2.课时跟踪检测练 11 第6章 十一 平面几何中的向量方法向量在物理中的应用举例(Word版+PPT版)-【满分思维】2025-2026学年高中数学必修第二册（人教A版）

十一　平面几何中的向量方法 向量在物理中的应用举例 (时间:45分钟　分值:90分) √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 选题清单 2.(5分)冰球运动是一种以冰刀和冰球杆为工具在冰上进行的相互对抗的集体性竞技运动,在冰球运动中,冰球运动员脚穿冰鞋,身着防护装备,以球杆击球,球入对方球门,多者为胜.小赵同学在练习冰球的过程中,以力F=(6,24)作用于冰球,使冰球从点A(-1,-1)移动到点B(1,-1),则F对冰球所做的功为 (　　) A.-18　 B.18　 C.-12　 D.12 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 选题清单 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 选题清单 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 选题清单 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 选题清单 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 选题清单 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 选题清单 7.(5分)一质点在平面上的三个力F1,F2,F3的作用下处于平衡状态,已知 F1,F2成90°角,且F1,F2的大小分别为2 N和4 N,则F3的大小为_________N.  【解析】由题知F1+F2+F3=0,所以F3=-(F1+F2), 而F1⊥F2,|F1|=2,|F2|=4,则F1·F2=0, 所以|F3|=|-(F1+F2)|===2, 所以F3的大小为2 N. 　2　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 选题清单 【解析】因为点P在线段BD上,所以x+y=1,x∈[0,1],y∈[0,1], 则x2+2y2=x2+2(1-x)2=3x2-4x+2=3(x-)2+, 当x=时,取得最小值,最小值为. 　　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 选题清单 　-　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 选题清单 10.(10分)如图,已知M,N是平行四边形ABCD的对角线AC上的两点, 且AM=CN,求证:四边形BMDN是平行四边形. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 选题清单 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 选题清单 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 选题清单 12.(5分)如图,某人用1.5 m长的绳索,施力25 N,把重物沿坡度为30°的斜面向上拖 了6 m,拖拉点距斜面的垂直高度为1.2 m.则此人对物体所做的功为___________J.  【解析】因为绳索长1.5 m,拖拉点距斜面的垂直高度为 1.2 m,斜面坡度为30°, 所以作用力F与斜面之间所成的角度θ满足sin θ==, 所以cos θ===, 已知位移s的大小|s|=6,则W=F·s=25×6×=30 J. 　30　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 选题清单 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 选题清单 (2)求证:AM⊥PN. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 选题清单 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 选题清单 (2)若从岛屿C望岛屿A和岛屿B成60°的视角,AC=20海里,且CD⊥EF,求岛屿A到岛屿B的距离. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 选题清单 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 选题清单 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 选题清单 【基础全面练】 1.