2.课时跟踪检测练 13 第6章 十三 正弦定理(Word版+PPT版)-【满分思维】2025-2026学年高中数学必修第二册（人教A版）

十三　正弦定理 (时间:45分钟　分值:100分) 【基础全面练】 1.(5分)(2025·六安高一检测)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a=2,A=30°,B=45°,则b= (　　) A.2　 B. C.　 D. 【解析】选A.△ABC中,由正弦定理=,得b===2. 2.(5分)已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且cos C=,c=4,则△ABC外接圆的半径为 (　　) A.5　 B.10　 C.　 D. 【解析】选A.因为cos C=,所以sin C==. 因为c=4,所以==10,故△ABC外接圆的半径为5. 3.(5分)(2025·宣城高一检测)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若sin A=2sin C,2b=3c,则= (　　) A.2　 B.3　 C.　 D. 【解析】选D.因为sin A=2sin C,所以a=2c,所以==. 4.(5分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若B=,b=,a=3,则c= (　　) A.或2　 B.2 C.　 D.3 【解析】选A.由正弦定理=,得=,解得sin A=. 因为a>b,所以A>B,所以A=或A=. 当A=时,C=π-A-B=, 由正弦定理=,得=,解得c=2; 当A=时,C=π-A-B==B,此时△ABC是等腰三角形,c=b=. 5.(5分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若bsin B-csin C=asin A,且b=2c,则角A的大小为 (　　) A.　 B.　 C.　 D. 【解析】选A.由bsin B-csin C=asin A和正弦定理可得,b2-c2=a2, 所以b2=a2+c2,所以△ABC是直角三角形,∠B为直角.则cos A==, 因为A∈(0,π),所以A=. 6.(5分)已知△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,a=,则△ABC的形状是 (　　) A.等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形 【解析】选C.由正弦定理及a=,得sin A=, 所以sin Acos B+sin Acos C=sin(A+C)+sin(A+B)=sin Acos C+cos Asin C+sin Acos B+cos Asin B, 得cos A(sin C+sin B)=0,因为0<B<π,0<C<π,所以sin B>0,sin C>0,所以cos A=0, 因为0<A<π,所以A=,△ABC为直角三角形. 7.(5分)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a=5bsin A,则sin B=　　.  【解析】在△ABC中,由a=5bsin A及正弦定理,得sin A=5sin Bsin A,而sin A>0,所以sin B=. 8.(5分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,asin A+bsin B=csin C-bsin A,则C=　　.  【解析】由题意及正弦定理,可得a2+b2=c2-ab,又cos C==-,C∈(0,π),所以C=. 9.(5分)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若3bcos B=acos C+ccos A,且3b=4c,则C=　　.  【解析】由3bcos B=acos C+ccos A及正弦定理可得,3sin Bcos B=sin Acos C+sin Ccos A, 3sin Bcos B=sin(A+C).又sin(A+C)=sin B≠0, 所以cos B=,所以sin B==. 因为3b=4c,由正弦定理知3sin B=4sin C, 所以sin C=,又B>C,所以C=. 10.(10分)(2025·天津高一检测)已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,a=7,b=8,c=5. (1)求角A的值; 【解析】(1)由a=7,b=8,c=5,得cos A===, 又A∈(0,π),则A=. (2)求sin B的值. 【解析】(2)由(1)知A=,又a=7,b=8,由正弦定理知,=,即sin B===. 【综合应用练】 11.(5分)(2025·福州高一检测)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,A=,b=4,下面使得△ABC有两组解的a的值可以为 (　　) A.3　 B.　 C.2　 D.3 【解析】选B.由正弦定理得=, 所以sin B=, 要使△ABC有两组解,则sin B=<1,且a<b,即bsin A<a<b, 即4sin <a<4,即2<a<4,所以选项所给四个数据中只有符合题意. 12.(5分)(2025·蚌埠高一检测)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知cos B+cos C=2sin Asin B,a=b,则C= (　　) A.　 B.　 C.　 D. 【解析】选D.因为cos B+cos C=cos B-cos(A+B)=cos B-cos Acos B+sin Asin B=2sin Asin B, 所以cos B=cos Acos B+sin Asin B=cos(A-B), 因为0<A<π,0<B<π,所以B=A-B,或B=-A+B(舍去),可得2B=A, 因为a=b,由正弦定理得sin A=sin B,所以sin 2B=sin B=2sin Bcos B, 因为0<B<π,所以=cos B,可得B=,A=2B=,所以C=. 13.(5分)已知在△ABC中,∠B=135°,∠C=15°,AC=,E为线段BA的延长线上一点,∠EAC的平分线所在的直线与直线BC交于点D,则AD=　　.(参考数据:sin 15°=)  【解析】在△ABC中,已知∠ABC=135°,∠C=15°,由题意得点D在线段CB的延长线上, ∠ADC=∠ABC-==60°, 在△ACD中,由正弦定理可得AD=·sin C=×sin 15°=. 14.(10分)已知a,b,c分别为△ABC的角A,B,C所对的边,且满足=,=. (1)求A; 【解析】(1)因为=,所以由正弦定理可得=, 所以b2+c2-a2=bc,所以cos A==. 因为A∈(0,π),所以A=. (2)若△ABC外接圆的半径为2,求c. 【解析】(2)由(1)知A=,cos A=. 因为=,所以cos B=,sin B=, 所以sin C=sin(-B)=-(-)×=. 由正弦定理可知=2×2, 所以c=4sin C=2+2. 