.BC∥FG D.平面ABED∥平面CGF √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 【解析】选A.如图所示,取DG的中点M,连接AM,FM, 则由已知条件易证得四边形DEFM是平行四边形, 所以DE∥FM,且DE=FM. 因为平面ABC∥平面DEFG,平面ABC∩平面ADEB=AB, 平面DEFG∩平面ADEB=DE,所以AB∥DE, 所以AB∥FM.又因为AB=DE,所以AB=FM,所以四边形ABFM是平行四边形, 所以BF∥AM.又因为BF⊄平面ACGD,AM⊂平面ACGD, 所以BF∥平面ACGD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 7.(5分)棱柱的两底面为α,β,且A∈α,B∈α,C∈β,D∈β,AD∥BC,则AB与CD的 位置关系是_________.  【解析】因为AD∥BC,且平面ABCD∩α=AB,平面ABCD∩β=CD, 又因为α∥β,所以AB∥CD. 　平行　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 8.(5分)夹在两平行平面间的两条线段AB,CD相交于点O(如图所示),已知 AO=4,BO=2,CD=9,则线段CO=______,DO=______.  【解析】由两个平面平行的性质定理,得AC∥BD,所以=,即=, 所以CO=6,DO=3. 　6　 　3　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 9.(5分)如图是长方体被一平面所截得的几何体,四边形EFGH为截面,则四 边形EFGH的形状为_______________.  【解析】因为平面ABFE∥平面DCGH,又平面EFGH∩平面ABFE=EF,平 面EFGH∩平面CDHG=HG,所以EF∥HG.同理EH∥FG.所以四边形EFGH 是平行四边形. 　平行四边形　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 10.(10分)如图,在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD为梯形,AD∥BC,平 面A1DCE与B1B交于点E.求证:EC∥A1D. 【证明】因为BE∥AA1,AA1⊂平面AA1D,BE⊄平面AA1D, 所以BE∥平面AA1D. 因为BC∥AD,AD⊂平面AA1D,BC⊄平面AA1D,所以BC∥平面AA1D. 因为BE∩BC=B,BE⊂平面BCE,BC⊂平面BCE,所以平面BCE∥平面AA1D. 又因为平面A1DCE∩平面BCE=EC,平面A1DCE∩平面AA1D=A1D, 所以EC∥A1D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 【综合应用练】 11.(5分)如图,在三棱台ABC-A1B1C1中,点D在A1B1上,且AA1∥BD,点M是 △A1B1C1及其内部的一个动点,且有平面BDM∥平面A1C,则动点M的轨迹是 (　　) A.平面 B.直线 C.线段,但只含1个端点 D.圆 【解析】选C.因为平面BDM∥平面A1C,平面BDM∩平面A1B1C1=DM, 平面A1C∩平面A1B1C1=A1C1,所以DM∥A1C1,过D作DE1∥A1C1交B1C1于 点E1(图略),则点M的轨迹是线段DE1(不包括D点). √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 12.(5分)(多选)已知平面α∥平面β,点S是α,β外一点,过点S的两条直线AB,CD分别 交α于A,C,交β于B,D,若SA=2,SB=4,CD=6,则SC的长度可能为 (　　) A.2 B.4 C.6 D.8 【解析】选AC.当两个平面在点S的同侧时,如图1所示: 由两个平面平行的性质定理可得AC∥BD, 所以=,由SA=2,AB=SB-SA=2,CD=6,解得SC=6; 当点S在两个面的中间时,如图2所示: 由AC∥BD,可得==,所以SC=SD,所以SC=CD=2, 综上知,SC的值为6或2. √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 13.(5分)(2025·上海高一检测)在长方体ABCD-A1B1C1D1中,O为正方形ABCD的中 心,P是DD1的中点,设Q是CC1上的点,则点Q满足条件____________________时, 有平面D1BQ∥平面PAO.  