2.课时跟踪检测练 35 第8章 三十五 平面与平面垂直(1)(Word版+PPT版)-【满分思维】2025-2026学年高中数学必修第二册（人教A版）

三十五　平面与平面垂直(1) (时间:45分钟　分值:100分) 【基础全面练】 1.(5分)(多选)下列命题中不正确的是(　　) A.平面α和β分别过两条互相垂直的直线,则α⊥β B.若平面α内的一条直线垂直于平面β内的两条平行直线,则α⊥β C.若平面α内的一条直线垂直于平面β内的两条相交直线,则α⊥β D.若平面α内的一条直线垂直于平面β内的无数条直线,则α⊥β 【解析】选ABD.当平面α和β分别过两条互相垂直且异面的直线时,平面α 和β有可能平行,A不正确;一条直线垂直于平面内的两条相交直线才能得 出线面垂直,由平面与平面垂直的判定定理知B,D均不正确,C正确. √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 2.(5分)阅读下面题目及其证明过程,在横线处应填写的正确结论是 (　　) 已知AB是平面α的垂线,AC是平面α的斜线,CD⊂α,CD⊥AC,如图, 求证:平面ABC⊥平面ACD. 证明:因为AB⊥α,CD⊂α,所以AB⊥CD, 又因为CD⊥AC,AB∩AC=A,AB,AC⊂平面ABC,所以　　　　　,  而CD⊂平面ACD,所以平面ABC⊥平面ACD. A.AB⊥平面ACD B.BC⊥平面ACD C.CD⊥平面ABC D.AD⊥平面ABC 【解析】选C.根据线面垂直的判定定理,知横线上应填写“CD⊥平面ABC”. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 3.(5分)在正方体ABCD-A'B'C'D'中,二面角D'-AB-D的大小是 (　　) A.30° B.45° C.60° D.90° 【解析】选B.如图,由正方体的性质易知AB⊥平面ADD'A', 则AB⊥AD,AB⊥AD',则∠D'AD为二面角D'-AB-D的平面角, 又因为四边形ADD'A'为正方形,所以∠D'AD=45°, 即二面角D'-AB-D的大小是45°. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 4.(5分)已知AB是圆柱上底面的一条直径,C是上底面圆周上异于A,B的一 点,D为下底面圆周上一点,且AD垂直于圆柱的底面,则必有 (　　) A.平面ABC⊥平面BCD B.平面BCD⊥平面ACD C.平面ABD⊥平面ACD D.平面BCD⊥平面ABD √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 【解析】选B.因为AB是圆柱上底面的一条直径,所以AC⊥BC. 又AD垂直于圆柱的底面,BC⊂圆柱的底面,所以AD⊥BC. 因为AC∩AD=A,AC,AD⊂平面ACD, 所以BC⊥平面ACD. 又BC⊂平面BCD,所以平面BCD⊥平面ACD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 5.(5分)(多选)在棱长都相等的四面体P-ABC中,D,E,F分别是AB,BC,CA的中 点,则下面四个结论中成立的是 (　　) A.BC∥平面PDF B.DF⊥平面PAE C.平面PDF⊥平面ABC D.平面PAE⊥平面ABC √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 【解析】选ABD.可画出对应图形,如图所示, 则BC∥DF,又DF⊂平面PDF,BC⊄平面PDF, 所以BC∥平面PDF,故A成立; 由AE⊥BC,PE⊥BC,BC∥DF, 知DF⊥AE,DF⊥PE,又AE∩PE=E,所以DF⊥平面PAE,故B成立; 又DF⊂平面ABC,所以平面ABC⊥平面PAE,故D成立. 同理可证平面PBF⊥平面ABC, 因为平面PBF∩平面PDF=PF,又PF不垂直于平面ABC,所以平面PDF不垂 直于平面ABC,故C不成立. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 6.(5分)把正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角,则△ABC是 (　　) A.等边三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形 D.钝角三角形 【解析】选A.