2.课时跟踪检测练 19 第7章 十九 复数的乘、除运算(Word版+PPT版)-【满分思维】2025-2026学年高中数学必修第二册（人教A版）

十九　复数的乘、除运算 (时间:45分钟　分值:100分) 【基础全面练】 1.(5分)(2025·新高考Ⅰ卷)(1+5i)i的虚部为 (　　) A.-1 B.0 C.1 D.6 【解析】选C.因为(1+5i)i=i+5i2=-5+i,所以其虚部为1. 2.(5分)已知i是虚数单位,则||= (　　) A.1　 B.2　 C.　 D. 【解析】选C.由题意||=||=|2+i|=. 3.(5分)已知复数z满足z(1+i)=i2 025,则复数z= (　　) A.+i B.i C.-i D.-i 【解析】选A.因为i2 025=i4×506+1=(i4)506·i=i,所以z====+i. 4.(5分)已知i为虚数单位,i-2是关于x的方程x2+px+5=0的一个根,则实数p= (　　) A.2　 B.3　 C.4　 D.5 【解析】选C.由题意(i-2)2+p(i-2)+5=0,整理得8-2p+(p-4)i=0,所以8-2p=p-4=0,解得p=4. 5.(5分)(多选)已知复数z1,z2满足z1=1+,z2=-1+i,则下列说法正确的是 (　　) A.z1=1+i B.z1·z2=2i C.=-i D.||= 【解析】选BD.因为z1=1+=1-i,z2=-1+i,所以z1·z2=(1-i)(-1+i)=2i,A不正确,B正确; 因为==-1,所以||=1,又==1,所以||=,C不正确,D正确. 6.(5分)(多选)已知关于x的实系数一元二次方程ax2+bx+c=0在复数集中的两个根是α和β,下列结论中不一定成立的是 (　　) A.α和β互为共轭复数 B.α+β=-,αβ= C.b2-4ac≥0 D.|α-β|= 【解析】选ACD.当判别式大于零时,两个根α和β是不等实数,由于实数也是复数,满足条件,但此时α和β不互为共轭复数,故A不一定成立;因为根与系数的关系在复数范围内也成立,可得B成立;当α和β为虚数时,判别式小于零,故C不一定成立;当判别式小于零时,方程的两根为虚数,且互为共轭复数,设α=-i,β=i, |α-β|=|-2i|=2,(α+β)2-4αβ=0-4(-i2)=-4,2≠,故D不一定成立. 7.(5分)(2024·天津高考)已知i是虚数单位,复数(+i)·(-2i)=　 7-i　.  【解析】(+i)·(-2i)=5-2i+i+2=7-i. 8.(5分)i是虚数单位,复数=　　.  【解析】===. 9.(5分)复数z=-,则4+z+z2=　3　.  【解析】因为z=-==-=-+i, 所以4+z+z2=4-+i+=4-+i+=3. 10.(10分)计算: (1)+(1+2i)2; 【解析】(1)原式=()+(-3+4i)=-i-3+4i=-3+3i. (2)+. 【解析】(2)原式=+ =+ =+i =-3i. 【综合应用练】 11.(5分)(一题多解)已知i是虚数单位,则化简()2 026的结果为 (　　) A.i　 B.-i　 C.-1　 D.1 【解析】选C.方法一:因为===i,所以()2 026=i2 026=i2=-1. 方法二:()2 026=[()2]1 013=[]1 013=()1 013=(-1)1 013=-1. 12.(5分)(多选)设方程x2-x+1=0的两根x1,x2在复平面内对应的点分别是X1,X2,则 (　　) A.x1-x2的实部为1 B.X1,X2关于实轴对称 C.|x1|=|x2|=1 D.x2+x1=-1 【解析】选BCD.由实系数一元二次方程的求根公式知,方程x2-x+1=0的两根为+i(记为x1),-i(记为x2),则x1-x2=(+i)-(-i)=i,所以x1-x2的实部为0,故A错误; x1=+i,x2=-i在复平面内对应的点分别是X1(,),X2(,-),它们关于实轴对称,故B正确; 由x1=+i,x2=-i得|x1|==1,|x2|==1,即|x1|=|x2|=1,故C正确; 由x1=+i,x2=-i得x2+x1 =(-i)(-i)+(+i)(+i) =(--i)+(-+i)=-1,故D正确. 13.(5分)在复数范围内分解因式x3+5x的结果为　x(x+i)(x-i)　.  【解析】依题意,x3+5x=x(x2-5i2) =x(x+i)(x-i). 14.(10分)已知复数z1=(2+i)2,z2=4-3i,其中a是实数,求: (1); 【解析】(1)因为z1=(2+i)2=3+4i,z2=4-3i, 所以====i; (2)+++…+. 【解析】(2)由(1)得,+()2+()3+…+()2 026 =i+i2+i3+…+i2 024+i2 025+i2 026 =-1+i. 15.(10分)已知复数z=m+2+(m-2)i(m∈R),为z的共轭复数,且z+=6. (1)求m的值; 【解析】(1)已知z=m+2+(m-2)i,则=m+2-(m-2)i, 由于z+=6,得 m+2+(m-2)i+m+2-(m-2)i=2m+4=6, 解得m=1. (2)若z-3i是关于x的实系数一元二次方程x2+ax+b=0的一个根,求该一元二次方程的另一个复数根. 