2.课时跟踪检测练 17 第7章 十七 复数的几何意义(Word版+PPT版)-【满分思维】2025-2026学年高中数学必修第二册（人教A版）

十七　复数的几何意义 (时间:45分钟　分值:105分) 【基础全面练】 1.(5分)(2024·新高考Ⅱ卷)已知z=-1-i,则|z|=(　　) A.0 B.1 C. D.2 【解析】选C.z=-1-i,则|z|==. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 2.(5分)复数z=3+i(i是虚数单位)的共轭复数在复平面内对应点的坐标为 (　　) A.(3,-1) B.(-1,-3) C.(3,1) D.(1,3) 【解析】选A.因为3+i的共轭复数为3-i, 所以它在复平面内对应的点的坐标是(3,-1). √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 3.(5分)复数z1,z2在复平面内对应的点关于虚轴对称,若z1=3-2i,i为虚数单位, 则z2= (　　) A.3+2i B.-3-2i C.-3+2i D.2+3i 【解析】选B.z1=3-2i对应的点的坐标为(3,-2), 因为z1,z2在复平面内对应的点关于虚轴对称, 所以z2对应的点的坐标为(-3,-2),故z2=-3-2i. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 5.(5分)(多选)已知i为虚数单位,复数z1=a+2i,z2=2-i,且|z1|=|z2|,则实数a的值可以为 (　　) A.0 B.1 C.-1 D.2 【解析】选BC.因为|z1|=|z2|,所以=,解得a=±1. √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 6.(5分)(多选)已知复平面内表示复数:z=m+1+(m-1)i(m∈R)的点为M,则下 列结论中正确的为 (　　) A.若z∈R,则m≠1 B.若M在直线y=2x上,则m=3 C.若z为纯虚数,则m=-1 D.若M在第四象限,则-1<m<1 【解析】选CD.对于A,若z∈R,则m-1=0,得m=1,故A错误; 对于B,因为M(m+1,m-1)在直线y=2x上,所以m-1=2(m+1),则m=-3,故B错误; 对于C,若z为纯虚数,则m+1=0,即m=-1,此时虚部不为0,故C正确; 对于D,若M(m+1,m-1)在第四象限,则,解得-1<m<1,故D正确. √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 　(3,5)　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 【解析】由题意可设z2=a+bi(a<0,b>0),z2对应点的坐标为(a,b),z1对应点 的坐标为(1,2),由旋转性质得z2和z1模相等,且它们对应的向量垂直, 则解得 所以z2=-2+i. 　-2+i　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 9.(5分)已知复平面内复数z=a+bi对应的点在射线y=x(x≥0)上,且|z|=1, 则z=__________.  【解析】由复平面内复数z=a+bi对应的点在射线y=x上,所以a=b,z=a+ai, 其中a>0, 因为|z|=1,所以=1, 又因为a>0,解得a=,所以z=+i. 　+i　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 【综合应用练】 11.(5分)(多选)若复数z=(m2-2m-3)+(m2+3m+2)i,且z=,则实数m的值为 (　　) A.-2 B.-1 C.1 D.3 【解析】选AB.因为z=,所以z∈R,所以m2+3m+2=0,解得m=-1或m=-2. √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 　-1+4i　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 14.(10分)求证:复平面内分别与复数z1=1,z2=-i,z3=cos 10°+isin 10°, z4=-i对应的四点Z1,Z2,Z3,Z4共圆. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 15.(10分)(1)求复数z=x+(2x+1)i(x∈R)的模的最小值; 【解析】(1)因为z=x+(2x+1)i(x∈R), 所以|z|== =≥, 当且仅当x=-时,等号成立,所以当x=-时,|z|取得最小值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 (2)复数z=a+bi(a,b∈R),若|z|≥1,0<a<2,0<b<2,求复数z对应的点的集合形 成的图形的面积. 【解析】(2)复数z=a+bi(a,b∈R)在复平面上的对应点的坐标为(a,b), 因为|z|≥1,0<a<2,0<b<2, 所以a2+b2≥1,0<a<2,0<b<2, 所以复数z对应的点的集合形成的图形如图中的阴影部分 (不包括x,y轴上的点): 所以复数z对应的点的集合形成的图形的面积S=2×2-=4-. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 【创新拓展练】 16.