(5分)在△ABC中,若·+=0,则△ABC的形状是 (　　) A.锐角三角形　 B.钝角三角形 C.直角三角形　 D.等腰直角三角形 【解析】选C.由题意可知·+=·(+)=·=0, 所以BC⊥BA,即△ABC是直角三角形. 【解析】选D.因为A(-1,-1),B(1,-1),所以=(2,0),又F=(6,24), 故力F对冰球所做的功W=F·=12. 3.(5分)在平行四边形ABCD中,AB=3,BC=2,∠BAD=120°,点E在AB上,且满足AE=2EB, 点F是CD的中点,则·= (　　) A.　 B.　 C.1　 D. 【解析】选C.如图, 设=a,=b,则|a|=2,|b|=3,<a,b>=120°,a·b=2×3×cos 120°=-3. 由题意,==b,=+=a+b,于是·=b·(a+b)=a·b+=-2+3=1. 4.(5分)在Rt△ABC中,∠A=90°,AB=2,AC=3,=2,=,CN与BM交于点P, 则cos ∠BPN的值为 (　　) A. B.- C.- D. 【解析】选D.建立如图所示的平面直角坐标系,则 B(0,2),N(0,1),C(3,0),M(2,0), 得=(-3,1),=(-2,2), 所以cos ∠BPN===. 5.(5分)如图所示,在△ABC中,O为BC的中点,过O点的直线分别交AB,AC于不同的两点E,F, 设=λ,=μ,则λ+μ的值为 (　　) A.　 B.1　 C.2　 D.不确定 【解析】选C.因为在△ABC中,O为BC的中点,=λ,=μ,连接AO(图略), 所以=(+)=+=λ+μ, 设=x,=+=+x=+x(-)=(1-x)+x, 所以,即λ+μ=1,所以λ+μ=2. 6.(5分)在四边形ABCD中,AB∥CD,∠BAD=120°,AB=4,AD=2,CD=3,E,F分别为BC,CD的中 点,则·= (　　) A.-　 B.-3　 C.　 D. 【解析】选D.以A为原点,AB所在直线为x轴,建立如图所示的平面直角坐标系, 设CD与y轴交于点M,因为∠BAD=120°,AB=4,AD=2,CD=3,E,F分别为BC,CD的中点, 可得∠DAM=30°,DM=1,AM=,MC=2, 所以A(0,0),C(2,),B(4,0),D(-1,),E(3,),F(,), 所以=(,-),=(2,),·=×2-=. 8.(5分)边长为4的正方形ABCD,点P在正方形内(含边界),满足=x+y,若点P在线 段BD上,则x2+2y2的最小值为_______.  9.(5分)已知正方形ABCD的边长为1,点P满足=λ(λ>0),则·的最大值为______.  【解析】以A为坐标原点,AB,AD所在直线分别为x,y轴,建立平面直角坐标系, 则A(0,0),B(1,0),C(1,1),D(0,1),P(λ,0), 因为=(1-λ,1),=(λ,-1), 所以·=λ(1-λ)-1=-λ2+λ-1=-(λ-)2-, 所以当λ=时,·取得最大值,最大值为-. 【证明】设=a,=b,则=a+b, 设=λ(0<λ<1), 所以=λa+λb=,所以=+=a+b-(λa+λb)=(1-λ)a+(1-λ)b, =-=(λa+λb)-a=(λ-1)a+λb, =-=b-(1-λ)a-(1-λ)b=(λ-1)a+λb,所以=, 所以四边形BMDN是平行四边形. 【综合应用练】 11.(5分)(2025·东莞高一检测)如图,A,B,C三点在半径为1的圆O上运动,且AC⊥BC,M是 圆O外一点,OM=2,则|++2|的最大值是 (　　) A.5　 B.8　 C.10　 D.12 【解析】选C.连接AB,OC,如图所示: 因为AC⊥BC,则AB为圆O的一条直径,故O为AB的中点, 所以+=2, 所以|++2|=|2+2(+)|=|4+2|≤4||+2||=4×2+2×1=10. 当且仅当M,O,C共线且,同向时,等号成立. 13.(10分)如图,在△ABC中,已知AB=2,AC=4,∠BAC=60°,N,M分别为AC,BC上的点,=, =,AM,BN相交于点P. (1)求||的值; 【解析】(1)因为=,所以=+=+=+(-)=+, 所以||2=(+)2=+}+=×4+×2×4×+×16=, 所以||=. 【解析】(2)因为=, 所以=+=-+, 所以·=(+)·(-+)=-+=-×4+×16=0, 所以⊥,即AM⊥BN,所以AM⊥PN. 14.(10分)如图所示,△ABC的顶点是我国在南海的三个战略岛屿,各岛屿之间建有资源补给站在图中的D,E,F上,岛屿A到补给站D的距离为岛屿A到岛屿B的距离的,岛屿A和岛屿C到补给站E的距离相等,补给站F在BC上靠近岛屿C的三等分点处,设=a,=b. (1)用a,b表示,; 【解析】(1)依题意,得=,点E为AC的中点,=,又=b,=a, 所以=+=-+=b-a, =+=+=+(-)=+=b+a. 