2.课时跟踪检测练 29 第8章 二十九 直线与平面平行的性质定理(Word版+PPT版)-【满分思维】2025-2026学年高中数学必修第二册（人教A版）

二十九　直线与平面平行的性质定理 (时间:45分钟　分值:100分) 【基础全面练】 1.(5分)如图,在三棱锥S-ABC中,E,F分别是SB,SC上的点,且EF∥平面ABC,则 (　　) A.EF与BC相交 B.EF∥BC C.EF与BC异面 D.以上均有可能 【解析】选B.因为平面SBC∩平面ABC=BC,EF⊂平面SBC,EF∥平面ABC,所以EF∥BC. 2.(5分)若直线l∥平面α,则过l作三个平面β,γ,δ,如果α∩β=a,α∩γ=b,α∩δ=c,那么a,b,c的位置关系为 (　　) A.都平行　 B.相交于同一点 C.相交但不一定交于同一点 D.都平行或交于同一点 【解析】选A.由题意,根据直线与平面平行的性质定理,知l∥a,l∥b,l∥c,所以a∥b∥c. 3.(5分)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,点E为AD的中点,点F在CD上,若EF∥平面AB1C,则线段EF的长度为 (　　) A. B.1 C. D.2 【解析】选C.因为EF∥平面AB1C,EF⊂平面ABCD,平面AB1C∩平面ABCD=AC,所以EF∥AC.又因为点E为AD的中点,点F在CD上, 所以点F是CD的中点,所以EF=AC=. 4.(5分)如图所示,在空间四边形ABCD中,E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA上的点,EH∥FG,则EH与BD的位置关系是 (　　) A.相交 B.平行 C.异面 D.不确定 【解析】选B.因为EH∥FG,FG⊂平面BCD,EH⊄平面BCD,所以EH∥平面BCD. 因为EH⊂平面ABD,平面ABD∩平面BCD=BD,所以EH∥BD. 5.(5分)(多选)下列说法中正确的是 (　　) A.一条直线如果和一个平面平行,它就和这个平面内的无数条直线平行 B.一条直线和一个平面平行,它就和这个平面内的任何直线无公共点 C.过直线外一点,有且仅有一个平面和已知直线平行 D.如果直线l和平面α平行,那么过平面α内一点和直线l平行的直线在平面α内 【解析】选ABD.根据线面平行的性质定理可知:直线与平面内的无数条直线平行,A正确. 根据线面平行的定义,直线与平面平行,则直线与平面内的任何直线无公共点,B正确. 过直线外一点可以作无数个平面与直线平行,C错误. 根据直线l与平面α内一定点可以确定一个平面β,则平面α与平面β的交线与直线l平行,且在平面α内,D正确. 6.(5分)(多选)如图,在四棱锥P-ABCD中,M,N分别是AC,PC上的点,且MN∥平面PAD,则 (　　) A.MN∥PD B.MN∥平面PAB C.MN∥AD D.MN∥PA 【解析】选BD.因为MN∥平面PAD,MN⊂平面PAC,平面PAC∩平面PAD=PA,所以MN∥PA,因为PA⊂平面PAB,MN⊄平面PAB,因此,MN∥平面PAB. 7.(5分)若添加条件可使命题“若a∥α,α∩β=b,则a∥b”成立,则添加的条件可以是　a⊂β(答案不唯一)　.  【解析】根据线面平行的性质定理,若a∥α,a⊂β,α∩β=b,则a∥b,所以需添加的条件是:a⊂β(答案不唯一). 8.(5分)如图,a∥α,A是α的另一侧的点,B,C,D∈a,线段AB,AC,AD分别交α于点E,F,G,若BD=4,CF=4,AF=5,则EG=　　.  【解析】因为a∥α,平面ABD∩α=EG,所以EG∥a.所以=,所以=,即EG=. 9.(5分)如图所示,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,D为AA1的中点,点P在侧棱CC1上运动,当点P满足条件　P为CC1的中点　时,A1P∥平面BCD.  【解析】如图,假设A1P∥平面BCD. 因为A1P⊂平面AA1C1C, 平面AA1C1C∩平面BDC=DC,所以A1P∥CD. 又因为D为AA1的中点,所以P为CC1的中点. 10.(10分)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为BB1上不同于点B,B1的任一点,AB1∩A1E=F,B1C∩C1E=G.求证:AC∥FG. 【证明】连接A1C1(图略),在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AC∥A1C1,又AC⊄平面A1EC1,A1C1⊂平面A1EC1. 所以AC∥平面A1EC1. 又平面A1EC1∩平面AB1C=FG,AC⊂平面AB1C,所以AC∥FG. 【综合应用练】 11.(5分)如图,已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,点P是面AA1D1D的中心,点Q是面A1B1C1D1的对角线B1D1上一点,且PQ∥平面AA1B1B,则线段PQ的长为 (　　) A. B. C.1 D. 【解析】选A.如图,连接AD1,AB1,因为PQ∥平面AA1B1B,平面AB1D1∩平面AA1B1B=AB1,PQ⊂平面AB1D1,所以PQ∥AB1,所以PQ=AB1==. 12.