2.课时跟踪检测练 24 第8章 二十四 圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积(Word版+PPT版)-【满分思维】2025-2026学年高中数学必修第二册（人教A版）

二十四　圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积 (时间:45分钟　分值:100分) 【基础全面练】 1.(5分)若球的体积与其表面积数值相等,则球的半径等于 (　　) A. B.1 C.2 D.3 【解析】选D.由题设球的半径为r, 则4πr2=πr3,可得r=3. 2.(5分)已知某圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍,母线长为3,圆台的侧面积为84π,则该圆台较小底面的半径为 (　　) A.7 B.6 C.5 D.3 【解析】选A.设圆台较小底面的半径为r,则另一底面的半径为3r.由S侧=3π(r+3r)=84π,解得r=7. 3.(5分)圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为120°,则圆锥的表面积是底面积的 (　　) A.2倍 B.3倍 C.4倍 D.5倍 【解析】选C.设圆锥的底面圆半径为r,母线长为l, 由题得,π=,所以l=3r, 所以==4. 4.(5分)已知圆柱的侧面展开图矩形的面积为S,底面周长为C,它的体积是 (　　) A. B. C. D. 【解析】选D.设圆柱底面半径为r,高为h, 则 所以r=,h=, 所以V=πr2·h=π()2·=. 5.(5分)(多选)一个圆柱和一个圆锥的底面直径和高都与一个球的直径2R相等,下列结论正确的是 (　　) A.圆柱的侧面积为2πR2 B.圆锥的侧面积为2πR2 C.圆柱的侧面积与球的表面积相等 D.圆锥的表面积最小 【解析】选CD.对于A,因为圆柱的底面直径和高都与一个球的直径2R相等,所以圆柱的侧面积为S=2πR×2R=4πR2,故错误; 对于B,因为圆锥的底面直径和高都与一个球的直径2R相等,所以圆锥的侧面积为S=πR·=πR2,故错误; 对于C,因为圆柱的侧面积为S=2πR×2R=4πR2,球的表面积为S球=4πR2,所以圆柱的侧面积与球的表面积相等,故正确; 对于D,圆柱的表面积为S圆柱=2πR×2R+2πR2=6πR2,圆锥的表面积为S圆锥=πR·+πR2=(+1)πR2,球的表面积为S球=4πR2,所以圆锥的表面积最小,故正确. 6.(5分)(多选)下列说法正确的是 (　　) A.若把球的半径扩大到原来的2倍,则它的体积扩大到原来的8倍 B.若把球的表面积扩大到原来的2倍,则它的体积扩大到原来的4倍 C.若球的体积为36π,则球的表面积也为36π D.若边长为2的正方体的8个顶点都在同一球面上,则球的表面积为12π 【解析】选ACD.设球原来的半径为r,体积为V, 则V=πr3,当球的半径为2r时,其体积变为8(πr3),A正确; 设球变化前后的半径分别为r与r',则4πr'2=2·4πr2,得r'=r,则V'=πr'3=2(πr3)=2V,即体积变为原来体积的2倍,B不正确; 设球的半径为R,则πR3=36π,解得R=3,球的表面积为4πR2=36π,C正确; 设正方体外接球的半径为R,则2=2R,得R=,即S球=4πR2=12π,D正确. 7.(5分)高为3、底面半径为1的圆锥的体积为　π　.  【解析】由圆锥的体积公式可得,V=×π×12×3=π. 8.(5分)将直径为2的半圆绕直径所在的直线旋转半周而形成的曲面所围成的实心封闭几何体的表面积为　3π　.  【解析】由题意知,该几何体为半球,表面积为大圆面积加上半个球的表面积,S=π×12+×4×π×12=3π. 【误区警示】解答本题易忽视已知条件,误认为形成的几何体是球. 9.(5分)圆台上、下底面的圆周都在一个直径为10的球面上,其上、下底面半径分别为4和5,则该圆台的体积为　61π　.  【解析】圆台的下底面半径为5,故下底面在外接球的大圆上,如图所示, 设球的球心为O,圆台上底面的圆心为O', 则圆台的高OO'===3, 据此可得圆台的体积V=π×3×(52+5×4+42)=61π. 10.(10分)如图,一个圆锥形的空杯子上面放着一个半球形的冰块,如果冰块融化了,水会溢出杯子吗?你能说明原因吗?(假设冰块融化后水全部流入空杯子中) 【解析】不会,原因如下:因为V半球=πR3=π×43=π(cm3), V圆锥=πR2h=π×42×10=π(cm3), 因为V半球<V圆锥,所以冰块融化了,不会溢出杯子. 【综合应用练】 11.(5分)(2024·新高考Ⅰ卷)已知圆柱和圆锥的底面半径相等,侧面积相等,且它们的高均为,则圆锥的体积为 (　　) A.2π B.3π C.6π D.9π 【解析】选B.由题意,圆柱和圆锥的侧面积相等,则圆锥的母线长是圆柱高的2 倍即2,故底面半径为3,所以圆锥的体积为3π. 12.(5分)若球的外切圆台的上、下底面半径分别为r,R,则球的表面积为 (　　) A.4π(r+R)2 B.4πr2R2 C.4πrR D.π(R+r)2 【解析】选C.