【解析】(2)依题意,得CD⊥EF,|a|=||=20(海里), 所以·=(b+a)·(b-a)=0,即b2-a2=0,所以|b|2-×202=0,则|b|=30, 又∠ACB=60°,所以a·b=20×30×=300, 所以=-=b-a, 所以||== ==10(海里). 【创新拓展练】 15.(5分)(多选)(2025·武汉高一检测)如图,正方形ABCD的边长为2,E是BC的中点,点P是以 AB为直径的半圆上任意一点,若=λ+μ,则下列结论正确的有 (　　) A.λ的最大值为1 B.μ的最大值为1 C.·的最大值是2 D.·的最大值是+2 【解析】选ACD.以AB的中点O为原点,建立平面直角坐标系, 则A(-1,0),D(-1,2),E(1,1), 设∠BOP=α,则P(cos α,sin α),α∈[0,π], 所以=(cos α+1,sin α),=(0,2),=(2,1), 由=λ+μ,得2λ=cos α+1,且λ+2μ=sin α,α∈[0,π], 对于A,当α=0时,λmax=1,故A正确; 对于B,μ=(2sin α-cos α-1)=sin(α-θ)-≤,故B错误; 对于C,·=2sin α≤2,故C正确; 对于D,·=sin α+2cos α+2=sin(α+φ)+2≤+2,故D正确. $ 十一　平面几何中的向量方法 向量在物理中的应用举例 (时间:45分钟　分值:90分) 【基础全面练】 1.(5分)在△ABC中,若·+=0,则△ABC的形状是 (　　) A.锐角三角形　 B.钝角三角形 C.直角三角形　 D.等腰直角三角形 【解析】选C.由题意可知·+=·(+)=·=0, 所以BC⊥BA,即△ABC是直角三角形. 2.(5分)冰球运动是一种以冰刀和冰球杆为工具在冰上进行的相互对抗的集体性竞技运动,在冰球运动中,冰球运动员脚穿冰鞋,身着防护装备,以球杆击球,球入对方球门,多者为胜.小赵同学在练习冰球的过程中,以力F=(6,24)作用于冰球,使冰球从点A(-1,-1)移动到点B(1,-1),则F对冰球所做的功为 (　　) A.-18　 B.18　 C.-12　 D.12 【解析】选D.因为A(-1,-1),B(1,-1),所以=(2,0),又F=(6,24), 故力F对冰球所做的功W=F·=12. 3.(5分)在平行四边形ABCD中,AB=3,BC=2,∠BAD=120°,点E在AB上,且满足AE=2EB,点F是CD的中点,则·= (　　) A.　 B.　 C.1　 D. 【解析】选C.如图, 设=a,=b,则|a|=2,|b|=3,<a,b>=120°,a·b=2×3×cos 120°=-3. 由题意,==b,=+=a+b,于是·=b·(a+b)=a·b+=-2+3=1. 4.(5分)在Rt△ABC中,∠A=90°,AB=2,AC=3,=2,=,CN与BM交于点P, 则cos ∠BPN的值为 (　　) A. B.- C.- D. 【解析】选D.建立如图所示的平面直角坐标系,则 B(0,2),N(0,1),C(3,0),M(2,0), 得=(-3,1),=(-2,2), 所以cos ∠BPN===. 5.(5分)如图所示,在△ABC中,O为BC的中点,过O点的直线分别交AB,AC于不同的两点E,F,设=λ,=μ,则λ+μ的值为 (　　) A.　 B.1　 C.2　 D.不确定 【解析】选C.因为在△ABC中,O为BC的中点,=λ,=μ,连接AO(图略), 所以=(+)=+=λ+μ, 设=x,=+=+x=+x(-)=(1-x)+x, 所以,即λ+μ=1,所以λ+μ=2. 6.(5分)在四边形ABCD中,AB∥CD,∠BAD=120°,AB=4,AD=2,CD=3,E,F分别为BC,CD的中点,则·= (　　) A.-　 B.-3　 C.　 D. 【解析】选D.以A为原点,AB所在直线为x轴,建立如图所示的平面直角坐标系, 设CD与y轴交于点M,因为∠BAD=120°,AB=4,AD=2,CD=3,E,F分别为BC,CD的中点, 可得∠DAM=30°,DM=1,AM=,MC=2, 所以A(0,0),C(2,),B(4,0),D(-1,),E(3,),F(,), 所以=(,-),=(2,), ·=×2-=. 7.(5分)一质点在平面上的三个力F1,F2,F3的作用下处于平衡状态,已知F1,F2成90°角,且F1,F2的大小分别为2 N和4 N,则F3的大小为　2　N.  【解析】由题知F1+F2+F3=0,所以F3=-(F1+F2), 而F1⊥F2,|F1|=2,|F2|=4,则F1·F2=0, 所以|F3|=|-(F1+F2)|===2, 所以F3的大小为2 N. 8.