【解析】如图所示,设Q为CC1的中点,因为P为DD1的中点,所以QB∥PA, 连接DB,因为P,O分别是DD1,DB的中点,所以D1B∥PO, 又PO⊂平面PAO,PA⊂平面PAO,D1B⊄平面PAO,QB⊄平面PAO, 所以D1B∥平面PAO,QB∥平面PAO,又D1B∩QB=B, 所以平面D1BQ∥平面PAO,故点Q为CC1的中点时, 有平面D1BQ∥平面PAO. 　点Q为CC1的中点　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 14.(10分)如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,点E为A1D1的中点,点F在 C1D1上,若EF∥平面ACB1,求EF的长度. 【解析】设平面AB1C∩平面A1C1=m, 因为EF∥平面AB1C,EF⊂平面A1C1,平面AB1C∩平面A1C1=m, 所以EF∥m,又平面A1C1∥平面AC,平面AB1C∩平面A1C1=m, 平面AB1C∩平面AC=AC, 所以m∥AC,又EF∥m,所以EF∥AC,又A1C1∥AC,所以EF∥A1C1, 又E为A1D1的中点,所以EF=A1C1=2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 15.(10分)(2025·杭州高一检测)如图,斜三棱柱ABC-A1B1C1中,D,D1分别为 AC,A1C1上的点. (1)当=1时,求证:BC1∥平面AB1D1; 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 【解析】(1)如图,当=1时,D1为线段A1C1的中点, 连接A1B交AB1于点O,连接OD1. 由棱柱的性质,知四边形A1ABB1为平行四边形,所以点O为A1B的中点. 在△A1BC1中,点O,D1分别为A1B,A1C1的中点, 所以OD1∥BC1. 又因为OD1⊂平面AB1D1,BC1⊄平面AB1D1, 所以BC1∥平面AB1D1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 (2)若平面BC1D∥平面AB1D1,求的值,并说明理由. 【解析】(2)由已知,平面BC1D∥平面AB1D1,且平面A1BC1∩平面BDC1=BC1, 平面A1BC1∩平面AB1D1=D1O.因此BC1∥D1O,同理AD1∥DC1. 所以=,=. 又因为=1,所以=1,即=1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 【创新拓展练】 16.(5分)设α∥β,A∈α,B∈β,C是AB的中点,当A,B分别在平面α,β内运动时,那么所有的动点C(　　) A.不共面 B.当且仅当A,B分别在两条直线上移动时才共面 C.当且仅当A,B分别在两条给定的异面直线上移动时才共面 D.不论A,B如何移动,都共面 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 【解析】选D.如图,A',B'分别是A,B两点在α,β上运动后的两点,此时AB的中 点C变成A'B'的中点C',连接A'B,取A'B的中点E,连接CE,C'E,AA',BB'. 则CE∥AA',C'E∥BB',所以CE∥α,C'E∥β. 又因为α∥β,所以C'E∥α.因为C'E∩CE=E, 所以平面CC'E∥平面α.所以CC'∥α. 所以不论A,B如何移动, 所有的动点C都在过C点且与α,β平行的平面上. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 17.(5分)如图,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E,F分别是棱 A1D1,A1B1的中点,P是侧面正方形BCC1B1内一点(含边界),若FP∥平面AEC, 则线段FP长度的取值范围为____________.  　[,]　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 【解析】如图,取B1C1中点G,连接FG,BG,BF, 点E,F分别是棱A1D1,A1B1的中点,则FG∥AC,BG∥AE, 又FG∩BG=G,AE∩AC=A,FG,BG⊂平面BFG,AE,AC⊂平面AEC, 所以平面BFG∥平面AEC,因为FP∥平面AEC,故FP⊂平面BFG, 又P是侧面正方形BCC1B1内一点(含边界),面BFG∩面BCC1B1=BG,故P∈BG, 易得FG=,BF=BG==,△BFG边FG上的 高h1==,故由等面积法,△BFG边BG上的 高h2==,故FP∈[,]. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 $ 三十一　平面与平面平行的性质定理 (时间:45分钟　分值:100分) 【基础全面练】 1.