2.课时跟踪检测练 27 第8章 二十七 直线与直线平行(Word版+PPT版)-【满分思维】2025-2026学年高中数学必修第二册（人教A版）

二十七　直线与直线平行 (时间:45分钟　分值:100分) 【基础全面练】 1.(5分)如图所示,在三棱锥S-MNP中,E,F,G,H分别是棱SN,SP,MN,MP的中点,则EF与HG的位置关系是 (　　) A.平行 B.相交 C.异面 D.平行或异面 【解析】选A.因为E,F分别是SN和SP的中点,所以EF∥PN.同理可证HG∥PN,所以EF∥HG. 2.(5分)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,E,F,G分别为棱A1C1,B1C1,B1B的中点,则∠EFG与 ∠ABC1的关系是 (　　) A.相等 B.互补 C.相等或互补 D.不确定 【解析】选B.由于E,F,G分别为A1C1,B1C1,BB1的中点,所以EF∥A1B1∥AB,FG∥BC1, 所以∠EFG与∠ABC1的两组对应边分别平行,一组对应边方向相同,一组对应边方向相反, 故∠EFG与∠ABC1互补. 3.(5分)如图所示,在长方体木块ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是B1O和C1O的中点,则长方体的各棱中与EF平行的有 (　　) A.3条 B.4条 C.5条 D.6条 【解析】选B.由于E,F分别是B1O,C1O的中点,故EF∥B1C1,因为和棱B1C1平行的棱还有3条:AD,BC,A1D1,所以共有4条与EF平行的棱. 4.(5分)已知在正方体ABCD-A1B1C1D1中,l⊂平面A1B1C1D1,且l与B1C1不平行,则下列说法一定不可能的是 (　　) A.l与AD平行 B.l与AD不平行 C.l与AC平行 D.l与BD垂直 【解析】选A.假设l∥AD,则由AD∥BC∥B1C1,知l∥B1C1,这与l与B1C1不平行矛盾,所以,l与AD不平行. 5.(5分)(多选)给出下列四个命题,其中正确命题有 (　　) A.在空间中,若两条直线不相交,则它们一定平行 B.平行于同一条直线的两条直线平行 C.一条直线和两条平行直线中的一条相交,那么它也和另一条相交 D.空间四条直线a,b,c,d,如果a∥b,c∥d,且a∥d,那么b∥c 【解析】选BD.两条直线可以异面,故A错误;由基本事实4可知B正确;这条直线和另一条可以异面,故C错误;由平行直线的传递性可知,D正确. 6.(5分)(多选)如图所示,在四面体ABCD中,M,N,P,Q,E分别是AB,BC,CD,AD,AC的中点,则下列说法正确的是 (　　) A.M,N,P,Q四点共面 B.∠QME=∠CBD C.△BCD∽△MEQ D.四边形MNPQ为矩形 【解析】选ABC.由条件易得MQ∥BD,ME∥BC,QE∥CD,NP∥BD,所以MQ∥NP.对于A,由MQ∥NP,得M,N,P,Q四点共面,故A正确;对于B,根据定理,得∠QME=∠CBD,故B正确;对于C,由定理知∠QME=∠CBD,∠MEQ=∠BCD,则△BCD∽△MEQ,故C正确;对于D,没有充分理由推证四边形MNPQ为矩形,故D不正确. 7.(5分)空间两个角α,β的两边分别对应平行,且α=60°,则角β的大小为　60°或120°　.  【解析】如图,因为空间两个角α,β的两边对应平行,所以这两个角相等或互补, 又因为α=60°,所以β=60°或120°. 8.(5分)如图,将一张A4纸对折多次,所得折痕为a,b,c,d,e,则a与e的位置关系为　平行　.  【解析】依题意,由a∥b,b∥c,得a∥c,由c∥d,d∥e,得c∥e,所以a∥e,即a与e的位置关系为平行. 9.(5分)已知∠BAC=∠B1A1C1,AB∥A1B1,则AC与A1C1的位置关系可能是　平行、相交或异面　.  【解析】如图所示,∠BAC=∠B1A1C1,AB∥A1B1,则AC与A1C1的位置关系是平行、相交或异面. 10.(10分)在正方体ABCD-A1B1C1D1中. (1)如图①所示,若E,F分别为BC,CC1的中点,求证:EF∥AD1; 【证明】(1)在正方体ABCD-A1B1C1D1中, 如图①所示,连接BC1, 在正方体ABCD-A1B1C1D1中, 因为ABC1D1, 所以四边形ABC1D1是平行四边形,所以AD1∥BC1; 又E,F分别为BC,CC1的中点, 所以EF∥BC1,所以EF∥AD1. (2)如图②所示,若F,H分别为CC1,A1A的中点,求证:BF∥HD1. 