2.课时跟踪检测练 18 第7章 十八 复数的加、减运算及其几何意义(Word版+PPT版)-【满分思维】2025-2026学年高中数学必修第二册（人教A版）

十八　复数的加、减运算及其几何意义 (时间:45分钟　分值:100分) 【基础全面练】 1.(5分)设复数z=1+i,w=3+2i,则的虚部是(　　) A.-3 B.3 C.-3i D.3i 【解析】选A.因为z+w=(1+3)+(1+2)i=4+3i,则=4-3i, 所以其虚部为-3. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 2.(5分)设复数z1=-2+3i,z2=1+2i,则复数z1-z2在复平面内对应的点所在的象 限是 (　　) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【解析】选B.因为z1-z2=(-2-1)+(3-2)i=-3+i,在复平面内对应的点的坐标为 (-3,1),位于第二象限. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 4.(5分)设z是复数且|z-1+2i|=1,则|z|的最小值为 (　　) A.1 B.-1 C.-1 D. 【解析】选C.根据复数模的几何意义可知,|z-1+2i|=1表示复平面内以(1,-2) 为圆心,1为半径的圆,而|z|表示复数z到原点的距离, 由图可知,|z|min=-1=-1. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 5.(5分)(多选)若复数z满足z+(3-4i)=1,则 (　　) A.z的实部是-2 B.z的虚部是4 C.|z|=2 D.=-2-4i 【解析】选ABD.z=1-(3-4i)=-2+4i,则z的实部是-2,虚部是4,|z|=2,=-2-4i. √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 6.(5分)(多选)若z-=-14i,||=5,则z可能为(　　) A.1-7i B.1+7i C.-1-7i D.-1+7i 【解析】选AC.设z=a+bi(a,b∈R),则=a-bi, 由题意可得 解得或所以z=1-7i或-1-7i. √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 7.(5分)已知复数z1=12-3i,z2=-9+i,则z1+z2的实部与虚部的和为______.  【解析】因为z1=12-3i,z2=-9+i,所以z1+z2=3-2i,其实部与虚部分别为3,-2, 其和为1. 　1　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 　16　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 9.(5分)若复数z=a+bi(a,b∈R,i为虚数单位)满足|z-2i|=|z|,写出一个满足条 件的复数z=___________________.  【解析】因为z=a+bi,故z-2i=a+(b-2)i. 由|z-2i|=|z|知,=,化简得b=1,故只要b=1, 即z=a+i(a可为任意实数)均满足题意,可取z=1+i. 　1+i(答案不唯一)　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 10.(10分)计算: (1)-7+(-3-i); 【解析】(1)-7+(-3-i)=-10-i. (2)(3-4i)-(-+2i); 【解析】(2)(3-4i)-(-+2i) =(3+)+(-4-2)i=4-6i. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 (3)(3-2i)-(-+3i)+(4+3i); 【解析】(3)(3-2i)-(-+3i)+(4+3i) =(3++4)+(-2-3+3)i =8-2i. (4)(8-2i)-(-7+5i)+(3+7i). 【解析】(4)(8-2i)-(-7+5i)+(3+7i) =(8+7+3)+(-2-5+7)i =15+3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 【综合应用练】 11.(5分)(多选)设复数z的共轭复数为,i为虚数单位,则下列命题正确的是 (　　) A.z+∈R B.z-是纯虚数 C.若z=cos +isin ,则|z|=1 D.若|z-i|=1,则|z|的最大值为2 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 【解析】选AD.因为复数z与其共轭复数的实部相等,虚部互为相反数,所 以z+∈R,A正确; 当z为实数时,也为实数,则z-是实数,B错误; 若z=cos +isin ,则|z|=≠1,C错误; 若|z-i|=1,设复数z在复平面内对应的点为Z,由复数的几何意义可知,在复平 面内动点Z的轨迹是以点(0,1)为圆心,半径为1的圆,而|z|表示圆上的点到原 点的距离,其最大值为2,D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 12.