1.导学案 18 第6章 6.4.3 第4课时 余弦定理、正弦定理应用举例(Word版+PPT版)-【满分思维】2025-2026学年高中数学必修第二册（人教A版）

第4课时　余弦定理、正弦定理应用举例 【学习目标】 1.理解测量中的基线、视角、方向角和方位角等术语.(数学抽象) 2.能利用正、余弦定理解决与距离、高度与角度等有关的实际问题.(数学建模、数学运算) 必备知识·自主导学 测量中的相关名称、术语 1.基线:在测量过程中,根据测量的需要而确定的线段.一般来说,基线越长,测量的精确度越高. 2.视角:指观察物体的两端视线张开的角度.如图所示,视角60°指的是观察该物体上下两端点时,视线的张角. 3.方向角:指以观测者为中心,指北或指南的方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角.如图,左图中表示北偏东30°,右图中表示南偏西60°. 4.仰角和俯角 与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角.目标视线在水平视线上方时叫仰角,目标视线在水平视线下方时叫俯角,如图所示. 5.方位角 从指北方向顺时针转到目标方向线所成的水平角.如点B的方位角为α(如图所示).方位角的取值范围:0°~360°. 关键能力·师生共研 类型1 测量距离问题(数学建模) 【典例1】如图,要测量河对岸C,D两点间的距离,在河边一侧选定观测点A,B,并测得A,B间的距离为20 m,∠DAB=75°,∠CAB=30°,AB⊥BC,∠ABD=60°,求C,D两点间的距离. 【解析】在Rt△ABC中,BC=ABtan∠CAB=20×tan 30°=20. 在△ABD中,∠ADB=180°-∠DAB-∠ABD=45°, 由正弦定理得=, 所以BD= ==10(3+). 在△BCD中,由余弦定理可得: DC2=202+100(3+)2-2×20×10(3+)×cos 30°=1 000,解得DC=10. 即C,D两点之间的距离为10 m. 【总结升华】 测量距离问题的解题策略 (1)根据题意,作出对应图形,根据已知条件和图形特点寻找可解的三角形; (2)将实际问题中的长度和角度转化为三角形的边与角,结合正、余弦定理求解. 【即学即练】 　(2025·无锡高一检测)某货轮在A处看灯塔B在货轮北偏东75°方向上,距离为12 n mile;在A处看灯塔C在货轮的北偏西30°方向上,距离为8 n mile.货轮由A处向正北航行到D处时,再看灯塔B在南偏东60°方向上,A处与D处之间的距离是　　　　　n mile,灯塔C与D处之间的距离是　　　　　n mile.  【解析】△ABD中,由已知得∠BAD=75°,∠BDA=60°,所以∠B=45°, 由正弦定理得AD=== 24(n mile), 所以A处与D处之间的距离是24 n mile. △ACD中,∠CAD=30°,由余弦定理,得 CD= = ==8(n mile), 所以灯塔C与D处之间的距离是8 n mile. 答案:24　8 类型2 测量高度问题(数学建模) 【典例2】如图,为了测量某铁塔的高度,测量人员选取了与该塔底B在同一平面内的两个观测点C与D,现测得∠CDB=37°,∠BCD=68°,CD=40米,在点C处测得塔顶A的仰角为64°,则该铁塔的高度约为 (　　) (参考数据:≈1.4,≈2.4,tan 64°≈2.1,cos 37°≈0.8) A.40米　 B.42米　 C.53米　 D.60米 【解析】选C.在△CDB中,∠CBD=180°-∠CDB-∠BCD=180°-37°-68°=75°, 则sin∠CBD=sin 75°=sin(45°+30°) =sin 45°cos 30°+cos 45°sin 30°=, sin∠CDB=sin 37°=≈0.6,由正弦定理=, 可得BC=, 在Rt△ABC中,可得AB=BC·tan∠ACB=≈≈53.所以该铁塔的高度约为53米. 【总结升华】 测量高度问题的解题策略 (1)底部三点共线:首先用正弦定理或余弦定理计算出建筑物顶部或底部与一个可到达的点之间的距离,然后转化为解直角三角形问题; (2)底部三点不共线:将目标高度转化为地平面内的某个量,将空间问题转化为平面内解三角形问题. 【即学即练】 　(2025·漳州高一检测)威镇阁是漳州市的标志性建筑之一.某同学为测量威镇阁的高度MN,在威镇阁的正北方向找到一座建筑物AB,高约为26 m,在地面上点C处(B,C,N三点共线)测得建筑物顶部A,威镇阁顶部M的仰角分别为30°和45°,在A处测得威镇阁顶部M的仰角为15°,威镇阁的高度约为 (　　) A.65 m　 B.60 m C.52 m　 D.45 m 【解析】选C.由题设及题图知:MC=MN,AC=2AB≈52,∠CAM=45°, 则∠AMC=180°-45°-105°=30°, 在△ACM中,=⇒=⇒MN=52(m). 