2.课时跟踪检测练 15 第6章 十五 余弦定理、正弦定理应用举例(Word版+PPT版)-【满分思维】2025-2026学年高中数学必修第二册（人教A版）

十五　余弦定理、正弦定理应用举例 (时间:45分钟　分值:80分) 【基础全面练】 1.(5分)从地面上观察一建在山顶上的建筑物,测得其视角为α,同时测得建 筑物顶部仰角为β,则山顶的仰角为(　　) A.α+β B.α-β C.β-α D.α 【解析】选C.如图可知,山顶的仰角为β-α. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 选题清单 2.(5分)若水平面上点B在点A南偏东30°方向上,在点A处测得点B的方位角 是 (　　) A.60° B.120° C.150° D.210° 【解析】选C.方位角是指从正北方向顺时针旋转到达目标方向的水平角. 如图所示,点B的方位角是180°-30°=150°. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 选题清单 3.(5分)如图,A,B两点在河的两岸,在B同侧的河岸边选取点C,测得BC的距 离为10 m,∠ABC=75°,∠ACB=60°,则A,B两点间的距离为 (　　) A.5 m　 B.5 m C.5 m　 D.5 m 【解析】选D.因为∠ABC=75°,∠ACB=60°,所以∠BAC=180°-75°-60°=45°, 在△ABC中,由正弦定理得,=,故AB==5(m). √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 选题清单 4.(5分)已知甲船在海岛B的正南A处,AB=10海里,甲船以4海里/小时的速度 向正北航行,同时乙船自海岛B出发以6海里/小时的速度向北偏东60°方向 驶去,当航行一小时后,甲船在乙船的 (　　) A.北偏东30°方向 B.北偏东15°方向 C.南偏西30°方向 D.南偏西15°方向 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 选题清单 【解析】选C.由题意得,1小时后,甲船到达C处,则AC=4,则BC=6.又由题可知,此时,乙船到达D处,BD=6, 又乙船自海岛B出发向北偏东60°方向驶去,则∠DBC=120°.又BC=BD,则∠BCD=30°,即此时乙在甲的北偏东30°方向,甲在乙的南偏西30°方向. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 选题清单 5.(5分)(2025·合肥高一检测)某同学为了测量某塔高,他在地面C处时测得 塔底B在北偏东45°的方向上,向正东方向行走50米后到达D处,测得塔底B 在北偏东15°的方向上,此时测得塔顶A的仰角为45°,则塔顶A离地面的高度 AB为 (　　) A.50 米　 B.50米 C.25(+)米　 D.50(-)米 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 选题清单 【解析】选A.设塔的高度AB为h米,因为在地面C处时测得塔底B在北偏东45°的方向上,所以∠BCD=45°,又在D处测得塔底B在北偏东15°的方向上,塔顶A的仰角为45°, 则在Rt△ABD中,∠ADB=45°,BD==h,在△BCD中, ∠CDB=90°+15°=105°, ∠CBD=180°-45°-105°=30°, 由正弦定理得,=,即=,解得h=50. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 选题清单 6.(5分)如图,某数学兴趣小组的成员为了测量某直线形河流的宽度,在该河流的一侧岸边选定A,B两处,在该河流的另一侧岸边选定C处, 测得AB=30米,∠ABC=75°,∠BAC=45°,则该河流的宽度是 (　　) A.15+5 米　 B.10+10米 C.15-15米　 D.10-10米 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 选题清单 【解析】选A.在△ABC中,由∠ABC=75°,∠BAC=45°,得∠ACB=60°, sin 75°=sin(45°+30°)=+=, 由正弦定理得=,即AC==5(3+). 因此△ABC中,边AB上的高为ACsin∠BAC=5(3+)×=15+5, 所以该河流的宽度是15+5米. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 选题清单 7.(5分)如图,海平面上的甲船位于中心O的南偏西30°,与O相距15 n mile的 C处.