2.课时跟踪检测练 33 第8章 三十三 直线与平面垂直(1)(Word版+PPT版)-【满分思维】2025-2026学年高中数学必修第二册（人教A版）

三十三　直线与平面垂直(1) (时间:45分钟　分值:95分) 【基础全面练】 1.(5分)已知直线l⊥平面α,直线m⊂α,则 (　　) A.l⊥m B.l∥m C.l,m异面 D.l,m相交而不垂直 【解析】选A.根据线面垂直的定义,无论l与m是异面还是相交,都有l⊥m. 2.(5分)(多选)下列说法中正确的是 (　　) A.若直线l与平面α内的一条直线垂直,则l⊥α B.过平面外一点有且只有一条直线和已知平面垂直 C.过直线外一点有且只有一个平面和已知直线垂直 D.过直线外一点只可作一条直线与已知直线垂直 【解析】选BC.由直线与平面垂直的定义与判定定理知,A不正确,B,C正确;过直线外一点作平面与直线垂直,则平面内的所有直线都与该直线垂直,故D不正确. 3.(5分)线段AB的长等于它在平面α内的射影长的2倍,则AB所在直线与平面α所成的角为 (　　) A.30°　 B.45°　 C.60°　 D.120° 【解析】选C.如图,AC⊥α,AB∩α=B,则BC是AB在平面α内的射影,且BC=AB,∠ABC为AB所在直线与平面α所成的角. 在Rt△ABC中,cos∠ABC==,所以∠ABC=60°.故AB与平面α所成的角为60°. 4.(5分)如图,在圆柱OO'中,AA'是侧面的母线,AB是底面的直径,C是底面圆上一点,则 (　　) A.BC⊥平面A'AC B.BC⊥平面A'AB C.AC⊥平面A'BC D.AC⊥平面A'AB 【解析】选A.依题意得AA'⊥平面ABC,BC⊂平面ABC,所以AA'⊥BC, 又AB是底面圆的直径,所以BC⊥AC, AA'∩AC=A,AA',AC⊂平面AA'C, 所以BC⊥平面AA'C,故A正确; 对于B,在△ABC中,BC⊥AC,显然BC与AB不垂直,则BC不可能垂直于平面A'AB,故B错误; 对于C,在△A'AC中,AA'⊥AC,显然AC与A'C不垂直,则AC不可能垂直于平面A'BC,故C错误; 对于D,在△ABC中,BC⊥AC,显然AC与AB不垂直,则AC不可能垂直平面于A'AB,故D错误. 5.(5分)如图,P为△ABC所在平面α外一点,PB⊥α,PC⊥AC,则△ABC的形状为 (　　) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不确定 【解析】选B.由PB⊥α,AC⊂α得PB⊥AC,又AC⊥PC,PC∩PB=P,PC,PB⊂平面PBC, 所以AC⊥平面PBC,又BC⊂平面PBC,所以AC⊥BC.故△ABC是直角三角形. 6.(5分)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,直线A1D与平面BB1D1D所成的角为 (　　) A. B. C. D. 【解析】选A.如图,连接A1C1交B1D1于点O,连接OD, 因为DD1⊥平面A1B1C1D1,A1O在平面A1B1C1D1内,所以DD1⊥A1O,又A1O⊥B1D1, DD1∩B1D1=D1,DD1,B1D1⊂平面BB1D1D, 所以A1O⊥平面BB1D1D,又DO⊂平面BB1D1D,故A1O⊥DO,所以∠A1DO为直线A1D与平面BB1D1D所成的角. 设正方体的棱长为1,则A1D=,A1C1=,A1O=,所以sin∠A1DO==, 因为∠A1DO∈(0,],所以∠A1DO=, 所以直线A1D与平面BB1D1D所成的角为. 7.(5分)将一本书打开后竖立在桌面上(如图),则书脊所在直线AB与桌面的位置关系为　垂直　.  【解析】设桌面所在平面为平面α,由题意得,AB⊥BC,AB⊥BE,且BC⊂平面α,BE⊂平面α,且BC∩BE=B,可得AB⊥平面α. 8.(5分)在矩形ABCD中,AB=1,BC=,PA⊥平面ABCD,PA=1,则PC与平面ABCD所成的角的大小为　30°　.  【解析】由题意知∠PCA为PC与平面ABCD所成的角.在Rt△PAC中,tan∠PCA===, 所以∠PCA=30°,即PC与平面ABCD所成的角为30°. 9.(5分)设三棱锥P-ABC的顶点P在平面ABC上的射影是H,若∠ABC=90°,H是AC的中点,则PA,PB,PC的关系是　PA=PB=PC　.  【解析】因为H为AC的中点,∠ABC=90°,所以AH=BH=CH,又PH⊥平面ABC,由勾股定理知PA=PB=PC. 10.(10分)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为菱形,PA=PC,PB=PD,AC∩BD=O. 求证:(1)PO⊥平面ABCD; 【证明】(1)因为四边形ABCD为菱形,AC∩BD=O,所以O为AC的中点,又PA=PC, 所以PO⊥AC.同理可证PO⊥BD. 