(5分)(多选)如图,在四面体ABCD中,截面PQMN是正方形,则 (　　) A.AC⊥BD B.AC∥平面PQMN C.AC=BD D.M,N分别是线段DC,AD的中点 【解析】选AB.由题意知PQ∥AC,QM∥BD,PQ⊥QM,所以AC⊥BD,故A正确; 由PQ∥AC可得AC∥平面PQMN,故B正确;由题设AC与BD无法比较大小,M,N不一定是DC,AD的中点,则C,D不正确. 13.(5分)一条直线若同时平行于两个相交平面,那么这条直线与这两个平面交线的位置关系是　平行　.  【解析】设α∩β=l,m∥α,m∥β,过m作平面γ与α,β都相交,记α∩γ=a,β∩γ=b,则有m∥a,m∥b,所以a∥b,因为a⊄β,b⊂β,所以a∥β,a⊂α,α∩β=l,a∥l,所以m∥l. 14.(10分)如图,在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,E为线段AD上的任意一点(不包括A,D两点),平面CEC1∩平面BB1D=FG.求证:FG∥平面AA1B1B. 【证明】在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,BB1∥CC1,BB1⊂平面BB1D,CC1⊄平面BB1D, 所以CC1∥平面BB1D. 又CC1⊂平面CEC1,平面CEC1∩平面BB1D=FG,所以CC1∥FG. 因为BB1∥CC1,所以BB1∥FG. 而BB1⊂平面AA1B1B,FG⊄平面AA1B1B, 所以FG∥平面AA1B1B. 15.(10分)空间四边形ABCD中,E,F,G分别在AB,BC,CD上,且满足AE∶EB=CF∶FB=2∶1,CG∶GD=3∶1,过点E,F,G的平面交AD于点H,连接EH,GH. (1)求证:AC∥GH; 【解析】(1)因为==2,所以EF∥AC, 又EF⊄平面ACD,AC⊂平面ACD, 所以EF∥平面ACD, 因为EF⊂平面EFGH,且平面EFGH∩平面ACD=GH,所以EF∥GH, 又因为EF∥AC,所以AC∥GH. (2)求AH∶HD; 【解析】(2)因为AC∥GH, 所以==3,即AH∶HD=3∶1. (3)求证:EH,FG,BD三线共点. 【解析】(3)因为EF∥GH,且=,=, 所以EF≠GH,所以四边形EFGH为梯形, 设EH∩FG=P,则P∈EH,而EH⊂平面ABD,P∈FG,FG⊂平面BCD, 平面ABD∩平面BCD=BD,所以P∈BD,所以EH,FG,BD三线共点. 【创新拓展练】 16.(5分)如图,长方体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形,其侧面展开图是边长为4的正方形,E,F分别是侧棱AA1,CC1上的动点,AE+CF=4,点P在棱AA1上,且AP=1,若EF∥平面PBD,则CF=　1　.  【解析】由题意可知,长方体ABCD-A1B1C1D1的高为4,底面ABCD是边长为1的正方形, 连接AC交BD于点O,连接PO,因为EF∥平面PBD,EF⊂平面EACF,平面EACF∩平面PBD=PO,所以EF∥PO. 在PA1上截取PQ,使得PQ=PA=1,连接QC,易知O为AC的中点,P为AQ的中点,所以QC∥PO,所以EF∥QC,又EQ∥FC,所以四边形EQCF是平行四边形,所以QE=CF. 又AE+CF=4,AE+A1E=4,所以CF=A1E=EQ=A1Q=1,所以CF=1. 17.(5分)平面EFGH分别平行于空间四边形ABCD中的CD与AB所在的直线,且交BD,BC,AC,AD于点E,F,G,H,若AB=a,CD=b,AB⊥CD,则四边形EFGH的面积S的最大值为　　.  【解析】如图,因为直线AB∥平面EFGH,直线AB⊂平面ABC,平面ABC∩平面EFGH=FG,所以AB∥FG. 同理可得AB∥EH,所以FG∥EH. 同理可得EF∥GH.所以四边形EFGH是平行四边形. 因为AB⊥CD,所以四边形EFGH为矩形. 设AG=x,AC=m,则=,=. 所以GH=,GF=. S=GH·GF=· =(mx-x2)=[-(x-)2+], 当x=时,S取得最大值,最大值为. - 1 - 学科网（北京）股份有限公司 $二十九　直线与平面平行的性质定理 (时间:45分钟　分值:100分) 【基础全面练】 1.(5分)如图,在三棱锥S-ABC中,E,F分别是SB,SC上的点,且EF∥平面ABC, 则(　　) A.EF与BC相交 B.EF∥BC C.EF与BC异面 D.以上均有可能 【解析】选B.因为平面SBC∩平面ABC=BC,EF⊂平面SBC,EF∥平面ABC, 所以EF∥BC. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 2.(5分)若直线l∥平面α,则过l作三个平面β,γ,δ,如果α∩β=a,α∩γ=b,α∩δ=c, 那么a,b,c的位置关系为 (　　) A.都平行　 B.相交于同一点 C.相交但不一定交于同一点 D.都平行或交于同一点 【解析】选A.由题意,根据直线与平面平行的性质定理,知l∥a,l∥b,l∥c, 所以a∥b∥c. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 3.(5分)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,点E为AD的中点,点F在CD 上,若EF∥平面AB1C,则线段EF的长度为 (　　) A. B.1 C. D.2 【解析】选C.