现甲船以35 n mile/h的速度沿直线CB去营救位于中心O正东方向 25 n mile的B处的乙船,则甲船到达B处需要的时间为______h.  【解析】如题图所示,在△OBC中,∠BOC=30°+90°=120°, OC=15,OB=25, 所以BC2=152+252-2×15×25×cos 120°=1 225,即BC=35, 又甲船的速度为35 n mile/h, 所以甲船到达B处需要的时间为35÷35=1(h). 　1　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 选题清单 8.(5分)(2025·达州高一检测)龙爪塔位于达州市通川区,龙爪塔据传因崖壁 有石纹,下临深潭,影似龙爪而得名.为了测量塔的高度AB,选取与塔底B在 同一水平面的两个基点C与D,现测得α=30°,β=45°,CD=24米,在C点测得塔 顶的仰角θ=60°,则塔的高度为_______米.(参考数据:≈1.41,≈1.73,结果 保留整数)  　30　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 选题清单 【解析】在△BCD中,∠BCD=30°,∠CDB=45°,则∠CBD=105°, 由正弦定理=, 得BC===, 由在C点测得塔顶的仰角为60°, 得AB=BC=≈30(米). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 选题清单 9.(10分)(2025·杭州高一检测)如图,为测量山高MN,选择A和另一座山的山 顶C为测量观测点,从点A测得点M的仰角∠MAN=45°,点C的仰角 ∠CAB=60°,以及∠MAC=75°.从点C测得∠MCA=45°,已知山高BC=300 m. (1)求AC的长度; 【解析】(1)在Rt△ABC中,因为∠CAB=60°,∠ABC=90°, BC=300, 所以AC==200(m). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 选题清单 (2)求山MN的高度. 【解析】(2)在△AMC中,因为∠MAC=75°,∠MCA=45°,可得∠AMC=60°, 因为=, 所以AM==200(m), 在Rt△AMN中,可得MN=AM·sin∠MAN=200×sin 45°=200(m). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 选题清单 【综合应用练】 10.(5分)(2025·合肥高一检测)如图,为了测量两山顶M,N间的距离,利用某技术沿 水平方向在A,B两点进行测量,A,B,M,N在同一个铅垂平面内.已知在A点时,测得 ∠MAN=∠BAN=30°,在B点时,测得∠ABM=60°,∠NBM=75°,AB=2千米,则 MN=(　　) A.4-2 千米　 B.4-2 千米 C.+1 千米　 D.+ 千米 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 选题清单 【解析】选D.因为∠MAN=∠BAN=30°,∠ABM=60°,可得△ABM是等边三 角形,BM=2千米.记直线AN与直线BM的交点为O, ∠AOB=180°-∠BAN-∠ABM=90°,所以AN⊥BM,O为BM的中点,所以△BMN 为等腰三角形,BN=MN==, 又cos 75°=cos(45°+30°)=-=, 所以MN==+ (千米). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 选题清单 11.(5分)(2025·福州高一检测)我国许多地方都有风格迥异的古塔.现在在某 塔底共线三点A,B,C处分别测得塔顶P点的仰角为30°,45°,60°,且 AB=BC=20 m,设该塔高为PO,示意图如图.则该塔高PO=(　　) A.60 m　 B.30 m C.20 m　 D.20 m √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 选题清单 【解析】选A.设PO=h,在Rt△POA中, =tan 30°,所以OA===h, 同理可得,OB=h,OC=h. 在△OBC中,由余弦定理得, cos∠OBC===, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 选题清单 在△OBA中,同理可得,cos∠OBA===, 因为∠OBC+∠OBA=180°,所以cos∠OBC=cos(180°-∠OBA)=-cos∠OBA, 所以=, 即h2+2 400=2h2-2 400,解得h=60 m, 所以塔高PO=60 m. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 选题清单 12.(5分)(2025·河南高一期中)如图所示,B,E,F为山的两侧处于同一水平线 上的三点,在山顶A处测得点B,E,F的俯角分别为60°,75°,45°,计划沿直线BF 开通引水隧洞,现已测得EF=7,则隧洞BE的长度为_________.(参考数据: cos 75°=)  　　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 选题清单 【解析】在△AEF中,由题图可知∠EAF=75°-45°=30°,∠F=45°, 由正弦定理可得:=, 已知EF=7,解得AE=EF=7. 在△ABE中,由题图知∠BAE=180°-60°-75°=45°,∠ABE=60°, 由正弦定理得:=,解得BE=AE=×7=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 选题清单 13.(10分)如图1,某同学在一条水平公路上观测对面山项上的一座5 G基站AB,已知基站高AB=50 m,该同学眼高1.5 m(眼睛到地面的距离),该同学在初始位置C处(眼睛所在位置)测得基站底部B的仰角为37°,测得基站顶端A的仰角为45°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 选题清单 (1)求山高BE(结果保留整数); 【解析】(1)由题意可知,∠BCD=37°,∠ACD=45°,∠ACB=8°,A=45°, 在△ABC中,=, 所以BC≈=250, 在Rt△BCD中,BD=BC·sin∠BCD≈250×0.6=150, 所以山高BE=150+1.5=151.5 m≈152 m. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 选题清单 (2)如图2,当该同学面向基站AB前行时(保持在同一铅垂面内),记该同学所在位置C处(眼睛所在位置)到基站AB所在直线的距离CD=x m,且记在C处观测基站底部B的仰角为α,观测基站顶端A的仰角为β.试问当x多大时,观测基站的视角∠ACB最大? 参考数据:sin 8°≈0.14,sin 37°≈0.6,sin 45°≈0.7,sin 127°≈0.8. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 选题清单 【解析】(2)由题意知∠ACD=β,∠BCD=α,且0<α<β<,则0<β-α<, 由(1)得BD=150 m,所以AD=AB+BD=200 m, 在Rt△BCD中,tan α==, 在Rt△ACD中,tan β==, 则tan∠ACB=tan(β-α)====≤=,当且仅当 x=,即x=100时,取等号, 所以tan∠ACB取得最大值时,x=100, 又因为0<∠ACB<,所以此时∠ACB最大,所以当x=100时,∠ACB最大. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 选题清单 【创新拓展练】 14.(5分)冬奥会会徽以汉字“冬”为灵感来源,结合中国书法的艺术形态,将悠久的中 国传统文化底蕴与国际化风格融为一体,呈现出中国在新时代的新形象、新梦想. 某同学查阅资料得知,书法中的一些特殊笔画都有固定的角度,比如在弯折位置通 常采用30°,45°,60°,90°,120°,150°等特殊角度.为了判断“冬”的弯折角度是否符合书 法中的美学要求,该同学取端点绘制了△ABD,测得AB=5,BD=6,AC=4,AD=3,若点C 恰好在边BD上,则sin∠ACD=(　　) A.　 B. C.　 D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 选题清单 【解析】选D.由题意知,在△ABD中,由余弦定理得 cos∠ADB===; 因为∠ADB∈(0,π),所以sin∠ADB===. 在△ACD中,由正弦定理得=,所以=, 解得sin∠ACD=.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 选题清单 $ 十五　余弦定理、正弦定理应用举例 (时间:45分钟　分值:80分) 【基础全面练】 1.(5分)从地面上观察一建在山顶上的建筑物,测得其视角为α,同时测得建筑物顶部仰角为β,则山顶的仰角为 (　　) A.α+β B.α-β C.β-α D.α 【解析】选C.如图可知,山顶的仰角为β-α. 2.