(5分)设A,B为锐角三角形的两个内角,则复数z=(cos B-tan A)+itan B对应 的点位于复平面的(　　) A.第一象限　 B.第二象限 C.第三象限　 D.第四象限 【解析】选B.因为A,B为锐角三角形的两个内角,所以A+B>,即A>-B,则 sin A>cos B,所以cos B-tan A=cos B-<cos B-sin A<0,又tan B>0,所以点 (cos B-tan A,tan B)在第二象限. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 17.(10分)已知复数z=(1+2m)+(3+m)i(m∈R). (1)若m=1,且||=|x+(x-1)i|,则实数x的值为__________;  【解析】(1)由m=1,得z=3+4i,=3-4i,则由||=|x+(x-1)i|, 得=,整理得x2-x-12=0,解得x=4或x=-3. 　-3或4　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 (2)当m为何值时,||最小,最小值为________.  【解析】(2)||== =≥, 当且仅当m=-1时,||取得最小值,最小值为. 　　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 4.(5分)在复平面内,O是原点,向量对应的复数是-1+i,将绕点O按逆时针方向旋转, 则所得向量对应的复数为 (　　) A.- B.-i C.-1 D.-i 【解析】选A.如图,由题意可知=(-1,1),与实轴非负半轴的夹角为π,绕点O逆时针方 向旋转后Z到达实轴上Z1点,又||=||=,所以Z1的坐标为(-,0),所以对应的复 数为-. 7.(5分)已知复平面上有点C(2,4)和点D,使得向量所对应的复数是1+i,则点D的坐标 为_________.  【解析】因为向量所对应的复数是1+i, 所以=(1,1),因为C(2,4),所以D(3,5). 8.(5分)(2025·金昌高一检测)在复平面内,向量对应的复数z1=1+2i,绕点O逆时针 旋转90°后对应的复数为z2,则z2=_________.  10.(10分)在复平面内,点A,B,C对应的复数分别为1+4i,-3i,2,O为复平面的坐标原点. (1)求向量+对应的复数; (2)求向量对应的复数. 【解析】由已知得,,对应的复数分别为1+4i,-3i,2,则=(1,4),=(0,-3),=(2,0), (1)+=(1,1),故+对应的复数为1+i. (2)=-=(1,-4),故对应的复数为1-4i. 12.(5分)已知O为坐标原点,对应的复数为-3+4i,对应的复数为2a+i(a∈R). 若与共线,则a的值为 (　　) A.-4 B.- C. D.4 【解析】选B.因为对应的复数为-3+4i,对应的复数为2a+i,所以=(-3,4), =(2a,1).因为与共线, 所以存在实数k使=k, 即(2a,1)=k(-3,4), 所以,解得,即a的值为-. 13.(5分)四边形ABCD为复平面内的平行四边形,O为坐标原点,向量对应的复数为5, 对应的复数为-2-3i,对应的复数为-6+4i.则点D对应的复数为_________.  【解析】由题意知,=(5,0),=(-2,-3),=(-6,4).因为=+,且=,所以=+=(5,0)+(-6,4)=(-1,4),所以D(-1,4),则点D对应的复数z=-1+4i. 【证明】由复数z1=1,z2=-i,z3=cos 10°+isin 10°,z4=-i, 得||==1,||==1,||==1, ||==1,点Z1,Z2,Z3,Z4在以原点为圆心,以1为半径的圆上, 即复数z1,z2,z3,z4所对应的四点Z1,Z2,Z3,Z4共圆. $ 十七　复数的几何意义 (时间:45分钟　分值:105分) 【基础全面练】 1.(5分)(2024·新高考Ⅱ卷)已知z=-1-i,则|z|= (　　) A.0 B.1 C. D.2 【解析】选C.z=-1-i,则|z|==. 2.(5分)复数z=3+i(i是虚数单位)的共轭复数在复平面内对应点的坐标为 (　　) A.(3,-1) B.(-1,-3) C.(3,1) D.(1,3) 【解析】选A.因为3+i的共轭复数为3-i, 所以它在复平面内对应的点的坐标是(3,-1). 3.(5分)复数z1,z2在复平面内对应的点关于虚轴对称,若z1=3-2i,i为虚数单位,则z2= (　　) A.3+2i B.-3-2i C.-3+2i D.2+3i 【解析】选B.z1=3-2i对应的点的坐标为(3,-2), 因为z1,z2在复平面内对应的点关于虚轴对称, 所以z2对应的点的坐标为(-3,-2),故z2=-3-2i. 4.(5分)在复平面内,O是原点,向量对应的复数是-1+i,将绕点O按逆时针方向旋转,则所得向量对应的复数为 (　　) A.- B.-i C.-1 D.-i 【解析】选A.如图,由题意可知=(-1,1),与实轴非负半轴的夹角为π,绕点O逆时针方向旋转后Z到达实轴上Z1点,又||=||=,所以Z1的坐标为(-,0),所以对应的复数为-. 5.(5分)(多选)已知i为虚数单位,复数z1=a+2i,z2=2-i,且|z1|=|z2|,则实数a的值可以为 (　　) A.0 B.1 C.-1 D.2 【解析】选BC.因为|z1|=|z2|,所以=,解得a=±1. 