8.3.1 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积 课时跟踪检测-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第二册配套练习word（人教A版）

8.3.1　棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积 [课时跟踪检测] 1.若六棱柱的底面是边长为3的正六边形,侧面为矩形,侧棱长为4,则其侧面积等于 (　　) A.12 B.48 C.64 D.72 解析:选D　该六棱柱的6个侧面是全等的矩形,则S侧=6×(3×4)=72.故选D. 2.棱台的上、下底面面积分别为2,4,高为3,则棱台的体积为 (　　) A.6+2 B.6+6 C.12+2 D.12+6 解析:选A　设棱台的上、下底面面积分别为S1,S2,则S1=2,S2=4,所以V=(S1++S2)h=×(2++4)×3=6+2.故选A. 3.设正四棱柱的一条体对角线长为3,它的四个侧面与两个底面的面积之和是16,则它的体积是 (　　) A.4 B.8 C. D.4或 解析:选D　设正四棱柱的底面边长为a,高为h,则2a2+h2=9　①,2a2+4ah=16,即a2+2ah=8　②,①-②得,(a-h)2=1,即a-h=1或a-h=-1.当a-h=1,即a=h+1时,解得a=2,h=1,体积V=a2h=4;当a-h=-1,即a=h-1时,解得a=,h=,体积V=a2h=. 4.如图,往一个正四棱台密闭容器内倒入38 cm3的水,水面高度恰好为棱台高度的,且AB=6 cm,A1B1=2 cm,则这个容器的容积为 (　　) A.52 cm3 B.60 cm3 C.68 cm3 D.76 cm3 解析:选A　设水体对应的台体的高为h cm,则水体对应台体的上底面是边长为4 cm的正方形, 由台体的体积公式可得V水=×(42+62+4×6)h=h=38,解得h=, 故容器的高为3 cm,容器的容积为V=(22+62+2×6)×3=52(cm3). 5.(多选)已知正三棱锥底面边长为3,侧棱长为2,则正三棱锥的 (　　) A.高为3 B.斜高为 C.体积为 D.侧面积为 解析:选ABD　如图所示,设E为等边△ADC的中心,F为CD的中点,连接PF,EF,PE,则PE为正三棱锥的高,PF为斜高. 又PF==,EF=×3×=,故PE==3,故A、B正确;正三棱锥的体积为×3××3×3=,侧面积为3××3×=,故C错误,D正确. 6.我国有着丰富悠久的“印章文化”,古时候的印章一般用贵重的金属或玉石制成,是过去官员或私人签署文件时代表身份的信物.图1是明清时期的一个金属印章摆件,除去顶部的环以后可以看作是一个正四棱柱和一个正四棱锥组成的几何体,如图2,已知正四棱柱和正四棱锥的高相等,且正四棱锥的底面边长为4,侧棱长为2,则该几何体的体积是 (　　) A.32 B. C. D.64 解析:选C　因为正四棱锥的底面边长为4,所以底面的对角线长为4,设正四棱柱和正四棱锥的高为h,因为正四棱锥的侧棱长为2,所以h2+(2)2=(2)2,解得h=2,故该几何体的体积为4×4×2+×4×4×2=.故选C. 7.(2024·天津高考)一个五面体ABC⁃DEF.已知AD∥BE∥CF,且两两之间距离为1,AD=1,BE=2,CF=3,则该五面体的体积为 (　　) A. B.+ C. D.- 解析:选C　因为AD,BE,CF两两平行,且两两之间距离为1,则该五面体可以分成一个侧棱长为1的三棱柱和一个底面为梯形的四棱锥,其中三棱柱的体积等于棱长均为1的直三棱柱的体积,四棱锥的高为,底面是上底为1、下底为2、高为1的梯形,故该五面体的体积V=×1××1+××=,故选C. 8.