(5分)已知复数z满足|z-2-4i|=1,当z的虚部取最小值时,z= (　　) A.2+3i B.2-3i C.-3+5i D.-3+3i 【解题指南】设z=x+yi(x,y∈R),利用复数的模长公式可得出(x-2)2+(y-4)2=1, 求出y的取值范围,可得出y的最小值,进而可得出x的值,由此可得出复数z. 【解析】选A.设z=x+yi(x,y∈R),则z-2-4i=(x-2)+(y-4)i, 所以|z-2-4i|==1,即(x-2)2+(y-4)2=1, 所以(y-4)2≤1,可得-1≤y-4≤1,解得3≤y≤5, 当z的虚部取最小值时,即当y=3时,则(x-2)2+(3-4)2=1,解得x=2,故z=2+3i. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 13.(5分)(一题多解)设z1,z2∈C,已知|z1|=|z2|=1,|z1+z2|=,则|z1-z2|=_________.  　　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 14.(10分)已知复数z=2+3i,试在复平面上作出下列运算结果对应的向量: (1)z-3i; 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 (2)z-(3+i). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 【创新拓展练】 16.(5分)著名的费马问题是法国数学家皮埃尔·德·费马(1601-1665)于1643 年提出的平面几何极值问题:“已知一个三角形,求作一点,使其与此三角形 的三个顶点的距离之和最小.”费马问题中的所求点称为费马点,已知对于 每个给定的三角形,都存在唯一的费马点,当△ABC的三个内角均小于120° 时,则使得∠APB=∠BPC=∠CPA=120°的点P即为费马点.根据以上材料, 若z∈C,则|z-2|+|z+2|+|z+2i|的最小值为(　　) A.2-2 B.2+2 C.-1 D.+1 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 【解析】选B.设z=x+yi(x,y∈R),则|z-2|+|z+2|+|z+2i|表示点Z(x,y)到△ABC 三个顶点A(-2,0),B(2,0),C(0,-2)的距离之和. 依题意结合对称性可知△ABC的费马点P位于虚轴的负半轴上,且 ∠APB=120°,则∠PAO=∠PBO=30°. 此时|PA|+|PB|+|PC|=×2+(2-2tan 30°)=2+2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 17.(5分)(一题多解)若复数z=x+yi(x,y∈R)满足|z-4i|=|z+2|,则2x+4y的最小 值为 (　　) A.2　 B.4　 C.4　 D.16 【解析】选C.方法一:由|z-4i|=|z+2|, 得|x+(y-4)i|=|x+2+yi|, 所以x2+(y-4)2=(x+2)2+y2,即x+2y=3, 所以2x+4y=2x+22y≥2=2=4,当且仅当x=2y=时, 2x+4y取得最小值4. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 方法二:由|z-4i|表示复平面上点Z(x,y)到点M(0,4)的距离, |z+2|表示平面上点Z(x,y)到点N(-2,0)的距离, 由|z-4i|=|z+2|知Z(x,y)在线段MN的中垂线l上,l:x+2y=3, 所以2x+4y=2x+22y≥2=2=4, 当且仅当x=2y=时,2x+4y取得最小值4. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 3.(5分)复平面上有A,B,C三点,点A对应的复数为2+i,对应的复数为1+2i,对应的复数 为3-i,则点C的坐标为 (　　) A.(-4,2) B.(-2,0) C.(0,2) D.(4,-2) 【解析】选D.因为对应的复数是1+2i,对应的复数为3-i,又=-,所以对应的复数为(3-i)-(1+2i)=2-3i,又=+, 所以点C对应的复数为(2+i)+(2-3i)=4-2i,所以点C的坐标为(4,-2). 8.(5分)若复数z1=4-3i,z2=4+3i(其中i为虚数单位)所对应的向量分别为与, 则△OZ1Z2的周长为_______.  【解析】因为=(4,-3),=(4,3),=-=(0,6), 所以||==5,||==5,||==6. 所以△OZ1Z2的周长为5+5+6=16. 【解析】方法一:设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R). 由题意知a2+b2=1,c2+d2=1,(a+c)2+(b+d)2=2,则2ac+2bd=0, 所以|z1-z2|2=(a-c)2+(b-d)2=a2+c2+b2+d2-2ac-2bd=2,即|z1-z2|=. 