2.课时跟踪检测练 10 第6章 十 平面向量数量积的坐标表示(Word版+PPT版)-【满分思维】2025-2026学年高中数学必修第二册（人教A版）

十　平面向量数量积的坐标表示 (时间:45分钟　分值:100分) 【基础全面练】 1.(5分)向量a=(1,-1),b=(-1,2),则(2a+b)·a=(　　) A.-1　 B.0　 C.-2　 D.1 【解析】选D.由题意知2a+b=(1,0), 所以(2a+b)·a=1+0=1. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 2.(5分)已知向量a=(λ,2),b=(3,1),若a与b的夹角的余弦值为,则实数λ的值为(　　) A.　 B.　 C.3　 D. 【解析】选A.依题意,cos<a,b>===,解得λ=. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 3.(5分)(2025·漳州高一检测)设x∈R,向量a=(x,1),b=(2,-4),且a⊥b,则|a+b|= (　　) A.3　 B.5　 C.9　 D.25 【解析】选B.由题意得a·b=(x,1)·(2,-4)=2x-4=0,解得x=2, 故a+b=(2,1)+(2,-4)=(4,-3),所以|a+b|==5. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 4.(5分)(2025·汕头高一检测)已知向量a=(-1,1),b=(-3,4), 则cos<a,a-b>= (　　) A. B.- C. D.- 【解析】选B.因为a=(-1,1),b=(-3,4), 所以a-b=(2,-3),|a|=,|a-b|=, 所以cos<a,a-b>===-. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 5.(5分)(2025·合肥高一检测)若向量a=(2,3),b=(-1,1),则b在a上的投影向量的坐标是 (　　) A.(,-)　 B.(,) C.(-,)　 D.(-,-) 【解析】选B.因为a=(2,3),b=(-1,1), 则|a|==,a·b=-2+3=1, 所以b在a上的投影向量为()a=a=(,). √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 6.(5分)(多选)已知向量a+b=(2,2),a-b=(-6,2),c=(1,1),则 (　　) A.a+b与c共线　 B.a⊥c C.|a|=|b|　 D.<a,b>=135° 【解析】选ABD.对于A,a+b=(2,2),c=(1,1),则a+b=2c,故A正确; 对于B,a+b=(2,2),a-b=(-6,2),则a=(-2,2),b=(4,0),c=(1,1), 可得a·c=(-2)×1+2×1=0,故B正确; 对于C,|a|==2,|b|=4,故|a|≠|b|,故C错误; 对于D,a·b=(-2)×4+2×0=-8,|a|=2,|b|=4, 故cos<a,b>===-,即<a,b>=135°,故D正确. √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 7.(5分)向量a=(x,1),b=(2,y),c=(-2,2),且a⊥c,b∥c,则|a+b|=_________.  【解析】因为a=(x,1),b=(2,y),c=(-2,2),且a⊥c,b∥c,所以-2x+2=0,-2y=4, 解得x=1,y=-2,所以a=(1,1),b=(2,-2), 所以a+b=(3,-1),|a+b|==. 　　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 8.(5分)若向量a=(-2,2)与b=(1,k)的夹角为钝角,则k的取值范围为 _________________.  【解析】向量a=(-2,2)与b=(1,k)的夹角为钝角, 所以cos θ==<0,且cos θ≠-1(-2k≠2),解得k<1且k≠-1. 【易错提醒】a·b<0是<a,b>为钝角的必要不充分条件,还需去掉a,b反向的 情况. 　(-∞,-1)∪(-1,1)　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 9.(5分)已知向量a=(2,-1),a·b=5,|a+b|=8,则|b|=______.  【解析】已知向量a=(2,-1),则|a|==, 又|a+b|=8,即|a|2+2a·b+|b|2=64, 又a·b=5,则|b|2=49,即|b|=7. 　7　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 10.