2.课时跟踪检测练 14 第6章 十四 利用正、余弦定理解三角形(Word版+PPT版)-【满分思维】2025-2026学年高中数学必修第二册（人教A版）

十四　利用正、余弦定理解三角形 (时间:45分钟　分值:100分) 【基础全面练】 1.(5分)设△ABC中角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a=4,b=6,cos C=-, 则△ABC的面积为(　　) A.6　 B.6　 C.12　 D.8 【解析】选B.因为0<C<π,所以sin C==, 所以S△ABC=absin C=×4×6×=6. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 2.(5分)已知△ABC中,AB=3,BC=4,AC=,则△ABC的面积等于(　　) A.3　 B.　 C.5　 D.2 【解析】选B.由余弦定理得,cos B===, 因为B为三角形内角,则sin B==,所以S△ABC=AB·BC·sin B =×3×4×=. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 3.(5分)(2025·淮安高一检测)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c, 若A=60°,a=,a2+b2-c2=ab,则c=(　　) A.1　 B.2　 C.4　 D.6 【解析】选B.由题意,得cos C===,又C为△ABC的内角, 即C∈(0,π),且sin2C+cos2C=1,则sin C=, 由正弦定理,得c===2. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 4.(5分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知a=7,b=3,c=5,则△ABC的 外接圆半径为 (　　) A.　 B. C.　 D. 【解析】选A.由余弦定理得,cos A===-, 因为A∈(0,π),所以A=. 由正弦定理得△ABC外接圆半径R=·=·=. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 5.(5分)已知△ABC的面积为,A=,BC=,则AB2+AC2=(　　) A.13　 B.14　 C.17　 D.15 【解析】选C.因为△ABC的面积为,A=,BC=, 所以△ABC的面积S=AC·AB·sin A=,所以AC·AB=4, 由余弦定理得cos A==,所以AB2+AC2=17. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 6.(5分)如图,已知∠CAB=45°,∠ACB=15°,AC=,CD=,则BD=(　　) A.　 B. C.3或1　 D.3 【解析】选D.因为∠CAB=45°,∠ACB=15°,AC=, 所以∠ABC=120°,∠CBD=60°. 所以=,所以BC===2, 所以CD2=BC2+BD2-2BC·BD·cos 60°, 所以7=4+BD2-2BD,解得BD=3或BD=-1(舍去). √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 7.(5分)已知△ABC内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足sin A∶sin B∶sin C =3∶4∶5,b=4,则△ABC的外接圆的面积为________.  【解析】因为sin A∶sin B∶sin C=3∶4∶5, 由正弦定理可知a∶b∶c=3∶4∶5, 且b=4,可知a=3,c=5,则a2+b2=c2,可知C=, 即△ABC为直角三角形,所以△ABC的外接圆的半径为R=c=, 面积为S=π()2=. 　　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 8.(5分)(2025·天津高一检测)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,B=, 且△ABC的面积为2,a+c=6,则b=_________.  【解析】因为B=,且△ABC的面积为2, 则S△ABC=acsin B=ac×=ac=2,可得ac=8, 由余弦定理得b2=a2+c2-2accos B=a2+c2-2ac×=(a+c)2-3ac=36-3×8=12, 因此,b=2. 　2　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 9.(5分)(2025·河南焦作高一月考)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c, 若a=2,c=3,B=,则AC边上的高为_________.  【解析】在△ABC中,a=2,c=3,B=, 由余弦定理得b2=a2+c2-2accos B=4+9-2×2×3×=7,所以b=, 设AC边上的高为h,则S△ABC=acsin B=h·b,即×2×3×sin=h×, 解得h=,即AC边上的高为. 　　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 10.(10分)(2025·淄博高一检测)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c, 且b=2c-2acos B. (1)求A; 【解析】(1)因为△ABC中,b=2c-2acos B, 由正弦定理可得sin B=2sin C-2sin Acos B, 得sin B=2sin(A+B)-2sin Acos B =2sin Acos B+2cos Asin B-2sin Acos B=2cos Asin B, 因为sin B>0,所以cos A=,因为0<A<π,所以A=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 (2)若a=3,c=2b,求△ABC的面积. 