如图,三棱柱ABC⁃A1B1C1中,若E,F分别为AB,AC靠近点A的四等分点,平面EB1C1F将三棱柱分成体积为V1和V2的左、右两部分,那么V1∶V2= (　　) A.7∶9 B.14∶13 C.9∶7 D.13∶14 解析:选A　因为E,F分别为AB,AC靠近点A的四等分点,所以EF∥BC∥B1C1且EF=B1C1.因为AF∥A1C1,AF=A1C1,AE∥A1B1,AE=A1B1,所以几何体AEF⁃A1B1C1为三棱台.设三棱柱ABC⁃A1B1C1的高为h,底面的面积为S,体积为V,则V=V1+V2=Sh. 因为E,F分别为靠近点A的四等分点,所以S△AEF=S,则V1=h=Sh,所以V2=Sh-Sh=Sh,所以V1∶V2=Sh∶Sh=7∶9. 9.(5分)一个长方体的三个面的面积分别为,,,则这个长方体的体积为　　　　.  解析:设长方体的长、宽、高分别为x,y,z,则xy=,yz=,xz=,∴(xyz)2=6.∴V=xyz=. 答案: 10.(5分)正三棱柱ABC⁃A1B1C1的底面边长为2,侧棱长为,D为BC的中点,则三棱锥A⁃B1DC1的体积为　　　　.  解析:∵正三棱柱ABC⁃A1B1C1的底面边长为2,侧棱长为,D为BC的中点,∴=×2×=,三棱锥A⁃B1DC1的高就是底面正三角形的高,故三棱锥A⁃B1DC1的体积为××=1. 答案:1 11.(5分)如图,一个棱长为4的正方体被挖去一个高为4的正四棱柱后得到图中的几何体,若该几何体的体积为60,则该几何体的表面积为　　　　. 解析:设正四棱柱的底面边长为m,则4(42-m2)=60,解得m=1,则该几何体的表面积为42×4+(42-12)×2+4×1×4=110. 答案:110 12.(5分)在正三棱柱ABC-A1B1C1中,D为棱AA1的中点,若△BC1D是面积为6的直角三角形,则此三棱柱的体积为　　　　.  解析:设AC=a,CC1=b,则BD=C1D=,BC1=.因为△BC1D是面积为6的直角三角形,所以解得所以此三棱柱的体积V=×8×4=8. 答案:8 13.(10分)如图,正六棱锥被过棱锥高PO的中点O'且平行于底面的平面所截,得到正六棱台OO'和较小的棱锥PO'. (1)求大棱锥、小棱锥、棱台的侧面积之比;(3分) (2)若大棱锥PO的侧棱长为12 cm,小棱锥的底面边长为4 cm,求截得的棱台的侧面积和表面积.(7分) 解:(1)由题意知S小棱锥侧∶S大棱锥侧=1∶4, 所以S大棱锥侧∶S小棱锥侧∶S棱台侧=4∶1∶3. (2)如图所示,∵小棱锥的底面边长为4 cm,∴大棱锥的底面边长为8 cm.又PA=12 cm,∴A1A=6 cm.又梯形ABB1A1的高h'==4(cm), ∴S棱台侧=6××4=144(cm2),S棱台表=S棱台侧+S上底+S下底=144+24+96=(144+120)cm2. 14.(10分)某个实心零部件的直观图如图所示,其下部是上、下底面均是正方形,侧面是全等的等腰梯形的四棱台ABCD⁃A1B1C1D1,上部是一个底面与四棱台的上底面重合,侧面是全等的矩形的四棱柱ABCD⁃A2B2C2D2.现需要对该零部件表面进行防腐处理,已知AB=10 cm,A1B1=20 cm,AA2=30 cm,AA1=13 cm,每平方厘米的加工处理费为0.2元,则需加工处理费多少元? 解:因为四棱柱ABCD⁃A2B2C2D2的底面是正方形,侧面是全等的矩形,所以该零部件上部的表面积S1=+S四个侧面矩形=(A2B2)2+4AB·AA2=102+4×10×30=1 300(cm2).又四棱台ABCD⁃A1B1C1D1的上、下底面均是正方形,侧面是全等的等腰梯形,所以该零部件下部的表面积S2=+S四个侧面梯形=(A1B1)2+4××(AB+A1B1)×h等腰梯形=202+4××(10+20)× =1 120(cm2).于是该实心零部件的表面积S=S1+S2=1 300+1 120=2 420(cm2).又0.2S=0.2×2 420=484(元),故所需加工处理费为484元. 学科网（北京）股份有限公司 $