2.课时跟踪检测练 12 第6章 十二 余弦定理(Word版+PPT版)-【满分思维】2025-2026学年高中数学必修第二册（人教A版）

十二　余弦定理 (时间:45分钟　分值:100分) 【基础全面练】 1.(5分)(2025·宝鸡高一检测)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c, 若a=2,b=5,C=,则c=(　　) A.6　 B.　 C.　 D. 【解析】选D.因为在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c, a=2,b=5,C=,所以c2=22+52-2×2×5×cos =39,所以c=. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 2.(5分)(2025·通化高一检测)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若 b=c·cos A,则△ABC为 (　　) A.直角三角形　 B.等边三角形 C.等腰三角形　 D.等腰直角三角形 【解析】选A.因为b=c·cos A,所以b=c·,所以2b2=b2+c2-a2,所以 a2+b2=c2,所以△ABC为直角三角形. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 3.(5分)在△ABC中,若ac=8,a+c=7,B=,则b=(　　) A.25　 B.5　 C.4　 D. 【解析】选B.因为在△ABC中,ac=8,a+c=7,B=,所以由余弦定理可得: b2=a2+c2-2accos B =(a+c)2-2ac-2ac×=49-16-8=25,所以b=5. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 4.(5分)(2025·天水高一检测)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c, 且2acos B=c-2a,b=2a,则 (　　) A.2a=3c　 B.3a=2c C.b=2c　 D.2b=c 【解析】选B.由2acos B=c-2a得2a·=c-2a⇒a2-b2=-2ac, 由于b=2a,所以a2-4a2=-2ac,故3a=2c. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 5.(5分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知b2+c2-a2=bc, 则角A为(　　) A. B. C. D. 【解析】选B.因为b2+c2-a2=bc, 所以cos A===, 又A∈(0,π),所以A=. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 6.(5分)(多选)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若(a2+c2-b2)tan B=ac, 则角B的大小为 (　　) A.　 B.　 C.　 D. 【解析】选AC.因为(a2+c2-b2)tan B=ac,所以·=,即sin B=, 因为B∈(0,π),所以B=或. √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 7.(5分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若c2=bccos A+cacos B +abcos C,则△ABC是_________三角形.  【解析】由c2=bccos A+cacos B+abcos C, 得c2=++,化简得c2=a2+b2, 所以C=90°,所以△ABC是直角三角形. 　直角　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 8.(5分)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若cos C=,a=3b, 则cos A=________.  【解析】因为cos C=,a=3b,由余弦定理c2=a2+b2-2abcos C, 所以c2=9b2+b2-2×3b×b×,所以c=b, 所以cos A===-. 　-　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 9.(5分)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若2bcos C=a(2-c),且B=, 则a=______.  【解析】因为2bcos C=a(2-c),两边同时乘a得:2abcos C=a2(2-c), 由余弦定理可得a2+b2-c2=2abcos C,则a2+b2-c2=a2(2-c),所以有a2+c2-b2=a2c, 又a2+c2-b2=2accos B,所以a2c=2accos B,故a=2cos B, 又因为B=,所以a=1. 　1　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 10.(10分)(2025·云南昆明高一期中)在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c, 且(2a-c)cos B-bcos C=0. (1)求角B的大小. 【解析】(1)因为(2a-c)cos B-bcos C=0, 所以(2a-c)·-b·=0, b(2a-c)(a2+c2-b2)-bc(a2+b2-c2)=0, 2ab(a2+c2-b2)-bc(a2+c2-b2)-bc(a2+b2-c2)=0,得a2+c2-b2=ac, 又cos B==,故B=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 (2)若b=2,D为AC中点,且BD=,求△ABC的面积. 【解析】(2)由题知cos∠BDC=①, cos∠BDA=-cos∠BDC=②, 联立①②得a2+c2=20,cos∠ABC==, 故a2+c2-12=ac,所以或, 所以△ABC为直角三角形,S△ABC=×2×2=2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 【综合应用练】 11.(5分)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,满足bc=3a2,且b+c=a, 则sin A=(　　) A.　 B. C.　 D. 【解析】选B.cos A====, 由三角形内角性质,知sin A==. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 12.