(10分)(2025·芜湖高一检测)已知向量a=3e1-2e2,b=4e1+e2,其中e1=(1,0), e2=(0,1). (1)求a·b; 【解析】(1)e1=(1,0),e2=(0,1),由于a=3e1-2e2=3(1,0)-2(0,1)=(3,-2), b=4e1+e2=4(1,0)+(0,1)=(4,1),因此a·b=3×4+(-2)×1=10. (2)求|a+b|. 【解析】(2)由(1)可得a+b=(3,-2)+(4,1)=(7,-1), 所以|a+b|==5. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 【综合应用练】 11.(5分)(2025·玉林高一检测)已知向量a=(1,2),b=(m,3),若a⊥(2a-b),则a与b夹角的 余弦值为(　　) A.　 B.　 C.　 D. 【解析】选A.因为a=(1,2),b=(m,3), 所以2a-b=(2-m,1), 因为a⊥(2a-b),所以a·(2a-b)=1×(2-m)+2×1=0,解得m=4,所以b=(4,3), 设a与b的夹角为θ,则cos θ===,即a与b夹角的余弦值为. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 　2　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 (3)求△ABC的面积. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 15.(10分)(2025·三明高一检测)已知向量a,b. (1)若a=(1,1),b=(1,2),求(a-2b)·(a+b); 【解析】(1)因为a=(1,1),b=(1,2), 所以a-2b=(-1,-3),a+b=(2,3), (a-2b)·(a+b)=-11. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 (2)若a,b为单位向量,对任意实数x,|a+xb|≥恒成立,求向量a,b的夹角的取值范围. 【解析】(2)a,b是单位向量,设a,b的夹角为θ, 由|a+xb|≥得:(a+xb)2≥,所以a2+2xa·b+x2b2≥, 即1+2xcos θ+x2≥,即x2+2xcos θ+≥0对任意的实数x恒成立, 则Δ=(2cos θ)2-1≤0,解得:-≤cos θ≤, 又因为0≤θ≤π,函数y=cos θ在[0,π]上单调递减,因此≤θ≤. 所以向量a,b的夹角的取值范围是[,]. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 【创新拓展练】 16.(5分)设非零向量a和b的夹角为θ,定义运算:|a×b|=|a||b|sin θ.已知a=(1,1),b=(-1,2), 则|a×b|=(　　) A.2　 B.　 C.3　 D. 【解析】选C.由a=(1,1),b=(-1,2)得: |a|==,|b|==,a·b=1×(-1)+1×2=1, 故cos<a,b>===, 因为<a,b>∈[0,π],故sin<a,b>===, 由题意|a×b|=|a||b|sin θ==3. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 【解析】选C.由题可得|i|=|j|=1, 且i·j=|i|·|j|cos 60°=,a=i+2j,b=xi-j, 所以2a-b=(2-x)i+5j,a+2b=(1+2x)i, 由于(2a-b)⊥(a+2b), 则(2a-b)·(a+2b)=0, 即[(2-x)i+5j]·[(1+2x)i] =(2-x)(1+2x)i2+5(1+2x)i·j=0, 即-2x2+8x+=0,解得x1=-或x2=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 选题清单 12.(5分)在梯形ABCD中,AB∥DC,AD⊥DC,AD=AB=2DC=2,E为BC的中点,F为DC上的 动点(含端点),则·的取值范围是 (　　) A.[,] B.(2,) C.[,3] D.[2,] 【解析】选D.以A为坐标原点,建立如图所示的平面直角坐标系, 则A(0,0),B(2,0),C(1,2),D(0,2),E(,1),F(x,2)(0≤x≤1), 所以=(,1),=(x,2),·=x+2, 因为x的取值范围是[0,1],所以·的取值范围是[2,]. 13.(5分)若向量=(2,1)在向量=(0,)上的投影向量为λ,则|+λ|=________.  【解析】因为·=,||=, 所以向量在向量上的投影向量为 ·==2,所以λ=2, 所以+λ=(2,1)+2(0,)=(2,2), 所以|+λ|==2. 