如图①,设正方形ABCD的边长为1,AC与BD相交于点O, 则折成直二面角后如图②,AB=BC=1,AC===1, 则△ABC是等边三角形. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 7.(5分)在三棱锥P-ABC中,已知PA⊥PB,PB⊥PC,PC⊥PA,如图所示,则在三 棱锥P-ABC的四个面中,互相垂直的面有______对.  【解析】因为PA⊥PB,PA⊥PC,PB∩PC=P, 且PB,PC⊂平面PBC,所以PA⊥平面PBC. 因为PA⊂平面PAB,PA⊂平面PAC, 所以平面PAB⊥平面PBC,平面PAC⊥平面PBC. 同理可证:平面PAB⊥平面PAC. 　3　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 8.(5分)如图,将等腰直角三角形ABC沿斜边BC上的高AD折叠,使得 ∠B'AC=60°,则此时平面ACD与平面AB'D_________(填“垂直”或“不垂直”).  【解析】由题意得,AD⊥B'D,AD⊥CD,B'D=DC=AC, 因此∠B'DC是平面ACD与平面AB'D所成二面角的平面角. 又因为∠B'AC=60°,AB'=AC, 所以△B'AC是等边三角形,所以B'C=AC, 所以B'C2=B'D2+CD2,所以∠B'DC=90°, 所以平面ACD与平面AB'D垂直. 　垂直　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 9.(5分)如图,在四棱锥V-ABCD中,底面ABCD是边长为2的正方形,其他四个 侧面都是侧棱长为的等腰三角形,则二面角V-AB-C的度数是________.  【解析】如图,取AB的中点E,CD的中点F, 连接VE,EF,VF,由题意知,AB⊥VE,AB⊥EF, 所以∠VEF为二面角V-AB-C的平面角. 易知△VEF为等边三角形,所以∠VEF=60°. 　60°　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 10.(10分)四边形ABCD是正方形,PA⊥平面ABCD,且PA=AB.求: (1)二面角A-PD-C的平面角的度数; 【解析】(1)因为PA⊥平面ABCD,CD⊂平面ABCD, 所以PA⊥CD,又四边形ABCD为正方形,所以CD⊥AD, 因为PA∩AD=A,PA,AD⊂平面PAD, 所以CD⊥平面PAD,又CD⊂平面PCD, 所以平面PAD⊥平面PCD, 所以二面角A-PD-C的平面角的度数为90°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 (2)二面角B-PA-D的平面角的度数; 【解析】(2)因为PA⊥平面ABCD,AB⊂平面ABCD, AD⊂平面ABCD, 所以AB⊥PA,AD⊥PA. 所以∠BAD为二面角B-PA-D的平面角. 由题意可得∠BAD=90°, 所以二面角B-PA-D的平面角的度数为90°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 (3)二面角B-PA-C的平面角的度数. 【解析】(3)因为PA⊥平面ABCD,AB⊂平面ABCD, AC⊂平面ABCD, 所以AB⊥PA,AC⊥PA. 所以∠BAC为二面角B-PA-C的平面角. 又四边形ABCD为正方形,所以∠BAC=45°, 即二面角B-PA-C的平面角的度数为45°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 【综合应用练】 11.(5分)若一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面,那 么这两个二面角(　　) A.相等 B.互补 C.相等或互补 D.关系无法确定 【解析】选D.如图所示,设平面ABC⊥平面BCD,平面EFDG⊥平面ABC, 平面HDGM⊥平面BCD, 当平面HDGM绕DG转动时,平面HDGM始终与平面BCD垂直, 而二面角H-DG-F的大小不确定,所以两个二面角的大小关系不确定. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 12.(5分)(多选)如图所示,AB为圆O的直径,点C在圆周上(异于点A,B),直线PA 垂直于圆O所在的平面,点M为线段PB的中点,以下四个命题正确的是 (　　) A.PA∥平面MOB B.MO∥平面PAC C.OC⊥平面PAC D.