2.课时跟踪检测练 09 第6章 九 平面向量数乘运算的坐标表示(Word版+PPT版)-【满分思维】2025-2026学年高中数学必修第二册（人教A版）

九　平面向量数乘运算的坐标表示 (时间:45分钟　分值:100分) 【基础全面练】 1.(5分)设A(5,-4),B(3,-6),则线段AB的中点坐标为 (　　) A.(4,-5) B.(4,5) C.(-4,-5) D.(-5,4) 【解析】选A.因为A(5,-4),B(3,-6),所以线段AB的中点坐标为(,)=(4,-5). 2.(5分)已知向量a=(1,2),b=(-1,1),则2a+b的坐标为 (　　) A.(1,5) B.(-1,4) C.(0,3) D.(2,1) 【解析】选A.因为a=(1,2),b=(-1,1),所以2a+b=(2,4)+(-1,1)=(1,5). 3.(5分)(2025·南京高一检测)已知a=(4,2),则与a方向相反的单位向量的坐标为 (　　) A.(2,1)　 B.(-2,-1) C.(,)　 D.(-,-) 【解析】选D.因为a=(4,2),所以与a方向相反的单位向量的坐标为-(4,2)=(-,-). 4.(5分)(2025·茂名高一检测)已知向量a=(1,2),b=(m,-4),且(a+b)∥a,则m的值为 (　　) A.-2　 B.2　　 C.-4　　 D.4 【解析】选A.a+b=(m+1,-2),a=(1,2),因为(a+b)∥a,所以2(m+1)=-2,解得m=-2. 5.(5分)(多选)已知向量a,b是两个非零向量,在下列四个条件中,一定能使a,b共线的是 (　　) A.2a-3b=4e且a+2b=-2e B.存在相异实数λ,μ,使λa-μb=0 C.xa+yb=0(其中实数x,y满足x+y=0) D.a=(1,-2),b=(-1,2) 【解析】选ABD.对于A,因为2a-3b=4e且a+2b=-2e,解得a=e,b=-e,此时一定能使a,b共线,则A选项正确; 对于B,存在相异实数λ,μ,使λa=μb,由向量共线定理即可判定a,b共线,故B选项正确; 对于C,当x=y=0时,a,b不一定共线,则C选项错误; 对于D,a=-b,由向量共线定理即可判定a,b共线,故D选项正确. 6.(5分)(2025·景德镇高一检测)已知向量a,b不共线,c=xa+b,d=a+(2x-1)b,且c与d方向相反,则实数x的值是 (　　) A.- B.1 C.-1或- D.1或- 【解析】选A.因为c与d方向相反,则存在k<0,使得d=kc,a+(2x-1)b=kxa+kb,且向量a,b不共线,则, 整理可得x(2x-1)=1,解得x=1或x=-, 所以或,又k<0, 所以x=-. 7.(5分)已知向量a=(3,1),b=(-1,3),若c满足a-2b+c=0,则c=　(-5,5)　.  【解析】因为a=(3,1),b=(-1,3)且a-2b+c=0,所以c=2b-a=2(-1,3)-(3,1)=(-5,5). 8.(5分)(2025·广州高一检测)已知向量=(3,1),=(2,3),=(m,-3),若B,C,D三点共线,则m=　-16　.  【解析】依题意,=-=(m-2,-6),由B,C,D三点共线,得∥, 则m-2=-18,所以m=-16. 9.(5分)已知向量a=(3,-2),b=(-2,1),c=(7,-4),若c=λa+μb,则λ=　1　,μ=　-2　.  【解析】若c=λa+μb,则(7,-4)=λ(3,-2)+μ(-2,1)=(3λ-2μ,-2λ+μ), 所以,解得. 10.(10分)如图所示,已知平行四边形ABCD的顶点A(-1,-2),B(3,-1),C(5,6). (1)求顶点D的坐标; 【解析】(1)方法一:由平行四边形的性质可得:=,又A(-1,-2),B(3,-1),C(5,6),=(4,1), 所以=-=(5,6)-(4,1)=(1,5),所以D的坐标为(1,5); 方法二:设D(x,y),则=(x+1,y+2),=(x-5,y-6), 因为A(-1,-2),B(3,-1),C(5,6),所以=(2,7),=(4,1), 因为∥,∥, 所以,解得, 故D的坐标为(1,5). (2)已知点M(8,10),判断A,M,C三点的位置关系并证明. 【解析】(2)A,M,C三点共线; 因为A(-1,-2),C(5,6),M(8,10),所以=(6,8),=(9,12)=,又,有公共点A,所以A,M,C三点共线. 【综合应用练】 11.(5分)设点A(2,0),B(4,2),若点P在直线AB上,且||=2||,则点P的坐标为 (　　) A.(3,1) B.(1,-1) C.(3,-1)或(-1,1) D.(3,1)或(1,-1) 【解析】选D.因为A(2,0),B(4,2),所以=(2,2), 因为点P在直线AB上,且||=2||,所以=2,或=-2, 故=(1,1),或=(-1,-1),故P点坐标为(3,1)或(1,-1). 12.