1.导学案 03 第8章 8.1 第2课时 圆柱、圆锥、圆台、球、简单组合体(Word版+PPT版)-【满分思维】2025-2026学年高中数学必修第二册（人教A版）

第2课时　圆柱、圆锥、圆台、球、简单组合体 【学习目标】 1.理解圆柱、圆锥、圆台、球的定义及其结构特征.(直观想象) 2.了解简单组合体的概念和基本形式.(直观想象) 3.会根据旋转体的几何特征解析相关运算.(数学运算) 必备知识·自主导学 一、圆柱、圆锥、圆台、球的几何特征 1.圆柱 类别 定义 图形及记法 圆柱 以矩形的一边所在直线为旋转轴,其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆柱 记作圆柱O'O 2.圆锥 类别 定义 图形及记法 圆锥 以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴,其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆锥 记作圆锥SO 3.圆台 类别 定义 图形及记法 圆台 用平行于圆锥底面的平面去截圆锥,底面与截面之间的部分叫做圆台 记作圆台O'O 4.球 类别 定义 图形及记法 球 半圆以它的直径所在直线为旋转轴,旋转一周形成的曲面叫做球面,球面所围成的旋转体叫做球体,简称球 记作球O 【思考】 1.在圆柱中任取不重合的两条母线,它们有何关系? 提示:平行且相等. 2.圆台可以由平面图形旋转得到吗?如果可以,由什么平面图形旋转得到?如何旋转? 提示:可以,由直角梯形绕着垂直于底边的腰所在的直线旋转一周得到. 【点拨】 圆柱、圆锥、圆台之间的关系 二、柱体、锥体、台体及简单几何体 1.棱柱和圆柱统称为柱体,棱锥和圆锥统称为锥体,棱台和圆台统称为台体. 2.由柱体、锥体、台体和球等简单几何体组合成的几何体称作简单组合体. 【明辨是非】(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)以直角三角形的一条边所在直线为旋转轴,其余两边旋转一周形成的面围成的几何体是圆锥. (×) 提示:必须以直角边所在直线为轴,若以斜边所在直线为轴,形成的几何体是同底面的两个圆锥组成的. (2)用一个平面截圆锥,截得的两部分分别是圆锥和圆台. (×) 提示:只有用平行于圆锥底面的平面截圆锥,截得的两部分分别是圆锥和圆台. (3)用一个平面去截球面,得到的截面都是圆,且当平面过球心时截得的圆的半径最大. (√) 关键能力·师生共研 类型1旋转体的概念及其结构特征(直观想象) 【典例1】(1)(多选)下列说法中,正确的是 (　　) A.在圆柱上、下底面圆周上各取一点,则这两点的连线是圆柱的母线 B.圆锥顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线 C.在圆台上、下底面圆周上各取一点,则这两点的连线是圆台的母线 D.圆锥的各母线与轴的夹角相等 【解析】选BD.若在圆柱上、下底面圆周上取的点的连线能平行于轴,则是母线,否则不是,故A错误; 由圆锥母线的定义可知B正确; 圆台可看成是由平行于圆锥底面的平面截圆锥得到的,根据圆锥母线的定义可知C错误; 由圆锥的形成过程可知D正确. (2)下列说法正确的是 (　　) A.球的半径是连接球心与球面上任意一点的线段 B.连接球面上任意两点的线段是球的直径 C.用一个平面截一个球,得到的截面是一个圆 D.半圆以它的直径所在直线为旋转轴旋转一周形成的曲面叫做球 【解析】选A.A正确,是球的半径的定义; B错误,只有两点的连线经过球心时才为球的直径; C,D错误,球面和球是两个不同的概念,半圆以它的直径所在直线为旋转轴旋转一周形成的曲面叫做球面,球面围成的旋转体叫做球,所以球的截面是圆面. 【总结升华】 判断旋转体形状的步骤 (1)明确旋转轴l. (2)确定平面图形中各边(通常是线段)与l的位置关系. (3)依据圆柱、圆锥、圆台、球的定义和一些结论来确定形状. 【即学即练】 1.下列说法不正确的是 (　　) A.圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面 B.圆柱、圆锥、圆台的侧面都是曲面 C.圆锥的所有母线都交于一点 D.圆台的任意两条母线的延长线不一定相交 【解析】选D.