15.(10分)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且asin =bsin A. (1)求B; 【解析】(1)由acos =bsin A及正弦定理得 sin Acos =sin Bsin A, 故sin Acos =2sin cos sin A, 在△ABC中,0<A<π,0<B<π,所以sin A≠0,cos ≠0,可得sin =,而0<<, 故=,即B=. (2)若△ABC为锐角三角形,且b=,求△ABC周长的取值范围. 【解析】(2)由正弦定理得====2得a=2sin A,c=2sin C, 因为B=,则A+C=,C=-A, 所以a+c=2sin A+2sin(-A)=3sin A+cos A=2sin(A+). 因为△ABC为锐角三角形,则A∈(,),A+∈(,),sin(A+)∈(,1],故a+c∈(3,2],所以△ABC周长的取值范围为(3+,3]. 【创新拓展练】 16.(5分)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,+=2,c=,C=,则ab的值为 (　　) A.　 B. C.　 D.3 【解析】选C.因为+=2, 所以+====2, 因为====2,所以sin A=,sin B=, 又sin Asin B=,所以=,即ab=. 17.(5分)17世纪德国著名的天文学家、数学家约翰尼斯·开普勒(Johannes Kepler)曾经这样说过:“几何学里有两件宝,一个是勾股定理,另一个是黄金分割.”黄金三角形有两种,其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形,它是一个顶角为36°的等腰三角形(另一种是顶角为108°的等腰三角形).五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成,如图,在其中一个黄金△ABC中,=,根据这些信息,可得sin 954°=　-　.  【解析】在等腰△ABC中,∠BAC=36°,则∠ABC=∠ACB==72°, 由正弦定理得====,故cos 36°==, 所以sin 954°=sin 234°=-sin 54°=-cos 36°=-. - 1 - 学科网（北京）股份有限公司 $十三　正弦定理 (时间:45分钟　分值:100分) 【基础全面练】 1.(5分)(2025·六安高一检测)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c, 若a=2,A=30°,B=45°,则b=(　　) A.2　 B. C.　 D. 【解析】选A.△ABC中,由正弦定理=,得b===2. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 2.(5分)已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且cos C=,c=4, 则△ABC外接圆的半径为(　　) A.5　 B.10　 C.　 D. 【解析】选A.因为cos C=,所以sin C==. 因为c=4,所以==10,故△ABC外接圆的半径为5. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 3.(5分)(2025·宣城高一检测)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c, 若sin A=2sin C,2b=3c,则=(　　) A.2　 B.3　 C.　 D. 【解析】选D.因为sin A=2sin C,所以a=2c,所以==. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 4.(5分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若B=,b=,a=3,则c=(　　) A.或2　 B.2 C.　 D.3 【解析】选A.由正弦定理=,得=,解得sin A=. 因为a>b,所以A>B,所以A=或A=. 当A=时,C=π-A-B=, 由正弦定理=,得=,解得c=2; 当A=时,C=π-A-B==B,此时△ABC是等腰三角形,c=b=. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 5.(5分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若bsin B-csin C=asin A,且b=2c,则角A的大小为 (　　) A.　 B.　 C.　 D. 【解析】选A.由bsin B-csin C=asin A和正弦定理可得,b2-c2=a2, 所以b2=a2+c2,所以△ABC是直角三角形,∠B为直角.则cos A==, 因为A∈(0,π),所以A=. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 6.(5分)已知△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,a=,则△ABC的形状是(　　) A.等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形 【解析】选C.由正弦定理及a=,得sin A=, 所以sin Acos B+sin Acos C=sin(A+C)+sin(A+B)=sin Acos C+cos Asin C+sin Acos B+ cos Asin B, 得cos A(sin C+sin B)=0,因为0<B<π,0<C<π,所以sin B>0,sin C>0,所以cos A=0, 因为0<A<π,所以A=,△ABC为直角三角形. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 7.(5分)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a=5bsin A, 则sin B=_______.  【解析】在△ABC中,由a=5bsin A及正弦定理,得sin A=5sin Bsin A, 而sin A>0,所以sin B=. 　　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 8.(5分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,asin A+bsin B=csin C- bsin A,则C=_______.  【解析】由题意及正弦定理,可得a2+b2=c2-ab,又cos C= =-,C∈(0,π),所以C=. 　　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 9.(5分)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若3bcos B=acos C+ccos A, 且3b=4c,则C=______.  