(5分)已知OB是平行四边形OABC的一条对角线,O为坐标原点,=(2,4),=(1,3),若点E满足=3,则点E的坐标为 (　　) A.(-,-) B.(-,-) C.(,) D.(,) 【解析】选A.由向量的减法得:=-=(-1,-1),则C(-1,-1), 设E(x,y),则3=3(-1-x,-1-y)=(-3-3x,-3-3y), 由=3,得,解得,所以E(-,-). 13.(5分)已知点A(4,0),B(4,4),C(2,6),O为坐标原点,则AC与OB的交点P的坐标为　(3,3)　.  【分析】方法一:利用向量的共线可设=λ=(4λ,4λ),表示出,的坐标,根据向量共线列出方程,即可求得答案; 方法二:设点P(x,y),进而表示出相关向量的坐标,根据向量共线,列出方程,求得答案. 【解析】方法一:由O,P,B三点共线,可设=λ=(4λ,4λ), 则=-=(4λ-4,4λ),又=-=(-2,6), 由,共线,得(4λ-4)×6-4λ×(-2)=0, 解得λ=,所以==(3,3),所以点P的坐标为(3,3); 方法二:设点P(x,y),则=(x,y), 因为=(4,4),且与共线,所以4x-4y=0,即x=y. 又=(x-4,y),=(-2,6),且,共线, 所以(x-4)×6-y×(-2)=0,解得x=y=3,所以点P的坐标为(3,3). 14.(10分)(2025·永州高一检测)已知A,B,C三点的坐标分别为(-1,0),(3,-1),(1,2),且=,=. (1)求点E,F的坐标; 【解析】(1)依题意得=(2,2),=(-2,3).设E(x1,y1),F(x2,y2). 由=,可知(x1+1,y1)=(2,2), 即解得所以点E的坐标为(-,). 由=,可知(x2-3,y2+1)=(-2,3), 即解得所以点F的坐标为(,0). (2)判断与是否共线. 【解析】(2)由(1)可知=(,0)-(-,)=(,-),又=(4,-1), 所以=(4,-1)=,故与共线. 15.(10分)(2025·惠州高一检测)已知e1,e2是平面内两个不共线的非零向量,=2e1+e2,=-e1+λe2,=-2e1+e2,且A,E,C三点共线. (1)求实数λ的值; 【解析】(1)=+=(2e1+e2)+(-e1+λe2)=e1+(1+λ)e2. 因为A,E,C三点共线,所以存在实数k,使得=k, 即e1+(1+λ)e2=k(-2e1+e2),得(1+2k)e1=(k-1-λ)e2. 因为e1,e2是平面内两个不共线的非零向量,所以,解得 (2)若e1=(2,1),e2=(2,-2),求的坐标; 【解析】(2)=+=-3e1-e2=(-6,-3)+(-1,1)=(-7,-2). (3)已知D(3,5),在(2)的条件下,若A,B,C,D四点按顺时针顺序构成平行四边形,求点A的坐标. 【解析】(3)因为A,B,C,D四点按顺时针顺序构成平行四边形,所以=. 设A(x,y),则=(3-x,5-y), 因为=(-7,-2),所以, 解得,即点A的坐标为(10,7). 【创新拓展练】 16.(5分)设向量a=(1,cos θ),b=(sin 2θ,-cos θ),则“a∥b”是“sin 2θ=-1”的 (　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【解析】选B.由a∥b,则1×(-cos θ)-cos θsin 2θ=0,解得cos θ=0或sin 2θ=-1. 所以a∥b是sin 2θ=-1的必要不充分条件. 17.(5分)如图,半径为1的扇形AOB的圆心角为120°,点C在上,且∠COB=30°,若=λ+μ,则λ+μ= (　　) A.　 B.　 C.　 D.2 【解析】选B.如图所示,以O为原点,OB为x轴,建立平面直角坐标系,则B(1,0), 因为∠BOC=30°,OC=1,所以C(cos 30°,sin 30°),即C(,), 因为∠BOA=120°,OA=1,所以A(cos 120°,sin 120°),即A(-,), 又=λ+μ,所以(,)=λ(-,)+μ(1,0), 所以,解得, 所以λ+μ=. - 1 - 学科网（北京）股份有限公司 $九　平面向量数乘运算的坐标表示 (时间:45分钟　分值:100分) 【基础全面练】 1.(5分)设A(5,-4),B(3,-6),则线段AB的中点坐标为(　　) A.(4,-5) B.(4,5) C.(-4,-5) D.(-5,4) 【解析】选A.因为A(5,-4),B(3,-6),所以线段AB的中点坐标为 (,)=(4,-5). √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 2.(5分)已知向量a=(1,2),b=(-1,1),则2a+b的坐标为 (　　) A.(1,5) B.(-1,4) C.(0,3) D.(2,1) 【解析】选A.因为a=(1,2),b=(-1,1),所以2a+b=(2,4)+(-1,1)=(1,5). √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 3.