如图为球与圆台的轴截面,过D作DE⊥BC, 设球的半径为r1,则在Rt△CDE中,DE=2r1,CE=R-r,DC=R+r, 由勾股定理得4=(R+r)2-(R-r)2, 解得r1=(负值舍去). 故球的表面积为S球=4π=4πRr. 13.(5分)已知圆锥的底面半径为1,母线长为3,则该圆锥内半径最大的球的半径为　　.  【解析】易知半径最大的球为圆锥的内切球,球与圆锥内切时的轴截面如图所示, 其中BC=2,AB=AC=3,且点M为BC边上的中点,设内切圆的圆心为O, 则AM==2,故S△ABC=×2×2=2. 设内切圆半径为r,则S△ABC=S△AOB+S△BOC+S△AOC=×AB×r+×BC×r+×AC×r=×(3+2+3)×r=2,解得r=. 14.(10分)如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,AD=a,BC=2a,∠DCB=60°,在平面ABCD内过点C作l⊥CB,以l为轴旋转一周.求旋转体的体积. 【解析】如题图,在梯形ABCD中,∠ABC=90°,AD∥BC,AD=a,BC=2a,∠DCB=60°, 所以CD==2a,AB=CDsin 60°=a. DD'=AA'-2AD=2BC-2AD=2a. 所以DO=DD'=a. 由题意知形成的几何体为圆柱中挖去一个倒放的与圆柱等高的圆锥, 则圆柱的母线长为a,底面半径为2a,圆锥的底面半径为a,高为a. 则几何体的体积为一个圆柱的体积减去一个圆锥的体积. V柱=Sh=π·(2a)2·a=4πa3, V锥=S'h=·π·a2·a=πa3, 所以V=V柱-V锥=4πa3-πa3=πa3. 15.(10分)如图,某种水箱用的“浮球”是由两个半球和一个圆柱筒组成.已知半球的直径是6 cm,圆柱筒长2 cm. (1)这种“浮球”的体积是多少立方厘米? 【解析】(1)由题意知半球的半径R=3 cm, 两个半球的体积之和为 V球=πR3=π·27=36π(cm3), 而V圆柱=πR2·h=π×9×2=18π(cm3), 所以该“浮球”的体积是 V=V球+V圆柱=36π+18π=54π(cm3). (2)要在2 500个这样的“浮球”表面涂一层胶质,如果每平方米需要涂胶100克,共需胶多少克? 【解析】(2)根据题意,上、下两个半球的表面积为S球=4πR2=4×π×9=36π(cm2),而“浮球”的圆柱筒侧面积为S圆柱侧=2πRh=2×π×3×2=12π(cm2), 所以1个“浮球”的表面积为S==π(m2). 因此,2 500个这样的“浮球”的表面积的和为2 500S=2 500×π=12π(m2). 因为每平方米需要涂胶100克,所以总共需要胶的质量为100×12π=1 200π(克). 【创新拓展练】 16.(5分)如图,半径为R的球O中有一内接圆柱,当圆柱的侧面积最大时,球的体积与该圆柱的体积之比是 (　　) A.2π B. C. D. 【解析】选B.设圆柱的底面半径为r,高为h,可得出r2+()2=R2,即4r2+h2=4R2, 由基本不等式可得,4R2=4r2+h2≥2=4rh, 当且仅当h=R,r=R时,等号成立,圆柱的侧面积为S=2πrh=π×4rh≤π×4R2=2πR2, 所以此时球的体积与该圆柱的体积之比为==. 17.(5分)已知某圆锥的母线长为3,底面积为9π,记该圆锥的体积为V,若用一个平行于圆锥底面的平面截该圆锥,且截去一个体积为的小圆锥,则剩余几何体的外接球的表面积为 (　　) A.60π B.40π C.30π D.20π 【解析】选B.因为圆锥的底面积为9π,所以底面半径r=3,记圆锥的高为h1, 则h1==6. 因为截去一个体积为的小圆锥,则小圆锥的高h2=h1=2,小圆锥的底面半径r1=r=1, 所以剩余圆台的高为h3=h1-h2=4. 设圆台外接球的半径为R,球心到上底面的距离为h,则, 解得R2=10, 所以外接球的表面积S=4πR2=40π. - 1 - 学科网（北京）股份有限公司 $二十四　圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积 (时间:45分钟　分值:100分) 【基础全面练】 1.(5分)若球的体积与其表面积数值相等,则球的半径等于(　　) A. B.1 C.2 D.3 【解析】选D.由题设球的半径为r, 则4πr2=πr3,可得r=3. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 2.(5分)已知某圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍,母线长为3, 圆台的侧面积为84π,则该圆台较小底面的半径为 (　　) A.7 B.6 C.5 D.3 【解析】选A.设圆台较小底面的半径为r,则另一底面的半径为3r. 由S侧=3π(r+3r)=84π,解得r=7. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 3.(5分)圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为120°,则圆锥的表面积是底面积 的 (　　) A.2倍 B.3倍 C.4倍 D.5倍 【解析】选C.