根据定义,圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面,侧面都是曲面,A,B正确,不符合题意;圆锥的所有母线都交于一点,即圆锥的顶点,由圆台与圆锥的关系,圆台的母线的延长线也交于该点,C正确,不符合题意,D不正确,符合题意. 2.(2025·乐山高一检测)一个几何体,它的轴截面一定是圆面,则这个几何体是 (　　) A.圆柱 B.圆锥 C.圆台 D.球 【解析】选D.圆柱的轴截面是矩形,A不符合题意; 圆锥的轴截面是等腰三角形,B不符合题意; 圆台的轴截面是等腰梯形,C不符合题意; 用任意的平面去截球,得到的截面均为圆面,D符合题意. 类型2简单组合体的结构特征(直观想象) 【典例2】如图,分别写出虚线一边的平面图形绕虚线旋转一周形成的封闭曲面所围成的几何体的结构特征. 【解析】(1)如图,几何体自上而下由圆锥、圆台、圆台、圆柱组合而成. (2)如图,几何体自上而下由圆锥、圆台、圆柱组合而成. (3)如图,几何体是一个大圆台挖去一个以大圆台上底面为下底面的小圆台形成的组合体. 【总结升华】 1.“旋转”组合体问题中的“两个明确” (1)明确由哪个平面图形旋转而成; (2)明确旋转轴是哪条直线. 2.解“拼接、截去、挖空”组合体问题的常用思路 (1)观察组合体的组成; (2)恰当地作出辅助线(或面),对原组合体进行分割. 【即学即练】 1.如图所示的螺母可以看成一个组合体,则对其结构特征最接近的表述是 (　　) A.一个六棱柱中挖去一个棱柱 B.一个六棱柱中挖去一个棱锥 C.一个六棱柱中挖去一个圆柱 D.一个六棱柱中挖去一个圆台 【解析】选C.螺母这个组合体的外部轮廓是六棱柱,内部挖去的部分近似是圆柱. 2.如图是由某种机器零件原胚抽象出来的立体图形,该立体图形是一个中空的圆台,中空部分呈圆柱形状,且圆柱底面圆心与圆台底面圆心重合,该零件原胚可由下面图形绕旋转轴(直线l)旋转而成,这个图形是 (　　) 【解析】选B.由题可知,该零件中空部分呈圆柱形状,而圆柱形状由矩形旋转形成,圆台由梯形旋转形成,分析四个选项,A选项,旋转后为圆台;C选项,旋转后为圆台;D选项,旋转后为球体中挖去一个小球;只有B选项符合题意. 类型3旋转体中的计算问题(数学运算) 【典例3】(1)用一个平行于圆锥底面的平面截这个圆锥,截得圆台上、下底面半径的比是1∶4,且该圆台的母线长为9,则截去的小圆锥的母线长为(　　) A. B.3 C.12 D.36 【解析】选B.设截去的小圆锥的母线长为y, 根据相似三角形的性质,得=,解得y=3. (2)(2025·新高考Ⅱ卷)一个底面半径为4 cm,高为9 cm的封闭圆柱形容器(容器壁厚度忽略不计)内有两个半径相等的铁球,则铁球半径的最大值为　　　　 cm.  【解析】已知圆柱的底面半径为4 cm,设铁球的半径为r,且r<4, 设两球圆心分别为A,B,连接AB,由圆柱与球的性质知,当铁球半径最大时,AB2=(2r)2=(8-2r)2+(9-2r)2, 即4r2-68r+145=(2r-5)(2r-29)=0, 因为r<4,所以r=2.5. 答案:2.5 【总结升华】 旋转体中有关计算问题的关注点 (1)方法:利用轴截面,将立体问题平面化. (2)常见问题及解题策略: ①圆柱、圆锥、圆台的轴截面分别是矩形、等腰三角形、等腰梯形. ②圆台的轴截面,可将两腰延长相交后在三角形中求解. ③球中的计算一般化为解直角三角形,设球的半径为R,截面圆的半径为r,球心到截面的距离为d,则R2=d2+r2. 【即学即练】 1.若一个圆柱的母线长为5,底面半径为2,则圆柱的轴截面的面积是 (　　) A.10 B.20 C.30 D.40 【解析】选B.因为圆柱的轴截面是矩形, 由题意知该矩形的长是5,宽为4, 所以轴截面的面积为4×5=20. 2.在半径为30 m的圆形广场中央上空设置一个照明光源,射向地面的光呈圆锥形,且其轴截面顶角为120°.若要光源恰好照亮整个广场,则其高度应为　　　　　m.  【解析】如图所示: 在圆锥SO中,AB为圆O的一条直径, 由题意可知SA=SB,AO=30 m,∠ASB=120°, 所以∠SAO=30°,由tan∠SAO=, 故SO=AOtan30°=30×=10(m). 