【证明】(2)如图②所示, 取BB1的中点E,连接HE,EC1, 则HE∥A1B1,HE=A1B1,A1B1∥D1C1,A1B1=D1C1, 所以HE∥D1C1,HE=D1C1, 所以四边形HEC1D1是平行四边形, 所以HD1∥EC1;又BE∥FC1,且BE=FC1=CC1, 所以四边形EBFC1是平行四边形, 所以BF∥EC1,所以BF∥HD1. 【综合应用练】 11.(5分)(多选)如图,点P,Q,R,S分别在正方体的四条棱上,且是所在棱的中点,则直线PQ与RS是平行直线的图是 (　　) 【解析】选AB.根据正方体的结构特征,可得A,B中RS与PQ均是平行直线,D中RS和PQ是相交直线,C中RS和PQ是异面直线. 12.(5分)在正方体A1B1C1D1-ABCD中,E,F分别是BC,A1D1的中点,则四边形B1EDF的形状为 (　　) A.矩形 B.菱形 C.正方形 D.梯形 【解析】选B.取AD的中点G,连接FG,BG, 则B1B∥FG,B1B=FG,所以四边形B1BGF为平行四边形,则BG∥B1F,且BG=B1F, 由ABCD-A1B1C1D1为正方体,且E,G分别为BC,AD的中点, 可得四边形BEDG为平行四边形,所以BG∥DE,BG=DE,则B1F∥DE,且B1F=DE, 所以四边形B1EDF为平行四边形,易得△B1BE≌△B1A1F,所以B1E=B1F,所以四边形B1EDF是菱形. 13.(5分)如图,长方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G分别是棱CC1,BB1及DD1的中点,∠GBC=70°,则∠ED1F=　20°　.  【解析】连接EF,如图所示: 依题意EC∥D1G且EC=D1G,所以四边形ECGD1为平行四边形,所以GC∥D1E,同理可得GB∥D1F,根据空间等角定理可知∠ED1F=∠CGB或∠ED1F与∠CGB互补,显然∠ED1F与∠CGB不互补,所以∠ED1F=∠CGB;由长方体可知,BC⊥CG,即∠BCG=90°,又∠GBC=70°,所以∠ED1F=∠CGB=20°. 14.(10分)如图,在正方体ABCD-A'B'C'D'中,E,F,E',F'分别是棱AB,AD,B'C',C'D'的中点,求证:EF'与E'F相交. 【证明】连接EF,E'F',BD,B'D'. 因为E,F分别为AB,AD的中点, 所以EF∥BD且EF=BD. 同理E'F'∥B'D'且E'F'=B'D'. 在正方体ABCD-A'B'C'D'中,四边形BB'D'D为平行四边形,故BD∥B'D'且BD=B'D', 故EF∥E'F'且EF=E'F', 故四边形EFF'E'为平行四边形,所以对角线EF'与E'F相交. 15.(10分)如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G分别是AB,BB1,BC的中点,求证:△EFG∽△C1DA1. 【证明】如图所示,连接B1C. 因为G,F分别为BC,BB1的中点,所以GF∥B1C. 又ABCD-A1B1C1D1为正方体,所以CDAB,A1B1AB,所以,CDA1B1,所以四边形A1B1CD为平行四边形,所以A1DB1C. 又B1C∥FG,由基本事实4知A1D∥FG. 同理可证A1C1∥EG,DC1∥EF. 又∠DA1C1与∠EGF,∠A1DC1与∠EFG, ∠DC1A1与∠GEF的两条边分别对应平行且均为锐角, 所以∠DA1C1=∠EGF,∠A1DC1=∠EFG, ∠DC1A1=∠GEF.所以△EFG∽△C1DA1. 【创新拓展练】 16.(5分)如图所示,已知三棱锥A-BCD中,M,N分别为AB,CD的中点,则下列结论正确的是 (　　) A.MN≥(AC+BD) B.MN≤(AC+BD) C.MN=(AC+BD) D.MN<(AC+BD) 【解析】选D.如图所示,取BC的中点E,连接ME,NE, 则ME=AC,NE=BD, 所以ME+NE=(AC+BD). 在△MNE中,有ME+NE>MN, 所以MN<(AC+BD). 17.(5分)若E,F,G,H顺次为空间四边形ABCD四条边AB,BC,CD,DA的中点,且EG=3,FH=4,则AC2+BD2=　50　.  