6.(5分)(多选)已知复平面内表示复数:z=m+1+(m-1)i(m∈R)的点为M,则下列结论中正确的为 (　　) A.若z∈R,则m≠1 B.若M在直线y=2x上,则m=3 C.若z为纯虚数,则m=-1 D.若M在第四象限,则-1<m<1 【解析】选CD.对于A,若z∈R,则m-1=0,得m=1,故A错误; 对于B,因为M(m+1,m-1)在直线y=2x上,所以m-1=2(m+1),则m=-3,故B错误; 对于C,若z为纯虚数,则m+1=0,即m=-1,此时虚部不为0,故C正确; 对于D,若M(m+1,m-1)在第四象限,则,解得-1<m<1,故D正确. 7.(5分)已知复平面上有点C(2,4)和点D,使得向量所对应的复数是1+i,则点D的坐标为　(3,5)　.  【解析】因为向量所对应的复数是1+i, 所以=(1,1),因为C(2,4),所以D(3,5). 8.(5分)(2025·金昌高一检测)在复平面内,向量对应的复数z1=1+2i,绕点O逆时针旋转90°后对应的复数为z2,则z2=　-2+i　.  【解析】由题意可设z2=a+bi(a<0,b>0),z2对应点的坐标为(a,b),z1对应点的坐标为(1,2),由旋转性质得z2和z1模相等,且它们对应的向量垂直, 则解得 所以z2=-2+i. 9.(5分)已知复平面内复数z=a+bi对应的点在射线y=x(x≥0)上,且|z|=1,则z=　+i　.  【解析】由复平面内复数z=a+bi对应的点在射线y=x上,所以a=b,z=a+ai,其中a>0, 因为|z|=1,所以=1, 又因为a>0,解得a=,所以z=+i. 10.(10分)在复平面内,点A,B,C对应的复数分别为1+4i,-3i,2,O为复平面的坐标原点. (1)求向量+对应的复数; (2)求向量对应的复数. 【解析】由已知得,,对应的复数分别为1+4i,-3i,2,则=(1,4),=(0,-3),=(2,0), (1)+=(1,1),故+对应的复数为1+i. (2)=-=(1,-4),故对应的复数为1-4i. 【综合应用练】 11.(5分)(多选)若复数z=(m2-2m-3)+(m2+3m+2)i,且z=,则实数m的值为 (　　) A.-2 B.-1 C.1 D.3 【解析】选AB.因为z=,所以z∈R,所以m2+3m+2=0,解得m=-1或m=-2. 12.(5分)已知O为坐标原点,对应的复数为-3+4i,对应的复数为2a+i(a∈R).若与共线,则a的值为 (　　) A.-4 B.- C. D.4 【解析】选B.因为对应的复数为-3+4i,对应的复数为2a+i,所以=(-3,4),=(2a,1).因为与共线, 所以存在实数k使=k, 即(2a,1)=k(-3,4), 所以,解得,即a的值为-. 13.(5分)四边形ABCD为复平面内的平行四边形,O为坐标原点,向量对应的复数为5,对应的复数为-2-3i,对应的复数为-6+4i.则点D对应的复数为　-1+4i　.  【解析】由题意知,=(5,0),=(-2,-3),=(-6,4).因为=+,且=,所以=+=(5,0)+(-6,4)=(-1,4),所以D(-1,4),则点D对应的复数z=-1+4i. 14.(10分)求证:复平面内分别与复数z1=1,z2=-i,z3=cos 10°+isin 10°,z4=-i对应的四点Z1,Z2,Z3,Z4共圆. 【证明】由复数z1=1,z2=-i,z3=cos 10°+isin 10°,z4=-i, 得||==1,||==1,||==1,||==1,点Z1,Z2,Z3,Z4在以原点为圆心,以1为半径的圆上,即复数z1,z2,z3,z4所对应的四点Z1,Z2,Z3,Z4共圆. 15.(10分)(1)求复数z=x+(2x+1)i(x∈R)的模的最小值; 【解析】(1)因为z=x+(2x+1)i(x∈R), 所以|z|== =≥, 当且仅当x=-时,等号成立, 所以当x=-时,|z|取得最小值. (2)复数z=a+bi(a,b∈R),若|z|≥1,0<a<2,0<b<2,求复数z对应的点的集合形成的图形的面积. 【解析】(2)复数z=a+bi(a,b∈R)在复平面上的对应点的坐标为(a,b), 因为|z|≥1,0<a<2,0<b<2, 所以a2+b2≥1,0<a<2,0<b<2, 所以复数z对应的点的集合形成的图形如图中的阴影部分(不包括x,y轴上的点): 所以复数z对应的点的集合形成的图形的面积S=2×2-=4-. 【创新拓展练】 16.(5分)设A,B为锐角三角形的两个内角,则复数z=(cos B-tan A)+itan B对应的点位于复平面的 (　　) A.第一象限　 B.第二象限 C.第三象限　 D.第四象限 【解析】选B.因为A,B为锐角三角形的两个内角,所以A+B>,即A>-B,则sin A>cos B,所以cos B-tan A=cos B-<cos B-sin A<0,又tan B>0,所以点(cos B-tan A,tan B)在第二象限. 17.(10分)已知复数z=(1+2m)+(3+m)i(m∈R). (1)若m=1,且||=|x+(x-1)i|,则实数x的值为　-3或4　;  【解析】(1)由m=1,得z=3+4i,=3-4i,则由||=|x+(x-1)i|, 得=,整理得x2-x-12=0,解得x=4或x=-3. (2)当m为何值时,||最小,最小值为　　.  【解析】(2)||== =≥,当且仅当m=-1时,||取得最小值,最小值为. - 1 - 学科网（北京）股份有限公司 $