答案:10 - 1 - 学科网（北京）股份有限公司 $01 02 必备知识•自主导学 关键能力•师生共研 第2课时　圆柱、圆锥、圆台、球、简单组合体 内容概览 【学习目标】 1.理解圆柱、圆锥、圆台、球的定义及其结构特征.(直观想象) 2.了解简单组合体的概念和基本形式.(直观想象) 3.会根据旋转体的几何特征解析相关运算.(数学运算) 返回 01 必备知识•自主导学 返回 一、圆柱、圆锥、圆台、球的几何特征 1.圆柱 类别 定义 图形及记法 圆柱 以___________所在直线为旋转轴, 其余三边旋转一周形成的面所围成 的旋转体叫做圆柱 记作圆柱O'O 矩形的一边 返回 2.圆锥 类别 定义 图形及记法 圆锥 以直角三角形的___________所 在直线为旋转轴,其余两边旋 转一周形成的面所围成的旋转 体叫做圆锥 记作圆锥SO 一条直角边 返回 3.圆台 类别 定义 图形及记法 圆台 用_____于圆锥底面的平面去截 圆锥,___________之间的部分 叫做圆台 记作圆台O'O 平行 底面与截面 返回 4.球 类别 定义 图形及记法 球 半圆以它的_____所在直线为旋 转轴,旋转一周形成的曲面叫 做球面,球面所围成的旋转体 叫做球体,简称球 记作球O 直径 返回 【思考】 1.在圆柱中任取不重合的两条母线,它们有何关系? 提示:平行且相等. 2.圆台可以由平面图形旋转得到吗?如果可以,由什么平面图形旋转得到? 如何旋转? 提示:可以,由直角梯形绕着垂直于底边的腰所在的直线旋转一周得到. 返回 【点拨】 圆柱、圆锥、圆台之间的关系 返回 二、柱体、锥体、台体及简单几何体 1.棱柱和圆柱统称为柱体,棱锥和圆锥统称为锥体,棱台和圆台统称为台体. 2.由柱体、锥体、台体和球等简单几何体组合成的几何体称作简单组合体. 返回 【明辨是非】(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)以直角三角形的一条边所在直线为旋转轴,其余两边旋转一周形成的面围成 的几何体是圆锥.( ) 提示:必须以直角边所在直线为轴,若以斜边所在直线为轴,形成的几何体是同底 面的两个圆锥组成的. (2)用一个平面截圆锥,截得的两部分分别是圆锥和圆台.( ) 提示:只有用平行于圆锥底面的平面截圆锥,截得的两部分分别是圆锥和圆台. (3)用一个平面去截球面,得到的截面都是圆,且当平面过球心时截得的圆的半径 最大.( ) × × √ 返回 02 关键能力•师生共研 返回 类型1旋转体的概念及其结构特征(直观想象) 【典例1】(1)(多选)下列说法中,正确的是(　　) A.在圆柱上、下底面圆周上各取一点,则这两点的连线是圆柱的母线 B.圆锥顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线 C.在圆台上、下底面圆周上各取一点,则这两点的连线是圆台的母线 D.圆锥的各母线与轴的夹角相等 √ √ 返回 【解析】选BD.若在圆柱上、下底面圆周上取的点的连线能平行于轴,则是母线,否则不是,故A错误; 由圆锥母线的定义可知B正确; 圆台可看成是由平行于圆锥底面的平面截圆锥得到的,根据圆锥母线的定义可知C错误; 由圆锥的形成过程可知D正确. 返回 (2)下列说法正确的是 (　　) A.球的半径是连接球心与球面上任意一点的线段 B.连接球面上任意两点的线段是球的直径 C.用一个平面截一个球,得到的截面是一个圆 D.半圆以它的直径所在直线为旋转轴旋转一周形成的曲面叫做球 【解析】选A.A正确,是球的半径的定义; B错误,只有两点的连线经过球心时才为球的直径; C,D错误,球面和球是两个不同的概念,半圆以它的直径所在直线为旋转轴旋转一 周形成的曲面叫做球面,球面围成的旋转体叫做球,所以球的截面是圆面. √ 返回 【总结升华】 判断旋转体形状的步骤 (1)明确旋转轴l. (2)确定平面图形中各边(通常是线段)与l的位置关系. (3)依据圆柱、圆锥、圆台、球的定义和一些结论来确定形状. 返回 【即学即练】 1.下列说法不正确的是(　　) A.圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面 B.圆柱、圆锥、圆台的侧面都是曲面 C.圆锥的所有母线都交于一点 D.圆台的任意两条母线的延长线不一定相交 【解析】选D.