(5分)已知平面α∥平面β,过平面α内的一条直线a的平面γ,与平面β相交,交线为直线b,则a,b的位置关系是 (　　) A.平行 B.相交 C.异面 D.不确定 【解析】选A.两平行平面α,β被第三个平面γ所截,则交线a,b平行. 2.(5分)(多选)已知平面α∥平面β,直线m⊂α,直线n⊂β,下列结论中正确的是 (　　) A.m∥β B.n∥α C.m∥n D.m与n不相交 【解析】选ABD.因为平面α∥平面β,直线m⊂α,直线n⊂β,则m∥β,n∥α,m与n无公共点,即m与n不相交.故ABD选项正确,C选项错误. 3.(5分)两个平行平面与另两个平行平面相交所得四条直线的位置关系是 (　　) A.两两相互平行 B.两两相交于一点 C.两两相交但不一定交于同一点 D.两两相互平行或交于同一点 【解析】选A.根据题意,作图如下:α∥β,γ∥φ,α∩γ=m,β∩γ=n, 根据两个平面平行的性质定理可得,m∥n.同理可得其他几条交线相互平行,故两个平行平面与另两个平行平面相交所得四条直线相互平行. 4.(5分)如图,不同在一个平面内的三条平行直线和两个平行平面相交,两个平面内以交点为顶点的两个三角形是 (　　) A.相似但不全等的三角形 B.全等三角形 C.面积相等的不全等三角形 D.以上结论都不对 【解析】选B.由题意知AA'∥BB'∥CC',α∥β,由面面平行的性质定理,得AC∥A'C',则四边形ACC'A'为平行四边形,所以AC=A'C'. 同理BC=B'C',AB=A'B', 所以△ABC≌△A'B'C'. 5.(5分)(多选)如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为3,点E在A1B1上,且B1E=1,平面α∥平面BC1E,若平面α∩平面AA1B1B=A1F,则 (　　) A.A1F∥BE B.四边形A1FBE为梯形 C.AF=1 D.A1F= 【解析】选AC.平面α∥平面BC1E,平面α∩平面ABB1A1=A1F,平面BC1E∩平面ABB1A1=BE,所以A1F∥BE,又A1E∥FB,所以四边形A1FBE为平行四边形,所以FB=A1E=3-1=2,所以AF=1,A1F=. 6.(5分)如图,在多面体ABC-DEFG中,平面ABC∥平面DEFG,EF∥DG,且AB=DE,DG=2EF,则 (　　) A.BF∥平面ACGD B.CF∥平面ABED C.BC∥FG D.平面ABED∥平面CGF 【解析】选A.如图所示,取DG的中点M,连接AM,FM, 则由已知条件易证得四边形DEFM是平行四边形,所以DE∥FM,且DE=FM. 因为平面ABC∥平面DEFG,平面ABC∩平面ADEB=AB,平面DEFG∩平面ADEB=DE,所以AB∥DE, 所以AB∥FM.又因为AB=DE,所以AB=FM,所以四边形ABFM是平行四边形,所以BF∥AM.又因为BF⊄平面ACGD,AM⊂平面ACGD,所以BF∥平面ACGD. 7.(5分)棱柱的两底面为α,β,且A∈α,B∈α,C∈β,D∈β,AD∥BC,则AB与CD的位置关系是　平行　.  【解析】因为AD∥BC,且平面ABCD∩α=AB,平面ABCD∩β=CD,又因为α∥β,所以AB∥CD. 8.(5分)夹在两平行平面间的两条线段AB,CD相交于点O(如图所示),已知AO=4,BO=2,CD=9,则线段CO=　6　,DO=　3　.  【解析】由两个平面平行的性质定理,得AC∥BD,所以=,即=,所以CO=6,DO=3. 9.(5分)如图是长方体被一平面所截得的几何体,四边形EFGH为截面,则四边形EFGH的形状为　平行四边形　.  【解析】因为平面ABFE∥平面DCGH,又平面EFGH∩平面ABFE=EF,平面EFGH∩平面CDHG=HG,所以EF∥HG.同理EH∥FG.所以四边形EFGH是平行四边形. 10.(10分)如图,在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD为梯形,AD∥BC,平面A1DCE与B1B交于点E.求证:EC∥A1D. 【证明】因为BE∥AA1,AA1⊂平面AA1D,BE⊄平面AA1D,所以BE∥平面AA1D. 因为BC∥AD,AD⊂平面AA1D,BC⊄平面AA1D,所以BC∥平面AA1D. 因为BE∩BC=B,BE⊂平面BCE,BC⊂平面BCE,所以平面BCE∥平面AA1D. 又因为平面A1DCE∩平面BCE=EC,平面A1DCE∩平面AA1D=A1D, 所以EC∥A1D. 【综合应用练】 11.(5分)如图,在三棱台ABC-A1B1C1中,点D在A1B1上,且AA1∥BD,点M是△A1B1C1及其内部的一个动点,且有平面BDM∥平面A1C,则动点M的轨迹是 (　　) A.平面 B.直线 C.线段,但只含1个端点 D.圆 【解析】选C.