又AC,BD⊂平面ABCD, AC∩BD=O,所以PO⊥平面ABCD. (2)AC⊥平面PBD. 【证明】(2)由(1)知AC⊥PO,又四边形ABCD为菱形, 所以AC⊥BD,又BD,PO⊂平面PBD,PO∩BD=O,所以AC⊥平面PBD. 【综合应用练】 11.(5分)(多选)如图,在以下四个正方体中,直线AB与平面CDE垂直的是 (　　) 【解析】选BD.对于A选项,由AB与CE所成的角为45°,可得直线AB与平面CDE不垂直; 对于B选项,由AB⊥CE,AB⊥ED,且CE∩ED=E,可得AB⊥平面CDE; 对于C选项,由AB与CE所成角为60°,可得直线AB与平面CDE不垂直; 对于D选项,连接AC,AD(图略),由ED⊥平面ABC,可得ED⊥AB,由EC⊥平面ABD,可得EC⊥AB,又ED∩EC=E,所以AB⊥平面CDE. 12.(5分)正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为棱AB上的点,且AB=4EB,则直线C1E与平面ADD1A1所成角的正切值为 (　　) A.　 B. C.　 D. 【解析】选A.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中, 因为平面AA1D1D∥平面BB1C1C, 所以直线C1E与平面ADD1A1所成的角等于直线C1E与平面BCC1B1所成的角, 因为EB⊥平面BB1C1C,连接BC1,则∠EC1B即为直线C1E与平面BCC1B1所成的角, 设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为4a, 则EB=a,BC1=4a. 所以tan∠EC1B==. 即直线C1E与平面ADD1A1所成角的正切值为. 13.(5分)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,BC=CC1,当底面A1B1C1满足条件　A1C1⊥B1C1(答案不唯一)　时,有AB1⊥BC1(答案不唯一,填上你认为正确的一种条件即可).  【解析】如图所示,连接B1C, 由BC=CC1,可得BC1⊥B1C,因此,要证AB1⊥BC1,则只要证明BC1⊥平面AB1C,即只要证AC⊥BC1即可,由直三棱柱可知,只要证AC⊥BC即可.因为A1C1∥AC,B1C1∥BC,故只要证A1C1⊥B1C1即可.(或者能推出A1C1⊥B1C1的条件,如∠A1C1B1=90°等) 14.(10分)如图所示,已知AB为圆O的直径,且AB=4,点D为线段AB上一点,且AD=DB,点C为圆O上一点,且BC=AC.点P在圆O所在平面上的正投影为点D,PD=DB. (1)求证:CD⊥平面PAB; 【解析】(1)连接CO,由AD=DB知,点D为AO的中点. 因为AB为圆O的直径,所以AC⊥CB. 由AC=BC知,∠CAB=60°, 所以△ACO为等边三角形,故CD⊥AO. 因为点P在圆O所在平面上的正投影为点D, 所以PD⊥平面ABC. 又CD⊂平面ABC,所以PD⊥CD, 由PD⊂平面PAB,AO⊂平面PAB, 且PD∩AO=D,得CD⊥平面PAB. (2)求直线PC与平面PAB所成的角. 【解析】(2)由(1)知∠CPD是直线PC与平面PAB所成的角. 因为△AOC是边长为2的等边三角形,所以CD=. 又PD=DB=3,所以在Rt△PCD中,tan∠CPD==,所以∠CPD=30°, 即直线PC与平面PAB所成的角为30°. 15.(10分)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=BC=1,∠ACB=90°,AA1=,D是A1B1的中点. (1)求证:C1D⊥平面AA1B1B; 【解析】(1)因为ABC-A1B1C1是直三棱柱,∠ACB=90°, 所以A1C1=B1C1=1,且∠A1C1B1=90°. 又D是A1B1的中点,所以C1D⊥A1B1. 因为AA1⊥平面A1B1C1,C1D⊂平面A1B1C1, 所以AA1⊥C1D,又A1B1∩AA1=A1,A1B1,AA1⊂平面AA1B1B,所以C1D⊥平面AA1B1B. (2)当点F在BB1上的什么位置时,会使得AB1⊥平面C1DF?并证明你的结论. 【解析】(2)当点F为BB1的中点时,AB1⊥平面C1DF. 证明如下:如图,作DE⊥AB1交AB1于点E,延长DE交BB1于点F,连接C1F. 因为C1D⊥平面AA1B1B,AB1⊂平面AA1B1B,所以C1D⊥AB1. 又AB1⊥DF,DF∩C1D=D,DF,C1D⊂平面C1DF,所以AB1⊥平面C1DF. 因为AA1=A1B1=, 所以四边形AA1B1B为正方形. 又D为A1B1的中点,DF⊥AB1, 所以F为BB1的中点, 所以当点F为BB1的中点时,AB1⊥平面C1DF. 【创新拓展练】 16.