平面PAC⊥平面PBC √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 【解析】选BD.由题意得PA⊂平面MOB,故A错误; 因为OM是△PAB的中位线,所以OM∥PA,又OM⊄平面PAC,PA⊂平面PAC,所以OM∥平面PAC,故B正确; 因为AB是直径,所以BC⊥AC,又PA⊥平面ABC,BC⊂平面ABC,所以PA⊥BC,又PA∩AC=A,且PA,AC⊂平面PAC,所以BC⊥平面PAC,故C错误; 又BC⊂平面PBC,所以平面PAC⊥平面PBC,故D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 13.(5分)如图所示,在△ABC中,AB⊥BC,SA⊥平面ABC,DE垂直平分SC,且分 别交AC,SC于点D,E,又SA=AB,SB=BC,则二面角E-BD-C的大小为________.  【解析】因为E为SC的中点,且SB=BC,所以BE⊥SC. 又DE⊥SC,BE∩DE=E,且BE,DE⊂平面BDE, 所以SC⊥平面BDE,所以BD⊥SC. 因为SA⊥平面ABC,BD⊂平面ABC,所以SA⊥BD,又SC∩SA=S,且SC, SA⊂平面SAC,所以BD⊥平面SAC,从而BD⊥AC,BD⊥DE, 所以∠EDC为二面角E-BD-C的平面角. 　60°　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 设SA=AB=1,在△SAB中,因为SA⊥AB,所以SB=, 在△ABC中,因为AB⊥BC,BC=SB=, 所以AC=,所以SC=2. 在Rt△SAC中,∠DCS=30°,所以∠EDC=60°, 即二面角E-BD-C为60°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 14.(10分)如图,在四面体ABCD中,BD=a,AB=AD=CB=CD=AC=a. 求证:平面ABD⊥平面BCD. 【证明】因为△ABD与△BCD是全等的等腰三角形, 所以取BD的中点E,连接AE,CE,则AE⊥BD,BD⊥CE. 在△ABD中,AB=a,BE=BD=a, 所以AE==a. 同理CE=a, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 在△AEC中,AE=CE=a,AC=a. 因为AC2=AE2+CE2, 所以AE⊥CE,∠AEC=90°,又∠AEC是二面角A-BD-C的平面角, 所以二面角A-BD-C为直二面角, 所以平面ABD⊥平面BCD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 15.(10分)如图,在矩形ABCD中,AB=,BC=2,E为BC的中点,把△ABE和 △CDE分别沿AE,DE折起,使点B与点C重合于点P. (1)求证:平面PDE⊥平面PAD; 【解析】(1)由AB⊥BE,得AP⊥PE,同理DP⊥PE. 又因为AP∩DP=P,AP,DP⊂平面PAD, 所以PE⊥平面PAD. 又PE⊂平面PDE,所以平面PDE⊥平面PAD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 (2)求二面角P-AD-E的大小. 【解析】(2)如图所示,取AD的中点F,连接PF,EF, 因为四边形ABCD为矩形, 所以ED=EA,所以EF⊥AD, 因为PD=PA,所以PF⊥AD, 故∠PFE就是二面角P-AD-E的平面角. 又PE⊥平面PAD,PF⊂平面PAD, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 所以PE⊥PF,因为EF=AB=, 所以PF===1, 所以cos∠PFE===. 所以二面角P-AD-E的大小为45°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 【创新拓展练】 16.(5分)已知直三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱长为2,AB⊥BC,AB=BC=2.过 AB,BB1的中点E,F作平面α与平面AA1C1C垂直,则所得截面图形的周长为 (　　) A.2+ B.+2 C.3+ D.3+2 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 【解析】选C.