2.课时跟踪检测练 25 第8章 二十五 平面(Word版+PPT版)-【满分思维】2025-2026学年高中数学必修第二册（人教A版）

二十五　平面 (时间:45分钟　分值:100分) 【基础全面练】 1.(5分)如图所示的平行四边形MNPQ表示的平面不能记为 (　　) A.平面MN B.平面NQ C.平面α D.平面MNPQ 【解析】选A.平面可用希腊字母、平行四边形的四个顶点或对角线字母表示. 2.(5分)(多选)下列条件中一定能确定一个平面的是 (　　) A.两条平行直线 B.四边形 C.空间中的无数个点 D.两条相交直线 【解析】选AD.空间中根据推论知,经过两条平行直线,有且只有一个平面,故A正确; 若四边形为空间四边形,则不能确定在同一平面内,故B错误; 空间中无数个点,可能是共线的,不一定能确定一个平面,故C错误; 空间中根据推论知,经过两条相交直线,有且只有一个平面,故D正确. 3.(5分)如果直线a⊂平面α,直线b⊂平面α,M∈a,N∈b,M∈l,N∈l,则 (　　) A.l⊂α B.l⊄α C.l∩α=M D.l∩α=N 【解析】选A.因为M∈a,a⊂α,所以M∈α,又因为N∈b,b⊂α,所以N∈α,又M,N∈l,所以l⊂α. 4.(5分)在空间四边形ABCD中,在AB,BC,CD,DA上分别取E,F,G,H四点,如果GH与EF交于一点P,则 (　　) A.P一定在直线BD上 B.P一定在直线AC上 C.P在直线AC或BD上 D.P既不在直线BD上,也不在AC上 【解析】选B.由题意知GH⊂平面ADC,GH与EF交于一点P,所以P∈平面ADC. 同理,P∈平面ABC. 因为平面ABC∩平面ADC=AC,由基本事实3可知点P一定在直线AC上. 5.(5分)(多选)下列命题是假命题的为 (　　) A.如果两个平面α,β满足α∩β=a,那么直线a是唯一的 B.如果两平面α,β有一个公共点A,那么α,β相交于过A点的任意一条直线 C.两平面α,β有一个公共点A,那么α,β相交于A点,记作α∩β=A D.平面ABC与平面DBC相交于线段BC 【解析】选BCD.根据基本事实3,两个不重合的平面有一个公共点,它们有且只有一条过该点的公共直线,即交线,所以两平面相交不是一点,也不是一条线段,且交线是唯一的,A是真命题,BCD均为假命题. 6.(5分)(多选)下列说法正确的是 (　　) A.不共面的四点中,其中任意三点不共线 B.若点A,B,C,D共面,点A,B,C,E共面,则点A,B,C,D,E共面 C.若直线a,b共面,直线a,c共面,则直线b,c共面 D.过直线外一点和直线上三点的三条直线共面 【解析】选AD.在A中,假设其中有三点共线,则该直线和直线外的另一点确定一个平面,这与四点不共面矛盾,故其中任意三点不共线,A正确;在B中,如图①,两个相交平面有三个公共点A,B,C,且点A,B,C,D共面,点A,B,C,E共面,但A,B,C,D,E不共面,B不正确;如图②,选项C显然不正确;在D中,过直线与直线外一点可确定一个平面,设为α,因此这三条直线都在平面α内,即三条直线共面,D正确. 7.(5分)对于结论“若a⊂α,且a∩b=P,则P∈α”,用文字语言可以叙述为　若直线a在平面α内,且直线a与直线b交于点P,则点P在平面α内　.  8.(5分)(2025·上海高一检测)若空间中两条直线a,b确定一个平面,则a,b的位置关系为　平行或相交　.  【解析】若空间中两条直线a,b确定一个平面,则a,b平行或相交. 9.(5分)若直线l与平面α相交于点O,A,B∈l,C,D∈α,且AC∥BD,则O,C,D三点的位置关系是　共线　.  【解析】如图,因为AC∥BD,所以AC与BD确定一个平面,记作平面β,则α∩β=直线CD. 因为l∩α=O,所以O∈α.又O∈AB,AB⊂β,所以O∈β,所以O∈直线CD,所以O,C,D三点共线. 10.(10分)已知A∈l,B∈l,C∈l,D∉l,如图. 求证:直线AD,BD,CD共面. 【证明】因为D∉l,所以直线l与点D可以确定平面α,所以只需证明AD,BD,CD都在平面α内. 因为A∈l,所以A∈α.又D∈α,所以AD⊂α. 同理,BD⊂α,CD⊂α,所以AD,BD,CD在同一平面α内,即它们共面. 【综合应用练】 11.(5分)(多选)下面命题(其中A,B表示点,a表示直线,α表示平面)叙述方式和推理不完全正确的是 (　　) A.