方法二:如图,设复数z1,z2,z1+z2分别对应向量,,. 因为|z1|=|z2|=1,|z1+z2|=, 所以平行四边形OZ1ZZ2为正方形. 所以|z1-z2|=||=||=. 【解析】(1)设复数z=2+3i对应的向量为,复数z1=3i对应的向量为,则两个复数 的差z-3i=2对应两个向量的差-,如图所示,即为z-3i. 【解析】(2)设复数z=2+3i对应的向量为,复数z2=3+i对应的向量为,则两个复数的 差z-(3+i)=-1+2i对应两个向量的差-,如图所示,即为z-(3+i). 15.(10分)已知复数z1=a2-3+(a+5)i,z2=a-1+(a2+2a-1)i(a∈R)分别对应向量,(O为 原点). (1)若向量表示的点在第四象限,求a的取值范围; 【解析】(1)因为复数z1=a2-3+(a+5)i,向量表示的点在第四象限, 所以解得a<-5. 所以a的取值范围是(-∞,-5). (2)若向量对应的复数为纯虚数,求a的值. 【解析】(2)因为=-, 所以向量对应的复数为z2-z1=[a-1+(a2+2a-1)i]-[a2-3+(a+5)i]=-(a2-a-2)+(a2+a-6)i. 根据向量对应的复数为纯虚数,可得-(a2-a-2)=0且a2+a-6≠0, 解得a=-1. $ 十八　复数的加、减运算及其几何意义 (时间:45分钟　分值:100分) 【基础全面练】 1.(5分)设复数z=1+i,w=3+2i,则的虚部是 (　　) A.-3 B.3 C.-3i D.3i 【解析】选A.因为z+w=(1+3)+(1+2)i=4+3i,则=4-3i,所以其虚部为-3. 2.(5分)设复数z1=-2+3i,z2=1+2i,则复数z1-z2在复平面内对应的点所在的象限是 (　　) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【解析】选B.因为z1-z2=(-2-1)+(3-2)i=-3+i,在复平面内对应的点的坐标为(-3,1),位于第二象限. 3.(5分)复平面上有A,B,C三点,点A对应的复数为2+i,对应的复数为1+2i,对应的复数为3-i,则点C的坐标为 (　　) A.(-4,2) B.(-2,0) C.(0,2) D.(4,-2) 【解析】选D.因为对应的复数是1+2i,对应的复数为3-i,又=-,所以对应的复数为(3-i)-(1+2i)=2-3i,又=+, 所以点C对应的复数为(2+i)+(2-3i)=4-2i,所以点C的坐标为(4,-2). 4.(5分)设z是复数且|z-1+2i|=1,则|z|的最小值为 (　　) A.1 B.-1 C.-1 D. 【解析】选C.根据复数模的几何意义可知,|z-1+2i|=1表示复平面内以(1,-2)为圆心,1为半径的圆,而|z|表示复数z到原点的距离, 由图可知,|z|min=-1=-1. 5.(5分)(多选)若复数z满足z+(3-4i)=1,则 (　　) A.z的实部是-2 B.z的虚部是4 C.|z|=2 D.=-2-4i 【解析】选ABD.z=1-(3-4i)=-2+4i,则z的实部是-2,虚部是4,|z|=2,=-2-4i. 6.(5分)(多选)若z-=-14i,||=5,则z可能为 (　　) A.1-7i B.1+7i C.-1-7i D.-1+7i 【解析】选AC.设z=a+bi(a,b∈R),则=a-bi,由题意可得 解得或 所以z=1-7i或-1-7i. 7.(5分)已知复数z1=12-3i,z2=-9+i,则z1+z2的实部与虚部的和为　1　.  【解析】因为z1=12-3i,z2=-9+i,所以z1+z2=3-2i,其实部与虚部分别为3,-2,其和为1. 8.(5分)若复数z1=4-3i,z2=4+3i(其中i为虚数单位)所对应的向量分别为与,则△OZ1Z2的周长为　16　.  【解析】因为=(4,-3),=(4,3),=-=(0,6), 所以||==5,||==5,||==6.所以△OZ1Z2的周长为5+5+6=16. 9.(5分)若复数z=a+bi(a,b∈R,i为虚数单位)满足|z-2i|=|z|,写出一个满足条件的复数z=　1+i(答案不唯一)　.  【解析】因为z=a+bi,故z-2i=a+(b-2)i. 由|z-2i|=|z|知,=,化简得b=1,故只要b=1,即z=a+i(a可为任意实数)均满足题意,可取z=1+i. 10.(10分)计算: (1)-7+(-3-i); 【解析】(1)-7+(-3-i)=-10-i. (2)(3-4i)-(-+2i); 【解析】(2)(3-4i)-(-+2i) =(3+)+(-4-2)i=4-6i. (3)(3-2i)-(-+3i)+(4+3i); 【解析】(3)(3-2i)-(-+3i)+(4+3i) =(3++4)+(-2-3+3)i =8-2i. (4)(8-2i)-(-7+5i)+(3+7i). 【解析】(4)(8-2i)-(-7+5i)+(3+7i) =(8+7+3)+(-2-5+7)i =15+3. 【综合应用练】 11.(5分)(多选)设复数z的共轭复数为,i为虚数单位,则下列命题正确的是 (　　) A.z+∈R B.z-是纯虚数 C.