2.课时跟踪检测练 22 第8章 二十二 立体图形的直观图(Word版+PPT版)-【满分思维】2025-2026学年高中数学必修第二册（人教A版）

二十二　立体图形的直观图 (时间:45分钟　分值:95分) 【基础全面练】 1.(5分)一个水平放置的平面四边形ABCD采用斜二测画法得到的直观图是菱形A'B'C'D',如图所示,则平面四边形ABCD的形状为 (　　) A.正方形 B.矩形 C.菱形 D.梯形 【解析】选B.将直观图还原如图: 所以平面四边形ABCD是矩形. 2.(5分)利用斜二测画法作边长为2的正方形的直观图,则所得直观图的面积为 (　　) A. B. C. D.2 【解析】选C.根据题意,原图为边长为2的正方形,其面积S=2×2=4, 则其直观图的面积S'=S=. 3.(5分)已知两个圆锥,底面重合在一起(底面平行于水平面),其中一个圆锥顶点到底面的距离为2 cm,另一个圆锥顶点到底面的距离为3 cm,则其直观图中这两个顶点之间的距离为 (　　) A.2 cm B.3 cm C.2.5 cm D.5 cm 【解析】选D.圆锥顶点到底面的距离即圆锥的高,故两顶点间距离为2+3=5(cm),在直观图中与z轴平行的线段长度不变,仍为5 cm. 4.(5分)用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的直角梯形,其中BC=AB=1,则原平面图形的面积为 (　　) A. B. C.3 D.6 【解析】选C.如图,过点A作AE⊥CD于点E, 因为∠ADC=45°,所以AD=AE=BC=, CD=CE+DE=2. 所以直观图面积为×(1+2)×1=, 所以原平面图形的面积为2=3. 5.(5分)(多选)利用斜二测画法画直观图时,下列结论正确的是 (　　) A.水平放置的三角形的直观图是三角形 B.水平放置的平行四边形的直观图是平行四边形 C.水平放置的正方形的直观图是正方形 D.两条垂直直线的直观图仍是垂直直线 【解析】选AB.水平放置的n边形的直观图还是n边形,所以A正确;因为斜二测画法是一种特殊的平行投影画法,所以B正确;因为斜二测画法中平行于纵轴的线段长度减半,所以C错误;根据斜二测画法的规则知,两条垂直直线的直观图是两条相交但不垂直的直线,所以D错误. 6.(5分)(多选)水平放置的△ABC的直观图(如图),D'是△A'B'C'中B'C'边上的一点,且D'C'<D'B',A'D'∥y'轴,那么原△ABC的AB,AD,AC三条线段中 (　　) A.最长的是AB B.最长的是AC C.最短的是AC D.最短的是AD 【解析】选AD.根据题意,原△ABC的平面图如图, 其中,AD⊥BC,BD>DC,则有AB>AC>AD, 故△ABC的AB,AD,AC三条线段中最长的是AB,最短的是AD. 7.(5分)如图所示,△A'B'C'是水平放置的△ABC用斜二测画法得到的直观图,A'B'∥y'轴,B'C'∥x'轴,A'B'=2,B'C'=3,则在△ABC中,AC=　5　.  【解析】因为A'B'∥y'轴,B'C'∥x'轴, 所以∠A'B'C'=45°, 所以在△ABC中,∠ABC=90°,故△ABC为直角三角形.由斜二测画法可得在△ABC中,AB=4,BC=3,故AC==5. 8.(5分)如图所示,△A'B'O'是利用斜二测画法画出的△ABO的直观图,已知A'B'∥y'轴,O'B'=4,且△ABO的面积为16,过A'作A'C'⊥x'轴,则A'C'的长为　2　.  【解析】因为A'B'∥y'轴, 所以在△ABO中,AB⊥OB,又△ABO的面积为16,O'B'=4, 所以AB·OB=16,即AB·4=16, 解得AB=8,所以A'B'=4. 作A'C'⊥x'轴于C', 因为∠A'B'C'=45°,所以A'C'=4sin 45°=2. 9.(10分)用斜二测画法画底面半径为2 cm,高为4 cm的圆锥的直观图. 【解析】如图所示,按步骤完成: 第一步:作水平放置的圆的直观图☉O',使A'B'=4 cm,D'C'=2 cm. 第二步:过O'作z'轴,使∠x'O'z'=90°,在z'上取点V',使O'V'=4 cm,连接A'V',B'V'. 第三步:去掉图中的辅助线,就得到所求圆锥的直观图. 【综合应用练】 10.(5分)(多选)如图,已知等腰三角形ABC,则如图所示的四个图中,可能是△ABC的直观图的是 (　　) 【解析】选CD.原等腰三角形画成直观图后,原来的腰长不相等,C,D两图分别为在∠x'O'y'成135°和45°角的坐标系中的直观图. 11.(5分)如图中小正方形的边长为1,四边形ABCD为某图形的直观图,则该图形的面积为 (　　) A. B. C. D.75 【解析】选D.如图,把四边形ABCD分割成两个三角形和一个梯形来求面积, 其面积S'=×5×5+×2×7+×(5+7)×3=. 设原图形面积为S,则S'=S, 所以S=2S'=2=75. 12.(5分)(2025·芜湖高一检测)如图,水平放置的四边形ABCD用斜二测画法得到的直观图为矩形A'B'C'D',已知A'O'=O'B'=2,B'C'=2,则四边形ABCD的周长为　20　.  