【解析】如图,连接EF,FG,GH,HE, 因为E,F,G,H顺次为空间四边形ABCD四条边AB,BC,CD,DA的中点, 所以EF∥AC,GH∥AC,FG∥BD,HE∥BD,得到EF∥GH,FG∥HE, 则四边形EFGH为平行四边形, 且EF=GH=AC,FG=HE=BD, 在△EFG中,由余弦定理知EG2=FE2+FG2-2FE·FGcos ∠EFG①, 在△FEH中,由余弦定理知FH2=EF2+EH2-2EF·EHcos ∠FEH②, 又∠EFG+∠FEH=π,由①+②得到EG2+FH2=FE2+FG2+EF2+EH2=(AC2+BD2), 又EG=3,FH=4,得到AC2+BD2=2×(9+16)=50. - 1 - 学科网（北京）股份有限公司 $二十七　直线与直线平行 (时间:45分钟　分值:100分) 【基础全面练】 1.(5分)如图所示,在三棱锥S-MNP中,E,F,G,H分别是棱SN,SP,MN,MP的中 点,则EF与HG的位置关系是(　　) A.平行 B.相交 C.异面 D.平行或异面 【解析】选A.因为E,F分别是SN和SP的中点,所以EF∥PN.同理可证 HG∥PN,所以EF∥HG. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 2.(5分)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,E,F,G分别为棱A1C1,B1C1,B1B的中点, 则∠EFG与∠ABC1的关系是(　　) A.相等 B.互补 C.相等或互补 D.不确定 【解析】选B.由于E,F,G分别为A1C1,B1C1,BB1的中点, 所以EF∥A1B1∥AB,FG∥BC1, 所以∠EFG与∠ABC1的两组对应边分别平行,一组对应边方向相同,一组对 应边方向相反,故∠EFG与∠ABC1互补. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 3.(5分)如图所示,在长方体木块ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是B1O和C1O的 中点,则长方体的各棱中与EF平行的有 (　　) A.3条 B.4条 C.5条 D.6条 【解析】选B.由于E,F分别是B1O,C1O的中点,故EF∥B1C1,因为和棱B1C1平 行的棱还有3条:AD,BC,A1D1,所以共有4条与EF平行的棱. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 4.(5分)已知在正方体ABCD-A1B1C1D1中,l⊂平面A1B1C1D1,且l与B1C1不平行, 则下列说法一定不可能的是 (　　) A.l与AD平行 B.l与AD不平行 C.l与AC平行 D.l与BD垂直 【解析】选A.假设l∥AD,则由AD∥BC∥B1C1,知l∥B1C1,这与l与B1C1不平 行矛盾,所以,l与AD不平行. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 5.(5分)(多选)给出下列四个命题,其中正确命题有 (　　) A.在空间中,若两条直线不相交,则它们一定平行 B.平行于同一条直线的两条直线平行 C.一条直线和两条平行直线中的一条相交,那么它也和另一条相交 D.空间四条直线a,b,c,d,如果a∥b,c∥d,且a∥d,那么b∥c 【解析】选BD.两条直线可以异面,故A错误;由基本事实4可知B正确;这条 直线和另一条可以异面,故C错误;由平行直线的传递性可知,D正确. √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 6.(5分)(多选)如图所示,在四面体ABCD中,M,N,P,Q,E分别是AB,BC,CD,AD, AC的中点,则下列说法正确的是 (　　) A.M,N,P,Q四点共面 B.∠QME=∠CBD C.△BCD∽△MEQ D.四边形MNPQ为矩形 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 【解析】选ABC.由条件易得MQ∥BD,ME∥BC,QE∥CD,NP∥BD,所以 MQ∥NP.