2.课时跟踪检测练 21 第8章 二十一 圆柱、圆锥、圆台、球、简单组合体(Word版+PPT版)-【满分思维】2025-2026学年高中数学必修第二册（人教A版）

二十一　圆柱、圆锥、圆台、球、简单组合体 (时间:45分钟　分值:95分) 【基础全面练】 1.(5分)如图所示的图形中有 (　　) A.圆柱、圆锥、圆台和球 B.圆柱、球和圆锥 C.球、圆柱和圆台 D.棱柱、棱锥、圆锥和球 【解析】选B.根据题中图形可知,①是球,②是圆柱,③是圆锥,④不是圆台. 2.(5分)下列命题中正确的是 (　　) A.圆柱的轴截面是全等的矩形 B.夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是一个圆柱体 C.直线绕定直线旋转形成柱面 D.矩形绕一条直线旋转一周形成圆柱 【解析】选A.B选项两个平行截面不一定与底面平行,C选项两直线可能相交,D选项旋转轴不一定是矩形一边所在的直线,只有A选项正确. 3.(5分)(2025·余姚高一检测)圆形方孔钱是古代钱币中常见的一种.如图所示为清朝时的一枚“嘉庆通宝”,由一个圆和一个正方形组成,若绕旋转轴(虚线)旋转一周,形成的几何体是 (　　) A.一个球 B.一个球挖去一个圆柱 C.一个圆柱 D.一个球挖去一个正方体 【解析】选B.圆及其内部绕旋转轴旋转一周后所得几何体为球,而正方形及其内部绕旋转轴旋转一周后所得几何体为圆柱,故题设中的平面图形绕旋转轴(虚线)旋转一周,形成的几何体为一个球挖去一个圆柱. 4.(5分)下列命题中正确的是 (　　) ①过球面上任意两点只能作一个经过球心的圆; ②以半圆的直径所在直线为旋转轴,半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球体,半圆的直径叫做球的直径; ③用不过球心的截面截球,球心和截面圆心的连线垂直于截面; ④球面上任意三点可能在一条直线上; ⑤球的半径是连接球面上任意一点和球心的线段. A.①②③ B.②③④ C.②③⑤ D.①④⑤ 【解析】选C.任意两点与球心在一条直线上时,可作无数个圆,故①错误,②正确,③正确;球面上任意三点一定不共线,故④错误;根据球的半径的定义可知⑤正确. 5.(5分)(多选)轴截面为正方形的圆柱叫做等边圆柱,已知某等边圆柱的轴截面面积为16 cm2,则该圆柱的 (　　) A.底面半径为4 cm B.一个底面的周长为4π cm C.母线长为4 cm D.一个底面的面积为16π cm2 【解析】选BC.如图所示,作出等边圆柱的轴截面ABCD, 由题意知,四边形ABCD为正方形. 设圆柱的底面半径为r,则母线长AD=AB=2r. 轴截面ABCD的面积S=AB·AD=2r×2r=4r2=16 cm2,解得r=2 cm. 所以该等边圆柱的一个底面的周长为2πr=4π cm,一个底面的面积为πr2=4π cm2,母线长为2r=4 cm. 6.(5分)如图是一个几何体的表面展开图,则这个几何体是　圆柱　.  【解析】一个长方形和两个圆折叠后,能围成的几何体是圆柱. 7.(5分)如图,已知球O的半径为5,球心O到平面α的距离为3,则平面α截球O所得的圆O1的半径长是　4　.  【解析】如图所示, C为球面上一点,则OC=5, 球心O到平面α的距离为3, 即OO1=3,且OO1⊥O1C, 则圆O1的半径长即为O1C. 在△OO1C中,由勾股定理可得OC2=O+O1C2, 解得O1C=4. 8.(5分)如图所示的组合体的结构特征有以下几种说法: ①由一个长方体割去一个四棱柱构成. ②由一个长方体与两个四棱柱组合而成. ③由一个长方体挖去一个四棱台构成. ④由一个长方体与两个四棱台组合而成. 其中正确说法的序号是　①②　.  【解析】该组合体可以看作是由一个长方体割去一个四棱柱构成的,也可以看作是由一个长方体与两个四棱柱组合而成的. 9.(10分)如图,指出下列图形是由哪些简单几何体构成的. 【解析】①是由一个三棱柱和一个四棱柱拼接而成的. ②是由一个圆锥和一个四棱柱拼接而成的. ③是由一个四棱锥和一个四棱柱拼接,又在四棱柱中挖去了一个圆柱而成的. 【综合应用练】 10.(5分)(多选)下列说法正确的是 (　　) A.圆锥的轴截面是所有过顶点的截面中面积最大的一个 B.圆柱的所有平行于底面的截面都是圆面 C.圆台的两个底面可以不平行 D.球的所有截面中过球心的截面的面积最大 【解析】选BD.A中当圆锥的轴截面顶角大于90°时,其面积不是最大的,C中圆台的两个底面一定平行,故A,C错误;根据圆柱、球的结构特征,知B,D正确. 11.