【解析】(2)由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A=b2+c2-bc,因为a=3,c=2b, 所以27=b2+4b2-2b2=3b2,所以b=±3, 因为b>0,所以b=3,c=6, 所以△ABC的面积为bcsin A=×3×6×=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 【综合应用练】 11.(5分)(2025·百色高一检测)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c, 已知bsin C+csin B=4asin Bsin C,b2+c2-a2=8,则△ABC的面积为(　　) A.　 B. C.　 D. 【解析】选B.在△ABC中,由bsin C+csin B=4asin Bsin C及正弦定理, 得2sin Bsin C=4sin Asin Bsin C,而sin Bsin C>0,则sin A=, 由b2+c2-a2=8及余弦定理得2bccos A=8,cos A>0, 因此cos A==,bc=,则S△ABC=bcsin A==. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 12.(5分)(2025·菏泽高一检测)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,D是AB上的点,CD平分∠ACB,且CD=1,csin A+acos C=0,则△ABC面积的最小值为(　　) A.1　 B.　 C.2　 D.2 【解析】选B.因为csin A+acos C=0,由正弦定理得sin Csin A+sin Acos C=0, 又sin A≠0,可得sin C+cos C=0,即tan C=-,因为0<C<π,所以C=. 由CD平分∠ACB,且CD=1,得ab×sin 120°=b×1×sin 60°+a×1×sin 60°, 整理得ab=b+a,所以ab≥2,解得≥2, 所以ab≥4,则S△ABC=absin C≥,当且仅当a=b=2时等号成立, 故△ABC面积的最小值为. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 13.(5分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且-csin B=a,则B= _______.  【解析】由-csin B=a, 由余弦定理得bcos C-csin B=a, 由正弦定理得sin Bcos C-sin Csin B=sin A, 因为A=π-(B+C), 即sin Bcos C-sin Csin B=sin (B+C)=sin Bcos C+cos Bsin C, 即-sin Csin B=cos Bsin C,因为sin C≠0,则tan B==-,因为B∈(0,π),故B=. 　　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 14.(10分)(2025·邯郸高一检测)已知锐角△ABC的内角A,B,C的对边分别为 a,b,c,且2asin C=c. (1)求角A的大小; 【解析】(1)由正弦定理可得2sin Asin C=sin C, 由于C∈(0,),所以sin C≠0,故sin A=, 因为A∈(0,),所以A=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 (2)若a=2,D为BC的中点,△ABC的面积为,求AD的长. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 15.(10分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知=. (1)证明:a=c; 【解析】(1)由条件及正弦定理得=, 所以sin Acos C-cos Asin C=0,即sin(A-C)=0, 因为-π<A-C<π,所以A-C=0,即A=C,所以a=c. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 (2)如图,若c=2b,点D在边BC上,且AD=,△ACD的面积为,求△ACD的周长. 【解析】(2)由(1)及条件知a=c=2b,所以cos C===, 从而得sin C==. 设CD=x(x>0),则S△ACD=bx×=,得bx=6.① 由余弦定理得AD2=b2+x2-2bx·=b2+x2-bx=10,所以b2+x2=13,② 由①②,得(b+x)2=25,所以b+x=5, 所以△ACD的周长为b+x+AD=5+. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 【创新拓展练】 16.(5分)已知△ABC的周长为24,三边长分别为a,b,c,且c=6,则当△ABC面积 最大时,AB边上的高为(　　) A.8　 B.6　 C.12　 D.9 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 【解析】选B.由题意得,a+b=18,p==12, 则由海伦公式有: S==6≤6 =6×3=18, 当且仅当12-a=12-b,且a+b=18,即a=b=9时,等号成立,此时△ABC的面积取 得最大值,所以AB边上的高为=6. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 【解析】(2)因为A=,a=2,△ABC的面积为=bcsin A=bc,所以bc=, 由(1)知b2+c2-a2=bc,可得b2+c2=, 因为2=+, 所以4||2=||2+||2+2·=c2+b2+2bccos A=+=7, 解得||2=,所以AD的长为. 17.(5分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,b=2,asin =bsin A,O是△ABC的 外心,·=6,则△ABC的面积为 (　　) A.2　 　B.6 C.2　 D.6 【解析】选D.sin =sin =cos , 由asin =bsin A得acos =bsin A, 由正弦定理得sin Acos =sin Bsin A, 又sin A≠0,故cos =sin B=2sin cos , 因为∈(0,),所以cos ≠0,故sin =,所以B=. 因为·=·(-)=·-·=||2-||2=6, 所以||=4.在△ABC中,由余弦定理得,b2=a2+c2-2accos B⇒28=a2+16-4a, 所以a=6(负值舍去).所以△ABC的面积为S=acsin B=6. $ 十四　利用正、余弦定理解三角形 (时间:45分钟　分值:100分) 【基础全面练】 1.(5分)设△ABC中角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a=4,b=6,cos C=-,则△ABC的面积为 (　　) A.6　 B.6　 C.12　 D.8 【解析】选B.因为0<C<π,所以sin C==, 所以S△ABC=absin C=×4×6×=6. 2.(5分)已知△ABC中,AB=3,BC=4,AC=,则△ABC的面积等于 (　　) A.3　 B.　 C.5　 D.2 【解析】选B.由余弦定理得,cos B===, 因为B为三角形内角,则sin B==,所以S△ABC=AB·BC·sin B=×3×4×=. 3.(5分)(2025·淮安高一检测)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若A=60°,a=,a2+b2-c2=ab,则c= (　　) A.1　 B.2　 C.4　 D.6 【解析】选B.由题意,得cos C===,又C为△ABC的内角,即C∈(0,π),且sin2C+cos2C=1,则sin C=, 由正弦定理,得c===2. 4.(5分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知a=7,b=3,c=5,则△ABC的外接圆半径为 (　　) A.　 B. C.　 D. 【解析】选A.由余弦定理得,cos A===-, 因为A∈(0,π),所以A=. 由正弦定理得△ABC外接圆半径R=·=·=. 5.(5分)已知△ABC的面积为,A=,BC=,则AB2+AC2= (　　) A.13　 B.14　 C.17　 D.15 【解析】选C.因为△ABC的面积为,A=,BC=, 所以△ABC的面积S=AC·AB·sin A=,所以AC·AB=4, 由余弦定理得cos A==,所以AB2+AC2=17. 6.(5分)如图,已知∠CAB=45°,∠ACB=15°,AC=,CD=,则BD= (　　) A.　 B. C.3或1　 D.3 【解析】选D.因为∠CAB=45°,∠ACB=15°,AC=,所以∠ABC=120°,∠CBD=60°. 所以=, 所以BC===2, 所以CD2=BC2+BD2-2BC·BD·cos 60°, 所以7=4+BD2-2BD,解得BD=3或BD=-1(舍去). 7.(5分)已知△ABC内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足sin A∶sin B∶sin C=3∶4∶5,b=4,则△ABC的外接圆的面积为　　.  【解析】因为sin A∶sin B∶sin C=3∶4∶5,由正弦定理可知a∶b∶c=3∶4∶5, 且b=4,可知a=3,c=5, 则a2+b2=c2,可知C=, 即△ABC为直角三角形, 所以△ABC的外接圆的半径为R=c=, 面积为S=π()2=. 8.(5分)(2025·天津高一检测)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,B=,且△ABC的面积为2,a+c=6,则b=　2　.  【解析】因为B=,且△ABC的面积为2, 则S△ABC=acsin B=ac×=ac=2,可得ac=8, 由余弦定理得b2=a2+c2-2accos B=a2+c2-2ac×=(a+c)2-3ac=36-3×8=12, 因此,b=2. 9.(5分)(2025·河南焦作高一月考)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a=2,c=3,B=,则AC边上的高为　　.  【解析】在△ABC中,a=2,c=3,B=, 由余弦定理得b2=a2+c2-2accos B=4+9-2×2×3×=7,所以b=,设AC边上的高为h, 则S△ABC=acsin B=h·b, 即×2×3×sin=h×, 解得h=,即AC边上的高为. 10.(10分)(2025·淄博高一检测)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且b=2c-2acos B. (1)求A; 【解析】(1)因为△ABC中,b=2c-2acos B, 由正弦定理可得sin B=2sin C-2sin Acos B, 得sin B=2sin(A+B)-2sin Acos B =2sin Acos B+2cos Asin B-2sin Acos B =2cos Asin B, 因为sin B>0,所以cos A=,因为0<A<π,所以A=. (2)若a=3,c=2b,求△ABC的面积. 