【解析】因为水平放置的四边形ABCD的直观图为矩形A'B'C'D',A'O'=O'B'=2,B'C'=2, 则O'C'==2, 可得原图ABCD中,AB=AO+OB=A'O'+O'B'=4,OC=2O'C'=4, BC===6, 所以四边形ABCD的周长为2(AB+BC)=2×(4+6)=20. 13.(10分)已知一个正四棱台的上底面边长为2,下底面边长为6,高为4,用斜二测画法画出此正四棱台的直观图. 【解析】(1)画轴.如图①,画x轴、y轴、z轴,三轴相交于点O,使∠xOy=45°,∠xOz=90°. (2)画下底面.以O为中点,在x轴上取线段EF,使得EO=OF=3,在y轴上取线段GH,使得GO=OH=,再过G,H分别作AB∥EF,CD∥EF,且使得AB的中点为G,CD的中点为H,连接AD,BC,这样就得到了正四棱台的下底面ABCD的直观图. (3)画上底面.在z轴上截取线段OO1=4,过O1作O1x'∥Ox,O1y'∥Oy,使∠x'O1y'=45°,建立坐标系x'O1y',在x'O1y'中仿照(2)的步骤画出上底面A1B1C1D1的直观图. (4)连接AA1,BB1,CC1,DD1,擦去辅助线,得到的图形就是所求的正四棱台的直观图(如图②). 14.(10分)如图,△A'B'C'是水平放置的平面图形△ABC用斜二测画法得到的直观图. (1)画出它的原图形; 【解析】(1)画出平面直角坐标系xOy,在x轴上取OA=O'A',即CA=C'A', 在图①中,过B'作B'D'∥y'轴,交x'轴于D',在x轴上取OD=O'D', 过点D作DB∥y轴,并使DB=2D'B', 连接AB,BC,如图②所示. 去掉图中的辅助线,就得到它的原图形△ABC如图③. (2)若A'C'=2,△A'B'C'的面积是,求原图形中AC边上的高和原图形的面积. 【解析】(2)由(1)知,原图形中,BD⊥AC于点D, 则BD为原图形中AC边上的高,且BD=2B'D', 在直观图中作B'E'⊥A'C'于点E', 则S△A'B'C'=A'C'·B'E'=B'E'=, 在Rt△B'E'D'中,B'D'=B'E'=, 所以BD=2B'D'=, 所以S△ABC=AC·BD=. 故原图形中AC边上的高为,原图形的面积为. 【创新拓展练】 15.(5分)用斜二测画法画△ABC的直观图如图所示,其中O'B'=B'C'=2,A'B'=A'C'=,则△ABC中BC边上的中线长为 (　　) A. B.2 C.3 D.1 【解析】选D.在直观图中,O'B'=B'C'=2, 且∠B'O'C'=45°, 则∠O'C'B'=45°,故B'C'⊥O'B'. 因为A'B'=A'C'=, 则A'B'2+A'C'2=B'C'2,可得A'B'⊥A'C',故△A'B'C'为等腰直角三角形, 所以∠A'B'C'=45°,故A'B'∥y'轴,依据题意,作出△ABC的原图形如图所示,延长BA至点D,使得BA=AD,则A为BD的中点, 由题意可知,OB=2,OC=4,AB=2, 且AB∥OC, 所以BD∥OC且BD=OC,故四边形OBDC为平行四边形,则CD=OB=2,取BC的中点E,连接AE, 因为A,E分别为BD,BC的中点, 则AE=CD=×2=1. 16.(5分)(多选)下列选项中的△ABC均是水平放置的边长为1的正三角形,在斜二测画法下,其直观图是全等三角形的是 (　　) 【解析】选ABD.C中,前者在斜二测画法下所得的直观图中,底边AB不变,高变为原来的;后者在斜二测画法下所得的直观图中,高OC不变,底边AB变为原来的,故C中两个图形在斜二测画法下所得直观图不全等;其他选项中,尽管坐标系不同,但是其直观图均全等. - 1 - 学科网（北京）股份有限公司 $二十二　立体图形的直观图 (时间:45分钟　分值:95分) 【基础全面练】 1.(5分)一个水平放置的平面四边形ABCD采用斜二测画法得到的直观图是 菱形A'B'C'D',如图所示,则平面四边形ABCD的形状为(　　) A.正方形 B.矩形 C.菱形 D.梯形 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 选题清单 【解析】选B.将直观图还原如图: 所以平面四边形ABCD是矩形. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 选题清单 2.(5分)利用斜二测画法作边长为2的正方形的直观图,则所得直观图的面积 为 (　　) A. B. C. D.2 【解析】选C.根据题意,原图为边长为2的正方形,其面积S=2×2=4, 则其直观图的面积S'=S=. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 选题清单 3.(5分)已知两个圆锥,底面重合在一起(底面平行于水平面),其中一个圆锥 顶点到底面的距离为2 cm,另一个圆锥顶点到底面的距离为3 cm,则其直观 图中这两个顶点之间的距离为 (　　) A.2 cm B.3 cm C.2.5 cm D.5 cm 【解析】选D.圆锥顶点到底面的距离即圆锥的高,故两顶点间距离为 2+3=5(cm),在直观图中与z轴平行的线段长度不变,仍为5 cm. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 选题清单 4.(5分)用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的直角梯 形,其中BC=AB=1,则原平面图形的面积为 (　　) A. B. C.3 D.6 【解析】选C.如图,过点A作AE⊥CD于点E, 因为∠ADC=45°,所以AD=AE=BC=, CD=CE+DE=2. 所以直观图面积为×(1+2)×1=, 所以原平面图形的面积为2=3. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 选题清单 5.(5分)(多选)利用斜二测画法画直观图时,下列结论正确的是 (　　) A.水平放置的三角形的直观图是三角形 B.水平放置的平行四边形的直观图是平行四边形 C.水平放置的正方形的直观图是正方形 D.两条垂直直线的直观图仍是垂直直线 【解析】选AB.水平放置的n边形的直观图还是n边形,所以A正确;因为斜 二测画法是一种特殊的平行投影画法,所以B正确;因为斜二测画法中平行 于纵轴的线段长度减半,所以C错误;根据斜二测画法的规则知,两条垂直直 线的直观图是两条相交但不垂直的直线,所以D错误. √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 选题清单 6.(5分)(多选)水平放置的△ABC的直观图(如图),D'是△A'B'C'中B'C'边上的 一点,且D'C'<D'B',A'D'∥y'轴,那么原△ABC的AB,AD,AC三条线段中 (　　) A.最长的是AB B.最长的是AC C.最短的是AC D.最短的是AD √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 选题清单 【解析】选AD.根据题意,原△ABC的平面图如图, 其中,AD⊥BC,BD>DC,则有AB>AC>AD, 故△ABC的AB,AD,AC三条线段中最长的是AB,最短的是AD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 选题清单 7.(5分)如图所示,△A'B'C'是水平放置的△ABC用斜二测画法得到的直观 图,A'B'∥y'轴,B'C'∥x'轴,A'B'=2,B'C'=3,则在△ABC中,AC=______.  【解析】因为A'B'∥y'轴,B'C'∥x'轴, 所以∠A'B'C'=45°, 所以在△ABC中,∠ABC=90°,故△ABC为直角三角形. 由斜二测画法可得在△ABC中,AB=4,BC=3,故AC==5. 　5　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 选题清单 8.(5分)如图所示,△A'B'O'是利用斜二测画法画出的△ABO的直观图,已知 A'B'∥y'轴,O'B'=4,且△ABO的面积为16,过A'作A'C'⊥x'轴,则A'C'的长为 _________.  【解析】因为A'B'∥y'轴, 所以在△ABO中,AB⊥OB,又△ABO的面积为16,O'B'=4, 所以AB·OB=16,即AB·4=16, 解得AB=8,所以A'B'=4. 作A'C'⊥x'轴于C', 因为∠A'B'C'=45°,所以A'C'=4sin 45°=2. 　2　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 选题清单 9.(10分)用斜二测画法画底面半径为2 cm,高为4 cm的圆锥的直观图. 【解析】如图所示,按步骤完成: 第一步:作水平放置的圆的直观图☉O',使A'B'=4 cm,D'C'=2 cm. 第二步:过O'作z'轴,使∠x'O'z'=90°,在z'上取点V',使O'V'=4 cm,连接A'V',B'V'. 第三步:去掉图中的辅助线,就得到所求圆锥的直观图. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 选题清单 【综合应用练】 10.(5分)(多选)如图,已知等腰三角形ABC,则如图所示的四个图中,可能是 △ABC的直观图的是(　　) 【解析】选CD.原等腰三角形画成直观图后,原来的腰长不相等,C,D两图 分别为在∠x'O'y'成135°和45°角的坐标系中的直观图. √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 选题清单 11.(5分)如图中小正方形的边长为1,四边形ABCD为某图形的直观图,则该图形的 面积为 (　　) A. B. C. D.75 【解析】选D.如图,把四边形ABCD分割成两个三角形和一个梯形来求面积, 其面积S'=×5×5+×2×7+×(5+7)×3=. 设原图形面积为S,则S'=S, 所以S=2S'=2=75. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 选题清单 12.