(5分)已知半径为5的球的两个平行截面截球所得圆面的周长分别为6π和8π,则两平行平面间的距离为 (　　) A.1 B.2 C.1或7 D.2或6 【解析】选C.设球心到周长为6π的截面的距离为d1,到周长为8π的截面的距离为d2, 因为截面为圆面,周长分别为6π和8π, 所以截面圆的半径分别为3和4, 则d1=4,d2=3. 当两截面在球心的同侧时,两平行平面间的距离为d1-d2=1; 当两截面在球心的两侧时,两平行平面间的距离为d1+d2=7. 【误区警示】解答本题易忽视两截面与球心的位置而导致漏解. 12.(5分)如图所示的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱的上底面为底面,下底面圆心为顶点的圆锥而得到的组合体,现用一个垂直于圆柱底面的平面去截这个组合体,则截面图形可能是　①⑤　.(填序号)  【解析】当垂直于圆柱底面的平面经过圆锥的顶点时,截面图形如图①;当垂直于圆柱底面的平面不经过圆锥的顶点时,截面图形可能为图⑤. 13.(10分)圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍,轴截面的面积等于392 cm2,母线与轴的夹角是45°,求这个圆台的高、母线长和两底面半径. 【解析】圆台的轴截面如图所示,设圆台上、下底面半径分别为x cm,3x cm,延长AA1,BB1,OO1, 由圆台的性质知它们交于一点,设为S, 在Rt△SOA中,∠ASO=45°,则∠SAO=45°, 所以SO=AO=3x cm,SO1=A1O1=x cm, 所以OO1=2x cm. 又S轴截面=(6x+2x)·2x=392,所以x=7. 所以圆台的高OO1=14 cm, 母线长l=OO1=14 cm, 两底面半径分别为7 cm,21 cm. 14.(10分)已知AB是直角梯形ABCD中与底边垂直的腰,分别以AB,BC,CD,DA所在的直线为轴旋转,试说明所得几何体的结构特征. 【解析】(1)以AB边所在的直线为轴旋转所得旋转体是圆台,如图①所示. (2)以BC边所在的直线为轴旋转所得旋转体是一个组合体:下部为圆柱,上部为圆锥的组合体,如图②所示. (3)以CD边所在的直线为轴旋转所得旋转体是一个组合体:上部为圆锥,下部为圆台,再挖去一个小圆锥的组合体,如图③所示. (4)以AD边所在的直线为轴旋转所得旋转体是一个组合体:一个圆柱上部挖去一个圆锥,如图④所示. 【创新拓展练】 15.(5分)一正方体内接于一个球,经过球心作一个截面,则截面的可能图形为　①②③　.(只填写序号)   【解析】当截面是正方体的对角面时,截面图形如③;当截面与正方体的一面平行时,截面图形如①;当截面不与正方体的一面平行时可以为②. 16.(5分)足球的表面可看成是由正二十面体用平面截角的方法形成的,即用如图1所示的正二十面体,从靠近每个顶点的棱的处将其顶角截去,截去20个顶角后剩下的如图2所示的结构就是足球的表面结构.已知正二十面体是由20个边长为3的等边三角形围成的封闭几何体,则如图2所示的几何体中所有棱的条数为　90　.  【解析】原来正二十面体的每一条棱都会保留,正二十面体每个面有3条棱,每条棱属于两个面,所以共有=30条棱,此外,每个面会产生3条新棱,共产生3×20=60条新棱,所以共有90条棱. - 1 - 学科网（北京）股份有限公司 $二十一　圆柱、圆锥、圆台、球、简单组合体 (时间:45分钟　分值:95分) 【基础全面练】 1.(5分)如图所示的图形中有(　　) A.圆柱、圆锥、圆台和球 B.圆柱、球和圆锥 C.球、圆柱和圆台 D.棱柱、棱锥、圆锥和球 【解析】选B.根据题中图形可知,①是球,②是圆柱,③是圆锥,④不是圆台. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 选题清单 2.(5分)下列命题中正确的是 (　　) A.圆柱的轴截面是全等的矩形 B.夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是一个圆柱体 C.直线绕定直线旋转形成柱面 D.矩形绕一条直线旋转一周形成圆柱 【解析】选A.B选项两个平行截面不一定与底面平行,C选项两直线可能相 交,D选项旋转轴不一定是矩形一边所在的直线,只有A选项正确. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 选题清单 3.(5分)(2025·余姚高一检测)圆形方孔钱是古代钱币中常见的一种.如图所示为清朝 时的一枚“嘉庆通宝”,由一个圆和一个正方形组成,若绕旋转轴(虚线)旋转一周,形成 的几何体是 (　　) A.