【解析】(2)由(1)可知,z=3-i,将z-3i=3-4i代入方程可得:(3-4i)2+a(3-4i)+b=0, 即(-7+3a+b)-(4a+24)i=0, 得,解得 代入一元二次方程中得x2-6x+25=0, 解得x1==3+4i,x2==3-4i,即方程另外一个复数根为3+4i. 【创新拓展练】 16.(5分)对于复数a,b,c,d,若集合S={a,b,c,d}具有性质“对任意x,y∈S,必有xy∈S”,则当时,b+c+d= (　　) A.1 B.-1 C.0 D.i 【解析】选B.根据集合元素的唯一性,知b=-1,由c2=-1,得c=±i,因为对任意x,y∈S必有xy∈S,所以当c=i时,d=-i;当c=-i时,d=i,所以b+c+d=-1. 17.(5分)设方程x2-2x+m=0的两个根分别为α,β,且|α-β|=2,则实数m的值是　0或2　.  【解析】当α,β为实数根时, 因为方程x2-2x+m=0的两个根分别为α,β, 所以α+β=2,α·β=m,因为|α-β|=2, 所以(α-β)2=(α+β)2-4αβ=4-4m=4,所以m=0; 当α,β为虚数根时,原方程的根是, 所以|α-β|=|i|==2, 所以m=2,所以m=2或m=0. - 1 - 学科网（北京）股份有限公司 $十九　复数的乘、除运算 (时间:45分钟　分值:100分) 【基础全面练】 1.(5分)(2025·新高考Ⅰ卷)(1+5i)i的虚部为(　　) A.-1 B.0 C.1 D.6 【解析】选C.因为(1+5i)i=i+5i2=-5+i,所以其虚部为1. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 2.(5分)已知i是虚数单位,则||=(　　) A.1　 B.2　 C.　 D. 【解析】选C.由题意||=||=|2+i|=. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 3.(5分)已知复数z满足z(1+i)=i2 025,则复数z= (　　) A.+i B.i C.-i D.-i 【解析】选A.因为i2 025=i4×506+1=(i4)506·i=i,所以z====+i. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 4.(5分)已知i为虚数单位,i-2是关于x的方程x2+px+5=0的一个根, 则实数p= (　　) A.2　 B.3　 C.4　 D.5 【解析】选C.由题意(i-2)2+p(i-2)+5=0,整理得8-2p+(p-4)i=0, 所以8-2p=p-4=0,解得p=4. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 5.(5分)(多选)已知复数z1,z2满足z1=1+,z2=-1+i,则下列说法正确的是(　　) A.z1=1+i B.z1·z2=2i C.=-i D.||= 【解析】选BD.因为z1=1+=1-i,z2=-1+i,所以z1·z2=(1-i)(-1+i)=2i, A不正确,B正确; 因为==-1,所以||=1,又==1,所以||=,C不正确,D正确. √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 6.(5分)(多选)已知关于x的实系数一元二次方程ax2+bx+c=0在复数集中的 两个根是α和β,下列结论中不一定成立的是 (　　) A.α和β互为共轭复数 B.α+β=-,αβ= C.b2-4ac≥0 D.|α-β|= √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 【解析】选ACD.当判别式大于零时,两个根α和β是不等实数,由于实数也 是复数,满足条件,但此时α和β不互为共轭复数,故A不一定成立;因为根与 系数的关系在复数范围内也成立,可得B成立;当α和β为虚数时,判别式小于 零,故C不一定成立;当判别式小于零时,方程的两根为虚数,且互为共轭复数, 设α=-i,β=i,|α-β|=|-2i|=2,(α+β)2-4αβ=0-4(-i2)=-4,2≠,故D不一定成立. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 7.(5分)(2024·天津高考)已知i是虚数单位,复数(+i)·(-2i)=__________.  【解析】(+i)·(-2i)=5-2i+i+2=7-i. 8.(5分)i是虚数单位,复数=_______.  【解析】===. 　 7-i　 　　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 9.(5分)复数z=-,则4+z+z2=______.  【解析】因为z=-==-=-+i, 所以4+z+z2=4-+i+=4-+i+=3. 　3　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 10.