(5分)(2025·芜湖高一检测)如图,水平放置的四边形ABCD用斜二测画法得到 的直观图为矩形A'B'C'D',已知A'O'=O'B'=2,B'C'=2,则四边形ABCD的周长为 _______.  【解析】因为水平放置的四边形ABCD 的直观图为矩形A'B'C'D',A'O'=O'B'=2,B'C'=2, 则O'C'==2, 可得原图ABCD中,AB=AO+OB=A'O'+O'B'=4,OC=2O'C'=4, BC===6, 所以四边形ABCD的周长为2(AB+BC)=2×(4+6)=20. 　20　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 选题清单 13.(10分)已知一个正四棱台的上底面边长为2,下底面边长为6,高为4,用斜二测画法画出此正 四棱台的直观图. 【解析】(1)画轴.如图①,画x轴、y轴、z轴,三轴相交于点O,使∠xOy=45°,∠xOz=90°. (2)画下底面.以O为中点,在x轴上取线段EF,使得EO=OF=3,在y轴上取线段GH,使得GO=OH=, 再过G,H分别作AB∥EF,CD∥EF,且使得AB的中点为G,CD的中点为H,连接AD,BC,这样就得到 了正四棱台的下底面ABCD的直观图. (3)画上底面.在z轴上截取线段OO1=4,过O1作O1x'∥Ox,O1y'∥Oy,使∠x'O1y'=45°,建立坐标系 x'O1y',在x'O1y'中仿照(2)的步骤画出上底面A1B1C1D1的直观图. (4)连接AA1,BB1,CC1,DD1,擦去辅助线,得到的图形就是所求的 正四棱台的直观图(如图②). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 选题清单 14.(10分)如图,△A'B'C'是水平放置的平面图形△ABC用斜二测画法得到的直观图. (1)画出它的原图形; 【解析】(1)画出平面直角坐标系xOy,在x轴上取OA=O'A',即CA=C'A', 在图①中,过B'作B'D'∥y'轴,交x'轴于D',在x轴上取OD=O'D', 过点D作DB∥y轴,并使DB=2D'B', 连接AB,BC,如图②所示. 去掉图中的辅助线,就得到它的原图形△ABC如图③. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 选题清单 (2)若A'C'=2,△A'B'C'的面积是,求原图形中AC边上的高和原图形的面积. 【解析】(2)由(1)知,原图形中,BD⊥AC于点D, 则BD为原图形中AC边上的高,且BD=2B'D', 在直观图中作B'E'⊥A'C'于点E', 则S△A'B'C'=A'C'·B'E'=B'E'=, 在Rt△B'E'D'中,B'D'=B'E'=,所以BD=2B'D'=, 所以S△ABC=AC·BD=.故原图形中AC边上的高为,原图形的面积为. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 选题清单 【创新拓展练】 15.(5分)用斜二测画法画△ABC的直观图如图所示,其中O'B'=B'C'=2, A'B'=A'C'=,则△ABC中BC边上的中线长为(　　) A. B.2 C.3 D.1 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 选题清单 【解析】选D.在直观图中,O'B'=B'C'=2, 且∠B'O'C'=45°, 则∠O'C'B'=45°,故B'C'⊥O'B'. 因为A'B'=A'C'=, 则A'B'2+A'C'2=B'C'2,可得A'B'⊥A'C',故△A'B'C'为等腰直角三角形, 所以∠A'B'C'=45°,故A'B'∥y'轴,依据题意,作出△ABC的原图形如图所示, 延长BA至点D,使得BA=AD,则A为BD的中点, 由题意可知,OB=2,OC=4,AB=2,且AB∥OC, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 选题清单 所以BD∥OC且BD=OC,故四边形OBDC为平行四边形,则CD=OB=2,取BC 的中点E,连接AE, 因为A,E分别为BD,BC的中点, 则AE=CD=×2=1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 选题清单 16.(5分)(多选)下列选项中的△ABC均是水平放置的边长为1的正三角形,在斜二测画法下,其直观图是全等三角形的是 (　　) √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 选题清单 【解析】选ABD.C中,前者在斜二测画法下所得的直观图中,底边AB不变,高变为原来的;后者在斜二测画法下所得的直观图中,高OC不变,底边AB变为原来的,故C中两个图形在斜二测画法下所得直观图不全等;其他选项中,尽管坐标系不同,但是其直观图均全等. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 选题清单 $