14.(10分)如图,已知A(1,1),B(5,4),C(2,5),设向量a是与向量垂直的单位向量. (1)求单位向量a的坐标; 【解析】(1)设a=(x,y),依题意有=(4,3),||=5,|a|=1,且a⊥,即a·=0, 所以解得或所以a=(-,)或a=(,-). (2)求向量在向量a上的投影向量的模; 【解析】(2)设向量与向量a的夹角为θ,在a上的投影向量的模为h, 则h=|||cos θ|=||=|·a|. 又因为=(1,4),所以当a=(-,)时,h=|1×(-)+4×|=; 当a=(,-)时,h=|1×+4×(-)|=. 【解析】(3)S△ABC=|||h|=×5×=. 17.(5分)(2025·滁州高一检测)设Ox,Oy是平面内相交成60°角的两条数轴,i,j分别是与x轴、 y轴正方向同向的单位向量.若向量=xi+yj,则把有序数对(x,y)叫做向量在坐标系xOy 中的坐标.在该坐标系下向量a=(1,2),b=(x,-1),若有(2a-b)⊥(a+2b),则x的值是 (　　) A.或-　 B.-或2　 C.或-　 D.-或2 $ 十　平面向量数量积的坐标表示 (时间:45分钟　分值:100分) 【基础全面练】 1.(5分)向量a=(1,-1),b=(-1,2),则(2a+b)·a= (　　) A.-1　 B.0　 C.-2　 D.1 【解析】选D.由题意知2a+b=(1,0), 所以(2a+b)·a=1+0=1. 2.(5分)已知向量a=(λ,2),b=(3,1),若a与b的夹角的余弦值为,则实数λ的值为 (　　) A.　 B.　 C.3　 D. 【解析】选A.依题意,cos<a,b>===,解得λ=. 3.(5分)(2025·漳州高一检测)设x∈R,向量a=(x,1),b=(2,-4),且a⊥b,则|a+b|= (　　) A.3　 B.5　 C.9　 D.25 【解析】选B.由题意得a·b=(x,1)·(2,-4)=2x-4=0,解得x=2,故a+b=(2,1)+(2,-4)=(4,-3),所以|a+b|==5. 4.(5分)(2025·汕头高一检测)已知向量a=(-1,1),b=(-3,4),则cos<a,a-b>= (　　) A. B.- C. D.- 【解析】选B.因为a=(-1,1),b=(-3,4), 所以a-b=(2,-3),|a|=,|a-b|=, 所以cos<a,a-b>===-. 5.(5分)(2025·合肥高一检测)若向量a=(2,3),b=(-1,1),则b在a上的投影向量的坐标是 (　　) A.(,-)　 B.(,) C.(-,)　 D.(-,-) 【解析】选B.因为a=(2,3),b=(-1,1), 则|a|==,a·b=-2+3=1, 所以b在a上的投影向量为()a=a=(,). 6.(5分)(多选)已知向量a+b=(2,2),a-b=(-6,2),c=(1,1),则 (　　) A.a+b与c共线　 B.a⊥c C.|a|=|b|　 D.<a,b>=135° 【解析】选ABD.对于A,a+b=(2,2),c=(1,1),则a+b=2c,故A正确; 对于B,a+b=(2,2),a-b=(-6,2),则a=(-2,2),b=(4,0),c=(1,1), 可得a·c=(-2)×1+2×1=0,故B正确; 对于C,|a|==2,|b|=4,故|a|≠|b|,故C错误; 对于D,a·b=(-2)×4+2×0=-8,|a|=2,|b|=4, 故cos<a,b>===-,即<a,b>=135°,故D正确. 7.(5分)向量a=(x,1),b=(2,y),c=(-2,2),且a⊥c,b∥c,则|a+b|=　　.  【解析】因为a=(x,1),b=(2,y),c=(-2,2),且a⊥c,b∥c,所以-2x+2=0,-2y=4,解得x=1,y=-2,所以a=(1,1),b=(2,-2), 所以a+b=(3,-1),|a+b|==. 8.(5分)若向量a=(-2,2)与b=(1,k)的夹角为钝角,则k的取值范围为　(-∞,-1)∪(-1,1)　.  【解析】向量a=(-2,2)与b=(1,k)的夹角为钝角,所以cos θ==<0,且cos θ≠-1(-2k≠2),解得k<1且k≠-1. 【易错提醒】a·b<0是<a,b>为钝角的必要不充分条件,还需去掉a,b反向的情况. 9.(5分)已知向量a=(2,-1),a·b=5,|a+b|=8,则|b|=　7　.  【解析】已知向量a=(2,-1),则|a|==, 又|a+b|=8,即|a|2+2a·b+|b|2=64, 又a·b=5,则|b|2=49,即|b|=7. 10.