(5分)边长为4的正方形ABCD,点P在正方形内(含边界),满足=x+y,若点P在线段BD上,则x2+2y2的最小值为　　.  【解析】因为点P在线段BD上,所以x+y=1,x∈[0,1],y∈[0,1], 则x2+2y2=x2+2(1-x)2=3x2-4x+2=3(x-)2+, 当x=时,取得最小值,最小值为. 9.(5分)已知正方形ABCD的边长为1,点P满足=λ(λ>0),则·的最大值为　-　.  【解析】以A为坐标原点,AB,AD所在直线分别为x,y轴,建立平面直角坐标系, 则A(0,0),B(1,0),C(1,1),D(0,1),P(λ,0), 因为=(1-λ,1),=(λ,-1), 所以·=λ(1-λ)-1=-λ2+λ-1=-(λ-)2-,所以当λ=时,·取得最大值,最大值为-. 10.(10分)如图,已知M,N是平行四边形ABCD的对角线AC上的两点,且AM=CN,求证:四边形BMDN是平行四边形. 【证明】设=a,=b,则=a+b, 设=λ(0<λ<1), 所以=λa+λb=,所以=+=a+b-(λa+λb)=(1-λ)a+(1-λ)b, =-=(λa+λb)-a=(λ-1)a+λb, =-=b-(1-λ)a-(1-λ)b=(λ-1)a+λb,所以=, 所以四边形BMDN是平行四边形. 【综合应用练】 11.(5分)(2025·东莞高一检测)如图,A,B,C三点在半径为1的圆O上运动,且AC⊥BC,M是圆O外一点,OM=2,则|++2|的最大值是 (　　) A.5　 B.8　 C.10　 D.12 【解析】选C.连接AB,OC,如图所示: 因为AC⊥BC,则AB为圆O的一条直径,故O为AB的中点, 所以+=2, 所以|++2|=|2+2(+)|=|4+2|≤4||+2||=4×2+2×1=10. 当且仅当M,O,C共线且,同向时,等号成立. 12.(5分)如图,某人用1.5 m长的绳索,施力25 N,把重物沿坡度为30°的斜面向上拖了6 m,拖拉点距斜面的垂直高度为1.2 m.则此人对物体所做的功为　30　J.  【解析】因为绳索长1.5 m,拖拉点距斜面的垂直高度为1.2 m,斜面坡度为30°, 所以作用力F与斜面之间所成的角度θ满足sin θ==, 所以cos θ===, 已知位移s的大小|s|=6,则W=F·s=25×6×=30 J. 13.(10分)如图,在△ABC中,已知AB=2,AC=4,∠BAC=60°,N,M分别为AC,BC上的点,=,=,AM,BN相交于点P. (1)求||的值; 【解析】(1)因为=,所以=+=+=+(-)=+, 所以||2=(+)2=+}+=×4+×2×4×+×16=, 所以||=. (2)求证:AM⊥PN. 【解析】(2)因为=, 所以=+=-+, 所以·=(+)·(-+)=-+=-×4+×16=0,所以⊥,即AM⊥BN,所以AM⊥PN. 14.(10分)如图所示,△ABC的顶点是我国在南海的三个战略岛屿,各岛屿之间建有资源补给站在图中的D,E,F上,岛屿A到补给站D的距离为岛屿A到岛屿B的距离的,岛屿A和岛屿C到补给站E的距离相等,补给站F在BC上靠近岛屿C的三等分点处,设=a,=b. (1)用a,b表示,; 【解析】(1)依题意,得=,点E为AC的中点,=,又=b,=a,所以=+=-+=b-a, =+=+=+(-)=+=b+a. (2)若从岛屿C望岛屿A和岛屿B成60°的视角,AC=20海里,且CD⊥EF,求岛屿A到岛屿B的距离. 【解析】(2)依题意,得CD⊥EF,|a|=||=20(海里), 所以·=(b+a)·(b-a)=0,即b2-a2=0,所以|b|2-×202=0,则|b|=30, 又∠ACB=60°,所以a·b=20×30×=300, 所以=-=b-a, 所以||== ==10(海里). 【创新拓展练】 15.(5分)(多选)(2025·武汉高一检测)如图,正方形ABCD的边长为2,E是BC的中点,点P是以AB为直径的半圆上任意一点,若=λ+μ,则下列结论正确的有 (　　) A.λ的最大值为1 B.μ的最大值为1 C.·的最大值是2 D.·的最大值是+2 【解析】选ACD.以AB的中点O为原点,建立平面直角坐标系, 则A(-1,0),D(-1,2),E(1,1), 设∠BOP=α,则P(cos α,sin α),α∈[0,π], 所以=(cos α+1,sin α),=(0,2),=(2,1), 由=λ+μ,得2λ=cos α+1,且λ+2μ=sin α,α∈[0,π], 对于A,当α=0时,λmax=1,故A正确; 对于B,μ=(2sin α-cos α-1)=sin(α-θ)-≤,故B错误; 对于C,·=2sin α≤2,故C正确; 对于D,·=sin α+2cos α+2=sin(α+φ)+2≤+2,故D正确. - 1 - 学科网（北京）股份有限公司 $