(5分)若水平面上点B在点A南偏东30°方向上,在点A处测得点B的方位角是 (　　) A.60° B.120° C.150° D.210° 【解析】选C.方位角是指从正北方向顺时针旋转到达目标方向的水平角.如图所示,点B的方位角是180°-30°=150°. 3.(5分)如图,A,B两点在河的两岸,在B同侧的河岸边选取点C,测得BC的距离为10 m,∠ABC=75°,∠ACB=60°,则A,B两点间的距离为 (　　) A.5 m　 B.5 m C.5 m　 D.5 m 【解析】选D.因为∠ABC=75°,∠ACB=60°,所以∠BAC=180°-75°-60°=45°, 在△ABC中,由正弦定理得,=,故AB==5(m). 4.(5分)已知甲船在海岛B的正南A处,AB=10海里,甲船以4海里/小时的速度向正北航行,同时乙船自海岛B出发以6海里/小时的速度向北偏东60°方向驶去,当航行一小时后,甲船在乙船的 (　　) A.北偏东30°方向 B.北偏东15°方向 C.南偏西30°方向 D.南偏西15°方向 【解析】选C.由题意得,1小时后,甲船到达C处,则AC=4,则BC=6.又由题可知,此时,乙船到达D处,BD=6, 又乙船自海岛B出发向北偏东60°方向驶去,则∠DBC=120°.又BC=BD,则∠BCD=30°,即此时乙在甲的北偏东30°方向,甲在乙的南偏西30°方向. 5.(5分)(2025·合肥高一检测)某同学为了测量某塔高,他在地面C处时测得塔底B在北偏东45°的方向上,向正东方向行走50米后到达D处,测得塔底B在北偏东15°的方向上,此时测得塔顶A的仰角为45°,则塔顶A离地面的高度AB为 (　　) A.50 米　 B.50米 C.25(+)米　 D.50(-)米 【解析】选A.设塔的高度AB为h米,因为在地面C处时测得塔底B在北偏东45°的方向上,所以∠BCD=45°,又在D处测得塔底B在北偏东15°的方向上,塔顶A的仰角为45°, 则在Rt△ABD中,∠ADB=45°,BD==h,在△BCD中,∠CDB=90°+15°=105°, ∠CBD=180°-45°-105°=30°, 由正弦定理得,=,即=,解得h=50. 6.(5分)如图,某数学兴趣小组的成员为了测量某直线形河流的宽度,在该河流的一侧岸边选定A,B两处,在该河流的另一侧岸边选定C处,测得AB=30米,∠ABC=75°,∠BAC=45°,则该河流的宽度是 (　　) A.15+5 米　 B.10+10米 C.15-15米　 D.10-10米 【解析】选A.在△ABC中,由∠ABC=75°,∠BAC=45°,得∠ACB=60°, sin 75°=sin(45°+30°)=+=, 由正弦定理得=,即AC==5(3+). 因此△ABC中,边AB上的高为ACsin∠BAC=5(3+)×=15+5, 所以该河流的宽度是15+5米. 7.(5分)如图,海平面上的甲船位于中心O的南偏西30°,与O相距15 n mile的C处.现甲船以35 n mile/h的速度沿直线CB去营救位于中心O正东方向25 n mile的B处的乙船,则甲船到达B处需要的时间为　1　h.  【解析】如题图所示,在△OBC中,∠BOC=30°+90°=120°,OC=15,OB=25, 所以BC2=152+252-2×15×25×cos 120°=1 225,即BC=35,又甲船的速度为35 n mile/h, 所以甲船到达B处需要的时间为35÷35=1(h). 8.(5分)(2025·达州高一检测)龙爪塔位于达州市通川区,龙爪塔据传因崖壁有石纹,下临深潭,影似龙爪而得名.为了测量塔的高度AB,选取与塔底B在同一水平面的两个基点C与D,现测得α=30°,β=45°,CD=24米,在C点测得塔顶的仰角θ=60°,则塔的高度为　30　米.(参考数据:≈1.41,≈1.73,结果保留整数)  【解析】在△BCD中,∠BCD=30°,∠CDB=45°,则∠CBD=105°, 由正弦定理=, 得BC===, 由在C点测得塔顶的仰角为60°, 得AB=BC=≈30(米). 9.(10分)(2025·杭州高一检测)如图,为测量山高MN,选择A和另一座山的山顶C为测量观测点,从点A测得点M的仰角∠MAN=45°,点C的仰角∠CAB=60°,以及∠MAC=75°.从点C测得∠MCA=45°,已知山高BC=300 m. (1)求AC的长度; 【解析】(1)在Rt△ABC中,因为∠CAB=60°,∠ABC=90°,BC=300, 所以AC==200(m). (2)求山MN的高度. 【解析】(2)在△AMC中,因为∠MAC=75°,∠MCA=45°,可得∠AMC=60°, 因为=, 所以AM==200(m), 在Rt△AMN中,可得MN=AM·sin∠MAN=200×sin 45°=200(m). 