因为平面BDM∥平面A1C,平面BDM∩平面A1B1C1=DM,平面A1C∩平面A1B1C1=A1C1,所以DM∥A1C1,过D作DE1∥A1C1交B1C1于点E1(图略),则点M的轨迹是线段DE1(不包括D点). 12.(5分)(多选)已知平面α∥平面β,点S是α,β外一点,过点S的两条直线AB,CD分别交α于A,C,交β于B,D,若SA=2,SB=4,CD=6,则SC的长度可能为 (　　) A.2 B.4 C.6 D.8 【解析】选AC.当两个平面在点S的同侧时,如图1所示: 由两个平面平行的性质定理可得AC∥BD, 所以=,由SA=2,AB=SB-SA=2,CD=6,解得SC=6; 当点S在两个面的中间时,如图2所示: 由AC∥BD,可得==, 所以SC=SD,所以SC=CD=2, 综上知,SC的值为6或2. 13.(5分)(2025·上海高一检测)在长方体ABCD-A1B1C1D1中,O为正方形ABCD的中心,P是DD1的中点,设Q是CC1上的点,则点Q满足条件　点Q为CC1的中点　时,有平面D1BQ∥平面PAO.  【解析】如图所示,设Q为CC1的中点,因为P为DD1的中点,所以QB∥PA, 连接DB,因为P,O分别是DD1,DB的中点,所以D1B∥PO, 又PO⊂平面PAO,PA⊂平面PAO,D1B⊄平面PAO,QB⊄平面PAO, 所以D1B∥平面PAO,QB∥平面PAO,又D1B∩QB=B,所以平面D1BQ∥平面PAO, 故点Q为CC1的中点时,有平面D1BQ∥平面PAO. 14.(10分)如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,点E为A1D1的中点,点F在C1D1上,若EF∥平面ACB1,求EF的长度. 【解析】设平面AB1C∩平面A1C1=m, 因为EF∥平面AB1C,EF⊂平面A1C1,平面AB1C∩平面A1C1=m,所以EF∥m, 又平面A1C1∥平面AC,平面AB1C∩平面A1C1=m,平面AB1C∩平面AC=AC, 所以m∥AC,又EF∥m,所以EF∥AC,又A1C1∥AC,所以EF∥A1C1,又E为A1D1的中点, 所以EF=A1C1=2. 15.(10分)(2025·杭州高一检测)如图,斜三棱柱ABC-A1B1C1中,D,D1分别为AC,A1C1上的点. (1)当=1时,求证:BC1∥平面AB1D1; 【解析】(1)如图,当=1时,D1为线段A1C1的中点, 连接A1B交AB1于点O,连接OD1. 由棱柱的性质,知四边形A1ABB1为平行四边形,所以点O为A1B的中点. 在△A1BC1中,点O,D1分别为A1B,A1C1的中点, 所以OD1∥BC1. 又因为OD1⊂平面AB1D1,BC1⊄平面AB1D1, 所以BC1∥平面AB1D1. (2)若平面BC1D∥平面AB1D1,求的值,并说明理由. 【解析】(2)由已知,平面BC1D∥平面AB1D1,且平面A1BC1∩平面BDC1=BC1,平面A1BC1∩平面AB1D1=D1O.因此BC1∥D1O,同理AD1∥DC1. 所以=,=. 又因为=1,所以=1,即=1. 【创新拓展练】 16.(5分)设α∥β,A∈α,B∈β,C是AB的中点,当A,B分别在平面α,β内运动时,那么所有的动点C (　　) A.不共面 B.当且仅当A,B分别在两条直线上移动时才共面 C.当且仅当A,B分别在两条给定的异面直线上移动时才共面 D.不论A,B如何移动,都共面 【解析】选D.如图,A',B'分别是A,B两点在α,β上运动后的两点,此时AB的中点C变成A'B'的中点C',连接A'B,取A'B的中点E,连接CE,C'E,AA',BB'. 则CE∥AA',C'E∥BB',所以CE∥α,C'E∥β. 又因为α∥β,所以C'E∥α.因为C'E∩CE=E,所以平面CC'E∥平面α.所以CC'∥α. 所以不论A,B如何移动,所有的动点C都在过C点且与α,β平行的平面上. 17.(5分)如图,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E,F分别是棱A1D1,A1B1的中点,P是侧面正方形BCC1B1内一点(含边界),若FP∥平面AEC,则线段FP长度的取值范围为　[,]　.  【解析】如图,取B1C1中点G,连接FG,BG,BF, 点E,F分别是棱A1D1,A1B1的中点,则FG∥AC,BG∥AE, 又FG∩BG=G,AE∩AC=A,FG,BG⊂平面BFG,AE,AC⊂平面AEC,所以平面BFG∥平面AEC, 因为FP∥平面AEC,故FP⊂平面BFG, 又P是侧面正方形BCC1B1内一点(含边界),面BFG∩面BCC1B1=BG,故P∈BG, 易得FG=,BF=BG==,△BFG边FG上的高h1==,故由等面积法,△BFG边BG上的高h2==,故FP∈[,]. - 1 - 学科网（北京）股份有限公司 $