设圆锥的底面圆半径为r,母线长为l, 由题得,π=,所以l=3r, 所以==4. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 4.(5分)已知圆柱的侧面展开图矩形的面积为S,底面周长为C,它的体积是 (　　) A. B. C. D. 【解析】选D.设圆柱底面半径为r,高为h, 则所以r=,h=, 所以V=πr2·h=π()2·=. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 5.(5分)(多选)一个圆柱和一个圆锥的底面直径和高都与一个球的直径2R相等,下列结论正确的是 (　　) A.圆柱的侧面积为2πR2 B.圆锥的侧面积为2πR2 C.圆柱的侧面积与球的表面积相等 D.圆锥的表面积最小 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 【解析】选CD.对于A,因为圆柱的底面直径和高都与一个球的直径2R相等,所以圆柱的侧 面积为S=2πR×2R=4πR2,故错误; 对于B,因为圆锥的底面直径和高都与一个球的直径2R相等,所以圆锥的侧面积为 S=πR·=πR2,故错误; 对于C,因为圆柱的侧面积为S=2πR×2R=4πR2,球的表面积为S球=4πR2,所以圆柱的侧面积与 球的表面积相等,故正确; 对于D,圆柱的表面积为S圆柱=2πR×2R+2πR2=6πR2,圆锥的表面积为S圆锥= πR·+πR2=(+1)πR2,球的表面积为S球=4πR2,所以圆锥的表面积最小,故正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 6.(5分)(多选)下列说法正确的是 (　　) A.若把球的半径扩大到原来的2倍,则它的体积扩大到原来的8倍 B.若把球的表面积扩大到原来的2倍,则它的体积扩大到原来的4倍 C.若球的体积为36π,则球的表面积也为36π D.若边长为2的正方体的8个顶点都在同一球面上,则球的表面积为12π √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 【解析】选ACD.设球原来的半径为r,体积为V, 则V=πr3,当球的半径为2r时,其体积变为8(πr3),A正确; 设球变化前后的半径分别为r与r',则4πr'2=2·4πr2,得r'=r, 则V'=πr'3=2(πr3)=2V,即体积变为原来体积的2倍,B不正确; 设球的半径为R,则πR3=36π,解得R=3,球的表面积为4πR2=36π,C正确; 设正方体外接球的半径为R,则2=2R,得R=,即S球=4πR2=12π,D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 7.(5分)高为3、底面半径为1的圆锥的体积为______.  【解析】由圆锥的体积公式可得,V=×π×12×3=π. 8.(5分)将直径为2的半圆绕直径所在的直线旋转半周而形成的曲面所围成 的实心封闭几何体的表面积为_______.  【解析】由题意知,该几何体为半球,表面积为大圆面积加上半个球的表面 积,S=π×12+×4×π×12=3π. 【误区警示】解答本题易忽视已知条件,误认为形成的几何体是球. 　π　 　3π　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 9.(5分)圆台上、下底面的圆周都在一个直径为10的球面上,其上、下底面 半径分别为4和5,则该圆台的体积为________.  【解析】圆台的下底面半径为5,故下底面在外接球的大圆上,如图所示, 设球的球心为O,圆台上底面的圆心为O', 则圆台的高OO'===3, 据此可得圆台的体积V=π×3×(52+5×4+42)=61π. 　61π　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 10.(10分)如图,一个圆锥形的空杯子上面放着一个半球形的冰块,如果冰块 融化了,水会溢出杯子吗?你能说明原因吗?(假设冰块融化后水全部流入空 杯子中) 【解析】不会,原因如下:因为V半球=πR3=π×43 =π(cm3), V圆锥=πR2h=π×42×10=π(cm3), 因为V半球<V圆锥,所以冰块融化了,不会溢出杯子. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 【综合应用练】 11.(5分)(2024·新高考Ⅰ卷)已知圆柱和圆锥的底面半径相等,侧面积相等,且 它们的高均为,则圆锥的体积为(　　) A.2π B.3π C.6π D.9π 【解析】选B.由题意,圆柱和圆锥的侧面积相等,则圆锥的母线长是圆柱高 的2 倍即2,故底面半径为3,所以圆锥的体积为3π. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 12.(5分)若球的外切圆台的上、下底面半径分别为r,R,则球的表面积为 (　　) A.4π(r+R)2 B.4πr2R2 C.4πrR D.π(R+r)2 【解析】选C.