(10分)(2025·芜湖高一检测)已知向量a=3e1-2e2,b=4e1+e2,其中e1=(1,0),e2=(0,1). (1)求a·b; 【解析】(1)e1=(1,0),e2=(0,1), 由于a=3e1-2e2=3(1,0)-2(0,1)=(3,-2), b=4e1+e2=4(1,0)+(0,1)=(4,1), 因此a·b=3×4+(-2)×1=10. (2)求|a+b|. 【解析】(2)由(1)可得a+b=(3,-2)+(4,1)=(7,-1), 所以|a+b|==5. 【综合应用练】 11.(5分)(2025·玉林高一检测)已知向量a=(1,2),b=(m,3),若a⊥(2a-b),则a与b夹角的余弦值为 (　　) A.　 B.　 C.　 D. 【解析】选A.因为a=(1,2),b=(m,3), 所以2a-b=(2-m,1), 因为a⊥(2a-b),所以a·(2a-b)=1×(2-m)+2×1=0,解得m=4,所以b=(4,3), 设a与b的夹角为θ,则cos θ===, 即a与b夹角的余弦值为. 12.(5分)在梯形ABCD中,AB∥DC,AD⊥DC,AD=AB=2DC=2,E为BC的中点,F为DC上的动点(含端点),则·的取值范围是 (　　) A.[,] B.(2,) C.[,3] D.[2,] 【解析】选D.以A为坐标原点,建立如图所示的平面直角坐标系, 则A(0,0),B(2,0),C(1,2),D(0,2),E(,1),F(x,2)(0≤x≤1), 所以=(,1),=(x,2),·=x+2, 因为x的取值范围是[0,1],所以·的取值范围是[2,]. 13.(5分)若向量=(2,1)在向量=(0,)上的投影向量为λ,则|+λ|=　2　.  【解析】因为·=,||=, 所以向量在向量上的投影向量为 ·==2,所以λ=2, 所以+λ=(2,1)+2(0,)=(2,2), 所以|+λ|==2. 14.(10分)如图,已知A(1,1),B(5,4),C(2,5),设向量a是与向量垂直的单位向量. (1)求单位向量a的坐标; 【解析】(1)设a=(x,y),依题意有=(4,3),||=5,|a|=1,且a⊥,即a·=0, 所以 解得或 所以a=(-,)或a=(,-). (2)求向量在向量a上的投影向量的模; 【解析】(2)设向量与向量a的夹角为θ,在a上的投影向量的模为h,则h=|||cos θ|=||=|·a|. 又因为=(1,4),所以当a=(-,)时,h=|1×(-)+4×|=; 当a=(,-)时,h=|1×+4×(-)|=. (3)求△ABC的面积. 【解析】(3)S△ABC=|||h|=×5×=. 15.(10分)(2025·三明高一检测)已知向量a,b. (1)若a=(1,1),b=(1,2),求(a-2b)·(a+b); 【解析】(1)因为a=(1,1),b=(1,2), 所以a-2b=(-1,-3),a+b=(2,3), (a-2b)·(a+b)=-11. (2)若a,b为单位向量,对任意实数x,|a+xb|≥恒成立,求向量a,b的夹角的取值范围. 【解析】(2)a,b是单位向量,设a,b的夹角为θ, 由|a+xb|≥得:(a+xb)2≥, 所以a2+2xa·b+x2b2≥, 即1+2xcos θ+x2≥,即x2+2xcos θ+≥0对任意的实数x恒成立, 则Δ=(2cos θ)2-1≤0,解得:-≤cos θ≤, 又因为0≤θ≤π,函数y=cos θ在[0,π]上单调递减,因此≤θ≤. 所以向量a,b的夹角的取值范围是[,]. 【创新拓展练】 16.(5分)设非零向量a和b的夹角为θ,定义运算:|a×b|=|a||b|sin θ.已知a=(1,1),b=(-1,2),则|a×b|= (　　) A.2　 B.　 C.3　 D. 【解析】选C.由a=(1,1),b=(-1,2)得: |a|==,|b|==,a·b=1×(-1)+1×2=1, 故cos<a,b>===, 因为<a,b>∈[0,π],故sin<a,b>===, 由题意|a×b|=|a||b|sin θ==3. 17.(5分)(2025·滁州高一检测)设Ox,Oy是平面内相交成60°角的两条数轴,i,j分别是与x轴、y轴正方向同向的单位向量.若向量=xi+yj,则把有序数对(x,y)叫做向量在坐标系xOy中的坐标.在该坐标系下向量a=(1,2),b=(x,-1),若有(2a-b)⊥(a+2b),则x的值是 (　　) A.或-　 B.-或2　 C.或-　 D.-或2 【解析】选C.由题可得|i|=|j|=1, 且i·j=|i|·|j|cos 60°=, a=i+2j,b=xi-j, 所以2a-b=(2-x)i+5j,a+2b=(1+2x)i, 由于(2a-b)⊥(a+2b), 则(2a-b)·(a+2b)=0, 即[(2-x)i+5j]·[(1+2x)i] =(2-x)(1+2x)i2+5(1+2x)i·j=0, 即-2x2+8x+=0,解得x1=-或x2=. - 1 - 学科网（北京）股份有限公司 $