(10分)计算: (1)+(1+2i)2; 【解析】(1)原式=()+(-3+4i)=-i-3+4i=-3+3i. (2)+. 【解析】(2)原式=+ =+=+i=-3i. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 【综合应用练】 11.(5分)(一题多解)已知i是虚数单位,则化简()2 026的结果为(　　) A.i　 B.-i　 C.-1　 D.1 【解析】选C.方法一:因为===i, 所以()2 026=i2 026=i2=-1. 方法二:()2 026=[()2]1 013=[]1 013=()1 013=(-1)1 013=-1. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 12.(5分)(多选)设方程x2-x+1=0的两根x1,x2在复平面内对应的点分别是 X1,X2,则 (　　) A.x1-x2的实部为1 B.X1,X2关于实轴对称 C.|x1|=|x2|=1 D.x2+x1=-1 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 【解析】选BCD.由实系数一元二次方程的求根公式知,方程x2-x+1=0的两 根为+i(记为x1),-i(记为x2),则x1-x2=(+i)-(-i)=i,所以x1-x2的实 部为0,故A错误; x1=+i,x2=-i在复平面内对应的点分别是X1(,),X2(,-),它们关于实 轴对称,故B正确; 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 由x1=+i,x2=-i得|x1|==1,|x2|==1, 即|x1|=|x2|=1,故C正确; 由x1=+i,x2=-i得x2+x1 =(-i)(-i)+(+i)(+i) =(--i)+(-+i)=-1,故D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 13.(5分)在复数范围内分解因式x3+5x的结果为___________________.  【解析】依题意,x3+5x=x(x2-5i2) =x(x+i)(x-i). 　x(x+i)(x-i)　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 14.(10分)已知复数z1=(2+i)2,z2=4-3i,其中a是实数,求: (1); 【解析】(1)因为z1=(2+i)2=3+4i,z2=4-3i, 所以====i; (2)+++…+. 【解析】(2)由(1)得,+()2+()3+…+()2 026 =i+i2+i3+…+i2 024+i2 025+i2 026=-1+i. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 15.(10分)已知复数z=m+2+(m-2)i(m∈R),为z的共轭复数,且z+=6. (1)求m的值; 【解析】(1)已知z=m+2+(m-2)i,则=m+2-(m-2)i, 由于z+=6,得 m+2+(m-2)i+m+2-(m-2)i=2m+4=6, 解得m=1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 (2)若z-3i是关于x的实系数一元二次方程x2+ax+b=0的一个根,求该一元二 次方程的另一个复数根. 【解析】(2)由(1)可知,z=3-i,将z-3i=3-4i代入方程可得:(3-4i)2+a(3-4i)+b=0, 即(-7+3a+b)-(4a+24)i=0, 得,解得 代入一元二次方程中得x2-6x+25=0, 解得x1==3+4i,x2==3-4i,即方程另外一个复数根为3+4i. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 【创新拓展练】 16.(5分)对于复数a,b,c,d,若集合S={a,b,c,d}具有性质“对任意x,y∈S,必有 xy∈S”,则当时,b+c+d=(　　) A.1 B.-1 C.0 D.i 【解析】选B.根据集合元素的唯一性,知b=-1,由c2=-1,得c=±i,因为对任意 x,y∈S必有xy∈S,所以当c=i时,d=-i;当c=-i时,d=i,所以b+c+d=-1. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 17.(5分)设方程x2-2x+m=0的两个根分别为α,β,且|α-β|=2,则实数m的值是 _________.  【解析】当α,β为实数根时, 因为方程x2-2x+m=0的两个根分别为α,β,所以α+β=2,α·β=m,因为|α-β|=2, 所以(α-β)2=(α+β)2-4αβ=4-4m=4,所以m=0; 当α,β为虚数根时,原方程的根是,所以|α-β|=|i|==2, 所以m=2,所以m=2或m=0. 　0或2　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 $