如图为球与圆台的轴截面,过D作DE⊥BC, 设球的半径为r1,则在Rt△CDE中,DE=2r1,CE=R-r,DC=R+r, 由勾股定理得4=(R+r)2-(R-r)2, 解得r1=(负值舍去). 故球的表面积为S球=4π=4πRr. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 13.(5分)已知圆锥的底面半径为1,母线长为3,则该圆锥内半径最大的球的半径为 _______.  【解析】易知半径最大的球为圆锥的内切球,球与圆锥内切时的轴截面如图所示, 其中BC=2,AB=AC=3,且点M为BC边上的中点,设内切圆的圆心为O, 则AM==2,故S△ABC=×2×2=2. 设内切圆半径为r,则S△ABC=S△AOB+S△BOC+S△AOC=×AB×r+×BC×r+×AC×r=×(3+2+3)×r=2,解得r=. 　　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 14.(10分)如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,AD=a,BC=2a,∠DCB=60°,在平面ABCD内过点C作l⊥CB,以l为轴旋转一周.求旋转体的体积. 【解析】如题图,在梯形ABCD中,∠ABC=90°,AD∥BC,AD=a,BC=2a,∠DCB=60°, 所以CD==2a,AB=CDsin 60°=a. DD'=AA'-2AD=2BC-2AD=2a. 所以DO=DD'=a. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 由题意知形成的几何体为圆柱中挖去一个倒放的与圆柱等高的圆锥, 则圆柱的母线长为a,底面半径为2a,圆锥的底面半径为a,高为a. 则几何体的体积为一个圆柱的体积减去一个圆锥的体积. V柱=Sh=π·(2a)2·a=4πa3, V锥=S'h=·π·a2·a=πa3, 所以V=V柱-V锥=4πa3-πa3=πa3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 15.(10分)如图,某种水箱用的“浮球”是由两个半球和一个圆柱筒组成.已知 半球的直径是6 cm,圆柱筒长2 cm. (1)这种“浮球”的体积是多少立方厘米? 【解析】(1)由题意知半球的半径R=3 cm, 两个半球的体积之和为 V球=πR3=π·27=36π(cm3), 而V圆柱=πR2·h=π×9×2=18π(cm3), 所以该“浮球”的体积是V=V球+V圆柱=36π+18π=54π(cm3). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 (2)要在2 500个这样的“浮球”表面涂一层胶质,如果每平方米需要涂胶100克,共需胶多少克? 【解析】(2)根据题意,上、下两个半球的表面积为S球=4πR2=4×π×9=36π(cm2),而“浮球”的圆柱筒侧面积为S圆柱侧=2πRh=2×π×3×2=12π(cm2), 所以1个“浮球”的表面积为S==π(m2). 因此,2 500个这样的“浮球”的表面积的和为2 500S=2 500×π=12π(m2). 因为每平方米需要涂胶100克,所以总共需要胶的质量为100×12π=1 200π(克). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 【创新拓展练】 16.(5分)如图,半径为R的球O中有一内接圆柱,当圆柱的侧面积最大时,球的体积与该圆柱的体积之比是(　　) A.2π B. C. D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 【解析】选B.设圆柱的底面半径为r,高为h,可得出r2+()2=R2,即4r2+h2=4R2, 由基本不等式可得,4R2=4r2+h2≥2=4rh, 当且仅当h=R,r=R时,等号成立,圆柱的侧面积为S=2πrh=π×4rh≤π×4R2=2πR2, 所以此时球的体积与该圆柱的体积之比为==. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 17.(5分)已知某圆锥的母线长为3,底面积为9π,记该圆锥的体积为V,若 用一个平行于圆锥底面的平面截该圆锥,且截去一个体积为的小圆锥,则 剩余几何体的外接球的表面积为(　　) A.60π B.40π C.30π D.20π √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 【解析】选B.因为圆锥的底面积为9π,所以底面半径r=3,记圆锥的高为h1, 则h1==6. 因为截去一个体积为的小圆锥,则小圆锥的高h2=h1=2,小圆锥的底面半径r1=r=1, 所以剩余圆台的高为h3=h1-h2=4. 设圆台外接球的半径为R,球心到上底面的距离为h,则, 解得R2=10, 所以外接球的表面积S=4πR2=40π. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 $