1.导学案 05 第7章 7.2.2 复数的乘、除运算(Word版+PPT版)-【满分思维】2025-2026学年高中数学必修第二册（人教A版）

01 02 必备知识•自主导学 关键能力•师生共研 7.2.2　复数的乘、除运算 内容概览 【学习目标】 1.掌握复数代数表达式的乘法和除法运算.(数学抽象) 2.理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律.(数学抽象) 3.能够利用复数的相关运算在复数范围内解方程、分解因式.(数学运算) 返回 01 必备知识•自主导学 返回 一、复数的乘法 1.运算法则 设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R), 则z1·z2=(a+bi)(c+di)=_______________. (ac-bd)+(ad+bc)i 返回 2.运算律 对任意复数z1,z2,z3∈C,有 【思考】 复数的乘法法则与以前我们学习的什么运算的法则类似? 提示:多项式的乘法. 交换律 z1z2=____ 结合律 (z1z2)z3=_______ 乘法对加法的分配律 z1(z2+z3)=________ z2z1 z1(z2z3) z1z2+z1z3 返回 二、复数的除法 (a+bi)÷(c+di)==+i(a,b,c,d∈R,且c+di≠0). 【点拨】 复数的除法的实质是分母实数化. 返回 三、实系数一元二次方程ax2+bx+c=0(a,b,c∈R,a≠0)的解法 (1)配方:(x+)2=; (2)若Δ=b2-4ac≥0,则x=; 若Δ=b2-4ac<0,则x=. 返回 【明辨是非】(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)两个虚数的乘积一定是虚数.( ) 提示:如i·i=-1. (2)对于复数z,一定有|z|2=z2.( ) 提示:如z=i,|z|2=1,z2=-1. (3)==-i.( ) (4)在复数集C中实系数的一元二次方程的根的判别式仍然有效.( ) 提示:在复数集C中实系数的一元二次方程的求根公式仍适用,但根的判别 式仅在实数集上有效. × × √ × 返回 02 关键能力•师生共研 返回 类型1复数的乘法运算(数学运算) 【典例1】(教考衔接) [源题](教材P95复习参考题7T3) 求证:z·=|z|2=. [真题](一题多解)(2024·全国甲卷)设z=i,则z·=(　　) A.-i B.1 C.-1 D.2 【解析】选D. 方法一:因为z=i,所以=-i,所以z·=i·(-i)=2. 方法二:因为z=i,所以|z|=,所以z·=|z|2==2. √ 返回 [类题] 1.已知z=2+i,则z(+i)的虚部是(　　) A.2 B.-2 C.2i D.-2i 【解析】选A.因为z=2+i,则z(+i)=(2+i)(2-i+i)=2(2+i)=4+2i, 所以z(+i)的虚部为2. 2.设=1-3i,则z·=　　　　.  【解析】因为=1-3i,所以||=,所以z·===10. 答案:10 √ 返回 3.计算(1-i)2+(4+i)(4-i)=　　　　.  【解析】原式=(1-2i-1)+(16+1)=17-2i. 答案:17-2i 返回 【总结升华】 关于复数乘法问题的关注点 (1)一般方法:复数相乘可以按照多项式的乘法法则进行,能利用乘法公式的可以利用公式展开,简化运算; (2)常用公式:(a±bi)2=a2±2abi-b2; (a+bi)(a-bi)=a2+b2;(1±i)2=±2i. 返回 类型2复数的除法运算(数学运算) 【典例2】(1)(一题多解)(2024·新高考Ⅰ卷)若=1+i,则z=(　　) A.-1-i B.-1+i C.1-i D.1+i 【解析】选C.解法一:由于=1+i, 则=1+=1+i,即z-1==-i,可得z=1-i. 解法二:设z=a+bi(a,b∈R), a+bi=[(a-1)+bi](1+i)=(a-1-b)+(a+b-1)i, 所以,解得,所以z=1-i. √ 返回 (2)若复数z满足(1+i)z=|1+i|,则复数=　　　　.  【解析】因为z===(1-i), 所以=(1+i)=+i. 答案:+i 返回 【总结升华】 关于复数除法的解题策略 (1)将除法写成分式形式; (2)分子、分母同乘分母的共轭复数; (3)对分子、分母分别进行乘法运算,最后转化为复数的代数形式. 返回 【即学即练】 1.(2025·新高考Ⅱ卷)已知z=1+i,则=(　　) A.-i B.i C.-1 D.1 【解析】选A.因为z=1+i,所以====-i. 2.设复数z满足i·z=3+2i,其中i是虚数单位,则z=　　　　.  【解析】由i·z=3+2i可得,z===2-3i. 答案:2-3i √ 返回 类型3复数运算的应用(逻辑推理、数学运算) 角度1　在复数范围内解方程 【典例3】(1)若1+i是关于x的实系数方程x2+bx+c=0的一个复数根,则 (　　) A.b=2,c=3 B.b=2,c=-1 C.b=-2,c=-1 D.b=-2,c=3 【解析】选D.