如图,取AC的中点D,连接BD,取A1C1的中点D1,连接B1D1,DD1, 取AD的中点G,连接EG,连接EF并延长,与A1B1的延长线交于点H,取C1D1的 中点M,连接MH,交B1C1于点N,连接FN,GM, 可得EG∥BD,BD∥B1D1,MN∥B1D1,即有EG∥MN, 由AB=BC,可得BD⊥AC,由AA1⊥平面ABC,可得AA1⊥BD, 又AA1∩AC=A,且AA1,AC⊂平面AA1C1C, 所以BD⊥平面AA1C1C,所以EG⊥平面AA1C1C, 由面面垂直的判定定理,可得平面EGMNF⊥平面AA1C1C,则平面EGMNF即 为平面α. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 由EG=BD=,GM==, MN=B1D1=,NF==,FE=, 可得所得截面图形的周长为++++=3+. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 17.(5分)在如图所示的圆台中,AC是下底面圆O的直径,EF是上底面圆O'的 直径,FB是圆台的一条母线.已知EF=FB=AC=2,AB=BC,则二面角 F-BC-A的余弦值为_______.  　　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 【解析】连接OO',OB,过点F作FM⊥OB,垂足为点M,则有FM∥OO'. 又OO'⊥平面ABC,所以FM⊥平面ABC,可得FM==3. 过点M作MN⊥BC,垂足为点N,连接FN,可得FN⊥BC,从而∠FNM为二面角 F-BC-A的平面角. 又AB=BC,AC是圆O的直径, 所以MN=BMsin 45°=. 从而FN=,可得cos∠FNM=.所以二面角F-BC-A的余弦值为. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 $ 三十五　平面与平面垂直(1) (时间:45分钟　分值:100分) 【基础全面练】 1.(5分)(多选)下列命题中不正确的是 (　　) A.平面α和β分别过两条互相垂直的直线,则α⊥β B.若平面α内的一条直线垂直于平面β内的两条平行直线,则α⊥β C.若平面α内的一条直线垂直于平面β内的两条相交直线,则α⊥β D.若平面α内的一条直线垂直于平面β内的无数条直线,则α⊥β 【解析】选ABD.当平面α和β分别过两条互相垂直且异面的直线时,平面α和β有可能平行,A不正确;一条直线垂直于平面内的两条相交直线才能得出线面垂直,由平面与平面垂直的判定定理知B,D均不正确,C正确. 2.(5分)阅读下面题目及其证明过程,在横线处应填写的正确结论是 (　　) 已知AB是平面α的垂线,AC是平面α的斜线,CD⊂α,CD⊥AC,如图,求证:平面ABC⊥平面ACD. 证明:因为AB⊥α,CD⊂α,所以AB⊥CD, 又因为CD⊥AC,AB∩AC=A,AB,AC⊂平面ABC,所以　　　　　,  而CD⊂平面ACD,所以平面ABC⊥平面ACD. A.AB⊥平面ACD B.BC⊥平面ACD C.CD⊥平面ABC D.AD⊥平面ABC 【解析】选C.根据线面垂直的判定定理,知横线上应填写“CD⊥平面ABC”. 3.(5分)在正方体ABCD-A'B'C'D'中,二面角D'-AB-D的大小是 (　　) A.30° B.45° C.60° D.90° 【解析】选B.如图,由正方体的性质易知AB⊥平面ADD'A', 则AB⊥AD,AB⊥AD',则∠D'AD为二面角D'-AB-D的平面角, 又因为四边形ADD'A'为正方形,所以∠D'AD=45°,即二面角D'-AB-D的大小是45°. 4.(5分)已知AB是圆柱上底面的一条直径,C是上底面圆周上异于A,B的一点,D为下底面圆周上一点,且AD垂直于圆柱的底面,则必有 (　　) A.平面ABC⊥平面BCD B.平面BCD⊥平面ACD C.平面ABD⊥平面ACD D.平面BCD⊥平面ABD 【解析】选B.因为AB是圆柱上底面的一条直径,所以AC⊥BC. 又AD垂直于圆柱的底面,BC⊂圆柱的底面,所以AD⊥BC. 因为AC∩AD=A,AC,AD⊂平面ACD, 所以BC⊥平面ACD. 又BC⊂平面BCD,所以平面BCD⊥平面ACD. 5.(5分)(多选)在棱长都相等的四面体P-ABC中,D,E,F分别是AB,BC,CA的中点,则下面四个结论中成立的是 (　　) A.BC∥平面PDF B.DF⊥平面PAE C.平面PDF⊥平面ABC D.平面PAE⊥平面ABC 【解析】选ABD.