【解析】(2)由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A=b2+c2-bc,因为a=3,c=2b,所以27=b2+4b2-2b2=3b2,所以b=±3, 因为b>0,所以b=3,c=6, 所以△ABC的面积为bcsin A=×3×6×=. 【综合应用练】 11.(5分)(2025·百色高一检测)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知bsin C+csin B=4asin Bsin C,b2+c2-a2=8,则△ABC的面积为 (　　) A.　 B. C.　 D. 【解析】选B.在△ABC中,由bsin C+csin B=4asin Bsin C及正弦定理, 得2sin Bsin C=4sin Asin Bsin C, 而sin Bsin C>0,则sin A=, 由b2+c2-a2=8及余弦定理得2bccos A=8, cos A>0, 因此cos A==,bc=, 则S△ABC=bcsin A==. 12.(5分)(2025·菏泽高一检测)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,D是AB上的点,CD平分∠ACB,且CD=1,csin A+acos C=0,则△ABC面积的最小值为 (　　) A.1　 B.　 C.2　 D.2 【解析】选B.因为csin A+acos C=0,由正弦定理得sin Csin A+sin Acos C=0, 又sin A≠0,可得sin C+cos C=0,即tan C=-,因为0<C<π,所以C=. 由CD平分∠ACB,且CD=1,得ab×sin 120°=b×1×sin 60°+a×1×sin 60°, 整理得ab=b+a,所以ab≥2,解得≥2, 所以ab≥4,则S△ABC=absin C≥,当且仅当a=b=2时等号成立, 故△ABC面积的最小值为. 13.(5分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且-csin B=a,则B=　　.  【解析】由-csin B=a, 由余弦定理得bcos C-csin B=a, 由正弦定理得sin Bcos C-sin Csin B=sin A, 因为A=π-(B+C), 即sin Bcos C-sin Csin B=sin (B+C) =sin Bcos C+cos Bsin C, 即-sin Csin B=cos Bsin C, 因为sin C≠0,则tan B==-, 因为B∈(0,π),故B=. 14.(10分)(2025·邯郸高一检测)已知锐角△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且2asin C=c. (1)求角A的大小; 【解析】(1)由正弦定理可得2sin Asin C=sin C, 由于C∈(0,),所以sin C≠0,故sin A=, 因为A∈(0,),所以A=. (2)若a=2,D为BC的中点,△ABC的面积为,求AD的长. 【解析】(2)因为A=,a=2,△ABC的面积为=bcsin A=bc,所以bc=, 由(1)知b2+c2-a2=bc,可得b2+c2=, 因为2=+, 所以4||2=||2+||2+2·=c2+b2+2bccos A=+=7,解得||2=,所以AD的长为. 15.(10分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知=. (1)证明:a=c; 【解析】(1)由条件及正弦定理得=, 所以sin Acos C-cos Asin C=0,即sin(A-C)=0, 因为-π<A-C<π,所以A-C=0,即A=C,所以a=c. (2)如图,若c=2b,点D在边BC上,且AD=,△ACD的面积为,求△ACD的周长. 【解析】(2)由(1)及条件知a=c=2b,所以cos C===, 从而得sin C==. 设CD=x(x>0),则S△ACD=bx×=,得bx=6.① 由余弦定理得AD2=b2+x2-2bx·=b2+x2-bx=10,所以b2+x2=13,② 由①②,得(b+x)2=25,所以b+x=5, 所以△ACD的周长为b+x+AD=5+. 【创新拓展练】 16.(5分)已知△ABC的周长为24,三边长分别为a,b,c,且c=6,则当△ABC面积最大时,AB边上的高为 (　　) A.8　 B.6　 C.12　 D.9 【解析】选B.由题意得,a+b=18,p==12, 则由海伦公式有: S==6≤6=6×3=18, 当且仅当12-a=12-b,且a+b=18,即a=b=9时,等号成立,此时△ABC的面积取得最大值,所以AB边上的高为=6. 17.(5分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,b=2,asin =bsin A,O是△ABC的外心,·=6,则△ABC的面积为 (　　) A.2　 　B.6 C.2　 D.6 【解析】选D.sin =sin =cos , 由asin =bsin A得acos =bsin A, 由正弦定理得sin Acos =sin Bsin A, 又sin A≠0,故cos =sin B=2sin cos , 因为∈(0,),所以cos ≠0, 故sin =,所以B=. 因为·=·(-)=·-·=||2-||2=6, 所以||=4.在△ABC中,由余弦定理得,b2=a2+c2-2accos B⇒28=a2+16-4a, 所以a=6(负值舍去).所以△ABC的面积为S=acsin B=6. - 1 - 学科网（北京）股份有限公司 $