若z=cos +isin ,则|z|=1 D.若|z-i|=1,则|z|的最大值为2 【解析】选AD.因为复数z与其共轭复数的实部相等,虚部互为相反数,所以z+∈R,A正确; 当z为实数时,也为实数,则z-是实数,B错误; 若z=cos +isin ,则|z|=≠1,C错误; 若|z-i|=1,设复数z在复平面内对应的点为Z,由复数的几何意义可知,在复平面内动点Z的轨迹是以点(0,1)为圆心,半径为1的圆,而|z|表示圆上的点到原点的距离,其最大值为2,D正确. 12.(5分)已知复数z满足|z-2-4i|=1,当z的虚部取最小值时,z= (　　) A.2+3i B.2-3i C.-3+5i D.-3+3i 【解题指南】设z=x+yi(x,y∈R),利用复数的模长公式可得出(x-2)2+(y-4)2=1,求出y的取值范围,可得出y的最小值,进而可得出x的值,由此可得出复数z. 【解析】选A.设z=x+yi(x,y∈R),则z-2-4i=(x-2)+(y-4)i, 所以|z-2-4i|==1,即(x-2)2+(y-4)2=1, 所以(y-4)2≤1,可得-1≤y-4≤1,解得3≤y≤5, 当z的虚部取最小值时,即当y=3时,则(x-2)2+(3-4)2=1,解得x=2,故z=2+3i. 13.(5分)(一题多解)设z1,z2∈C,已知|z1|=|z2|=1,|z1+z2|=,则|z1-z2|=　　.  【解析】方法一:设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R). 由题意知a2+b2=1,c2+d2=1,(a+c)2+(b+d)2=2,则2ac+2bd=0, 所以|z1-z2|2=(a-c)2+(b-d)2=a2+c2+b2+d2-2ac-2bd=2,即|z1-z2|=. 方法二:如图,设复数z1,z2,z1+z2分别对应向量,,. 因为|z1|=|z2|=1,|z1+z2|=, 所以平行四边形OZ1ZZ2为正方形. 所以|z1-z2|=||=||=. 14.(10分)已知复数z=2+3i,试在复平面上作出下列运算结果对应的向量: (1)z-3i; 【解析】(1)设复数z=2+3i对应的向量为,复数z1=3i对应的向量为,则两个复数的差z-3i=2对应两个向量的差-,如图所示,即为z-3i. (2)z-(3+i). 【解析】(2)设复数z=2+3i对应的向量为,复数z2=3+i对应的向量为,则两个复数的差z-(3+i)=-1+2i对应两个向量的差-,如图所示,即为z-(3+i). 15.(10分)已知复数z1=a2-3+(a+5)i,z2=a-1+(a2+2a-1)i(a∈R)分别对应向量,(O为原点). (1)若向量表示的点在第四象限,求a的取值范围; 【解析】(1)因为复数z1=a2-3+(a+5)i,向量表示的点在第四象限, 所以解得a<-5. 所以a的取值范围是(-∞,-5). (2)若向量对应的复数为纯虚数,求a的值. 【解析】(2)因为=-, 所以向量对应的复数为z2-z1=[a-1+(a2+2a-1)i]-[a2-3+(a+5)i]=-(a2-a-2)+(a2+a-6)i. 根据向量对应的复数为纯虚数,可得-(a2-a-2)=0且a2+a-6≠0, 解得a=-1. 【创新拓展练】 16.(5分)著名的费马问题是法国数学家皮埃尔·德·费马(1601-1665)于1643年提出的平面几何极值问题:“已知一个三角形,求作一点,使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小.”费马问题中的所求点称为费马点,已知对于每个给定的三角形,都存在唯一的费马点,当△ABC的三个内角均小于120°时,则使得∠APB=∠BPC=∠CPA=120°的点P即为费马点.根据以上材料,若z∈C,则|z-2|+|z+2|+|z+2i|的最小值为(　　) A.2-2 B.2+2 C.-1 D.+1 【解析】选B.设z=x+yi(x,y∈R),则|z-2|+|z+2|+|z+2i|表示点Z(x,y)到△ABC三个顶点A(-2,0),B(2,0),C(0,-2)的距离之和. 依题意结合对称性可知△ABC的费马点P位于虚轴的负半轴上,且∠APB=120°,则∠PAO=∠PBO=30°.此时|PA|+|PB|+|PC|=×2+(2-2tan 30°)=2+2. 17.(5分)(一题多解)若复数z=x+yi(x,y∈R)满足|z-4i|=|z+2|,则2x+4y的最小值为 (　　) A.2　 B.4　 C.4　 D.16 【解析】选C.方法一:由|z-4i|=|z+2|, 得|x+(y-4)i|=|x+2+yi|, 所以x2+(y-4)2=(x+2)2+y2,即x+2y=3, 所以2x+4y=2x+22y≥2=2=4,当且仅当x=2y=时,2x+4y取得最小值4. 方法二:由|z-4i|表示复平面上点Z(x,y)到点M(0,4)的距离, |z+2|表示平面上点Z(x,y)到点N(-2,0)的距离, 由|z-4i|=|z+2|知Z(x,y)在线段MN的中垂线l上,l:x+2y=3, 所以2x+4y=2x+22y≥2=2=4, 当且仅当x=2y=时,2x+4y取得最小值4.   - 1 - 学科网（北京）股份有限公司 $