2.课时跟踪检测练 23 第8章 二十三 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积(Word版+PPT版)-【满分思维】2025-2026学年高中数学必修第二册（人教A版）

二十三　棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积 (时间:45分钟　分值:100分) 【基础全面练】 1.(5分)已知高为3的三棱柱ABC-A1B1C1的底面是边长为1的等边三角形(如图),则三棱柱ABC-A1B1C1的体积为 (　　) A. B. C. D. 【解析】选D.V=Sh=12××3=. 2.(5分)已知一个正六棱锥的底面边长为1,侧棱长为,那么它的体积为 (　　) A.6　 B.　 C.2　 D.2 【解析】选B.由题可得高h==2, 因为底面积S=6××1×1×=, 所以V=Sh=×2=. 3.(5分)正方体表面积增大为原来的2倍,则它的体积增大为原来的 (　　) A.2倍 B.4倍 C.倍 D.2倍 【解析】选D.S表=6a2,S表'=6a'2=2S表, 所以a'=a,V=a3,V'=a'3=2a3=2V. 4.(5分)正四棱台的上、下底面的边长分别为2,8,该棱台的表面积为148,则侧棱长为 (　　) A.3 B.4 C.5 D.6 【解析】选C.设正四棱台侧面的高为h, 则22+82+×h×4=148,解得h=4, 所以侧棱长为=5. 5.(5分)(多选)一个长方形的长为8,宽为4,将它沿与边平行的线折3次折叠成一个正四棱柱,则此正四棱柱的体积可能为 (　　) A.4 B.8 C.16 D.24 【解析】选BC.若以长为正四棱柱的高,则V=1×1×8=8; 若以宽为正四棱柱的高,则V=2×2×4=16. 6.(5分)(多选)已知某几何体的直观图如图所示,其中底面为长为8,宽为6的长方形,顶点在底面的投影为底面中心,高为4.若该几何体的体积和侧面积分别用V和S表示,则 (　　) A.V=64 B.V=32 C.S=40+24 D.S=40+12 【解析】选AC.几何体的体积为V=·S长方形·h=×6×8×4=64.正侧面及相对侧面底边上的高为h1==5.左、右侧面的底边上的高为h2==4.故几何体的侧面积为S=2×(×8×5+×6×4)=40+24. 7.(5分)棱长都是3的三棱锥的表面积S为　9　.  【解析】因为三棱锥的四个面是全等的等边三角形, 所以S=4××32=9. 8.(5分)设正六棱柱的底面边长为1,侧棱长为5,那么它的体积为　　.  【解析】由正六棱柱可得底面为正六边形, 则底面积S=×12×sin 60°×6=, 即正六棱柱的体积V=Sh=×5=. 9.(5分)建造一个容积为16 m3,深为2 m,宽为2 m的长方体无盖水池,如果池底的造价为120元/m2,池壁的造价为80元/m2,则水池的总造价为　2 880　元.  【解析】设长方体无盖水池的长、宽、高分别为a m,b m,h m,水池的总造价为y元. 因为V=abh=16,h=2,b=2,所以a=4. 则有S底=4×2=8(m2),S壁=2×(2+4)×2=24(m2), y=S底×120+S壁×80=120×8+80×24=2 880(元). 10.(10分)如图,某几何体的下部分是长、宽均为8,高为3的长方体,上部分是侧棱长都相等且高为3的四棱锥. (1)求该几何体的体积; 【解析】(1)长方体的体积为8×8×3=192, 四棱锥的体积为×82×3=64, 故该几何体的体积为192+64=256. (2)若要将几何体下部分表面刷上涂料(除底面),求需要刷涂料的表面积. 【解析】(2)长方体侧面面积为3×8×4=96, 故要将几何体下部分表面刷上涂料(除底面),需要刷涂料的表面积为96. 【综合应用练】 11.(5分)(多选)如图,已知正六棱柱的最大对角面的面积为1 m2,互相平行的两个侧面的距离为1 m,这个六棱柱的体积、侧面积分别用V,S侧表示,则 (　　) A.V=m3 B.V= m3 C.S侧=2 m2 D.S侧=3 m2 【解析】选BD.设正六棱柱的底面边长为a m,高为h m,则2ah=1,a=1,解得a=,h=,所以V=×()2×6×=(m3).S侧=6×=3(m2). 12.(5分)三棱锥的侧棱两两垂直,三个侧面三角形的面积分别为S1,S2,S3,则三棱锥的体积是 (　　) A. B. C. D. 【解析】选C.因为三棱锥的侧棱两两垂直, 所以三个侧面都是直角三角形,设三条侧棱长分别为a,b,c,则S1S2S3=ab·bc·ac, 所以abc=, 所以三棱锥的体积V=a·bc==. 13.(5分)棱台上、下底面面积之比为1∶9,则通过棱台高的中点并与底面平行的截面分棱台成两部分的体积之比是　　.  【解析】设棱台高为2h,上底面面积为S,则下底面面积为9S,通过棱台高的中点并与底面平行的截面面积为()2=4S, ==. 14.