因为A⊂α,B⊂α,所以AB⊂α B.因为A∈α,B∈α,所以AB∈α C.因为A∉a,a⊂α,所以A∉α D.因为A∉α,a⊂α,所以A∉a 【解析】选ABC.A不正确,点与面的关系应写成A∈α,B∈α;B不正确,直线与面的关系应写成AB⊂α;C不正确,推理错误,A可能在α上;D正确. 12.(5分)如图,已知平面α∩平面β=l,P∈β且P∉l,M∈α,N∈α,又MN∩l=R,M,N,P三点确定的平面记为γ,则β与γ的交线是 (　　) A.MN B.MP C.NP D.PR 【解析】选D.因为MN⊂γ,R∈MN,所以R∈γ.又α∩β=l,MN∩l=R,所以R∈β.又P∈β,P∈γ,所以P,R均为平面γ与β的公共点,所以β∩γ=PR. 13.(5分)空间三个平面如果每两个都相交,那么它们的交线有　1或3　条.  【解析】三个平面可能交于同一条直线,也可能有三条不同的交线,如图所示: 14.(10分)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N,E,F分别是棱CD,AB,DD1,AA1上的点,若MN与EF交于点Q,求证:EF,MN,AD三条直线相交于同一点. 【解析】因为MN与EF交于点Q,所以Q∈EF,Q∈MN, 因为E,F∈平面AA1D1D,M,N∈平面ABCD, 所以Q∈平面AA1D1D,Q∈平面ABCD, 因为平面AA1D1D∩平面ABCD=AD, 所以Q∈AD,所以EF,MN,AD三条直线相交于同一点. 15.(10分)如图,已知D,E分别是△ABC的边AC,BC上的点,平面α经过D,E两点. (1)作直线AB与平面α的交点P; 【解析】(1)延长AB交平面α于点P,如图所示. (2)求证:D,E,P三点共线. 【解析】(2)因为平面ABC∩平面α=DE, P∈AB,AB⊂平面ABC,所以P∈平面ABC. 又因为P∈α,所以P在平面α与平面ABC的交线DE上,即P∈DE,所以D,E,P三点共线. 【创新拓展练】 16.(5分)空间三个平面最多将空间分成　　　个部分. (　　)  A.6 B.7 C.8 D.9 【解析】选C.如图,三个平面两两相交,且交线交于一点时,这三个平面将空间分的部分最多,为8部分. 17.(5分)已知平面α∩平面β=a,平面α∩平面γ=b,平面γ∩平面β=c且a,b,c不重合.则a,b,c的位置关系为　交于一点或两两平行　.  【解析】如图,若a,b,c中存在两条直线相交,不妨设a∩b=P,则P∈a,P∈b, 因为α∩β=a,所以a⊂β,则P∈β,又α∩γ=b,所以b⊂γ,则P∈γ,所以P在β与γ的交线上,即P∈c,所以a,b,c交于一点; 若a,b,c中任何两条直线都不相交,因为a⊂α,b⊂α,根据同一平面内两条直线不相交则平行,所以a∥b,同理b∥c.所以a∥b∥c. 综上,平面α∩平面β=a,平面α∩平面γ=b,平面γ∩平面β=c且a,b,c不重合,则a,b,c交于一点或两两平行. - 1 - 学科网（北京）股份有限公司 $二十五　平面 (时间:45分钟　分值:100分) 【基础全面练】 1.(5分)如图所示的平行四边形MNPQ表示的平面不能记为(　　) A.平面MN B.平面NQ C.平面α D.平面MNPQ 【解析】选A.平面可用希腊字母、平行四边形的四个顶点或对角线字母 表示. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 2.(5分)(多选)下列条件中一定能确定一个平面的是 (　　) A.两条平行直线 B.四边形 C.空间中的无数个点 D.两条相交直线 【解析】选AD.空间中根据推论知,经过两条平行直线,有且只有一个平面, 故A正确; 若四边形为空间四边形,则不能确定在同一平面内,故B错误; 空间中无数个点,可能是共线的,不一定能确定一个平面,故C错误; 空间中根据推论知,经过两条相交直线,有且只有一个平面,故D正确. √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 3.(5分)如果直线a⊂平面α,直线b⊂平面α,M∈a,N∈b,M∈l,N∈l,则 (　　) A.l⊂α B.l⊄α C.l∩α=M D.l∩α=N 【解析】选A.