(5分)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若b2=ac, 且a2+bc=c2+ac,则tan 2A的值为(　　) A.　 B.- C.　 D.- 【解析】选C.因为b2=ac,且a2+bc=c2+ac,所以b2+c2-a2=bc, 则cos A==. 因为A∈(0,π),所以A=,则tan 2A=tan =. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 13.(5分)已知a,b,c分别为△ABC的内角A,B,C的对边,且c(acos B-bsin A)=a2-b2,则角 A=______.  【解析】在△ABC中,由余弦定理得,cos B=,代入c(acos B-bsin A)=a2-b2, 得c(a·-bsin A)=a2-b2,即a2+c2-b2-2bcsin A=2a2-2b2, 即sin A==cos A,因为A∈(0,π),但A=时上式不成立, 所以cos A≠0,所以tan A=1,则A=. 　　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 14.(10分)(2025·昆明高一检测)已知锐角△ABC的内角A,B,C所对的边分别 为a,b,c,满足(a2+b2-c2)sin C=abcos C. (1)求角C; 【解析】(1)因为(a2+b2-c2)sin C=abcos C, 所以由余弦定理可得2abcos Csin C=abcos C. 因为△ABC是锐角三角形,所以cos C>0, 所以2sin C=,即sin C=,所以C=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 15.(10分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,已知b(b-c)=(a-c)(a+c). (1)求角A的大小; 【解析】(1)因为b(b-c)=(a-c)(a+c),所以b2-bc=a2-c2,即b2+c2-a2=bc, 由余弦定理,得cos A===, 因为A为三角形的内角,所以A=60°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 (2)若a=2,求△ABC的周长的最大值. 【解析】(2)由余弦定理,得a2=b2+c2-2bccos A,即12=b2+c2-2bc×, 所以12=b2+c2-bc=(b+c)2-3bc, 因为b>0,c>0,所以(b+c)2=12+3bc≤12+3×()2,当且仅当b=c时等号成立, 解得(b+c)2≤48,即b+c≤4,所以a+b+c≤2+4=6. 所以△ABC的周长的最大值为6. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 【创新拓展练】 16.(5分)(2025·南宁高一检测)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,满 足2b2+c2-a2=0,则sin B的最大值为(　　) A.　 B.　 C.　 D. 【解析】选C.因为2b2+c2-a2=0,则由余弦定理可得: cos B==≥=,当且仅当a=c时取等号. 又sin2B+cos2B=1,B∈(0,π),所以sin B=≤. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 17.(5分)赵爽是我国古代数学家,他在为《周髀算经》作序时,介绍了“勾股 圆方图”,亦称为“赵爽弦图”.可类似地构造如图所示的图形,由三个全等的 三角形与中间的一个小等边三角形拼成一个大的等边三角形,设DF=3FA, 若AB=3,则DF的长为(　　) A.9　 B.2　 C.3　 D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 【解析】选A.由题意知,在△DEF中,∠EDA=,则∠ADB=, 不妨设DF=3k,由DF=3AF知AF=k,则AD=4k, 因为△AFC与△BDA全等,所以DB=AF=k, 由余弦定理可知cos∠ADB===-, 解得AB2=21k2,而AB=3,所以k=3,所以DF=9. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 (2)若·=3,c=,求△ABC的周长. 【解析】(2)因为·=3,所以abcos C=ab=3,所以ab=6. 因为c=,C=,所以c2=a2+b2-2abcos C=a2+b2-ab=7, 所以a2+b2=13,所以(a+b)2=a2+b2+2ab=13+2×6=25, 所以a+b=5,所以△ABC的周长为a+b+c=5+. $ 十二　余弦定理 (时间:45分钟　分值:100分) 【基础全面练】 1.(5分)(2025·宝鸡高一检测)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a=2,b=5,C=,则c= (　　) A.6　 B.　 C.　 D. 【解析】选D.因为在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c, a=2,b=5,C=,所以c2=22+52-2×2×5×cos =39,所以c=. 2.(5分)(2025·通化高一检测)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若b=c·cos A,则△ABC为 (　　) A.直角三角形　 B.等边三角形 C.等腰三角形　 D.等腰直角三角形 【解析】选A.因为b=c·cos A,所以b=c·,所以2b2=b2+c2-a2,所以a2+b2=c2,所以△ABC为直角三角形. 3.(5分)在△ABC中,若ac=8,a+c=7,B=,则b= (　　) A.25　 B.5　 C.4　 D. 【解析】选B.因为在△ABC中,ac=8,a+c=7,B=,所以由余弦定理可得:b2=a2+c2-2accos B =(a+c)2-2ac-2ac×=49-16-8=25,所以b=5. 4.(5分)(2025·天水高一检测)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且2acos B=c-2a,b=2a,则 (　　) A.2a=3c　 B.3a=2c C.b=2c　 D.2b=c 【解析】选B.由2acos B=c-2a得2a·=c-2a⇒a2-b2=-2ac, 由于b=2a,所以a2-4a2=-2ac,故3a=2c. 5.(5分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知b2+c2-a2=bc,则角A为 (　　) A. B. C. D. 【解析】选B.因为b2+c2-a2=bc, 所以cos A===, 又A∈(0,π),所以A=. 6.