(5分)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点M为棱AB上的动点,则A1M与平面ABC1D1所成角的取值范围为 (　　) A.[,] B.[,] C.[,] D.[,] 【解析】选C.设AD1∩A1D=O,连接OM,则AD1⊥A1D,因为在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AB⊥平面ADD1A1,A1D⊂平面ADD1A1,所以AB⊥A1D,因为A1D⊥AD1, AD1∩AB=A,AD1,AB⊂平面ABC1D1, 所以A1D⊥平面ABC1D1,所以∠A1MO即为A1M与平面ABC1D1所成的角θ. 设AA1=2,tan θ==, 因为≤OM≤,所以tan θ∈[,1], 因为θ∈[0,],所以θ∈[,]. - 1 - 学科网（北京）股份有限公司 $三十三　直线与平面垂直(1) (时间:45分钟　分值:95分) 【基础全面练】 1.(5分)已知直线l⊥平面α,直线m⊂α,则(　　) A.l⊥m B.l∥m C.l,m异面 D.l,m相交而不垂直 【解析】选A.根据线面垂直的定义,无论l与m是异面还是相交,都有l⊥m. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 选题清单 2.(5分)(多选)下列说法中正确的是 (　　) A.若直线l与平面α内的一条直线垂直,则l⊥α B.过平面外一点有且只有一条直线和已知平面垂直 C.过直线外一点有且只有一个平面和已知直线垂直 D.过直线外一点只可作一条直线与已知直线垂直 【解析】选BC.由直线与平面垂直的定义与判定定理知,A不正确,B,C正确; 过直线外一点作平面与直线垂直,则平面内的所有直线都与该直线垂直,故 D不正确. √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 选题清单 3.(5分)线段AB的长等于它在平面α内的射影长的2倍,则AB所在直线与平面 α所成的角为 (　　) A.30°　 B.45°　 C.60°　 D.120° 【解析】选C.如图,AC⊥α,AB∩α=B,则BC是AB在平面α内的射影, 且BC=AB,∠ABC为AB所在直线与平面α所成的角. 在Rt△ABC中,cos∠ABC==,所以∠ABC=60°. 故AB与平面α所成的角为60°. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 选题清单 4.(5分)如图,在圆柱OO'中,AA'是侧面的母线,AB是底面的直径,C是底面圆 上一点,则 (　　) A.BC⊥平面A'AC B.BC⊥平面A'AB C.AC⊥平面A'BC D.AC⊥平面A'AB √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 选题清单 【解析】选A.依题意得AA'⊥平面ABC,BC⊂平面ABC,所以AA'⊥BC, 又AB是底面圆的直径,所以BC⊥AC, AA'∩AC=A,AA',AC⊂平面AA'C,所以BC⊥平面AA'C,故A正确; 对于B,在△ABC中,BC⊥AC,显然BC与AB不垂直, 则BC不可能垂直于平面A'AB,故B错误; 对于C,在△A'AC中,AA'⊥AC,显然AC与A'C不垂直,则AC不可能垂直于平面A'BC, 故C错误; 对于D,在△ABC中,BC⊥AC,显然AC与AB不垂直,则AC不可能垂直平面于A'AB,故 D错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 选题清单 5.(5分)如图,P为△ABC所在平面α外一点,PB⊥α,PC⊥AC,则△ABC的形状为 (　　) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不确定 【解析】选B.由PB⊥α,AC⊂α得PB⊥AC,又AC⊥PC,PC∩PB=P, PC,PB⊂平面PBC, 所以AC⊥平面PBC,又BC⊂平面PBC,所以AC⊥BC.故△ABC是直角三角形. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 选题清单 6.(5分)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,直线A1D与平面BB1D1D所成的角为 (　　) A. B. C. D. 【解析】选A.如图,连接A1C1交B1D1于点O,连接OD, 因为DD1⊥平面A1B1C1D1,A1O在平面A1B1C1D1内,所以DD1⊥A1O, 又A1O⊥B1D1,DD1∩B1D1=D1,DD1,B1D1⊂平面BB1D1D, 所以A1O⊥平面BB1D1D,又DO⊂平面BB1D1D,故A1O⊥DO,所以∠A1DO为直线A1D与 平面BB1D1D所成的角. 