可画出对应图形,如图所示, 则BC∥DF,又DF⊂平面PDF,BC⊄平面PDF, 所以BC∥平面PDF,故A成立; 由AE⊥BC,PE⊥BC,BC∥DF, 知DF⊥AE,DF⊥PE,又AE∩PE=E,所以DF⊥平面PAE,故B成立; 又DF⊂平面ABC,所以平面ABC⊥平面PAE,故D成立. 同理可证平面PBF⊥平面ABC, 因为平面PBF∩平面PDF=PF,又PF不垂直于平面ABC,所以平面PDF不垂直于平面ABC,故C不成立. 6.(5分)把正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角,则△ABC是 (　　) A.等边三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形 D.钝角三角形 【解析】选A.如图①,设正方形ABCD的边长为1,AC与BD相交于点O, 则折成直二面角后如图②,AB=BC=1,AC===1,则△ABC是等边三角形. 7.(5分)在三棱锥P-ABC中,已知PA⊥PB,PB⊥PC,PC⊥PA,如图所示,则在三棱锥P-ABC的四个面中,互相垂直的面有　3　对.  【解析】因为PA⊥PB,PA⊥PC,PB∩PC=P, 且PB,PC⊂平面PBC,所以PA⊥平面PBC. 因为PA⊂平面PAB,PA⊂平面PAC, 所以平面PAB⊥平面PBC,平面PAC⊥平面PBC. 同理可证:平面PAB⊥平面PAC. 8.(5分)如图,将等腰直角三角形ABC沿斜边BC上的高AD折叠,使得∠B'AC=60°,则此时平面ACD与平面AB'D　垂直　(填“垂直”或“不垂直”).  【解析】由题意得,AD⊥B'D,AD⊥CD,B'D=DC=AC,因此∠B'DC是平面ACD与平面AB'D所成二面角的平面角. 又因为∠B'AC=60°,AB'=AC, 所以△B'AC是等边三角形,所以B'C=AC, 所以B'C2=B'D2+CD2,所以∠B'DC=90°, 所以平面ACD与平面AB'D垂直. 9.(5分)如图,在四棱锥V-ABCD中,底面ABCD是边长为2的正方形,其他四个侧面都是侧棱长为的等腰三角形,则二面角V-AB-C的度数是　60°　.  【解析】如图,取AB的中点E,CD的中点F,连接VE,EF,VF,由题意知,AB⊥VE,AB⊥EF, 所以∠VEF为二面角V-AB-C的平面角. 易知△VEF为等边三角形,所以∠VEF=60°. 10.(10分)四边形ABCD是正方形,PA⊥平面ABCD,且PA=AB.求: (1)二面角A-PD-C的平面角的度数; 【解析】(1)因为PA⊥平面ABCD,CD⊂平面ABCD,所以PA⊥CD,又四边形ABCD为正方形,所以CD⊥AD, 因为PA∩AD=A,PA,AD⊂平面PAD, 所以CD⊥平面PAD,又CD⊂平面PCD, 所以平面PAD⊥平面PCD, 所以二面角A-PD-C的平面角的度数为90°. (2)二面角B-PA-D的平面角的度数; 【解析】(2)因为PA⊥平面ABCD,AB⊂平面ABCD, AD⊂平面ABCD, 所以AB⊥PA,AD⊥PA. 所以∠BAD为二面角B-PA-D的平面角. 由题意可得∠BAD=90°, 所以二面角B-PA-D的平面角的度数为90°. (3)二面角B-PA-C的平面角的度数. 【解析】(3)因为PA⊥平面ABCD,AB⊂平面ABCD, AC⊂平面ABCD, 所以AB⊥PA,AC⊥PA. 所以∠BAC为二面角B-PA-C的平面角. 又四边形ABCD为正方形,所以∠BAC=45°, 即二面角B-PA-C的平面角的度数为45°. 【综合应用练】 11.(5分)若一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面,那么这两个二面角 (　　) A.相等 B.互补 C.相等或互补 D.关系无法确定 【解析】选D.如图所示,设平面ABC⊥平面BCD,平面EFDG⊥平面ABC,平面HDGM⊥平面BCD, 当平面HDGM绕DG转动时,平面HDGM始终与平面BCD垂直, 而二面角H-DG-F的大小不确定,所以两个二面角的大小关系不确定. 12.(5分)(多选)如图所示,AB为圆O的直径,点C在圆周上(异于点A,B),直线PA垂直于圆O所在的平面,点M为线段PB的中点,以下四个命题正确的是 (　　) A.PA∥平面MOB B.MO∥平面PAC C.OC⊥平面PAC D.平面PAC⊥平面PBC 【解析】选BD.