(10分)如图,某广场设置了一些石凳供大家休息,这些石凳是由正方体截去八个一样的四面体得到的,已知被截的正方体棱长是2a. (1)求石凳的体积; 【解析】(1)根据题意可知正方体的体积为V正方体=(2a)3=8a3, 又截去的每个正三棱锥体积为 V正三棱锥=a2×a=, 所以石凳的体积V=V正方体-8V正三棱锥=8a3-8×=. (2)求石凳的表面积. 【解析】(2)因为石凳的每个正方形面的面积为 S正方形==2a2, 又石凳的每个正三角形面的面积为 S三角形=sin 60°=, 所以石凳的表面积为S=6S正方形+8S三角形=12a2+8×=(12+4)a2. 15.(10分)某农场为了改善水利设施,需要修筑一条横截面为等腰梯形的灌溉水渠,其示意图如图所示,已知水渠长400 m,深1.5 m,渠底宽1 m,渠面宽2 m. (1)修筑水渠需要挖出多少立方米的土? 【解析】(1)由题意,水渠的形状可看成一个四棱柱,设棱柱的底面积为S,高为h, 棱柱的上、下底面为等腰梯形,则等腰梯形的面积S=×(1+2)×1.5=2.25(m2), 棱柱的高h=400 m,故棱柱的体积为V=Sh=900 m3,故需要挖出900 m3的土. (2)若在水渠的底部和侧面铺设水泥板,则需要的水泥板面积是多少.(保留整数,≈1.58) 【解析】(2)水渠有三个面需要铺设水泥板,分别是矩形ABB'A',ADD'A',BCC'B',底面ABB'A'的面积是400×1=400(m2). 如图,过A作AE⊥CD,过B作BF⊥CD,垂足分别是E,F. 根据等腰梯形的性质可得,DE=(CD-AB)= m,故AD==≈1.58 m, 则矩形ADD'A'和矩形BCC'B'的面积之和约是2×400×1.58=1 264(m2), 故一共需要水泥板的面积约是400+1 264=1 664(m2). 【创新拓展练】 16.(5分)有下列几种几何对象:①长度为1.7 cm的短棍(粗细忽略不计);②面积为1.1 cm2的正方形纸片(厚度忽略不计,不可折叠);③体积为0.3 cm3的正四面体木块.关于上述几何对象能否单独完全装入一个棱长为1 cm的正方体(壁厚度忽略不计)中,正确的结论是 (　　) A.仅①②能 B.仅②③能 C.仅①③能 D.①②③均能 【解析】选D.①棱长为1 cm的正方体,体对角线长为 cm>1.7 cm, 所以长度为1.7 cm的短棍(粗细忽略不计)放入正方体体对角线的位置就可以装入; ②棱长为1 cm的正方体,对角面的面积为 cm2>1.1 cm2, 所以面积为1.1 cm2的正方形纸片(厚度忽略不计,不可折叠)放入正方体对角面的位置就可以装入; ③设正四面体棱长为a cm,如图正四面体A-BCD,O是面BCD的中心,AO是四面体的高, 则OD=a,AO==a,体积为V=a2×a=0.3,所以a3=. 棱长为1 cm的正方体中最大的正四面体为面对角线构成的正四面体,此时正四面体的棱长为 cm,a3=<2,所以可以装入. 17.(5分)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,除面ABCD外,该正方体其余各面的中心分别为点E,F,G,H,M(如图),则四棱锥M-EFGH的体积为　　.  【解析】连接AD1,CD1,B1A,B1C,AC(图略), 因为E,H分别为AD1,CD1的中点, 所以EH∥AC,EH=AC=. 同理可得FG∥AC, FG=AC=, 所以EH∥FG,EH=FG, 所以四边形EFGH为平行四边形, 又EG=HF,EH=HG, 所以四边形EFGH为正方形. 又四棱锥M-EFGH的高为, 所以四棱锥M-EFGH的体积为×()2×=. - 1 - 学科网（北京）股份有限公司 $二十三　棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积 (时间:45分钟　分值:100分) 【基础全面练】 1.(5分)已知高为3的三棱柱ABC-A1B1C1的底面是边长为1的等边三角形(如 图),则三棱柱ABC-A1B1C1的体积为(　　) A. B. C. D. 【解析】选D.V=Sh=12××3=. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 2.(5分)已知一个正六棱锥的底面边长为1,侧棱长为,那么它的体积为 (　　) A.6　 B.　 C.2　 D.2 【解析】选B.由题可得高h==2, 因为底面积S=6××1×1×=, 所以V=Sh=×2=. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 3.(5分)正方体表面积增大为原来的2倍,则它的体积增大为原来的 (　　) A.2倍 B.4倍 C.倍 D.2倍 【解析】选D.S表=6a2,S表'=6a'2=2S表, 所以a'=a,V=a3,V'=a'3=2a3=2V. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 4.