【解析】由3bcos B=acos C+ccos A及正弦定理可得, 3sin Bcos B=sin Acos C+sin Ccos A, 3sin Bcos B=sin(A+C).又sin(A+C)=sin B≠0, 所以cos B=,所以sin B==. 因为3b=4c,由正弦定理知3sin B=4sin C,所以sin C=,又B>C,所以C=. 　　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 10.(10分)(2025·天津高一检测)已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别是 a,b,c,a=7,b=8,c=5. (1)求角A的值; 【解析】(1)由a=7,b=8,c=5,得cos A===, 又A∈(0,π),则A=. (2)求sin B的值. 【解析】(2)由(1)知A=,又a=7,b=8,由正弦定理知,=, 即sin B===. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 【综合应用练】 11.(5分)(2025·福州高一检测)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为 a,b,c,A=,b=4,下面使得△ABC有两组解的a的值可以为(　　) A.3　 B.　 C.2　 D.3 【解析】选B.由正弦定理得=,所以sin B=, 要使△ABC有两组解,则sin B=<1,且a<b,即bsin A<a<b, 即4sin <a<4,即2<a<4,所以选项所给四个数据中只有符合题意. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 12.(5分)(2025·蚌埠高一检测)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c, 已知cos B+cos C=2sin Asin B,a=b,则C=(　　) A.　 B.　 C.　 D. 【解析】选D.因为cos B+cos C=cos B-cos(A+B)=cos B-cos Acos B+sin Asin B=2sin Asin B, 所以cos B=cos Acos B+sin Asin B=cos(A-B), 因为0<A<π,0<B<π,所以B=A-B,或B=-A+B(舍去),可得2B=A, 因为a=b,由正弦定理得sin A=sin B,所以sin 2B=sin B=2sin Bcos B, 因为0<B<π,所以=cos B,可得B=,A=2B=,所以C=. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 13.(5分)已知在△ABC中,∠B=135°,∠C=15°,AC=,E为线段BA的延长线 上一点,∠EAC的平分线所在的直线与直线BC交于点D,则 AD=_________.(参考数据:sin 15°=)  【解析】在△ABC中,已知∠ABC=135°,∠C=15°,由题意得点D在线段CB的 延长线上, ∠ADC=∠ABC-==60°, 在△ACD中,由正弦定理可得AD=·sin C=×sin 15°=. 　　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 14.(10分)已知a,b,c分别为△ABC的角A,B,C所对的边,且满足 =,=. (1)求A; 【解析】(1)因为=,所以由正弦定理可得=, 所以b2+c2-a2=bc,所以cos A==. 因为A∈(0,π),所以A=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 (2)若△ABC外接圆的半径为2,求c. 【解析】(2)由(1)知A=,cos A=. 因为=,所以cos B=,sin B=, 所以sin C=sin(-B)=-(-)×=. 由正弦定理可知=2×2, 所以c=4sin C=2+2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 15.(10分)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且asin =bsin A. (1)求B; 【解析】(1)由acos =bsin A及正弦定理得 sin Acos =sin Bsin A,故sin Acos =2sin cos sin A, 在△ABC中,0<A<π,0<B<π,所以sin A≠0,cos ≠0,可得sin =,而0<<, 故=,即B=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 (2)若△ABC为锐角三角形,且b=,求△ABC周长的取值范围. 【解析】(2)由正弦定理得====2得a=2sin A,c=2sin C, 因为B=,则A+C=,C=-A, 所以a+c=2sin A+2sin(-A)=3sin A+cos A=2sin(A+). 因为△ABC为锐角三角形,则A∈(,),A+∈(,),sin(A+)∈(,1], 故a+c∈(3,2],所以△ABC周长的取值范围为(3+,3]. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 【创新拓展练】 16.(5分)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,+=2,c=,C=,则ab的值为(　　) A.　 B. C.　 D.3 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 【解析】选C.因为+=2, 所以+====2, 因为====2,所以sin A=,sin B=, 又sin Asin B=,所以=,即ab=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 17.(5分)17世纪德国著名的天文学家、数学家约翰尼斯·开普勒(Johannes Kepler)曾经这样说过:“几何学里有两件宝,一个是勾股定理,另一个是黄金 分割.”黄金三角形有两种,其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被 认为是最美的三角形,它是一个顶角为36°的等腰三角形(另一种是顶角为 108°的等腰三角形).五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成,如图, 在其中一个黄金△ABC中,=,根据这些信息, 可得sin 954°=_________.  　-　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 【解析】在等腰△ABC中,∠BAC=36°,则∠ABC=∠ACB==72°, 由正弦定理得====, 故cos 36°==, 所以sin 954°=sin 234°=-sin 54°=-cos 36°=-. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 $