对于A,由MQ∥NP,得M,N,P,Q四点共面,故A正确;对于B,根据定 理,得∠QME=∠CBD,故B正确;对于C,由定理知∠QME=∠CBD, ∠MEQ=∠BCD,则△BCD∽△MEQ,故C正确;对于D,没有充分理由推证四 边形MNPQ为矩形,故D不正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 7.(5分)空间两个角α,β的两边分别对应平行,且α=60°,则角β的大小为 ______________.  【解析】如图,因为空间两个角α,β的两边对应平行,所以这两个角相等或 互补,又因为α=60°,所以β=60°或120°. 　60°或120°　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 8.(5分)如图,将一张A4纸对折多次,所得折痕为a,b,c,d,e,则a与e的位置关系 为_________.  【解析】依题意,由a∥b,b∥c,得a∥c,由c∥d,d∥e,得c∥e,所以a∥e,即a与e 的位置关系为平行. 　平行　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 9.(5分)已知∠BAC=∠B1A1C1,AB∥A1B1,则AC与A1C1的位置关系可能是 _____________________.  【解析】如图所示,∠BAC=∠B1A1C1,AB∥A1B1,则AC与A1C1的位置关系是 平行、相交或异面. 　平行、相交或异面　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 10.(10分)在正方体ABCD-A1B1C1D1中. (1)如图①所示,若E,F分别为BC,CC1的中点,求证:EF∥AD1; 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 (2)如图②所示,若F,H分别为CC1,A1A的中点,求证:BF∥HD1. 【证明】(2)如图②所示, 取BB1的中点E,连接HE,EC1, 则HE∥A1B1,HE=A1B1,A1B1∥D1C1,A1B1=D1C1, 所以HE∥D1C1,HE=D1C1, 所以四边形HEC1D1是平行四边形, 所以HD1∥EC1;又BE∥FC1,且BE=FC1=CC1, 所以四边形EBFC1是平行四边形, 所以BF∥EC1,所以BF∥HD1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 【综合应用练】 11.(5分)(多选)如图,点P,Q,R,S分别在正方体的四条棱上,且是所在棱的中 点,则直线PQ与RS是平行直线的图是(　　) 【解析】选AB.根据正方体的结构特征,可得A,B中RS与PQ均是平行直 线,D中RS和PQ是相交直线,C中RS和PQ是异面直线. √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 12.(5分)在正方体A1B1C1D1-ABCD中,E,F分别是BC,A1D1的中点,则四边形 B1EDF的形状为 (　　) A.矩形 B.菱形 C.正方形 D.梯形 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 【解析】选B.取AD的中点G,连接FG,BG, 则B1B∥FG,B1B=FG,所以四边形B1BGF为平行四边形, 则BG∥B1F,且BG=B1F, 由ABCD-A1B1C1D1为正方体,且E,G分别为BC,AD的中点, 可得四边形BEDG为平行四边形,所以BG∥DE,BG=DE,则B1F∥DE, 且B1F=DE, 所以四边形B1EDF为平行四边形,易得△B1BE≌△B1A1F,所以B1E=B1F, 所以四边形B1EDF是菱形. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 13.(5分)如图,长方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G分别是棱CC1,BB1及DD1的中 点,∠GBC=70°,则∠ED1F=________.  