因为M∈a,a⊂α,所以M∈α,又因为N∈b,b⊂α,所以N∈α, 又M,N∈l,所以l⊂α. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 4.(5分)在空间四边形ABCD中,在AB,BC,CD,DA上分别取E,F,G,H四点,如果 GH与EF交于一点P,则 (　　) A.P一定在直线BD上 B.P一定在直线AC上 C.P在直线AC或BD上 D.P既不在直线BD上,也不在AC上 【解析】选B.由题意知GH⊂平面ADC,GH与EF交于一点P, 所以P∈平面ADC. 同理,P∈平面ABC. 因为平面ABC∩平面ADC=AC,由基本事实3可知点P一定在直线AC上. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 5.(5分)(多选)下列命题是假命题的为 (　　) A.如果两个平面α,β满足α∩β=a,那么直线a是唯一的 B.如果两平面α,β有一个公共点A,那么α,β相交于过A点的任意一条直线 C.两平面α,β有一个公共点A,那么α,β相交于A点,记作α∩β=A D.平面ABC与平面DBC相交于线段BC 【解析】选BCD.根据基本事实3,两个不重合的平面有一个公共点,它们有且只有一条过该点的公共直线,即交线,所以两平面相交不是一点,也不是一条线段,且交线是唯一的,A是真命题,BCD均为假命题. √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 6.(5分)(多选)下列说法正确的是 (　　) A.不共面的四点中,其中任意三点不共线 B.若点A,B,C,D共面,点A,B,C,E共面,则点A,B,C,D,E共面 C.若直线a,b共面,直线a,c共面,则直线b,c共面 D.过直线外一点和直线上三点的三条直线共面 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 【解析】选AD.在A中,假设其中有三点共线,则该直线和直线外的另一点 确定一个平面,这与四点不共面矛盾,故其中任意三点不共线,A正确;在B中, 如图①,两个相交平面有三个公共点A,B,C,且点A,B,C,D共面,点A,B,C,E共 面,但A,B,C,D,E不共面,B不正确;如图②,选项C显然不正确;在D中,过直线 与直线外一点可确定一个平面,设为α,因此这三条直线都在平面α内,即三 条直线共面,D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 7.(5分)对于结论“若a⊂α,且a∩b=P,则P∈α”,用文字语言可以叙述为 __________________________________________________________.  8.(5分)(2025·上海高一检测)若空间中两条直线a,b确定一个平面,则a,b的位 置关系为_______________.  【解析】若空间中两条直线a,b确定一个平面,则a,b平行或相交. 　若直线a在平面α内,且直线a与直线b交于点P,则点P在平面α内　 　平行或相交　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 9.(5分)若直线l与平面α相交于点O,A,B∈l,C,D∈α,且AC∥BD,则O,C,D三点 的位置关系是_________.  【解析】如图,因为AC∥BD,所以AC与BD确定一个平面,记作平面β, 则α∩β=直线CD. 因为l∩α=O,所以O∈α.又O∈AB,AB⊂β,所以O∈β,所以O∈直线CD, 所以O,C,D三点共线. 　共线　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 10.(10分)已知A∈l,B∈l,C∈l,D∉l,如图. 求证:直线AD,BD,CD共面. 【证明】因为D∉l,所以直线l与点D可以确定平面α, 所以只需证明AD,BD,CD都在平面α内. 因为A∈l,所以A∈α.又D∈α,所以AD⊂α. 同理,BD⊂α,CD⊂α,所以AD,BD,CD在同一平面α内,即它们共面. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 【综合应用练】 11.