根据实系数方程的根的特点知1-i也是该方程的另一个根, 所以1+i+1-i=2=-b,即b=-2,(1-i)(1+i)=3=c. √ 返回 (2)在复数集C内,方程x2+5x+10=0的解集为　　　　　　　　.  【解析】该方程的判别式Δ=52-4×10=-15<0, 所以由求根公式得:x==-±i. 答案:{ --i,-+i } 返回 【总结升华】 实系数一元二次方程问题的关注点 (1)实系数一元二次方程在复数集中一定有根,若是虚根则一定是一对共轭虚数. (2)若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a,b,c∈R)的两根为x1,x2,不论x1,x2是实根,还是虚根,都有x1+x2=-,x1x2=. 返回 【即学即练】 1.在复数范围内方程x2+2x+2=0的根为x1,x2,则|x1|=(　　) A. B. C.2 D.1 【解析】选B.由x2+2x+2=0得(x+1)2=-1,解得x=-1+i或x=-1-i, 若x1=-1+i,则|x1|=;若x1=-1-i,则|x1|=. 综上所述:|x1|=. √ 返回 2.若1-i(i是虚数单位)是实系数一元二次方程x2+px+q=0的一个根, 则p·q=　　　　.  【解析】因为1-i是实系数一元二次方程x2+px+q=0的一个根, 可得方程另一根为1+i, 所以, 解得p=-2,q=2.所以p·q=-4. 答案:-4 返回 角度2　在复数范围内分解因式 【典例4】将x2+2x+5在复数范围内因式分解为　　　　　.  【解析】令x2+2x+5=0, Δ=4-20=-16=16i2,所以x==-1±2i, 即x2+2x+5=(x+1-2i)(x+1+2i). 答案:(x+1-2i)(x+1+2i) 【总结升华】 在复数范围内分解因式,需要先求出虚数根,再继续分解. 返回 【即学即练】 将x4-2x2-8在复数范围内因式分解为　　　　　　　　　　　　　　　　.  【解析】由于(x+i)(x-i)=x2+2, 所以x4-2x2-8=(x2+2)(x2-4)=(x+i)(x-i)(x+2)(x-2). 答案:(x+i)(x-i)(x+2)(x-2) 返回 【教材深一度】 i的周期性 链接教材:P95T8 虚数单位i的性质: (1)=1,=i,=-1,=-i(n∈Z). (2)+++=0(n∈Z). 返回 【典例5】已知i4n=1,i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i(n∈Z),求i2 025×i2 026×i2 027×i2 028 的值. 【解析】i2 025×i2 026×i2 027×i2 028 =i×i2×i3× =i×(-1)×(-i)×1=-1. 返回 $ 7.2.2　复数的乘、除运算 【学习目标】 1.掌握复数代数表达式的乘法和除法运算.(数学抽象) 2.理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律.(数学抽象) 3.能够利用复数的相关运算在复数范围内解方程、分解因式.(数学运算) 必备知识·自主导学 一、复数的乘法 1.运算法则 设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R), 则z1·z2=(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i. 2.运算律 对任意复数z1,z2,z3∈C,有 交换律 z1z2=z2z1 结合律 (z1z2)z3=z1(z2z3) 乘法对加法的分配律 z1(z2+z3)=z1z2+z1z3 【思考】 复数的乘法法则与以前我们学习的什么运算的法则类似? 提示:多项式的乘法. 二、复数的除法 (a+bi)÷(c+di)==+i(a,b,c,d∈R,且c+di≠0). 【点拨】 复数的除法的实质是分母实数化. 三、实系数一元二次方程ax2+bx+c=0(a,b,c∈R,a≠0)的解法 (1)配方:(x+)2=; (2)若Δ=b2-4ac≥0,则x=; 若Δ=b2-4ac<0,则x=. 【明辨是非】(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)两个虚数的乘积一定是虚数. (×) 提示:如i·i=-1. (2)对于复数z,一定有|z|2=z2. (×) 提示:如z=i,|z|2=1,z2=-1. (3)==-i. (√) (4)在复数集C中实系数的一元二次方程的根的判别式仍然有效. (×) 提示:在复数集C中实系数的一元二次方程的求根公式仍适用,但根的判别式仅在实数集上有效. 关键能力·师生共研 类型1复数的乘法运算(数学运算) 【典例1】(教考衔接) [源题](教材P95复习参考题7T3) 求证:z·=|z|2=. [真题](一题多解)(2024·全国甲卷)设z=i,则z·= (　　) A.-i B.1 C.-1 D.2 【解析】选D. 方法一:因为z=i,所以=-i, 所以z·=i·(-i)=2. 方法二:因为z=i,所以|z|=, 所以z·=|z|2==2. [类题] 1.