因为EF∥平面AB1C,EF⊂平面ABCD, 平面AB1C∩平面ABCD=AC,所以EF∥AC. 又因为点E为AD的中点,点F在CD上, 所以点F是CD的中点,所以EF=AC=. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 4.(5分)如图所示,在空间四边形ABCD中,E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA上的 点,EH∥FG,则EH与BD的位置关系是 (　　) A.相交 B.平行 C.异面 D.不确定 【解析】选B.因为EH∥FG,FG⊂平面BCD,EH⊄平面BCD, 所以EH∥平面BCD. 因为EH⊂平面ABD,平面ABD∩平面BCD=BD,所以EH∥BD. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 5.(5分)(多选)下列说法中正确的是 (　　) A.一条直线如果和一个平面平行,它就和这个平面内的无数条直线平行 B.一条直线和一个平面平行,它就和这个平面内的任何直线无公共点 C.过直线外一点,有且仅有一个平面和已知直线平行 D.如果直线l和平面α平行,那么过平面α内一点和直线l平行的直线在平面α 内 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 【解析】选ABD.根据线面平行的性质定理可知:直线与平面内的无数条直线平行,A正确. 根据线面平行的定义,直线与平面平行,则直线与平面内的任何直线无公共点,B正确. 过直线外一点可以作无数个平面与直线平行,C错误. 根据直线l与平面α内一定点可以确定一个平面β,则平面α与平面β的交线与直线l平行,且在平面α内,D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 6.(5分)(多选)如图,在四棱锥P-ABCD中,M,N分别是AC,PC上的点, 且MN∥平面PAD,则 (　　) A.MN∥PD B.MN∥平面PAB C.MN∥AD D.MN∥PA 【解析】选BD.因为MN∥平面PAD,MN⊂平面PAC,平面PAC∩平面PAD=PA, 所以MN∥PA,因为PA⊂平面PAB,MN⊄平面PAB,因此,MN∥平面PAB. √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 7.(5分)若添加条件可使命题“若a∥α,α∩β=b,则a∥b”成立,则添加的条件可 以是____________________.  【解析】根据线面平行的性质定理,若a∥α,a⊂β,α∩β=b,则a∥b,所以需添 加的条件是:a⊂β(答案不唯一). 　a⊂β(答案不唯一)　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 8.(5分)如图,a∥α,A是α的另一侧的点,B,C,D∈a,线段AB,AC,AD分别交α于 点E,F,G,若BD=4,CF=4,AF=5,则EG=_______.  【解析】因为a∥α,平面ABD∩α=EG,所以EG∥a. 所以=,所以=,即EG=. 　　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 9.(5分)如图所示,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,D为AA1的中点,点P在侧棱CC1 上运动,当点P满足条件__________________时,A1P∥平面BCD.  【解析】如图,假设A1P∥平面BCD. 因为A1P⊂平面AA1C1C, 平面AA1C1C∩平面BDC=DC,所以A1P∥CD. 又因为D为AA1的中点,所以P为CC1的中点. 　P为CC1的中点　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 10.(10分)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为BB1上不同于点B,B1的任一 点,AB1∩A1E=F,B1C∩C1E=G.求证:AC∥FG. 【证明】连接A1C1(图略),在正方体ABCD-A1B1C1D1中, AC∥A1C1,又AC⊄平面A1EC1,A1C1⊂平面A1EC1. 所以AC∥平面A1EC1. 又平面A1EC1∩平面AB1C=FG,AC⊂平面AB1C,所以AC∥FG. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 【综合应用练】 11.(5分)如图,已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,点P是 面AA1D1D的中心,点Q是面A1B1C1D1的对角线B1D1上一点, 且PQ∥平面AA1B1B,则线段PQ的长为(　　) A. B. C.1 D. 【解析】选A.如图,连接AD1,AB1,因为PQ∥平面AA1B1B, 平面AB1D1∩平面AA1B1B=AB1,PQ⊂平面AB1D1, 所以PQ∥AB1,所以PQ=AB1==. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 12.