(5分)(2025·南京高一检测)已知a=(4,2),则与a方向相反的单位向量的坐 标为 (　　) A.(2,1)　 B.(-2,-1) C.(,)　 D.(-,-) 【解析】选D.因为a=(4,2),所以与a方向相反的单位向量的坐标为 -(4,2)=(-,-). √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 4.(5分)(2025·茂名高一检测)已知向量a=(1,2),b=(m,-4),且(a+b)∥a,则m的 值为 (　　) A.-2　 B.2　　 C.-4　　 D.4 【解析】选A.a+b=(m+1,-2),a=(1,2),因为(a+b)∥a,所以2(m+1)=-2,解得 m=-2. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 5.(5分)(多选)已知向量a,b是两个非零向量,在下列四个条件中,一定能使a,b共线的是 (　　) A.2a-3b=4e且a+2b=-2e B.存在相异实数λ,μ,使λa-μb=0 C.xa+yb=0(其中实数x,y满足x+y=0) D.a=(1,-2),b=(-1,2) √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 【解析】选ABD.对于A,因为2a-3b=4e且a+2b=-2e,解得a=e,b=-e,此时一定能使a,b共线,则A选项正确; 对于B,存在相异实数λ,μ,使λa=μb,由向量共线定理即可判定a,b共线,故B选项正确; 对于C,当x=y=0时,a,b不一定共线,则C选项错误; 对于D,a=-b,由向量共线定理即可判定a,b共线,故D选项正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 6.(5分)(2025·景德镇高一检测)已知向量a,b不共线,c=xa+b,d=a+(2x-1)b,且c与d 方向相反,则实数x的值是 (　　) A.- B.1 C.-1或- D.1或- 【解析】选A.因为c与d方向相反,则存在k<0,使得d=kc,a+(2x-1)b=kxa+kb, 且向量a,b不共线,则, 整理可得x(2x-1)=1,解得x=1或x=-, 所以或,又k<0,所以x=-. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 7.(5分)已知向量a=(3,1),b=(-1,3),若c满足a-2b+c=0,则c=__________.  【解析】因为a=(3,1),b=(-1,3)且a-2b+c=0, 所以c=2b-a=2(-1,3)-(3,1)=(-5,5). 　(-5,5)　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 　-16　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 9.(5分)已知向量a=(3,-2),b=(-2,1),c=(7,-4),若c=λa+μb,则λ=______, μ=_______.  【解析】若c=λa+μb,则(7,-4)=λ(3,-2)+μ(-2,1)=(3λ-2μ,-2λ+μ), 所以,解得. 　1　 　-2　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 10.(10分)如图所示,已知平行四边形ABCD的顶点A(-1,-2),B(3,-1),C(5,6). (1)求顶点D的坐标; 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 (2)已知点M(8,10),判断A,M,C三点的位置关系并证明. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 13.(5分)已知点A(4,0),B(4,4),C(2,6),O为坐标原点,则AC与OB的交点P的坐标为_________.  　(3,3)　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 (3)已知D(3,5),在(2)的条件下,若A,B,C,D四点按顺时针顺序构成平行四边形,求点A的坐标. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 【创新拓展练】 16.(5分)设向量a=(1,cos θ),b=(sin 2θ,-cos θ),则“a∥b”是“sin 2θ=-1”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【解析】选B.由a∥b,则1×(-cos θ)-cos θsin 2θ=0,解得cos θ=0或sin 2θ=-1. 