(5分)正四棱台的上、下底面的边长分别为2,8,该棱台的表面积为148,则 侧棱长为 (　　) A.3 B.4 C.5 D.6 【解析】选C.设正四棱台侧面的高为h, 则22+82+×h×4=148,解得h=4, 所以侧棱长为=5. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 5.(5分)(多选)一个长方形的长为8,宽为4,将它沿与边平行的线折3次折叠成 一个正四棱柱,则此正四棱柱的体积可能为 (　　) A.4 B.8 C.16 D.24 【解析】选BC.若以长为正四棱柱的高,则V=1×1×8=8; 若以宽为正四棱柱的高,则V=2×2×4=16. √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 6.(5分)(多选)已知某几何体的直观图如图所示,其中底面为长为8,宽为6的 长方形,顶点在底面的投影为底面中心,高为4.若该几何体的体积和侧面积 分别用V和S表示,则 (　　) A.V=64 B.V=32 C.S=40+24 D.S=40+12 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 【解析】选AC.几何体的体积为V=·S长方形·h=×6×8×4=64.正侧面及相 对侧面底边上的高为h1==5.左、右侧面的底边上的高为 h2==4. 故几何体的侧面积为S=2×(×8×5+×6×4)=40+24. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 7.(5分)棱长都是3的三棱锥的表面积S为_________.  【解析】因为三棱锥的四个面是全等的等边三角形, 所以S=4××32=9. 　9　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 8.(5分)设正六棱柱的底面边长为1,侧棱长为5,那么它的体积为_________.  【解析】由正六棱柱可得底面为正六边形, 则底面积S=×12×sin 60°×6=, 即正六棱柱的体积V=Sh=×5=. 　　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 9.(5分)建造一个容积为16 m3,深为2 m,宽为2 m的长方体无盖水池,如果池 底的造价为120元/m2,池壁的造价为80元/m2,则水池的总造价为__________ 元.  【解析】设长方体无盖水池的长、宽、高分别为a m,b m,h m,水池的总造 价为y元. 因为V=abh=16,h=2,b=2,所以a=4. 则有S底=4×2=8(m2),S壁=2×(2+4)×2=24(m2), y=S底×120+S壁×80=120×8+80×24=2 880(元). 　2 880　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 10.(10分)如图,某几何体的下部分是长、宽均为8,高为3的长方体,上部分是侧棱 长都相等且高为3的四棱锥. (1)求该几何体的体积; 【解析】(1)长方体的体积为8×8×3=192, 四棱锥的体积为×82×3=64, 故该几何体的体积为192+64=256. (2)若要将几何体下部分表面刷上涂料(除底面),求需要刷涂料的表面积. 【解析】(2)长方体侧面面积为3×8×4=96, 故要将几何体下部分表面刷上涂料(除底面),需要刷涂料的表面积为96. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 【综合应用练】 11.(5分)(多选)如图,已知正六棱柱的最大对角面的面积为1 m2,互相平行的两个 侧面的距离为1 m,这个六棱柱的体积、侧面积分别用V,S侧表示,则(　　) A.V=m3 B.V= m3 C.S侧=2 m2 D.S侧=3 m2 【解析】选BD.设正六棱柱的底面边长为a m,高为h m,则2ah=1,a=1, 解得a=,h=,所以V=×()2×6×=(m3).S侧=6×=3(m2). √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 12.(5分)三棱锥的侧棱两两垂直,三个侧面三角形的面积分别为S1,S2,S3,则三棱锥 的体积是 (　　) A. B. C. D. 【解析】选C.因为三棱锥的侧棱两两垂直, 所以三个侧面都是直角三角形,设三条侧棱长分别为a,b,c,则S1S2S3=ab·bc·ac, 所以abc=, 所以三棱锥的体积V=a·bc==. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 13.(5分)棱台上、下底面面积之比为1∶9,则通过棱台高的中点并与底面平 行的截面分棱台成两部分的体积之比是_______.  【解析】设棱台高为2h,上底面面积为S,则下底面面积为9S,通过棱台高的 中点并与底面平行的截面面积为()2=4S, ==. 　　