根据定义,圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面,侧面都是曲面,A,B正确,不符合题意;圆锥的所有母线都交于一点,即圆锥的顶点,由圆台与圆锥的关系,圆台的母线的延长线也交于该点,C正确,不符合题意,D不正确,符合题意. √ 返回 2.(2025·乐山高一检测)一个几何体,它的轴截面一定是圆面,则这个几何体 是 (　　) A.圆柱 B.圆锥 C.圆台 D.球 【解析】选D.圆柱的轴截面是矩形,A不符合题意; 圆锥的轴截面是等腰三角形,B不符合题意; 圆台的轴截面是等腰梯形,C不符合题意; 用任意的平面去截球,得到的截面均为圆面,D符合题意. √ 返回 类型2简单组合体的结构特征(直观想象) 【典例2】如图,分别写出虚线一边的平面图形绕虚线旋转一周形成的封闭曲面所围成的几何体的结构特征. 返回 【解析】(1)如图,几何体自上而下由圆锥、圆台、圆台、 圆柱组合而成. (2)如图,几何体自上而下由圆锥、圆台、圆柱组合而成. (3)如图,几何体是一个大圆台挖去一个以大圆台上底面 为下底面的小圆台形成的组合体. 返回 【总结升华】 1.“旋转”组合体问题中的“两个明确” (1)明确由哪个平面图形旋转而成; (2)明确旋转轴是哪条直线. 2.解“拼接、截去、挖空”组合体问题的常用思路 (1)观察组合体的组成; (2)恰当地作出辅助线(或面),对原组合体进行分割. 返回 【即学即练】 1.如图所示的螺母可以看成一个组合体,则对其结构特征最接近的表述是 (　　) A.一个六棱柱中挖去一个棱柱 B.一个六棱柱中挖去一个棱锥 C.一个六棱柱中挖去一个圆柱 D.一个六棱柱中挖去一个圆台 【解析】选C.螺母这个组合体的外部轮廓是六棱柱,内部挖去的部分近似 是圆柱. √ 返回 2.如图是由某种机器零件原胚抽象出来的立体图形,该立体图形是一个中空的圆台,中空部分呈圆柱形状,且圆柱底面圆心与圆台底面圆心重合,该零件原胚可由下面图形绕旋转轴(直线l)旋转而成,这个图形是 (　　) √ 返回 【解析】选B.由题可知,该零件中空部分呈圆柱形状,而圆柱形状由矩形旋转形成,圆台由梯形旋转形成,分析四个选项,A选项,旋转后为圆台;C选项,旋转后为圆台;D选项,旋转后为球体中挖去一个小球;只有B选项符合题意. 返回 类型3旋转体中的计算问题(数学运算) 【典例3】(1)用一个平行于圆锥底面的平面截这个圆锥,截得圆台上、下 底面半径的比是1∶4,且该圆台的母线长为9,则截去的小圆锥的母线长为 (　　) A. B.3 C.12 D.36 【解析】选B.设截去的小圆锥的母线长为y, 根据相似三角形的性质,得=,解得y=3. √ 返回 (2)(2025·新高考Ⅱ卷)一个底面半径为4 cm,高为9 cm的封闭圆柱形容器(容 器壁厚度忽略不计)内有两个半径相等的铁球,则铁球半径的最大值为 　　　　 cm.  【解析】已知圆柱的底面半径为4 cm,设铁球的半径为r,且r<4, 设两球圆心分别为A,B,连接AB,由圆柱与球的性质知, 当铁球半径最大时,AB2=(2r)2=(8-2r)2+(9-2r)2, 即4r2-68r+145=(2r-5)(2r-29)=0, 因为r<4,所以r=2.5. 答案:2.5 返回 【总结升华】 旋转体中有关计算问题的关注点 (1)方法:利用轴截面,将立体问题平面化. (2)常见问题及解题策略: ①圆柱、圆锥、圆台的轴截面分别是矩形、等腰三角形、等腰梯形. ②圆台的轴截面,可将两腰延长相交后在三角形中求解. ③球中的计算一般化为解直角三角形,设球的半径为R,截面圆的半径为r,球 心到截面的距离为d,则R2=d2+r2. 返回 【即学即练】 1.若一个圆柱的母线长为5,底面半径为2,则圆柱的轴截面的面积是(　　) A.10 B.20 C.30 D.40 【解析】选B.因为圆柱的轴截面是矩形, 由题意知该矩形的长是5,宽为4, 所以轴截面的面积为4×5=20. √ 返回 2.在半径为30 m的圆形广场中央上空设置一个照明光源,射向地面的光呈圆锥形, 且其轴截面顶角为120°.若要光源恰好照亮整个广场,则其高度应为 　　　　　m.  【解析】如图所示: 在圆锥SO中,AB为圆O的一条直径, 由题意可知SA=SB,AO=30 m,∠ASB=120°, 所以∠SAO=30°,由tan∠SAO=, 故SO=AOtan30°=30×=10(m). 答案:10 返回 $