(5分)(多选)下面命题(其中A,B表示点,a表示直线,α表示平面)叙述方式 和推理不完全正确的是(　　) A.因为A⊂α,B⊂α,所以AB⊂α B.因为A∈α,B∈α,所以AB∈α C.因为A∉a,a⊂α,所以A∉α D.因为A∉α,a⊂α,所以A∉a 【解析】选ABC.A不正确,点与面的关系应写成A∈α,B∈α;B不正确,直线 与面的关系应写成AB⊂α;C不正确,推理错误,A可能在α上;D正确. √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 12.(5分)如图,已知平面α∩平面β=l,P∈β且P∉l,M∈α,N∈α, 又MN∩l=R,M,N,P三点确定的平面记为γ,则β与γ的交线是 (　　) A.MN B.MP C.NP D.PR 【解析】选D.因为MN⊂γ,R∈MN,所以R∈γ.又α∩β=l,MN∩l=R,所以R∈β. 又P∈β,P∈γ,所以P,R均为平面γ与β的公共点,所以β∩γ=PR. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 13.(5分)空间三个平面如果每两个都相交,那么它们的交线有_________条.  【解析】三个平面可能交于同一条直线,也可能有三条不同的交线,如图所示: 　1或3　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 14.(10分)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N,E,F分别是棱CD,AB,DD1, AA1上的点,若MN与EF交于点Q,求证:EF,MN,AD三条直线相交于同一点. 【解析】因为MN与EF交于点Q,所以Q∈EF,Q∈MN, 因为E,F∈平面AA1D1D,M,N∈平面ABCD, 所以Q∈平面AA1D1D,Q∈平面ABCD, 因为平面AA1D1D∩平面ABCD=AD, 所以Q∈AD,所以EF,MN,AD三条直线相交于同一点. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 15.(10分)如图,已知D,E分别是△ABC的边AC,BC上的点,平面α经过D,E两点. (1)作直线AB与平面α的交点P; 【解析】(1)延长AB交平面α于点P,如图所示. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 (2)求证:D,E,P三点共线. 【解析】(2)因为平面ABC∩平面α=DE, P∈AB,AB⊂平面ABC,所以P∈平面ABC. 又因为P∈α,所以P在平面α与平面ABC的交线DE上,即P∈DE, 所以D,E,P三点共线. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 【创新拓展练】 16.(5分)空间三个平面最多将空间分成　　　个部分.(　　)  A.6 B.7 C.8 D.9 【解析】选C.如图,三个平面两两相交,且交线交于一点时,这三个平面将空 间分的部分最多,为8部分. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 17.(5分)已知平面α∩平面β=a,平面α∩平面γ=b,平面γ∩平面β=c且a,b,c不重 合.则a,b,c的位置关系为_______________________.  【解析】如图,若a,b,c中存在两条直线相交,不妨设a∩b=P,则P∈a,P∈b, 因为α∩β=a,所以a⊂β,则P∈β,又α∩γ=b,所以b⊂γ,则P∈γ,所以P在β与γ的交 线上,即P∈c,所以a,b,c交于一点; 　交于一点或两两平行　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 若a,b,c中任何两条直线都不相交,因为a⊂α,b⊂α,根据同一平面内两条直线不相交则平行,所以a∥b,同理b∥c.所以a∥b∥c. 综上,平面α∩平面β=a,平面α∩平面γ=b,平面γ∩平面β=c且a,b,c不重合,则a,b,c交于一点或两两平行. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 $