【综合应用练】 10.(5分)(2025·合肥高一检测)如图,为了测量两山顶M,N间的距离,利用某技术沿水平方向在A,B两点进行测量,A,B,M,N在同一个铅垂平面内.已知在A点时,测得∠MAN=∠BAN=30°,在B点时,测得∠ABM=60°,∠NBM=75°,AB=2千米,则MN= (　　) A.4-2 千米　 B.4-2 千米 C.+1 千米　 D.+ 千米 【解析】选D.因为∠MAN=∠BAN=30°,∠ABM=60°,可得△ABM是等边三角形,BM=2千米.记直线AN与直线BM的交点为O, ∠AOB=180°-∠BAN-∠ABM=90°,所以AN⊥BM,O为BM的中点,所以△BMN为等腰三角形,BN=MN==, 又cos 75°=cos(45°+30°)=-=,所以MN==+ (千米). 11.(5分)(2025·福州高一检测)我国许多地方都有风格迥异的古塔.现在在某塔底共线三点A,B,C处分别测得塔顶P点的仰角为30°,45°,60°,且AB=BC=20 m,设该塔高为PO,示意图如图.则该塔高PO= (　　) A.60 m　 B.30 m C.20 m　 D.20 m 【解析】选A.设PO=h,在Rt△POA中, =tan 30°,所以OA===h, 同理可得,OB=h,OC=h. 在△OBC中,由余弦定理得, cos∠OBC===, 在△OBA中,同理可得,cos∠OBA===, 因为∠OBC+∠OBA=180°,所以cos∠OBC=cos(180°-∠OBA)=-cos∠OBA, 所以=, 即h2+2 400=2h2-2 400,解得h=60 m, 所以塔高PO=60 m. 12.(5分)(2025·河南高一期中)如图所示,B,E,F为山的两侧处于同一水平线上的三点,在山顶A处测得点B,E,F的俯角分别为60°,75°,45°,计划沿直线BF开通引水隧洞,现已测得EF=7,则隧洞BE的长度为　　.(参考数据:cos 75°=)  【解析】在△AEF中,由题图可知∠EAF=75°-45°=30°,∠F=45°, 由正弦定理可得:=, 已知EF=7,解得AE=EF=7. 在△ABE中,由题图知∠BAE=180°-60°-75°=45°,∠ABE=60°, 由正弦定理得:=,解得BE=AE=×7=. 13.(10分)如图1,某同学在一条水平公路上观测对面山项上的一座5 G基站AB,已知基站高AB=50 m,该同学眼高1.5 m(眼睛到地面的距离),该同学在初始位置C处(眼睛所在位置)测得基站底部B的仰角为37°,测得基站顶端A的仰角为45°. (1)求山高BE(结果保留整数); 【解析】(1)由题意可知,∠BCD=37°,∠ACD=45°,∠ACB=8°,A=45°, 在△ABC中,=, 所以BC≈=250, 在Rt△BCD中,BD=BC·sin∠BCD≈250×0.6=150, 所以山高BE=150+1.5=151.5 m≈152 m. (2)如图2,当该同学面向基站AB前行时(保持在同一铅垂面内),记该同学所在位置C处(眼睛所在位置)到基站AB所在直线的距离CD=x m,且记在C处观测基站底部B的仰角为α,观测基站顶端A的仰角为β.试问当x多大时,观测基站的视角∠ACB最大? 参考数据:sin 8°≈0.14,sin 37°≈0.6,sin 45°≈0.7,sin 127°≈0.8. 【解析】(2)由题意知∠ACD=β,∠BCD=α,且0<α<β<,则0<β-α<, 由(1)得BD=150 m,所以AD=AB+BD=200 m, 在Rt△BCD中,tan α==, 在Rt△ACD中,tan β==, 则tan∠ACB=tan(β-α)====≤=,当且仅当x=,即x=100时,取等号, 所以tan∠ACB取得最大值时,x=100, 又因为0<∠ACB<,所以此时∠ACB最大,所以当x=100时,∠ACB最大. 【创新拓展练】 14.(5分)冬奥会会徽以汉字“冬”为灵感来源,结合中国书法的艺术形态,将悠久的中国传统文化底蕴与国际化风格融为一体,呈现出中国在新时代的新形象、新梦想.某同学查阅资料得知,书法中的一些特殊笔画都有固定的角度,比如在弯折位置通常采用30°,45°,60°,90°,120°,150°等特殊角度.为了判断“冬”的弯折角度是否符合书法中的美学要求,该同学取端点绘制了△ABD,测得AB=5,BD=6,AC=4,AD=3,若点C恰好在边BD上,则sin∠ACD= (　　) A.　 B. C.　 D. 【解析】选D.由题意知,在△ABD中,由余弦定理得cos∠ADB===; 因为∠ADB∈(0,π),所以sin∠ADB===. 在△ACD中,由正弦定理得=,所以=, 解得sin∠ACD=. - 1 - 学科网（北京）股份有限公司 $