(5分)(多选)如图,在四面体ABCD中,截面PQMN是正方形,则 (　　) A.AC⊥BD B.AC∥平面PQMN C.AC=BD D.M,N分别是线段DC,AD的中点 【解析】选AB.由题意知PQ∥AC,QM∥BD,PQ⊥QM,所以AC⊥BD,故A正确; 由PQ∥AC可得AC∥平面PQMN,故B正确;由题设AC与BD无法比较大小,M,N不一定是DC,AD的中点,则C,D不正确. √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 13.(5分)一条直线若同时平行于两个相交平面,那么这条直线与这两个平面 交线的位置关系是_________.  【解析】设α∩β=l,m∥α,m∥β,过m作平面γ与α,β都相交,记α∩γ=a,β∩γ=b,则 有m∥a,m∥b,所以a∥b,因为a⊄β,b⊂β,所以a∥β,a⊂α,α∩β=l,a∥l,所以m∥l. 　平行　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 14.(10分)如图,在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,E为线段AD上的任意一点(不 包括A,D两点),平面CEC1∩平面BB1D=FG.求证:FG∥平面AA1B1B. 【证明】在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,BB1∥CC1, BB1⊂平面BB1D,CC1⊄平面BB1D,所以CC1∥平面BB1D. 又CC1⊂平面CEC1,平面CEC1∩平面BB1D=FG, 所以CC1∥FG. 因为BB1∥CC1,所以BB1∥FG. 而BB1⊂平面AA1B1B,FG⊄平面AA1B1B,所以FG∥平面AA1B1B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 15.(10分)空间四边形ABCD中,E,F,G分别在AB,BC,CD上,且满足 AE∶EB=CF∶FB=2∶1,CG∶GD=3∶1,过点E,F,G的平面交AD于点H,连接 EH,GH. (1)求证:AC∥GH; 【解析】(1)因为==2,所以EF∥AC, 又EF⊄平面ACD,AC⊂平面ACD, 所以EF∥平面ACD, 因为EF⊂平面EFGH,且平面EFGH∩平面ACD=GH,所以EF∥GH, 又因为EF∥AC,所以AC∥GH. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 (2)求AH∶HD; 【解析】(2)因为AC∥GH, 所以==3,即AH∶HD=3∶1. (3)求证:EH,FG,BD三线共点. 【解析】(3)因为EF∥GH,且=,=, 所以EF≠GH,所以四边形EFGH为梯形, 设EH∩FG=P,则P∈EH,而EH⊂平面ABD,P∈FG,FG⊂平面BCD, 平面ABD∩平面BCD=BD,所以P∈BD,所以EH,FG,BD三线共点. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 【创新拓展练】 16.(5分)如图,长方体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形,其侧面展开图 是边长为4的正方形,E,F分别是侧棱AA1,CC1上的动点,AE+CF=4,点P在棱 AA1上,且AP=1,若EF∥平面PBD,则CF=______.  　1　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 【解析】由题意可知,长方体ABCD-A1B1C1D1的高为4,底面ABCD是边长为 1的正方形, 连接AC交BD于点O,连接PO,因为EF∥平面PBD, EF⊂平面EACF,平面EACF∩平面PBD=PO,所以EF∥PO. 在PA1上截取PQ,使得PQ=PA=1,连接QC,易知O为AC的中点, P为AQ的中点,所以QC∥PO,所以EF∥QC,又EQ∥FC, 所以四边形EQCF是平行四边形,所以QE=CF. 又AE+CF=4,AE+A1E=4,所以CF=A1E=EQ=A1Q=1,所以CF=1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 17.(5分)平面EFGH分别平行于空间四边形ABCD中的CD与AB所在的直线, 且交BD,BC,AC,AD于点E,F,G,H,若AB=a,CD=b,AB⊥CD,则四边形EFGH的 面积S的最大值为_______.  【解析】如图,因为直线AB∥平面EFGH,直线AB⊂平面ABC, 平面ABC∩平面EFGH=FG,所以AB∥FG. 同理可得AB∥EH,所以FG∥EH. 同理可得EF∥GH.所以四边形EFGH是平行四边形. 因为AB⊥CD,所以四边形EFGH为矩形. 　　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 设AG=x,AC=m,则=,=. 所以GH=,GF=. S=GH·GF=· =(mx-x2)=[-(x-)2+], 当x=时,S取得最大值,最大值为. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 $