所以a∥b是sin 2θ=-1的必要不充分条件. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 8.(5分)(2025·广州高一检测)已知向量=(3,1),=(2,3),=(m,-3),若B,C,D三点共线, 则m=__________.  【解析】依题意,=-=(m-2,-6),由B,C,D三点共线,得∥, 则m-2=-18,所以m=-16. 【解析】(1)方法一:由平行四边形的性质可得:=,又A(-1,-2),B(3,-1),C(5,6), =(4,1),所以=-=(5,6)-(4,1)=(1,5),所以D的坐标为(1,5); 方法二:设D(x,y),则=(x+1,y+2),=(x-5,y-6), 因为A(-1,-2),B(3,-1),C(5,6),所以=(2,7),=(4,1), 因为∥,∥,所以,解得, 故D的坐标为(1,5). 【解析】(2)A,M,C三点共线; 因为A(-1,-2),C(5,6),M(8,10),所以=(6,8),=(9,12)=,又,有公共点A, 所以A,M,C三点共线. 【综合应用练】 11.(5分)设点A(2,0),B(4,2),若点P在直线AB上,且||=2||,则点P的坐标为 (　　) A.(3,1) B.(1,-1) C.(3,-1)或(-1,1) D.(3,1)或(1,-1) 【解析】选D.因为A(2,0),B(4,2),所以=(2,2), 因为点P在直线AB上,且||=2||,所以=2,或=-2, 故=(1,1),或=(-1,-1),故P点坐标为(3,1)或(1,-1). 12.(5分)已知OB是平行四边形OABC的一条对角线,O为坐标原点,=(2,4),=(1,3), 若点E满足=3,则点E的坐标为 (　　) A.(-,-) B.(-,-) C.(,) D.(,) 【解析】选A.由向量的减法得:=-=(-1,-1),则C(-1,-1), 设E(x,y),则3=3(-1-x,-1-y)=(-3-3x,-3-3y), 由=3,得,解得,所以E(-,-). 【分析】方法一:利用向量的共线可设=λ=(4λ,4λ),表示出,的坐标,根据向量共线 列出方程,即可求得答案; 方法二:设点P(x,y),进而表示出相关向量的坐标,根据向量共线,列出方程,求得答案. 【解析】方法一:由O,P,B三点共线,可设=λ=(4λ,4λ), 则=-=(4λ-4,4λ),又=-=(-2,6), 由,共线,得(4λ-4)×6-4λ×(-2)=0, 解得λ=,所以==(3,3),所以点P的坐标为(3,3); 方法二:设点P(x,y),则=(x,y), 因为=(4,4),且与共线,所以4x-4y=0,即x=y. 又=(x-4,y),=(-2,6),且,共线, 所以(x-4)×6-y×(-2)=0,解得x=y=3,所以点P的坐标为(3,3). 14.(10分)(2025·永州高一检测)已知A,B,C三点的坐标分别为(-1,0),(3,-1),(1,2),且=, =. (1)求点E,F的坐标; 【解析】(1)依题意得=(2,2),=(-2,3).设E(x1,y1),F(x2,y2). 由=,可知(x1+1,y1)=(2,2), 即解得所以点E的坐标为(-,). 由=,可知(x2-3,y2+1)=(-2,3), 即解得所以点F的坐标为(,0). (2)判断与是否共线. 【解析】(2)由(1)可知=(,0)-(-,)=(,-),又=(4,-1), 所以=(4,-1)=,故与共线. 15.(10分)(2025·惠州高一检测)已知e1,e2是平面内两个不共线的非零向量,=2e1+e2, =-e1+λe2,=-2e1+e2,且A,E,C三点共线. (1)求实数λ的值; 【解析】(1)=+=(2e1+e2)+(-e1+λe2)=e1+(1+λ)e2. 因为A,E,C三点共线,所以存在实数k,使得=k, 即e1+(1+λ)e2=k(-2e1+e2),得(1+2k)e1=(k-1-λ)e2. 因为e1,e2是平面内两个不共线的非零向量,所以,解得 (2)若e1=(2,1),e2=(2,-2),求的坐标; 【解析】(2)=+=-3e1-e2=(-6,-3)+(-1,1)=(-7,-2). 【解析】(3)因为A,B,C,D四点按顺时针顺序构成平行四边形,所以=. 设A(x,y),则=(3-x,5-y),因为=(-7,-2),所以, 解得,即点A的坐标为(10,7). 17.(5分)如图,半径为1的扇形AOB的圆心角为120°,点C在上,且∠COB=30°, 若=λ+μ,则λ+μ= (　　) A.　 B.　 C.　 D.2 【解析】选B.如图所示,以O为原点,OB为x轴,建立平面直角坐标系,则B(1,0), 因为∠BOC=30°,OC=1,所以C(cos 30°,sin 30°),即C(,), 因为∠BOA=120°,OA=1,所以A(cos 120°,sin 120°),即A(-,), 又=λ+μ,所以(,)=λ(-,)+μ(1,0), 所以,解得, 所以λ+μ=. $