设正方体的棱长为1,则A1D=,A1C1=,A1O=,所以sin∠A1DO==, 因为∠A1DO∈(0,],所以∠A1DO=,所以直线A1D与平面BB1D1D所成的角为. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 选题清单 7.(5分)将一本书打开后竖立在桌面上(如图),则书脊所在直线AB与桌面的 位置关系为_________.  【解析】设桌面所在平面为平面α,由题意得,AB⊥BC,AB⊥BE, 且BC⊂平面α,BE⊂平面α,且BC∩BE=B,可得AB⊥平面α. 　垂直　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 选题清单 8.(5分)在矩形ABCD中,AB=1,BC=,PA⊥平面ABCD,PA=1, 则PC与平面ABCD所成的角的大小为________.  【解析】由题意知∠PCA为PC与平面ABCD所成的角. 在Rt△PAC中,tan∠PCA===, 所以∠PCA=30°,即PC与平面ABCD所成的角为30°. 　30°　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 选题清单 9.(5分)设三棱锥P-ABC的顶点P在平面ABC上的射影是H,若∠ABC=90°, H是AC的中点,则PA,PB,PC的关系是_______________.  【解析】因为H为AC的中点,∠ABC=90°,所以AH=BH=CH, 又PH⊥平面ABC,由勾股定理知PA=PB=PC. 　PA=PB=PC　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 选题清单 10.(10分)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为菱形,PA=PC,PB=PD, AC∩BD=O. 求证:(1)PO⊥平面ABCD; 【证明】(1)因为四边形ABCD为菱形,AC∩BD=O, 所以O为AC的中点,又PA=PC, 所以PO⊥AC.同理可证PO⊥BD. 又AC,BD⊂平面ABCD, AC∩BD=O,所以PO⊥平面ABCD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 选题清单 (2)AC⊥平面PBD. 【证明】(2)由(1)知AC⊥PO,又四边形ABCD为菱形, 所以AC⊥BD,又BD,PO⊂平面PBD,PO∩BD=O,所以AC⊥平面PBD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 选题清单 【综合应用练】 11.(5分)(多选)如图,在以下四个正方体中,直线AB与平面CDE垂直的是 (　　) √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 选题清单 【解析】选BD.对于A选项,由AB与CE所成的角为45°,可得直线AB与 平面CDE不垂直; 对于B选项,由AB⊥CE,AB⊥ED,且CE∩ED=E,可得AB⊥平面CDE; 对于C选项,由AB与CE所成角为60°,可得直线AB与平面CDE不垂直; 对于D选项,连接AC,AD(图略),由ED⊥平面ABC,可得ED⊥AB, 由EC⊥平面ABD,可得EC⊥AB,又ED∩EC=E,所以AB⊥平面CDE. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 选题清单 12.(5分)正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为棱AB上的点,且AB=4EB,则直线C1E 与平面ADD1A1所成角的正切值为 (　　) A.　 B. C.　 D. 【解析】选A.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中, 因为平面AA1D1D∥平面BB1C1C, 所以直线C1E与平面ADD1A1所成的角等于直线C1E与平面BCC1B1所成的 角, √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 选题清单 因为EB⊥平面BB1C1C,连接BC1,则∠EC1B即为直线C1E与平面BCC1B1所成 的角, 设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为4a, 则EB=a,BC1=4a. 所以tan∠EC1B==. 即直线C1E与平面ADD1A1所成角的正切值为. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 选题清单 13.