类型3 测量角度问题(数学建模) 【典例3】如图,A,B是某海域位于南北方向相距30(1+)海里的两个观测点,现位于A点北偏东45°,B点南偏东30°的C处有一艘渔船遇险后抛锚发出求救信号,位于B点正西方向且与B点相距100海里的D处的救援船立即前往营救,其航行速度为80海里/时. (1)求B,C两点间的距离; (2)该救援船前往营救渔船时应该沿南偏东多少度的方向航行?救援船到达C处需要多长时间?(参考数据:cos 21.79°≈0.93,角度精确到0.01) 【解析】(1)依题意得∠BAC=45°,∠ABC=30°,AB=30(1+),所以∠ACB=180°-(∠BAC+∠ABC)=180°-(45°+30°)=105°, 在△ABC中,由正弦定理得=,所以=, sin 105°=sin 75°=sin(45°+30°)=+=, 故BC==60(海里), 所以B,C两点间的距离为60海里. (2)依题意得∠DBC=∠DBA+∠ABC=90°+30°=120°,BD=100, 在△DBC中,由余弦定理得CD2=1002+602-2×100×60×cos 120°=19 600, 所以CD=140(海里), 所以救援船到达C处需要的时间为140÷80=1.75(小时). 在△DBC中,由余弦定理得cos∠BDC===≈0.93, 因为0°<∠BDC<90°,cos 21.79°≈0.93, 所以∠BDC≈21.79°, 90°-21.79°=68.21°, 所以该救援船前往营救渔船时的方向是南偏东68.21°﹒ 【总结升华】 测量角度问题的解题策略 (1)根据题意作出表示实际问题的图形,在图形中标出相关的角和距离; (2)用正弦定理或余弦定理解三角形,求出对应角的正弦或余弦,最后将所得结果转化为实际问题的解. 【即学即练】 　位于灯塔A处正西方向相距4海里的B处有一艘甲船燃油耗尽,需要海上加油.位于灯塔A处北偏东30°方向的C处有一艘乙船,乙船与甲船相距4海里,乙船为了尽快给甲船进行海上加油,则乙船航行的最佳方向是 (　　) A.南偏西75°　 B.南偏西60° C.南偏西45°　 D.南偏西65° 【解析】选A.如图,∠BAC=90°+30°=120°, 在△ABC中,由正弦定理得=,解得sin C=. 因为0<C<90°,所以C=45°,因为45°+30°=75°, 所以乙船航行的最佳方向为南偏西75°. - 7 - 学科网（北京）股份有限公司 $01 02 必备知识•自主导学 关键能力•师生共研 第4课时　余弦定理、正弦定理应用举例 内容概览 【学习目标】 1.理解测量中的基线、视角、方向角和方位角等术语.(数学抽象) 2.能利用正、余弦定理解决与距离、高度与角度等有关的实际问题.(数学建模、数学运算) 返回 01 必备知识•自主导学 返回 测量中的相关名称、术语 1.基线:在测量过程中,根据测量的需要而确定的线段.一般来说,基线越长,测量的精确度越___. 2.视角:指观察物体的两端视线张开的角度.如图所示,视角60°指的是观察该物体上下两端点时,视线的张角. 高 返回 3.方向角:指以观测者为中心,指北或指南的方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角.如图,左图中表示北偏东30°,右图中表示南偏西60°. 返回 4.仰角和俯角 与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角.目标视线在水平视线_____时叫仰角,目标视线在水平视线_____时叫俯角,如图所示. 上方 下方 返回 5.方位角 从指北方向_______转到目标方向线所成的水平角.如点B的方位角为α(如图所示).方位角的取值范围:________. 顺时针 0°~360° 返回 02 关键能力•师生共研 返回 类型1 测量距离问题(数学建模) 【典例1】如图,要测量河对岸C,D两点间的距离,在河边一侧选定观测点A,B,并测得A,B间的距离为20 m,∠DAB=75°,∠CAB=30°,AB⊥BC, ∠ABD=60°,求C,D两点间的距离. 返回 【解析】在Rt△ABC中,BC=ABtan∠CAB=20×tan 30°=20. 在△ABD中,∠ADB=180°-∠DAB-∠ABD=45°, 由正弦定理得=, 所以BD= ==10(3+). 在△BCD中,由余弦定理可得: DC2=202+100(3+)2-2×20×10(3+)×cos 30°=1 000,解得DC=10. 即C,D两点之间的距离为10 m. 返回 【总结升华】 测量距离问题的解题策略 (1)根据题意,作出对应图形,根据已知条件和图形特点寻找可解的三角形; (2)将实际问题中的长度和角度转化为三角形的边与角,结合正、余弦定理求解. 返回 【即学即练】 　(2025·无锡高一检测)某货轮在A处看灯塔B在货轮北偏东75°方向上,距离为12 n mile;在A处看灯塔C在货轮的北偏西30°方向上,距离为8 n mile.