一个球 B.一个球挖去一个圆柱 C.一个圆柱 D.一个球挖去一个正方体 【解析】选B.圆及其内部绕旋转轴旋转一周后所得几何体为球,而正方形及其内部 绕旋转轴旋转一周后所得几何体为圆柱,故题设中的平面图形绕旋转轴(虚线)旋转 一周,形成的几何体为一个球挖去一个圆柱. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 选题清单 4.(5分)下列命题中正确的是 (　　) ①过球面上任意两点只能作一个经过球心的圆; ②以半圆的直径所在直线为旋转轴,半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球 体,半圆的直径叫做球的直径; ③用不过球心的截面截球,球心和截面圆心的连线垂直于截面; ④球面上任意三点可能在一条直线上; ⑤球的半径是连接球面上任意一点和球心的线段. A.①②③ B.②③④ C.②③⑤ D.①④⑤ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 选题清单 【解析】选C.任意两点与球心在一条直线上时,可作无数个圆,故①错误,②正确,③正确;球面上任意三点一定不共线,故④错误;根据球的半径的定义可知⑤正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 选题清单 5.(5分)(多选)轴截面为正方形的圆柱叫做等边圆柱,已知某等边圆柱的轴截面面积为16 cm2,则该圆柱的 (　　) A.底面半径为4 cm B.一个底面的周长为4π cm C.母线长为4 cm D.一个底面的面积为16π cm2 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 选题清单 【解析】选BC.如图所示,作出等边圆柱的轴截面ABCD, 由题意知,四边形ABCD为正方形. 设圆柱的底面半径为r,则母线长AD=AB=2r. 轴截面ABCD的面积S=AB·AD=2r×2r=4r2=16 cm2,解得r=2 cm. 所以该等边圆柱的一个底面的周长为2πr=4π cm, 一个底面的面积为πr2=4π cm2,母线长为2r=4 cm. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 选题清单 6.(5分)如图是一个几何体的表面展开图,则这个几何体是_________.  【解析】一个长方形和两个圆折叠后,能围成的几何体是圆柱. 　圆柱　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 选题清单 7.(5分)如图,已知球O的半径为5,球心O到平面α的距离为3,则平面α截球O 所得的圆O1的半径长是______.  【解析】如图所示, C为球面上一点,则OC=5, 球心O到平面α的距离为3, 即OO1=3,且OO1⊥O1C, 则圆O1的半径长即为O1C. 在△OO1C中,由勾股定理可得OC2=O+O1C2, 解得O1C=4. 　4　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 选题清单 8.(5分)如图所示的组合体的结构特征有以下几种说法: ①由一个长方体割去一个四棱柱构成. ②由一个长方体与两个四棱柱组合而成. ③由一个长方体挖去一个四棱台构成. ④由一个长方体与两个四棱台组合而成. 其中正确说法的序号是_________.  【解析】该组合体可以看作是由一个长方体割去一个四棱柱构成的,也可 以看作是由一个长方体与两个四棱柱组合而成的. 　①②　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 选题清单 9.(10分)如图,指出下列图形是由哪些简单几何体构成的. 【解析】①是由一个三棱柱和一个四棱柱拼接而成的. ②是由一个圆锥和一个四棱柱拼接而成的. ③是由一个四棱锥和一个四棱柱拼接,又在四棱柱中挖去了一个圆柱而成 的. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 选题清单 【综合应用练】 10.(5分)(多选)下列说法正确的是(　　) A.圆锥的轴截面是所有过顶点的截面中面积最大的一个 B.圆柱的所有平行于底面的截面都是圆面 C.圆台的两个底面可以不平行 D.