【解析】连接EF,如图所示: 依题意EC∥D1G且EC=D1G,所以四边形ECGD1为平行四边形, 所以GC∥D1E,同理可得GB∥D1F,根据空间等角定理可知∠ED1F=∠CGB 或∠ED1F与∠CGB互补,显然∠ED1F与∠CGB不互补, 所以∠ED1F=∠CGB;由长方体可知,BC⊥CG,即∠BCG=90°, 又∠GBC=70°,所以∠ED1F=∠CGB=20°. 　20°　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 14.(10分)如图,在正方体ABCD-A'B'C'D'中,E,F,E',F'分别是棱AB,AD,B'C', C'D'的中点,求证:EF'与E'F相交. 【证明】连接EF,E'F',BD,B'D'. 因为E,F分别为AB,AD的中点,所以EF∥BD且EF=BD. 同理E'F'∥B'D'且E'F'=B'D'. 在正方体ABCD-A'B'C'D'中,四边形BB'D'D为平行四边形, 故BD∥B'D'且BD=B'D',故EF∥E'F'且EF=E'F', 故四边形EFF'E'为平行四边形,所以对角线EF'与E'F相交. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 15.(10分)如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G分别是AB,BB1,BC的 中点,求证:△EFG∽△C1DA1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 【创新拓展练】 16.(5分)如图所示,已知三棱锥A-BCD中,M,N分别为AB,CD的中点,则下列 结论正确的是(　　) A.MN≥(AC+BD) B.MN≤(AC+BD) C.MN=(AC+BD) D.MN<(AC+BD) √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 【解析】选D.如图所示,取BC的中点E,连接ME,NE, 则ME=AC,NE=BD, 所以ME+NE=(AC+BD). 在△MNE中,有ME+NE>MN, 所以MN<(AC+BD). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 17.(5分)若E,F,G,H顺次为空间四边形ABCD四条边AB,BC,CD,DA的中点, 且EG=3,FH=4,则AC2+BD2=_______.  【解析】如图,连接EF,FG,GH,HE, 因为E,F,G,H顺次为空间四边形ABCD四条边AB,BC,CD,DA的中点, 所以EF∥AC,GH∥AC,FG∥BD,HE∥BD,得到EF∥GH,FG∥HE, 则四边形EFGH为平行四边形, 且EF=GH=AC,FG=HE=BD, 　50　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 在△EFG中,由余弦定理知EG2=FE2+FG2-2FE·FGcos ∠EFG①, 在△FEH中,由余弦定理知FH2=EF2+EH2-2EF·EHcos ∠FEH②, 又∠EFG+∠FEH=π,由①+②得到EG2+FH2=FE2+FG2+EF2+EH2=(AC2+BD2), 又EG=3,FH=4,得到AC2+BD2=2×(9+16)=50. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 【证明】(1)在正方体ABCD-A1B1C1D1中, 如图①所示,连接BC1, 在正方体ABCD-A1B1C1D1中, 因为ABC1D1, 所以四边形ABC1D1是平行四边形,所以AD1∥BC1; 又E,F分别为BC,CC1的中点, 所以EF∥BC1,所以EF∥AD1. 【证明】如图所示,连接B1C. 因为G,F分别为BC,BB1的中点,所以GF∥B1C. 又ABCD-A1B1C1D1为正方体,所以CDAB,A1B1AB,所以,CDA1B1, 所以四边形A1B1CD为平行四边形,所以A1DB1C. 又B1C∥FG,由基本事实4知A1D∥FG. 同理可证A1C1∥EG,DC1∥EF. 又∠DA1C1与∠EGF,∠A1DC1与∠EFG,∠DC1A1与∠GEF的两条边分别对应平行且均为锐角, 所以∠DA1C1=∠EGF,∠A1DC1=∠EFG,∠DC1A1=∠GEF.所以△EFG∽△C1DA1. $