(5分)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,BC=CC1,当底面A1B1C1满足条件 __________________________时,有AB1⊥BC1(答案不唯一,填上你认为正确的一 种条件即可).  【解析】如图所示,连接B1C, 由BC=CC1,可得BC1⊥B1C,因此,要证AB1⊥BC1, 则只要证明BC1⊥平面AB1C,即只要证AC⊥BC1即可, 由直三棱柱可知,只要证AC⊥BC即可. 因为A1C1∥AC,B1C1∥BC,故只要证A1C1⊥B1C1即可. (或者能推出A1C1⊥B1C1的条件,如∠A1C1B1=90°等) 　A1C1⊥B1C1(答案不唯一)　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 选题清单 14.(10分)如图所示,已知AB为圆O的直径,且AB=4,点D为线段AB上一点,且 AD=DB,点C为圆O上一点,且BC=AC.点P在圆O所在平面上的正投影为 点D,PD=DB. (1)求证:CD⊥平面PAB; 【解析】(1)连接CO,由AD=DB知,点D为AO的中点. 因为AB为圆O的直径,所以AC⊥CB. 由AC=BC知,∠CAB=60°, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 选题清单 所以△ACO为等边三角形,故CD⊥AO. 因为点P在圆O所在平面上的正投影为点D, 所以PD⊥平面ABC. 又CD⊂平面ABC,所以PD⊥CD, 由PD⊂平面PAB,AO⊂平面PAB, 且PD∩AO=D,得CD⊥平面PAB. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 选题清单 (2)求直线PC与平面PAB所成的角. 【解析】(2)由(1)知∠CPD是直线PC与平面PAB所成的角. 因为△AOC是边长为2的等边三角形,所以CD=. 又PD=DB=3,所以在Rt△PCD中,tan∠CPD==,所以∠CPD=30°, 即直线PC与平面PAB所成的角为30°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 选题清单 15.(10分)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=BC=1,∠ACB=90°,AA1=,D是 A1B1的中点. (1)求证:C1D⊥平面AA1B1B; 【解析】(1)因为ABC-A1B1C1是直三棱柱,∠ACB=90°, 所以A1C1=B1C1=1,且∠A1C1B1=90°. 又D是A1B1的中点,所以C1D⊥A1B1. 因为AA1⊥平面A1B1C1,C1D⊂平面A1B1C1, 所以AA1⊥C1D,又A1B1∩AA1=A1,A1B1,AA1⊂平面AA1B1B,所以C1D⊥平面AA1B1B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 选题清单 (2)当点F在BB1上的什么位置时,会使得AB1⊥平面C1DF?并证明你的结论. 【解析】(2)当点F为BB1的中点时,AB1⊥平面C1DF. 证明如下:如图,作DE⊥AB1交AB1于点E,延长DE交BB1于点F,连接C1F. 因为C1D⊥平面AA1B1B,AB1⊂平面AA1B1B,所以C1D⊥AB1. 又AB1⊥DF,DF∩C1D=D,DF,C1D⊂平面C1DF,所以AB1⊥平面C1DF. 因为AA1=A1B1=, 所以四边形AA1B1B为正方形. 又D为A1B1的中点,DF⊥AB1, 所以F为BB1的中点,所以当点F为BB1的中点时,AB1⊥平面C1DF. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 选题清单 【创新拓展练】 16.(5分)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点M为棱AB上的动点,则A1M与平面 ABC1D1所成角的取值范围为(　　) A.[,] B.[,] C.[,] D.[,] √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 选题清单 【解析】选C.设AD1∩A1D=O,连接OM,则AD1⊥A1D,因为在正方体 ABCD-A1B1C1D1中,AB⊥平面ADD1A1,A1D⊂平面ADD1A1,所以AB⊥A1D, 因为A1D⊥AD1, AD1∩AB=A,AD1,AB⊂平面ABC1D1, 所以A1D⊥平面ABC1D1,所以∠A1MO即为A1M与平面ABC1D1所成的角θ. 设AA1=2,tan θ==, 因为≤OM≤,所以tan θ∈[,1], 因为θ∈[0,],所以θ∈[,]. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 选题清单 $