(5分)(多选)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若(a2+c2-b2)tan B=ac,则角B的大小为 (　　) A.　 B.　 C.　 D. 【解析】选AC.因为(a2+c2-b2)tan B=ac,所以·=,即sin B=, 因为B∈(0,π),所以B=或. 7.(5分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若c2=bccos A+cacos B+abcos C,则△ABC是　直角　三角形.  【解析】由c2=bccos A+cacos B+abcos C, 得c2=++,化简得c2=a2+b2, 所以C=90°,所以△ABC是直角三角形. 8.(5分)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若cos C=,a=3b,则cos A=　-　.  【解析】因为cos C=,a=3b,由余弦定理c2=a2+b2-2abcos C, 所以c2=9b2+b2-2×3b×b×,所以c=b, 所以cos A===-. 9.(5分)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若2bcos C=a(2-c),且B=,则a=　1　.  【解析】因为2bcos C=a(2-c),两边同时乘a得:2abcos C=a2(2-c), 由余弦定理可得a2+b2-c2=2abcos C,则a2+b2-c2=a2(2-c),所以有a2+c2-b2=a2c,又a2+c2-b2=2accos B,所以a2c=2accos B,故a=2cos B, 又因为B=,所以a=1. 10.(10分)(2025·云南昆明高一期中)在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,且(2a-c)cos B-bcos C=0. (1)求角B的大小. 【解析】(1)因为(2a-c)cos B-bcos C=0, 所以(2a-c)·-b·=0, b(2a-c)(a2+c2-b2)-bc(a2+b2-c2)=0, 2ab(a2+c2-b2)-bc(a2+c2-b2)-bc(a2+b2-c2)=0,得a2+c2-b2=ac, 又cos B==,故B=. (2)若b=2,D为AC中点,且BD=,求△ABC的面积. 【解析】(2)由题知cos∠BDC=①, cos∠BDA=-cos∠BDC=②, 联立①②得a2+c2=20, cos∠ABC==, 故a2+c2-12=ac, 所以或, 所以△ABC为直角三角形, S△ABC=×2×2=2. 【综合应用练】 11.(5分)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,满足bc=3a2,且b+c=a,则sin A= (　　) A.　 B. C.　 D. 【解析】选B.cos A====, 由三角形内角性质,知sin A==. 12.(5分)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若b2=ac,且a2+bc=c2+ac,则tan 2A的值为 (　　) A.　 B.- C.　 D.- 【解析】选C.因为b2=ac,且a2+bc=c2+ac,所以b2+c2-a2=bc, 则cos A==. 因为A∈(0,π),所以A=,则tan 2A=tan =. 13.(5分)已知a,b,c分别为△ABC的内角A,B,C的对边,且c(acos B-bsin A)=a2-b2,则角A=　　.  【解析】在△ABC中,由余弦定理得,cos B=,代入c(acos B-bsin A)=a2-b2, 得c(a·-bsin A)=a2-b2,即a2+c2-b2-2bcsin A=2a2-2b2, 即sin A==cos A,因为A∈(0,π),但A=时上式不成立, 所以cos A≠0,所以tan A=1,则A=. 14.(10分)(2025·昆明高一检测)已知锐角△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,满足(a2+b2-c2)sin C=abcos C. (1)求角C; 【解析】(1)因为(a2+b2-c2)sin C=abcos C, 所以由余弦定理可得2abcos Csin C=abcos C. 因为△ABC是锐角三角形,所以cos C>0, 所以2sin C=,即sin C=,所以C=. (2)若·=3,c=,求△ABC的周长. 【解析】(2)因为·=3,所以abcos C=ab=3,所以ab=6. 因为c=,C=,所以c2=a2+b2-2abcos C=a2+b2-ab=7, 所以a2+b2=13,所以(a+b)2=a2+b2+2ab=13+2×6=25, 所以a+b=5,所以△ABC的周长为a+b+c=5+. 15.(10分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,已知b(b-c)=(a-c)(a+c). (1)求角A的大小; 【解析】(1)因为b(b-c)=(a-c)(a+c),所以b2-bc=a2-c2,即b2+c2-a2=bc, 由余弦定理,得cos A===, 因为A为三角形的内角,所以A=60°. (2)若a=2,求△ABC的周长的最大值. 【解析】(2)由余弦定理,得a2=b2+c2-2bccos A,即12=b2+c2-2bc×, 所以12=b2+c2-bc=(b+c)2-3bc, 因为b>0,c>0,所以(b+c)2=12+3bc≤12+3×()2,当且仅当b=c时等号成立, 解得(b+c)2≤48,即b+c≤4,所以a+b+c≤2+4=6. 所以△ABC的周长的最大值为6. 【创新拓展练】 16.(5分)(2025·南宁高一检测)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,满足2b2+c2-a2=0,则sin B的最大值为 (　　) A.　 B.　 C.　 D. 【解析】选C.因为2b2+c2-a2=0,则由余弦定理可得: cos B==≥=,当且仅当a=c时取等号. 又sin2B+cos2B=1,B∈(0,π),所以sin B=≤. 17.(5分)赵爽是我国古代数学家,他在为《周髀算经》作序时,介绍了“勾股圆方图”,亦称为“赵爽弦图”.可类似地构造如图所示的图形,由三个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成一个大的等边三角形,设DF=3FA,若AB=3,则DF的长为 (　　) A.9　 B.2　 C.3　 D. 【解析】选A.由题意知,在△DEF中,∠EDA=,则∠ADB=, 不妨设DF=3k,由DF=3AF知AF=k,则AD=4k, 因为△AFC与△BDA全等,所以DB=AF=k, 由余弦定理可知cos∠ADB===-, 解得AB2=21k2,而AB=3,所以k=3,所以DF=9. - 1 - 学科网（北京）股份有限公司 $