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 14.(10分)如图,某广场设置了一些石凳供大家休息,这些石凳是由正方体截 去八个一样的四面体得到的,已知被截的正方体棱长是2a. (1)求石凳的体积; 【解析】(1)根据题意可知正方体的 体积为V正方体=(2a)3=8a3, 又截去的每个正三棱锥体积为V正三棱锥=a2×a=, 所以石凳的体积V=V正方体-8V正三棱锥=8a3-8×=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 (2)求石凳的表面积. 【解析】(2)因为石凳的每个正方形面的面积为 S正方形==2a2, 又石凳的每个正三角形面的面积为 S三角形=sin 60°=, 所以石凳的表面积为S=6S正方形+8S三角形=12a2+8×=(12+4)a2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 15.(10分)某农场为了改善水利设施,需要修筑一条横截面为等腰梯形的灌溉水 渠,其示意图如图所示,已知水渠长400 m,深1.5 m,渠底宽1 m,渠面宽2 m. (1)修筑水渠需要挖出多少立方米的土? 【解析】(1)由题意,水渠的形状可看成一个四棱柱,设棱柱 的底面积为S,高为h, 棱柱的上、下底面为等腰梯形,则等腰梯形的面积S=×(1+2)×1.5=2.25(m2), 棱柱的高h=400 m,故棱柱的体积为V=Sh=900 m3,故需要挖出900 m3的土. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 (2)若在水渠的底部和侧面铺设水泥板,则需要的水泥板面积是多少.(保留整 数,≈1.58) 【解析】(2)水渠有三个面需要铺设水泥板,分别是矩形ABB'A', ADD'A',BCC'B',底面ABB'A'的面积是400×1=400(m2). 如图,过A作AE⊥CD,过B作BF⊥CD,垂足分别是E,F. 根据等腰梯形的性质可得,DE=(CD-AB)= m,故AD==≈1.58 m, 则矩形ADD'A'和矩形BCC'B'的面积之和约是2×400×1.58=1 264(m2), 故一共需要水泥板的面积约是400+1 264=1 664(m2). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 【创新拓展练】 16.(5分)有下列几种几何对象:①长度为1.7 cm的短棍(粗细忽略不计);②面 积为1.1 cm2的正方形纸片(厚度忽略不计,不可折叠);③体积为0.3 cm3的正 四面体木块.关于上述几何对象能否单独完全装入一个棱长为1 cm的正方 体(壁厚度忽略不计)中,正确的结论是(　　) A.仅①②能 B.仅②③能 C.仅①③能 D.①②③均能 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 【解析】选D.①棱长为1 cm的正方体,体对角线长为 cm>1.7 cm, 所以长度为1.7 cm的短棍(粗细忽略不计)放入正方体体对角线的位置就可 以装入; ②棱长为1 cm的正方体,对角面的面积为 cm2>1.1 cm2, 所以面积为1.1 cm2的正方形纸片(厚度忽略不计,不可折叠)放入正方体对 角面的位置就可以装入; 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 ③设正四面体棱长为a cm,如图正四面体A-BCD,O是面BCD的中心,AO是 四面体的高,则OD=a,AO==a,体积为V=a2×a=0.3, 所以a3=. 棱长为1 cm的正方体中最大的正四面体为面对角线构成的正四面体,此时 正四面体的棱长为 cm,a3=<2,所以可以装入. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 17.(5分)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,除面ABCD外,该正方体其 余各面的中心分别为点E,F,G,H,M(如图),则四棱锥M-EFGH的体积为 _______.  【解析】连接AD1,CD1,B1A,B1C,AC(图略), 因为E,H分别为AD1,CD1的中点, 所以EH∥AC,EH=AC=. 同理可得FG∥AC,FG=AC=, 　　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 所以EH∥FG,EH=FG, 所以四边形EFGH为平行四边形, 又EG=HF,EH=HG, 所以四边形EFGH为正方形. 又四棱锥M-EFGH的高为, 所以四棱锥M-EFGH的体积为×()2×=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 $