已知z=2+i,则z(+i)的虚部是 (　　) A.2 B.-2 C.2i D.-2i 【解析】选A.因为z=2+i,则z(+i)=(2+i)(2-i+i)=2(2+i)=4+2i, 所以z(+i)的虚部为2. 2.设=1-3i,则z·=　　　　.  【解析】因为=1-3i,所以||=,所以z·===10. 答案:10 3.计算(1-i)2+(4+i)(4-i)=　　　　.  【解析】原式=(1-2i-1)+(16+1)=17-2i. 答案:17-2i 【总结升华】 关于复数乘法问题的关注点 (1)一般方法:复数相乘可以按照多项式的乘法法则进行,能利用乘法公式的可以利用公式展开,简化运算; (2)常用公式:(a±bi)2=a2±2abi-b2; (a+bi)(a-bi)=a2+b2;(1±i)2=±2i. 类型2复数的除法运算(数学运算) 【典例2】(1)(一题多解)(2024·新高考Ⅰ卷)若=1+i,则z= (　　) A.-1-i B.-1+i C.1-i D.1+i 【解析】选C.解法一:由于=1+i, 则=1+=1+i,即z-1==-i, 可得z=1-i. 解法二:设z=a+bi(a,b∈R), a+bi=[(a-1)+bi](1+i)=(a-1-b)+(a+b-1)i, 所以,解得,所以z=1-i. (2)若复数z满足(1+i)z=|1+i|,则复数=　　　　.  【解析】因为z===(1-i), 所以=(1+i)=+i. 答案:+i 【总结升华】 关于复数除法的解题策略 (1)将除法写成分式形式; (2)分子、分母同乘分母的共轭复数; (3)对分子、分母分别进行乘法运算,最后转化为复数的代数形式. 【即学即练】 1.(2025·新高考Ⅱ卷)已知z=1+i,则= (　　) A.-i B.i C.-1 D.1 【解析】选A.因为z=1+i,所以====-i. 2.设复数z满足i·z=3+2i,其中i是虚数单位,则z=　　　　.  【解析】由i·z=3+2i可得,z===2-3i. 答案:2-3i 类型3复数运算的应用(逻辑推理、数学运算) 角度1　在复数范围内解方程 【典例3】(1)若1+i是关于x的实系数方程x2+bx+c=0的一个复数根,则 (　　) A.b=2,c=3 B.b=2,c=-1 C.b=-2,c=-1 D.b=-2,c=3 【解析】选D.根据实系数方程的根的特点知1-i也是该方程的另一个根, 所以1+i+1-i=2=-b,即b=-2,(1-i)(1+i)=3=c. (2)在复数集C内,方程x2+5x+10=0的解集为　　　　　　　　.  【解析】该方程的判别式Δ=52-4×10=-15<0,所以由求根公式得:x==-±i. 答案:{ --i,-+i } 【总结升华】 实系数一元二次方程问题的关注点 (1)实系数一元二次方程在复数集中一定有根,若是虚根则一定是一对共轭虚数. (2)若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a,b,c∈R)的两根为x1,x2,不论x1,x2是实根,还是虚根,都有x1+x2=-,x1x2=. 【即学即练】 1.在复数范围内方程x2+2x+2=0的根为x1,x2,则|x1|= (　　) A. B. C.2 D.1 【解析】选B.由x2+2x+2=0得(x+1)2=-1,解得x=-1+i或x=-1-i, 若x1=-1+i,则|x1|=;若x1=-1-i,则|x1|=. 综上所述:|x1|=. 2.若1-i(i是虚数单位)是实系数一元二次方程x2+px+q=0的一个根,则p·q=　　　　.  【解析】因为1-i是实系数一元二次方程x2+px+q=0的一个根,可得方程另一根为1+i, 所以, 解得p=-2,q=2.所以p·q=-4. 答案:-4 角度2　在复数范围内分解因式 【典例4】将x2+2x+5在复数范围内因式分解为　　　　　.  【解析】令x2+2x+5=0, Δ=4-20=-16=16i2,所以x==-1±2i, 即x2+2x+5=(x+1-2i)(x+1+2i). 答案:(x+1-2i)(x+1+2i) 【总结升华】 在复数范围内分解因式,需要先求出虚数根,再继续分解. 【即学即练】 将x4-2x2-8在复数范围内因式分解为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　.  【解析】由于(x+i)(x-i)=x2+2,所以x4-2x2-8=(x2+2)(x2-4)=(x+i)(x-i)(x+2)(x-2). 答案:(x+i)(x-i)(x+2)(x-2) 【教材深一度】 i的周期性 链接教材:P95T8 虚数单位i的性质: (1)=1,=i,=-1,=-i(n∈Z). (2)+++=0(n∈Z). 【典例5】已知i4n=1,i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i(n∈Z),求i2 025×i2 026×i2 027×i2 028的值. 【解析】i2 025×i2 026×i2 027×i2 028 =i×i2×i3× =i×(-1)×(-i)×1=-1. - 1 - 学科网（北京）股份有限公司 $