货轮由A处向正北航行到D处时,再看灯塔B在南偏东60°方向上,A处与D处之间的距离是　　　　　n mile,灯塔C与D处之间的距离是　　　　　n mile.  【解析】△ABD中,由已知得∠BAD=75°,∠BDA=60°,所以∠B=45°, 由正弦定理得AD=== 24(n mile), 所以A处与D处之间的距离是24 n mile. 返回 △ACD中,∠CAD=30°,由余弦定理,得 CD= = ==8(n mile), 所以灯塔C与D处之间的距离是8 n mile. 答案:24　8 返回 类型2 测量高度问题(数学建模) 【典例2】如图,为了测量某铁塔的高度,测量人员选取了与该塔底B在同一平面内的两个观测点C与D,现测得∠CDB=37°,∠BCD=68°,CD=40米,在点C处测得塔顶A的仰角为64°,则该铁塔的高度约为(　　) (参考数据:≈1.4,≈2.4,tan 64°≈2.1,cos 37°≈0.8) A.40米　 B.42米　 C.53米　 D.60米 √ 返回 【解析】选C.在△CDB中,∠CBD=180°-∠CDB-∠BCD=180°-37°-68°=75°, 则sin∠CBD=sin 75°=sin(45°+30°) =sin 45°cos 30°+cos 45°sin 30°=, sin∠CDB=sin 37°=≈0.6,由正弦定理=, 可得BC=, 在Rt△ABC中,可得AB=BC·tan∠ACB=≈≈53.所以该铁塔的高度约为53米. 返回 【总结升华】 测量高度问题的解题策略 (1)底部三点共线:首先用正弦定理或余弦定理计算出建筑物顶部或底部与一个可到达的点之间的距离,然后转化为解直角三角形问题; (2)底部三点不共线:将目标高度转化为地平面内的某个量,将空间问题转化为平面内解三角形问题. 返回 【即学即练】 　(2025·漳州高一检测)威镇阁是漳州市的标志性建筑之一.某同学为测量威镇阁的高度MN,在威镇阁的正北方向找到一座建筑物AB,高约为26 m,在地面上点C处(B,C,N三点共线)测得建筑物顶部A,威镇阁顶部M的仰角分别为30°和45°,在A处测得威镇阁顶部M的仰角为15°,威镇阁的高度约为(　　) A.65 m　 B.60 m C.52 m　 D.45 m √ 返回 【解析】选C.由题设及题图知:MC=MN,AC=2AB≈52,∠CAM=45°, 则∠AMC=180°-45°-105°=30°, 在△ACM中,=⇒=⇒MN=52(m). 返回 类型3 测量角度问题(数学建模) 【典例3】如图,A,B是某海域位于南北方向相距30(1+)海里的两个观测点,现位于A点北偏东45°,B点南偏东30°的C处有一艘渔船遇险后抛锚发出求救信号,位于B点正西方向且与B点相距100海里的D处的救援船立即前往营救,其航行速度为80海里/时. (1)求B,C两点间的距离; (2)该救援船前往营救渔船时 应该沿南偏东多少度的方向航行?救援船到达C处需要多长时间?(参考数据:cos 21.79°≈0.93,角度精确到0.01) 返回 【解析】(1)依题意得∠BAC=45°,∠ABC=30°,AB=30(1+),所以∠ACB=180°-(∠BAC+∠ABC)=180°-(45°+30°)=105°, 在△ABC中,由正弦定理得=,所以=, sin 105°=sin 75°=sin(45°+30°)=+=, 故BC==60(海里), 所以B,C两点间的距离为60海里. 返回 (2)依题意得∠DBC=∠DBA+∠ABC=90°+30°=120°,BD=100, 在△DBC中,由余弦定理得CD2=1002+602-2×100×60×cos 120°=19 600, 所以CD=140(海里), 所以救援船到达C处需要的时间为140÷80=1.75(小时). 在△DBC中,由余弦定理得cos∠BDC===≈0.93, 因为0°<∠BDC<90°,cos 21.79°≈0.93, 所以∠BDC≈21.79°, 90°-21.79°=68.21°, 所以该救援船前往营救渔船时的方向是南偏东68.21°﹒ 返回 【总结升华】 测量角度问题的解题策略 (1)根据题意作出表示实际问题的图形,在图形中标出相关的角和距离; (2)用正弦定理或余弦定理解三角形,求出对应角的正弦或余弦,最后将所得结果转化为实际问题的解. 返回 【即学即练】 　位于灯塔A处正西方向相距4海里的B处有一艘甲船燃油耗尽,需要海上加油.位于灯塔A处北偏东30°方向的C处有一艘乙船,乙船与甲船相距4海里,乙船为了尽快给甲船进行海上加油,则乙船航行的最佳方向是(　　) A.南偏西75°　 B.南偏西60° C.南偏西45°　 D.南偏西65° √ 返回 【解析】选A.如图,∠BAC=90°+30°=120°, 在△ABC中,由正弦定理得=,解得sin C=. 因为0<C<90°,所以C=45°,因为45°+30°=75°, 所以乙船航行的最佳方向为南偏西75°. 返回 $