球的所有截面中过球心的截面的面积最大 【解析】选BD.A中当圆锥的轴截面顶角大于90°时,其面积不是最大的,C 中圆台的两个底面一定平行,故A,C错误;根据圆柱、球的结构特征,知B,D 正确. √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 选题清单 11.(5分)已知半径为5的球的两个平行截面截球所得圆面的周长分别为6π和8π,则两 平行平面间的距离为 (　　) A.1 B.2 C.1或7 D.2或6 【解析】选C.设球心到周长为6π的截面的距离为d1,到周长为8π的截面的距离为d2, 因为截面为圆面,周长分别为6π和8π, 所以截面圆的半径分别为3和4, 则d1=4,d2=3. 当两截面在球心的同侧时,两平行平面间的距离为d1-d2=1; 当两截面在球心的两侧时,两平行平面间的距离为d1+d2=7. 【误区警示】解答本题易忽视两截面与球心的位置而导致漏解. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 选题清单 12.(5分)如图所示的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱的上底面为底面, 下底面圆心为顶点的圆锥而得到的组合体,现用一个垂直于圆柱底面的平 面去截这个组合体,则截面图形可能是_________.(填序号)  【解析】当垂直于圆柱底面的平面经过圆锥的顶点时,截面图形如图①;当 垂直于圆柱底面的平面不经过圆锥的顶点时,截面图形可能为图⑤. 　①⑤　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 选题清单 13.(10分)圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍,轴截面的面积等于392 cm2, 母线与轴的夹角是45°,求这个圆台的高、母线长和两底面半径. 【解析】圆台的轴截面如图所示,设圆台上、下底面半径分别为x cm,3x cm, 延长AA1,BB1,OO1, 由圆台的性质知它们交于一点,设为S, 在Rt△SOA中,∠ASO=45°,则∠SAO=45°, 所以SO=AO=3x cm,SO1=A1O1=x cm, 所以OO1=2x cm. 又S轴截面=(6x+2x)·2x=392,所以x=7. 所以圆台的高OO1=14 cm,母线长l=OO1=14 cm,两底面半径分别为7 cm,21 cm. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 选题清单 14.(10分)已知AB是直角梯形ABCD中与底边垂直的腰,分别以AB,BC,CD,DA所在的 直线为轴旋转,试说明所得几何体的结构特征. 【解析】(1)以AB边所在的直线为轴旋转所得旋转体是圆台,如图①所示. (2)以BC边所在的直线为轴旋转所得旋转体是一个组合体:下部为圆柱,上部为圆锥 的组合体,如图②所示. (3)以CD边所在的直线为轴旋转所得旋转体是一个组合体:上部为圆锥,下部为圆台, 再挖去一个小圆锥的组合体,如图③所示. (4)以AD边所在的直线为轴旋转所得旋转体是一个 组合体:一个圆柱上部挖去一个圆锥,如图④所示. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 选题清单 【创新拓展练】 15.(5分)一正方体内接于一个球,经过球心作一个截面,则截面的可能图形 为___________.(只填写序号)   【解析】当截面是正方体的对角面时,截面图形如③;当截面与正方体的一 面平行时,截面图形如①;当截面不与正方体的一面平行时可以为②. 　①②③　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 选题清单 16.(5分)足球的表面可看成是由正二十面体用平面截角的方法形成的,即用 如图1所示的正二十面体,从靠近每个顶点的棱的处将其顶角截去,截去20 个顶角后剩下的如图2所示的结构就是足球的表面结构.已知正二十面体 是由20个边长为3的等边三角形围成的封闭几何体,则如图2所示的几何体 中所有棱的条数为_______.  　90　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 选题清单 【解析】原来正二十面体的每一条棱都会保留,正二十面体每个面有3条棱,每条棱属于两个面,所以共有=30条棱,此外,每个面会产生3条新棱,共产生3×20=60条新棱,所以共有90条棱. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 选题清单 $