由题意得PA⊂平面MOB,故A错误; 因为OM是△PAB的中位线,所以OM∥PA,又OM⊄平面PAC,PA⊂平面PAC,所以OM∥平面PAC,故B正确; 因为AB是直径,所以BC⊥AC,又PA⊥平面ABC,BC⊂平面ABC,所以PA⊥BC,又PA∩AC=A,且PA,AC⊂平面PAC,所以BC⊥平面PAC,故C错误; 又BC⊂平面PBC,所以平面PAC⊥平面PBC,故D正确. 13.(5分)如图所示,在△ABC中,AB⊥BC,SA⊥平面ABC,DE垂直平分SC,且分别交AC,SC于点D,E,又SA=AB,SB=BC,则二面角E-BD-C的大小为　60°　.  【解析】因为E为SC的中点,且SB=BC,所以BE⊥SC. 又DE⊥SC,BE∩DE=E,且BE,DE⊂平面BDE,所以SC⊥平面BDE,所以BD⊥SC. 因为SA⊥平面ABC,BD⊂平面ABC,所以SA⊥BD,又SC∩SA=S,且SC,SA⊂平面SAC,所以BD⊥平面SAC,从而BD⊥AC,BD⊥DE, 所以∠EDC为二面角E-BD-C的平面角. 设SA=AB=1,在△SAB中,因为SA⊥AB,所以SB=, 在△ABC中,因为AB⊥BC,BC=SB=, 所以AC=,所以SC=2. 在Rt△SAC中,∠DCS=30°,所以∠EDC=60°, 即二面角E-BD-C为60°. 14.(10分)如图,在四面体ABCD中,BD=a,AB=AD=CB=CD=AC=a. 求证:平面ABD⊥平面BCD. 【证明】因为△ABD与△BCD是全等的等腰三角形,所以取BD的中点E,连接AE,CE,则AE⊥BD,BD⊥CE. 在△ABD中,AB=a,BE=BD=a, 所以AE==a. 同理CE=a, 在△AEC中,AE=CE=a,AC=a. 因为AC2=AE2+CE2, 所以AE⊥CE,∠AEC=90°,又∠AEC是二面角A-BD-C的平面角, 所以二面角A-BD-C为直二面角, 所以平面ABD⊥平面BCD. 15.(10分)如图,在矩形ABCD中,AB=,BC=2,E为BC的中点,把△ABE和△CDE分别沿AE,DE折起,使点B与点C重合于点P. (1)求证:平面PDE⊥平面PAD; 【解析】(1)由AB⊥BE,得AP⊥PE,同理DP⊥PE. 又因为AP∩DP=P,AP,DP⊂平面PAD, 所以PE⊥平面PAD. 又PE⊂平面PDE,所以平面PDE⊥平面PAD. (2)求二面角P-AD-E的大小. 【解析】(2)如图所示,取AD的中点F,连接PF,EF, 因为四边形ABCD为矩形, 所以ED=EA,所以EF⊥AD, 因为PD=PA,所以PF⊥AD, 故∠PFE就是二面角P-AD-E的平面角. 又PE⊥平面PAD,PF⊂平面PAD, 所以PE⊥PF,因为EF=AB=, 所以PF===1, 所以cos∠PFE===. 所以二面角P-AD-E的大小为45°. 【创新拓展练】 16.(5分)已知直三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱长为2,AB⊥BC,AB=BC=2.过AB,BB1的中点E,F作平面α与平面AA1C1C垂直,则所得截面图形的周长为 (　　) A.2+ B.+2 C.3+ D.3+2 【解析】选C.如图,取AC的中点D,连接BD,取A1C1的中点D1,连接B1D1,DD1,取AD的中点G,连接EG,连接EF并延长,与A1B1的延长线交于点H,取C1D1的中点M,连接MH,交B1C1于点N,连接FN,GM, 可得EG∥BD,BD∥B1D1,MN∥B1D1,即有EG∥MN, 由AB=BC,可得BD⊥AC,由AA1⊥平面ABC,可得AA1⊥BD, 又AA1∩AC=A,且AA1,AC⊂平面AA1C1C, 所以BD⊥平面AA1C1C,所以EG⊥平面AA1C1C, 由面面垂直的判定定理,可得平面EGMNF⊥平面AA1C1C,则平面EGMNF即为平面α. 由EG=BD=,GM==, MN=B1D1=,NF==,FE=,可得所得截面图形的周长为++++=3+. 17.(5分)在如图所示的圆台中,AC是下底面圆O的直径,EF是上底面圆O'的直径,FB是圆台的一条母线.已知EF=FB=AC=2,AB=BC,则二面角F-BC-A的余弦值为　　.  【解析】连接OO',OB,过点F作FM⊥OB,垂足为点M,则有FM∥OO'. 又OO'⊥平面ABC,所以FM⊥平面ABC,可得FM==3. 过点M作MN⊥BC,垂足为点N,连接FN,可得FN⊥BC,从而∠FNM为二面角F-BC-A的平面角. 又AB=BC,AC是圆O的直径, 所以MN=BMsin 45°=. 从而FN=,可得cos∠FNM=. 所以二面角F-BC-A的余弦值为. - 1 - 学科网（北京）股份有限公司 $